初高中数学暑假衔接材料：暑假预习专题 第15讲 对数函数（原卷版）（暑假预习讲义）

2/14暑假预习专题第15讲对数函数内容导航01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理03过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固关键词学习目标导航对数对数函数1.理解对数函数的定义及图像。2.掌握对数函数的性质。3.掌握利用对数函数的性质解不等式。学习重点：理解指数函数定义域、值域及底数对图像和单调性的影响，会解指数不等式并求最值。学习难点：了解指数函数在实际问题（如复利、pH值）中的应用，会建立模型并解释结果的实际意义。1.对数函数的概念：函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中函数的定义域是(0，＋∞)，值域为R．注意：判断一个函数是对数函数是形如y=log（1）系数为1；（2）底数为大于0且不等于1的常数；（3）对数的真数仅有自变量x．2.对数函数的图象及性质函数名称对数函数图象a>10<a<1定义域(0,+∞)值域R过定点图象过定点(1，0)，即当x=1时，奇偶性非奇非偶单调性在(0，在(0，函数值的变化情况logloga变化对图象的影响在第一象限内，从顺时针方向看图象，a逐渐增大；在第四象限内，从顺时针方向看图象，a逐渐减小．3.当底数不同时对数函数图象的变化规律：作直线y=1与所给图象相交，交点的横坐标即为对数的底数，依据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可得b>a>1>d>c>0.4.若函数y=f(x)的反函数记作y=f（1）定义域与值域互逆：y=f(x)的定义域是y=f−1(x)的值域，y=f(x)（2）图像对称关系：两函数的图像关于直线y=x呈轴对称；（3）单调性一致：单调函数必存在反函数，且原函数与反函数的单调性相同.5.指数函数与对数函数的关系（1）互为反函数：指数函数y=ax和对数函数（2）图像对称：二者的图像关于直线y=x对称.知｜知｜识｜框｜架知｜识知｜识｜精｜讲知识点01对数函数的图像与性质知识点1.对数函数的定义定义：当底数固定，且时，以为底的对数确定了变量随变量变化的规律，称为底为的对数函数.注意：（1）对数函数的定义域为（全体正数）；（2）当时，；（3）当时，．知识点2.对数函数的图像图像对数函数且的图像过定点，所以讨论与对数函数有关的函数的图像过定点的问题，只需令真数为1，解出相应的、，即可得到定点的坐标．掌握三组关系—一底数与函数图像的关系（1）底数与1的大小关系决定了对数函数图像的＂升降＂：当时，对数函数的图像＂上升＂；当时，对数函数的图像＂下降＂．（2）底数的大小决定了图像相对位置的高低：不论是还是，在第一象限内，自左向右，图像对应的对数函数的底数逐渐变大．（3）函数与且的图像关于轴对称．知识点3.对数函数的性质图像性质在上是严格增函数在上是严格减函数当时，，当时，当时，，当时，（1）讨论对数函数的性质时，若底数的大小不确定，必须分1和两种情况讨论．（2）根据对数函数的性质可知，对数函数且的图像都经过点，且图像都在第一、四象限内，据此可以快速地画出对数函数的大致图像．【经典例题】【例1】下列函数是对数函数的有．①；②；③；④．【技巧归纳】根据对数函数的定义进行判断即可．【例2】对数函数（且）的图象经过点，则此函数的解析式．【技巧归纳】将点的坐标代入函数解析式，求出的值，由此可得出所求函数的解析式.【例3】已知函数的图像不经过第四象限，则实数的取值范围是.【技巧归纳】根据函数的图像不经过第四象限得到，解不等式求得的取值范围.【例4】（24-25高一上·上海杨浦·期末）函数且的图像必过的定点坐标为.【技巧归纳】根据对数函数的定点坐标运算求解.【例5】如图是对数函数的图像，已知a取则相应于的a值依次为.

【技巧归纳】根据对数函数底数在第一象限由左向右、从小到大分布规律解答.【例6】（24-25高一上·上海·期末）函数的定义域为.【技巧归纳】根据对数的真数大于0有意义求解.【例7】（23-24高一上·上海·阶段练习）在同一平面直角坐标系中，函数，（且）的图象可能是（

）A．B．C． D．【技巧归纳】根据每个选项中函数的单调性求出实数的取值范围，再由函数（且）的图象与轴的交点，求出的取值范围，观察的范围能否一致，由此可得出合适的选项.【例8】函数，其中，函数，其中．两个函数的图象如图所示．

(1)试根据函数的增长差异指出，分别对应的函数；(2)以两图象交点为分界点，对，的大小进行比较．【技巧归纳】（1）根据函数的增长速度即可判断；（2）根据图象即可分析函数的大小.【对点练习】【练习1】（23-24高一上·上海·阶段练习）已知对数函数过点，则其解析式为．【练习2】（24-25高一上·上海闵行·期末）若，对任意且，函数的图像必过定点【练习3】函数的定义域为．【练习4】（（24-25高一上·上海·期末）函数的定义域为.【练习5】（24-25高一上·上海·阶段练习）函数的值域为．【练习6】（24-25高一上·上海静安·阶段练习）已知函数的定义域和值域都是，则.【练习7】（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，条件，条件，则p是q的（

）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【练习8】（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知两条水平直线：和：（其），且直线与函数的图象从左至右相交于点A、B，直线与函数的图象从左至右相交于点C、D．若记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a、b（投影点重合时长度为0）．(1)记点A、B、C、D的横坐标分别为、、、，求证：；(2)当时，求m的值；(3)当，m变化时，记，求函数的解析式及其最小值．知识点02对数函数的应用1.当底数不同时对数函数图象的变化规律：作直线与所给图象相交，交点的横坐标即为对数的底数，依据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可得.2.指数函数与对数函数的关系（1）互为反函数：指数函数和对数函数是一对反函数；（2）图像对称：二者的图像关于直线对称.【经典例题】【例9】函数的定义域为．【易错提醒】分别求出和的定义域，再求交集..【例10】（24-25高一上·上海·阶段练习）函数的值域为.【易错提醒】先求得函数的定义域，然后根据对数函数的单调性求值域.【例11】（24-25高一上·上海·阶段练习）若函数的值域为，则实数的取值范围是.【易错提醒】由对数复合函数的值域为，即是值域的子集，结合一次、二次函数的性质列不等式求参数范围.【例12】（22-23高一上·上海宝山·期末）当，时，则的最小值是．【易错提醒】由且，得出，用均值不等式即可得出答案．【例13】（24-25高一上·上海·期末）函数的单调递增区间为.【易错提醒】利用复合函数法可得出函数的单调递增区间.【例14】已知函数若函数在上是严格增函数，则a的取值范围为．【易错提醒】根据对数函数以及一次函数的单调递增求出的范围，同时需要满足即可．【例15】（24-25高一上·上海·期末）已知，，且，那么关于的不等式，其解集不可能是（

）A． B． C． D．【易错提醒】利用对数函数的性质把不等式转化为，通过举例说明BCD是错误的即可.【例16】（20-21高一上·上海金山·阶段练习）已知函数为偶函数，.（1）求实数的值；（2）若时，函数的图象恒在图象的上方，求实数的取值范围；（3）求函数在上的最大值与最小值之和为2020，求实数的值.【易错提醒】（1）根据偶函数定义列方程可得解；（2）由时，恒成立，参变分离得，进而求函数最大值即可；（3）化简函数为，结合可得最值，从而得解.【对点练习】【练习9】（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）函数恒过定点【练习10】函数的值域是.【练习11】对数函数，当时图象在x轴上方，则a的取值范围为.【练习12】（24-25高一上·上海·期末）若集合，则.【练习13】已知，，，则与的大小关系是．【练习14】（24-25高一上·上海宝山·期末）不等式的解集为．【练习15】已知，那么，满足的条件是．【练习16】已知，.（1）当时，求函数的值域；（2）对任意，其中常数，不等式恒成立，求实数的取值范围.1.函数（且），若它的图象经过，，则．2.函数的定义域是.3.（24-25高一上·上海·阶段练习）函数的定义域是.4.函数的域为．5.（24-25高一上·上海·阶段练习）已知函数的值域为，则实数的取值范围是.6.（24-25高一上·上海·期末）不等式的解集为7.（23-24高一上·上海长宁·期末）若关于的方程在区间上有解，则实数的取值范围是.8.函数的最小值是．9.函数的最小值为．10.已知，（是自然对数的底数），若对任意的，都存在唯一的，使得，则实数的取值范围是.11.若不等式在上恒成立，则实数的取值范围为．12.已知函数，对于任意的，都存在，使得成立，则实数m的取值范围为．13.设平行于轴的直线分别与函数和的图像相交于点、，若在函数的图像上存在点，使得是以为斜边的等腰直角三角形，则点的横坐标为.14.当时，在同一坐标系中，函数与的图象是（

）A．B．C．D．15.（23-24高一上·上海·期中）已知实数满足，则函数在上的最大值是（

）A． B． C． D．16.（24-25高一上·上海·期末）下列选项中“”的充分非必要条件是（

）A． B． C． D．17.已知集合，，则（

）A． B． C． D．18.对数函数与二次函