2025-2026学年上海市静安区市北中学高一（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年上海市静安区市北中学高一（下）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共4小题，共18分。1.下列函数中是奇函数的是（）A.y=x•sinx B. C.y=x+sinx D.y=x+cosx2.“”是“tanα=1”成立的（）A.既不充分也不必要条件 B.必要非充分条件

C.充要条件 D.充分非必要条件3.已知函数f（x）=sinωx（ω＞0）在区间[0，2π]上有且仅有3个零点，则ω的取值范围是（）A.（0，1） B.（0，1] C.. D.4.向量集合S=，对于任意，∈S，以及任意λ∈[0，1]，都有λ∈S，则称集合S是“凸集”，现有四个命题：

①集合M=是“凸集”；

②若S为“凸集”，则集合N=也是“凸集”；

③若A1，A2都是“凸集”，则A1∪A2也是“凸集”；

④若A1，A2都是“凸集”，且交集非空，则A1∩A2也是“凸集”.

其中，所有正确说法的个数为（）A.4 B.3 C.2 D.1二、填空题：本题共12小题，共54分。5.若点P（-3，1）是角α终边上一点，则sinα的值是

.6.已知复数z满足z=（2-i）•i,则复数z的虚部为

.7.设，点A的坐标为（-1，0），则点B的坐标为

.8.若扇形的面积是16cm2，圆心角为2弧度，则半径是______cm．9.函数y=tanx的零点为

.10.已知，化简的结果是

.11.函数，的值域为

.12.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c．若a=2bcosC，则△ABC的形状为______．13.已知向量=（1，2），=（-1，3），则在上的投影向量的坐标是

.14.设函数，若对任意的x∈R都有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则|x1-x2|的最小值为

.15.如图，在△ABC中，AD⊥AB，，，则=

.

16.已知ω∈（0，π），φ∈[0，2π），函数f（x）=sin（ωx+φ），对任意正整数n,有f（n+4）=f（n），且集合A={x|x=f（n），n∈N且n≥1}的元素个数为3，则满足要求的f（1）的取值集合M=

.三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题14分)

已知复数z=3+bi（b∈R），且（1+3i）•z为纯虚数.

（1）求复数z；

（2）若复数，求复数的模.18.(本小题14分)

已知向量，，，且，.

（1）求；

（2）求向量与的夹角.（结果用反三角表示）19.(本小题14分)

已知函数的图象如图所示.

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）求函数f（x）的单调递减区间和对称轴方程；

（3）先将函数y=f（x）图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），然后将得到的函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），最后将所得图象向右平移个单位后得到函数y=g（x）的图象.若g（x）-m+1=0在有解，求实数m的取值范围.20.(本小题18分)

某学校附近有条长500米，宽6米的道路（如图1所示的矩形ABCD），路的一侧划有100个长5米，宽2.5米的停车位（如矩形AEFG），由于停车位不足，放学时段道路拥堵，学校安保处李老师提出一个改造方案，在不改变停车位形状大小、不改变汽车通道宽度的条件下，可通过压缩道路旁边绿化带及改变停车位方向来增加停车位，记绿化带被压缩的宽度AM=d（米），停车位相对道路倾斜的角度∠E′A′M=θ，其中.

（1）若，求EE′和E′M的长；

（2）求d关于θ的函数表达式d（θ）；

（3）若d=3，按照李老师的方案，该路段改造后的停车位比改造前增加多少个？21.(本小题18分)

定义：若非零向量=（a,b），函数f（x）的解析式满足f（x）=asinx+bcosx,则称f（x）为的伴随函数，为f（x）的伴随向量.

（1）若向量为函数的伴随向量，求||；

（2）若函数f（x）为向量的伴随函数，在△ABC中，BC=2，f（A）=1，且sinBsinC=，求AB+AC的值；

（3）已知||=1，的“伴随函数”为f（x），的“伴随函数”为g（x），设（λ＞0，μ＞0），且的伴随函数为h（x），其最大值为p.求证：向量的充要条件是p=|λ-μ|.

1.【答案】C

2.【答案】D

3.【答案】D

4.【答案】B

5.【答案】

6.【答案】2

7.【答案】（2，4）

8.【答案】4

9.【答案】kπ，k∈Z

10.【答案】cosα-sinα

11.【答案】[，1]

12.【答案】等腰三角形

13.【答案】

14.【答案】2025

15.【答案】

16.【答案】{0，1，-1}

17.【答案】解：（1）由z=3+bi（b∈R），

得（1+3i）•（3+bi）=（3-3b）+（9+b）i,

∵（1+3i）•z是纯虚数，

∴，解得b=1．

∴z=3+i；

（2）由=，

得，则，

∴．

18.【答案】

19.【答案】

单调递减区间为.对称轴方程为

20.【答案】E′E=4，

，

59

21.【答案】

先证必要性．由题可知，，

设，，

所以

=（（λ-μ）cosα，（λ-μ）sinα），（λ＞0，μ＞0），

所以h（x）=（λ-μ）cosαsinx+（λ-μ）sinαcosx=（λ-μ）sin（x+α），

所以p=|λ-μ|．

再证充分性．由p=|λ-μ|，

设，，则，

所以h（x）=（λcosα