高中数学选择性必修第一册：直线与圆位置关系知识清单

高中数学选择性必修第一册：直线与圆位置关系知识清单一、直线与圆的位置关系（一）位置关系的判定方法【核心】【高频考点】直线与圆的位置关系有三种：相交、相切、相离。判断直线与圆的位置关系，通常采用以下两种方法：1、代数法（判别式法）【基础】将直线方程与圆的方程联立，得到关于x（或y）的一元二次方程，利用判别式Δ进行判断。设直线方程为Ax+By+C=0(A、B不同时为0)，圆方程为(x−a)²+(y−b)²=r²(r>0)。联立方程组，消去y（或x），得到关于x（或y）的一元二次方程：mx²+nx+p=0（或my²+ny+p=0）。（1）Δ>0↔方程组有两组不同的实数解↔直线与圆相交（有两个公共点）。（2）Δ=0↔方程组有两组相同的实数解↔直线与圆相切（有一个公共点）。（3）Δ<0↔方程组无实数解↔直线与圆相离（没有公共点）。2、几何法（dr比较法）【核心】【重要】利用圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系进行判断。这是解决直线与圆位置关系问题中最常用、最直观的方法。设圆心C(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离为d=|Aa+Bb+C|/√(A²+B²)，圆的半径为r。（1）d<r↔直线与圆相交。（2）d=r↔直线与圆相切。（3）d>r↔直线与圆相离。【★方法对比与选择】代数法思路直接，但计算量通常较大，且对于判断位置关系而言，几何法更为简洁。几何法避开了联立方程和求解判别式的繁琐过程，能快速得出结论。因此，在解决判定位置关系、求弦长等问题时，优先考虑几何法。代数法则在涉及交点坐标、证明等问题时不可或缺。（二）相交问题【高频考点】当直线与圆相交时，主要研究弦的有关问题。1、弦长公式【重要】设直线l与圆C相交于A、B两点，求弦长|AB|。（1）几何法（垂径定理法）【核心】这是求弦长最常用的方法。由圆心C向弦AB作垂线段（垂足为D），则CD即为弦心距d。根据垂径定理，D是弦AB的中点。连接圆心与弦的一个端点（如CA），构成直角三角形Rt△ACD。在Rt△ACD中，有r²=d²+(|AB|/2)²。因此，弦长|AB|=2√(r²−d²)。其中，d为圆心到直线的距离，r为圆的半径。（2）代数法将直线方程与圆方程联立，消元后得到关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0，设两个交点为A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)。则弦长|AB|可利用两点间距离公式结合韦达定理求得。|AB|=√[(x₁−x₂)²+(y₁−y₂)²]若直线斜率存在且为k，则y₁−y₂=k(x₁−x₂)。|AB|=√[(1+k²)(x₁−x₂)²]=√[(1+k²)((x₁+x₂)²−4x₁x₂)]。其中，x₁+x₂=b/a，x₁x₂=c/a。【★易错点提醒】使用代数法求弦长时，务必保证Δ>0（相交），且公式中的k必须是直线的斜率。当直线斜率不存在时，公式不再适用，此时弦长可直接由|y₁−y₂|求得。2、中点弦问题【难点】已知圆内一点，求以该点为中点的弦所在直线的方程。【解题步骤】（1）设交点法：设弦的两个端点坐标，代入圆的方程，作差，利用中点坐标公式求出弦所在直线的斜率，进而得到方程。（2）利用垂径定理：圆心与弦中点的连线垂直于弦。先求出圆心与弦中点的斜率，则弦所在直线的斜率即为该斜率的负倒数。（三）相切问题【高频考点】当直线与圆相切时，主要研究切线方程、切线长等问题。1、圆的切线方程（1）过圆上一点P(x₀,y₀)的切线方程【重要】对于圆x²+y²=r²，过其上一点P(x₀,y₀)的切线方程为x₀x+y₀y=r²。对于圆(x−a)²+(y−b)²=r²，过其上一点P(x₀,y₀)的切线方程为(x₀−a)(x−a)+(y₀−b)(y−b)=r²。推导依据：圆心与切点的连线垂直于切线。由此可求得切线的斜率（若存在），再利用点斜式写出方程。（2）过圆外一点P(x₀,y₀)的切线方程【热点】设切线方程为点斜式y−y₀=k(x−x₀)（注意讨论斜率不存在的情况）。利用圆心到切线的距离等于半径r，得到关于k的方程，解出k。【★注意】过圆外一点引圆的切线，通常有两条切线。若解出的k值只有一个，则说明另一条切线的斜率不存在，其方程为x=x₀。2、切线长【基础】从圆外一点P(x₀,y₀)向圆引两条切线，切点分别为A、B，则切线长|PA|=|PB|。利用勾股定理求切线长：|PA|=√(|PC|²−r²)，其中C为圆心，r为半径。（四）相离问题直线与圆相离时，主要研究圆上的点到直线的距离的最值问题。1、圆上一点到直线距离的最大值与最小值【重要】设圆心到直线的距离为d，圆的半径为r。（1）最大值：圆上的点到直线距离的最大值为d+r。（2）最小值：圆上的点到直线距离的最小值为d−r（当d>r时，即直线与圆相离）。若直线与圆相交（d<r），则最小距离为0。2、圆上一点到圆外一点距离的最值（1）最大值：|PC|+r。（2）最小值：|PC|−r。二、圆与圆的位置关系（一）位置关系的判定【核心】【高频考点】圆与圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含。判断两圆的位置关系，通常采用几何法，即比较圆心距（两圆圆心的距离）与两圆半径的和、差的关系。设两圆⊙C₁:(x−a₁)²+(y−b₁)²=r₁²(r₁>0)，⊙C₂:(x−a₂)²+(y−b₂)²=r₂²(r₂>0)。圆心距d=|C₁C₂|。1、d>r₁+r₂↔两圆外离。【基础】此时两圆没有公共点，且一个圆上的所有点都在另一个圆的外部。2、d=r₁+r₂↔两圆外切。【重要】此时两圆有且只有一个公共点（切点），且一个圆上的点（除切点外）都在另一个圆的外部。3、|r₁−r₂|<d<r₁+r₂↔两圆相交。【高频考点】此时两圆有两个不同的公共点。4、d=|r₁−r₂|(r₁≠r₂)↔两圆内切。【重要】此时两圆有且只有一个公共点（切点），且一个圆上的点（除切点外）都在另一个圆的内部。5、0≤d<|r₁−r₂|↔两圆内含。【基础】此时两圆没有公共点，且一个圆上的所有点都在另一个圆的内部。当d=0时，两圆为同心圆，是内含的特殊情况。【★代数法判定】将两圆方程联立，通过解的组数也可以判断位置关系。方程组有两组不同的实数解（相交），有两组相同的实数解（相切，包括内切和外切），无实数解（外离或内含）。但代数法无法直接区分外离与内含，也无法区分内切与外切，因此几何法是首选。（二）相交弦问题【高频考点】【难点】当两圆相交时，它们的交点所在的直线称为公共弦（或相交弦）。1、公共弦所在直线的方程【重要】设两圆方程为：⊙C₁:x²+y²+D₁x+E₁y+F₁=0⊙C₂:x²+y²+D₂x+E₂y+F₂=0将两方程相减（左减左，右减右），得到：(D₁−D₂)x+(E₁−E₂)y+(F₁−F₂)=0。这个方程表示的直线，即为两圆公共弦所在直线的方程。【★原理】两圆的交点坐标同时满足两个圆的方程，自然也满足两方程相减后得到的直线方程。因此，这条直线经过两圆的交点。2、公共弦长【重要】求两圆公共弦的长度。【方法一（几何法）】（1）求出公共弦所在直线的方程。（2）求出其中一个圆的圆心到该直线的距离d（弦心距）。（3）利用该圆的半径r和垂径定理，求得弦长的一半：弦长=2√(r²−d²)。【方法二（代数法）】联立两圆方程，求出两个交点的坐标，再利用两点间距离公式直接计算。此方法计算量大，通常不采用。（三）公切线问题【拓展】【难点】与两个圆都相切的直线，称为两圆的公切线。公切线可分为外公切线和内公切线。1、公切线的条数与位置关系的关系（1）外离：有4条公切线（2条外公切线，2条内公切线）。（2）外切：有3条公切线（2条外公切线，1条内公切线）。（3）相交：有2条公切线（均为外公切线，无内公切线）。（4）内切：有1条公切线（外公切线）。（5）内含：无公切线。2、公切线长的求法通常将问题转化为求解直角三角形。例如，求外公切线长时，可过一个小圆的圆心作大圆半径的垂线，构造一个直角三角形，其一直角边为半径差（|r₁−r₂|），另一直角边为公切线长，斜边为圆心距d。则有公切线长=√[d²−(r₁−r₂)²]。求内公切线长时，构造的直角三角形中，一直角边为半径和（r₁+r₂），另一直角边为公切线长，斜边为圆心距d。则有公切线长=√[d²−(r₁+r₂)²]。三、直线与圆的方程的应用（一）与圆有关的最值问题【高频考点】【压轴热点】这类问题通常需要综合运用几何意义、代数方法和函数思想。1、目标函数为形如y−k或(x−a)²+(y−b)²或Ax+By的最值（1）斜率型：形如z=(y−b)/(x−a)的最值问题，可转化为定点P(a,b)与圆上动点Q(x,y)连线的斜率的最值。【解题思路】设过定点P的直线方程为y−b=k(x−a)，当直线与圆相切时，斜率k取得最值（最大值和最小值）。（2）距离型：形如z=(x−a)²+(y−b)²的最值问题，可转化为定点P(a,b)与圆上动点Q(x,y)之间距离的平方的最值。【解题思路】先求定点P到圆心C的距离|PC|，则|PQ|_max=|PC|+r，|PQ|_min=||PC|−r|。再将结果平方即得z的最值。（3）截距型：形如z=Ax+By的最值问题，可转化为直线Ax+By−z=0在y轴（或x轴）上的截距的最值。【解题思路】将z视为直线的截距相关参数。当直线与圆有公共点时，z的取值范围受到圆心到该直线的距离不大于半径的约束，即d=|A·a+B·b−z|/√(A²+B²)≤r。解此不等式即可求得z的取值范围，进而得到最值。直线与圆相切时，z取得最值。2、利用几何意义求最值【核心思想】以上最值问题，其核心在于深刻理解代数表达式的几何意义，将代数最值问题转化为几何量（距离、斜率、截距）的最值问题，从而利用圆的几何性质（如切线性质、垂径定理、点与圆的位置关系）直观求解。（二）与圆有关的轨迹问题【重要】【综合应用】1、求轨迹方程的常用方法（1）直接法：直接根据题设条件，建立动点坐标(x,y)满足的等量关系，化简即得轨迹方程。（2）定义法：分析动点的运动规律，判断其轨迹是否符合圆的定义或其它圆锥曲线的定义，然后直接写出方程。（3）相关点法（代入法）：若动点P(x,y)依赖于已知曲线上的另一动点Q(x₀,y₀)运动，则先用x,y表示x₀,y₀，再将x₀,y₀代入已知曲线方程，得到x,y的关系式，即为P点的轨迹方程。（4）参数法：引入中间变量（参数），分别用参数表示动点坐标x,y，再消去参数得到轨迹的普通方程。2、常见题型（1）已知动点到两定点距离之比为定值（不为1）时，其轨迹为圆（阿波罗尼斯圆）。（2）与定圆相切的动圆圆心轨迹问题。（3）过定点的动直线与定圆相交，求弦中点的轨迹问题。（三）坐标法与数形结合思想【核心素养】1、坐标法解决平面几何问题本章内容是坐标法（解析法）思想的重要体现。其基本步骤是：（1）建系：建立适当的平面直角坐标系。（2）设点：用坐标表示相关的点。（3）列式：将几何条件（如垂直、平行、相切、距离关系等）转化为代数方程。（4）化简：通过代数运算，得出代数结论。（5）翻译：将代数结论还原为几何解释。2、数形结合思想在处理直线与圆、圆与圆的位置关系问题时，要善于“以形助数”和“以数解形”。（1）以形助数：利用圆的几何性质（如垂径定理、切线性质、对称性等）简化代数运算，如在求弦长、切线、最值等问题中的应用。（2）以数解形：通过精确的代数计算来推导或验证几何图形之间的关系，如用方程组的解判断交点个数，用距离公式验证位置关系等。四、考点、考向与解题策略（一）核心考点梳理【★必考内容】1、直线与圆的位置关系判断（选择题、填空题）。2、弦长问题（求弦长、已知弦长求参数）（选择题、填空题、解答题）。3、圆的切线问题（求切线方程、切线长）（选择题、填空题、解答题）。4、圆与圆的位置关系判断（选择题、填空题）。5、两圆的公共弦问题（求公共弦方程、公共弦长）（选择题、填空题）。6、与圆有关的最值问题（斜率型、截距型、距离型）（选择题、填空题、解答题压轴）。7、与圆有关的轨迹问题（解答题）。8、直线与圆的综合应用（与向量、函数、不等式等知识交汇）（解答题）。（二）常见题型及解题步骤1、题型一：求过圆外一点的切线方程【步骤】（1）判断点与圆的位置关系（点在圆外）。（2）讨论斜率是否存在：设切线斜率存在，方程为点斜式。（3）利用圆心到直线的距离等于半径，求出斜率k。（4）若k有一解，需补上斜率不存在的直线，并验证其是否满足相切条件。2、题型二：求直线与圆相交的弦长【步骤】（1）优先选用几何法：求圆心到直线的距离d。（2）利用弦长公式|AB|=2√(r²−d²)求解。3、题型三：已知直线与圆相交弦长，求直线方程或参数【步骤】（1）设出直线方程（注意斜率是否存在）。（2）利用几何法，由弦长公式反解出圆心到直线的距离d。（3）利用点到直线的距离公式，建立关于参数的方程，解之即可。4、题型四：求两圆的公共弦方程及公共弦长【步骤】（1）将两圆方程相减，得到公共弦所在直线的方程。（2）选其中一个圆，求出其圆心到公共弦的距离d。（3）利用该圆的半径r，由弦长公式|AB|=2√(r²−d²)求出公共弦长。5、题型五：求与圆有关的距离最值问题【步骤】（1）明确所求代数式的几何意义（点与点距离、点线距离、斜率、截距）。（2）转化为圆心、定点、定直线与圆上动点的几何关系。（3）利用“点到圆上点的最值等于点与圆心距离加减半径”、“平行线间距离”、“切线斜率”等几何性质求解。（三）易错点警示【★高频失分点】1、忽视直线斜率不存在的情况在设直线点斜式方程时，务必先考虑斜率不存在的情形，即直线x=x₀。尤其是在求解切线方程、弦长问题、以及已知位置关系求参数时，遗漏这种情况会导致失解。2、混淆代数法与几何法的适用场景在判断位置关系时，应优先使用简洁的几何法（dr比较法）。盲目使用代数法不仅计算量大，还容易在复杂的判别式运算中出错。3、在弦长问题中误用弦长公式使用代数法弦长公式|AB|=√[(1+k²)((x₁+x₂)²−4x₁x₂)]时，必须确保直线斜率k存在且已求出。同时，要正确运用韦达定理，注意符号。4、处理两圆内切或外切时，忽略半径的大小关系在使用|r₁−r₂|和r₁+r₂时，要明确哪个半径较大，确保|r₁−r₂|为非负数。在判断内切时，条件是d=|r₁−r₂|，且圆心距不为0。5、在求公共弦方程时，误以为方程相