2025-2026学年福建省厦门市沧江高级中学高一（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年福建省厦门市沧江高级中学高一（下）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.下列物理量中不是向量的是（）A.重力 B.时间 C.加速度 D.位移2.已知复数z1=2-i,z2=3+6i,则z1+z2=（）A.-1-7i B.1+7i C.5+5i D.5-5i3.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a,b,c,若b=1，c=3，，则a=（）A. B. C. D.4.如图，△O′A′B′是水平放置的△OAB的直观图，则△OAB的面积是（）

A.6 B.3 C.12 D.65.在△ABC中角A、B、C所对的边分别是a、b、c,若，则△ABC的面积等于（）A.10 B.5 C. D.6.如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中AB与CD的位置关系是（）A.相交

B.平行

C.异面

D.垂直7.已知某圆锥的母线长为4，其侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的体积为（）A. B. C. D.16π8.如图，边长为的正方形ABCD内接于圆O，P是弧BC（包括端点）上一点，则的取值范围是（）A.

B.

C.

D.二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.已知复数z=1+2i,则下列叙述正确的是（）A.z的实部为1 B.z的共轭复数为1-2i

C. D.z2=5+4i10.初春时节，南部战区海军某登陆舰支队多艘舰艇组成编队，奔赴多个海区开展实战化海上训练.在一次海上训练中，雷达兵在P处发现在北偏东50°方向，相距30公里的水面Q处，有一艘A舰艇发出液货补给需求，它正以每小时50公里的速度沿南偏东70°方向前进，这个雷达兵立马协调在P处的B舰艇以每小时70公里的速度，沿北偏东50°+θ方向与A舰艇对接并进行横向液货补给.若B舰艇要在最短的时间内实现横向液货补给，则（）A.B舰艇所需的时间为1小时 B.B舰艇所需的时间为2小时

C. D.11.如图，正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为4，动点E，F在棱AB上，且EF=2，动点Q在棱D′C′上，则在三棱锥A′-EFQ中，下列说法正确的是（）A.△EFQ的面积与点E，F的位置无关

B.三棱锥A′-EFQ的体积与点Q的位置有关

C.三棱锥A′-EFQ的体积与点E，F，Q的位置都有关

D.三棱锥A′-EFQ的体积与点E，F，Q的位置均无关，是定值

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.i是虚数单位，计算等于______．13.如图，在平行四边形ABCD中，，向量，，用向量，表示，则=

.

14.勒洛三角形是一种定宽曲线，它是德国机械工程专家勒洛首先进行研究的，其画法是：先画一个正三角形，再以正三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形，如图所示，若正三角形ABC的边长为4，则勒洛三角形的面积为

.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题15分)

已知向量，=（1，λ）.（λ∈R）

（1）若，求λ的值；

（2）若，求的值.16.(本小题15分)

如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为DD1的中点.

（1）求证：BD1∥平面AEC；

（2）若F为CC1的中点，判断并证明平面AEC和平面BFD1的位置关系.17.(本小题15分)

在△ABC中，a,b,c分别为角A，B，C所对的边，且，角A的平分线交BC于D，且BD=2DC.

（1）求角A；

（2）若AC=3，求AD的长.18.(本小题15分)

如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的一动点.

（1）证明：BC⊥平面PAC；

（2）证明：平面PAC⊥平面PBC；

（3）若PA=AB=2，，求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.19.(本小题17分)

阅读下面的两个材料：

材料一：我国南宋的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”：若把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜，记小斜为a,中斜为b,大斜为c,则三角形的面积为，这个公式称之为秦九韶公式；

材料二：希腊数学家海伦在其所著的《度量论》（或称《测地术》）中给出了用三角形的三条边长表示三角形的面积的公式，即已知三角形的三条边长分别为a,b,c,则它的面积为，其中，这个公式称之为海伦公式.

现已知△ABC的三条边为a=17，b=18，c=19，请你解答下面问题：

（1）根据海伦公式求这个三角形的面积S；

（2）若D为AC边上的中点，求中线BD的长度；

（3）请根据秦九韶公式，证明海伦公式.

1.【答案】B

2.【答案】C

3.【答案】A

4.【答案】C

5.【答案】B

6.【答案】B

7.【答案】A

8.【答案】C

9.【答案】ABC

10.【答案】AD

11.【答案】AD

12.【答案】i

13.【答案】

14.【答案】

15.【答案】

16.【答案】证明见解析；

平面AEC∥平面BFD1，证明见解析．

17.【答案】解：（1）因为，

所以由正弦定理得：，

又sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，

所以，

因为sinC≠0，所以，

又因为A∈（0，π），所以；

（2）因为BD=2DC，所以S△ABD=2S△ADC，

因为AD是角A的平分线，

所以，所以AB=2AC=6，

在△ABC中，由余弦定理得：BC2=AB2+AC2-2AB•AC•cosA==27，

所以，所以，

在△ADC中，由余弦定理得：AD2=AC2+DC2-2AC•DC•cosC，

因为==0，所以AD2=9+3=12，所以．

18.【答案】因为AB是⊙O的直径，C是圆周上不同于A，B的一动点，

所以BC⊥AC，

又PA⊥平