2025-2026学年广东省中山市华辰实验中学高二（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年广东省中山市华辰实验中学高二（下）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.若数列{an}满足a1=a2=-2，an+2=|an+1-an|，则a6-a4=（）A.4 B.2 C.0 D.-22.下列导数运算正确的是（）A.（cosx）′=sinx B.

C.（2x）′=2x D.3.已知{an}是无穷数列，设甲：存在常数q,使得且，乙：数列{an}为等比数列，则（）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件4.函数f（x）=ex+1的图象在点（0，f（0））处的切线方程为（）A.x-y+2=0 B.2x-y+2=0 C.x-y+1=0 D.2x-y+1=05.已知函数f（x）=ex-1+f'（1）x2+1，则f'（2）=（）A.e+2 B.e-4 C.e-7 D.e-86.设a∈R，若函数在（1，2）内存在极值点，则a的取值范围是（）A. B. C.（-∞，3） D.7.在数列{an}中，a1=2，a2=1，，则{an}的前20项和S20=（）A.621 B.622 C.1133 D.11348.已知函数f（x）的定义域为R，f（0）=2，若对任意x∈R，都有f（x）＞1-f′（x），则不等式f（x）＜1+e-x的解集为（）A.（-∞，0） B.（0，+∞）

C.（-∞，-1）∪（1，+∞） D.（-∞，-1）∪（0，1）二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.若是区间（m-1，m+4）上的单调函数，则实数m的值可以是（）A.-4 B.-3 C.3 D.410.已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3=9，a3是a1与a4的等比中项，则下列说法正确的是（）A.a2=3 B.d=-1

C.数列是递增数列 D.当Sn＞0时，n的最大值为811.已知a1，a2，a3，a4成等比数列，满足，且a4＞1，下列选项正确的是（）A.a1＞a3 B.a3＞a4 C.a1＞a2 D.a2＜a4三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.正项等比数列中，则=______．13.若，则a1+a2+⋯+a2021=

，a1+2a2+3a3+⋯+2021a2021=

14.用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若f'（x）是f（x）的导函数，是f′（x）的导函数，则曲线y=f（x）在点（x,f（x））处的曲率，则曲线f（x）=在（1，1）处的曲率为

；正弦曲线g（x）=sinx（x∈R）曲率的平方K2的最大值为

.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知f（x）=alnx++x.

（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；

（2）若当x≥2时f（x）为单调递增函数，求实数a的取值范围.16.(本小题15分)

在数列{an}中，已知a1=4，.

（1）证明：是等比数列；

（2）求数列{an}的前n项和Sn.17.(本小题15分)

已知数列{an}的前n项和为Sn（n∈N*）.

（1）若{an}为等差数列，a1=-1，，求Sn和an的表达式；

（2）若数列{Sn}满足=3n+5，求an.18.(本小题17分)

已知函数f（x）=lnx．

（1）证明：当x＞1时，f（x）＞0；

（2）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽到的20个号码互不相同的概率为p，证明：．19.(本小题17分)

已知函数f（x）的定义域为R，若∃T＞0，f（x+T）=T•f（x），则称f（x）为类周期函数，T为f（x）的一个类周期.

（1）证明：f（x）=sinx不是类周期函数.

（2）若是函数f（x）的一个类周期、且f（0）=1.记，求数列{an}的前n项和Sn.

（3）若f（x）=ax（a＞0，且a≠1）是类周期函数，求a的取值范围.

1.【答案】D

2.【答案】B

3.【答案】B

4.【答案】A

5.【答案】B

6.【答案】B

7.【答案】C

8.【答案】A

9.【答案】CD

10.【答案】ABD

11.【答案】AD

12.【答案】9

13.【答案】-2

；

-4042

14.【答案】1

15.【答案】解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），当a=1时，函数，

所以导函数，

当x＞1时，导函数f′（x）＞0，当0＜x＜1时，导函数f′（x）＜0，

因此函数f（x）在（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上的单调递减．

（2）当x≥2时，函数f（x）为单调增函数，

因此导函数在[2，+∞）上恒成立，

因此在[2，+∞）上恒成立，

令函数（x≥2），所以导函数恒成立，

因此函数φ（x）在[2，+∞）单调递减，

因此φ（x）max=φ（2）=-1．

所以a∈[-1，+∞）．

16.【答案】在数列{an}中，已知a1=4，，

两边同时减去2n+2，可得，a1-2≠0，

所以，

所以数列是首项为2，公比为的等比数列

Sn=

17.【答案】解：（1）设等差数列{an}的通项为an=-1+（n-1）d（d为等差数列的公差），

则，解得d=-2，

所以an=1-2n，．

（2）由题意得，，①

当n≥2时，，②

由①-②得，，Sn=3×2n，，

当n=1时，，S1=16，

所以Sn=

当n=1时，a1=S1=16；

当n=2时，a2=S2-S1=12-16=-4；

当n≥3时，an=Sn-Sn-1=3×2n-1，

所以an=

18.【答案】解：（1）证明：f′（x）=-

=-==≥0，

所以f（x）在（0，+∞）上单调递增，

又f（1）=0，

所以当x＞1时，f（x）＞0．

（2）证明：p=，

由（1）知，当x＞0时，f（x+1）=ln（x+1）-＞0，即有ln（x+1）＞，

当-1＜x＜0时，f（x+1）=ln（x+1）-＜0，即ln（x+1）＜，

所以19ln=19ln（1-）＜19×=-2，

所以e＜e-2，

所以（）19＜e-2=，

利用推广的均值不等式：对任意的正数,均有≥＞0，即,

当且仅当时等号成立，

所以p=

＜​​​​​​​=（）19，

综上所述，p＜（）19＜．

19.【答案】解：（1）证明：假设f（x）=sinx是类周期函数，且T（T＞0）为f（x）的一个类周期，

则由f（x+T）=T•f（x），得sin（x+T）=Tsinx,

令x=0，得sinT=0，从而T=kπ，k∈N*，

若k为奇数，则由sin（x+T）=Tsinx,得-sinx=kπsinx,即（kπ+1）sinx=0①，

若k为偶数，则由sin（x+T）=Tsinx,得sinx=kπsinx,即（kπ-1）sinx=0②，

①，②式不可能恒成立，故假设不成立，从而f（x）=sinx不是类周期函数．

（2）因为是函数f（x）的一个类周期，所以，

令x=0，则，

令，则，即，

因为，所以{an}是首项为，公比为的等比数列，

则．

（3）