2025-2026学年湖南省常德市外国语学校高二（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年湖南省常德市外国语学校高二（下）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.已知x∈{2，3，7}，y∈{-1，-2，4}，则（x,y）可表示不同的点的个数是（）A.1 B.3 C.6 D.92.在复平面内，复数对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知数列{an}为等差数列，a4+a7=15，a6=6，则a5=（）A.3 B.6 C.9 D.124.“x＜2”是“log2x＜1”成立的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件5.已知，则cosβ=（）A. B. C. D.或6.设直线y=kx-k+1与圆x2+y2=4交于M，N两点，则当|MN|取最小值时，k=（）A.1 B.2 C.-1 D.-27.如图，现有三个质地均匀的骰子，其中正方体骰子六个面分别标以数字1到6、正四面体骰子四个面分别标以数字1到4，正八面体骰子八个面分别标以数字1到8.现进行抛骰子游戏，规定：第一次抛掷正方体骰子，记骰子朝上的面上的数字为a,若a为奇数，则第二次抛掷正四面体骰子，若a为偶数，则第二次抛掷正八面体骰子，记第二次抛掷的骰子与地面接触的面上的数字为b.根据以上规定，b=1的概率为（）A. B. C. D.8.如图所示的几何体是由两个相互平行的正方形经过旋转连接而成，且上底面正方形的四个顶点在下底面的射影点为下底面正方形各边的中点，若下底面正方形边长为2，该几何体的高为，则该几何体外接球的表面积为（）A.

B.

C.

D.11π二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.下列说法正确的是（）A.样本数据2，3，3，4，7，8，10，18的第80百分位数为10

B.样本数据的正线性相关程度越强，则样本相关系数r的值越大

C.根据分类变量x与y的成对数据，计算得到χ2=2.947＜​​​​​​​0.05，依据α=0.05的独立性检验，结论为变量x与y不独立

D.一元线性回归模型的残差比较均匀地分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内10.已知的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，则下列说法正确的是（）A.展开式中第6项的系数最大 B.展开式中奇数项的二项式系数和为256

C.展开式中存在常数项 D.展开式中含x15项的系数为4511.已知数列{an}满足a1+2a2+…+2n-1an=n•2n，an的前n项和为Sn，则（）A.a1=2 B.数列{an}是等比数列

C.Sn，S2n，S3n构成等差数列 D.数列前100项和为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若集合M={x|-2＜x＜2}，N={x|2x＜1}，则M∩N=

.13.若向量满足=1，=2，与的夹角为60°，则=______．14.作为人工智能的核心领域，机器学习致力于让机器从数据中学习.在该领域中，如何度量样本间的相似性是一个基础问题，通常通过计算它们之间的“距离”来实现，闵氏距离便是多种距离度量中的一种基础且重要的形式.设两组数据分别为A=（a1，a2，⋯，an）和B=（b1，b2，⋯，bn），则这两组数据间的闵氏距离，其中q表示阶数.若M=（t,et），N=（x,x-1），则dMN（1）的最小值为

.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知函数f（x）=x2+x与函数g（x）=lnx+2x.

（1）求曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程；

（2）求曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在公共点处的公切线方程.16.(本小题15分)

记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,asin=c-bcosA.

（1）求B；

（2）若∠ABC的角平分线交AC边于点D，BD=2，b=2，求△ABC的周长.17.(本小题15分)

某心理教育测评研究院为了解某市市民的心理健康状况，随机抽取了n位市民进行心理健康问卷调查，将所得评分（百分制）按研究院制定的心理测评评价标准整理，得到频率分布直方图．已知调查评分在[70，80）中的市民有200人．

心理测评评价标准调查评分[0，40）[40，50）[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]心理等级EDCBA（Ⅰ）求n的值及频率分布直方图中t的值；

（Ⅱ）在抽取的心理等级为D的市民中，按照调查评分的分组，分为2层，通过分层随机抽样抽取3人进行心理疏导．据以往数据统计，经心理疏导后，调查评分在[40，50）的市民的心理等级转为B的概率为，调查评分在[50，60）的市民的心理等级转为B的概率为，假设经心理疏导后的等级转化情况相互独立，求在抽取的3人中，经心理疏导后至少有一人的心理等级转为B的概率；

（Ⅲ）该心理教育测评研究院建议该市管理部门设定预案：若市民心理健康指数的平均值不低于0.75，则只需发放心理指导资料，否则需要举办心理健康大讲堂．根据调查数据，判断该市是否需要举办心理健康大讲堂，并说明理由．（每组的每个数据用该组区间的中点值代替，心理健康指数=调查评分÷100）18.(本小题17分)

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥CD，∠ABC=60°，PA=1，点E，F分别为棱PD，BC的中点，点G在线段AF上.

（1）证明：PA⊥平面ABCD；

（2）求点F到平面PCD的距离；

（3）设直线EG与平面ABCD，平面PAD，平面PAF所成的角分别为θ1，θ2，θ3，求sinθ1+sinθ2+sinθ3.19.(本小题17分)

已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，实轴长为，双曲线C的一条渐近线为x-y=0.

（1）求双曲线C的标准方程；

（2）O为坐标原点，点A、B、D是双曲线C上不同三点，且B、D两点关于y轴对称.△ABD的外接圆经过点O.

①求证：直线AB与圆x2+y2=1相切；

②直线AB与渐近线交于M，N两点，求的取值范围.

1.【答案】D

2.【答案】D

3.【答案】C

4.【答案】B

5.【答案】C

6.【答案】C

7.【答案】C

8.【答案】B

9.【答案】ABD

10.【答案】ACD

11.【答案】AD

12.【答案】{x|-2＜x＜0}

13.【答案】

14.【答案】2

15.【答案】y=x

3x-y-1=0

16.【答案】解：（1）由及正弦定理，

得，

因为sinC=sin（A+B）=sinAcosB+sinBcosA，

所以，

因为A∈（0，π），sinA≠0，

所以，

根据二倍角余弦公式可得，

所以或，

因为，

所以，所以，

即；

（2）如图：

因为S△ABC=S△ABD+S△CBD，

所以，

所以①，

又在△ABC中，由余弦定理可得，

即（a+c）2-3ac=24②，

将①代入②得，

所以或（舍），所以，

则△ABC的周长为．

17.【答案】解：（Ⅰ）由已知条件可得，又因为每组的小矩形的面积之和为1．

所以（0.035+0.025+0.02+0.004+8t）×10=1，解得t=0.002；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：t=0.002，

所以调查评分在[40，50）中的人数是调查评分在[50，60）中人数的，

若按分层抽样抽取3人，则调查评分在[40，50）中有1人，在[50，60）中有2人，

设事件M=“在抽取的3人中，经心理疏导后至少有一人的心理等级转为B”．

因为经心理疏导后的等级转化情况相互独立，

所以，

所以，

故经心理疏导后至少有一人的心理等级转为B的概率为；

（Ⅲ）由频率分布直方图可得，

45×0.02+55×0.04+65×0.14+75×0.2+85×0.35+95×0.25=80.7．

估计市民心理健康调查评分的平均值为80.7，

所以市民心理健康指数平均值为．

所以只需发放心理指导材料，不需要举办心理健康大讲堂活动．

18.【答案】（1）证明：连接AC，取AD的中点O，连接OC，

因为底面ABCD为菱形，且∠ABC=60°，

所以△ABC、△ADC为等边三角形，

所以OC⊥AD，

又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，OC⊂平面ABCD，

所以OC⊥平面PAD，

因为PA⊂平面PAD，所以PA⊥OC，

又PA⊥CD，CD∩OC=C，CD、OC⊂平面ABCD，

所以PA⊥平面ABCD．

（2）解：由（1）知PA⊥平面ABCD，

所以点P到平面FCD的距离即为PA=1，

因为AC，AD⊂平面ABCD，所以PA⊥AC，PA⊥AD，

由勾股定理知，PC=PD===，

所以S△PCD=CD•==2，

因为∠ABC=60°，所以∠BCD=120°，

所以S△FCD=CF•CDsin∠BCD==，

设点F到平面PCD的距离为d,

因为VF-PCD=VP-FCD，

所以d•S△PCD=PA•S△FCD，即d•2=1•，解得d=，

故点F到平面PCD的距离为．

（3）解：连接OE，OG，则OE∥PA且，

由（1）知PA⊥平面ABCD，

所以OE⊥平面ABCD，

所以∠EGO为直线EG与平面ABCD所成的角，即∠EGO=θ1，所以，

取PA的中点M，连接EM，则EM∥AD且，

因为F为BC中点，所以AF⊥BC，

又AD∥BC，所以AD⊥AF，

由PA⊥平面ABCD，AF、AD⊂平面ABCD，

所以PA⊥AF，PA⊥AD，

因为AD∩PA=A，AD、PA⊂平面PAD，所以AF⊥平面PAD，

连接AE，则∠AEG为直线EG与平面PAD所成的角，即∠AEG=θ2，所以sinθ2=，

因为AF∩PA=A，AF、PA⊂平面PAF，所以AD⊥平面PAF，所以EM⊥平面PAF，

连接MG，则∠EGM为直线EG与平面PAF所成的角，即∠EGM=θ3，所以sinθ3==，

所以sinθ1+sinθ2+sinθ3=++=，

设AG=x（0≤x≤），则AE=PD=，EG==，

所以sinθ1+sinθ2+sinθ3==，

令t=，则t∈[，]，

所以sinθ1+sinθ2+sinθ3=====，

由t∈[，]，知[，]，

所以当=时，取得最大值，

故sinθ1+sinθ2+sinθ3的最大值为．

19.【答案】

①设B（x1，y1），A（x，y2），则D（-x1，y1），均满足．

因为△ABD的外接圆经过点O，所以可设△ABD的外接圆方程为x2+y2+px+qy=0，

所以，，

两式相减得，p=0，故外接圆方程