初中数学九年级上册：用树状图求概率（第一课时）教案

初中数学九年级上册：用树状图求概率（第一课时）教案

一、设计理念与理论依据

本节课的设计立足于《义务教育数学课程标准（2022年版）》的核心要求，以发展学生的“数据观念”和“推理意识”为核心素养导向。概率论作为研究随机现象规律的数学分支，其教学不应止步于公式与技法的机械训练，而应引导学生深入理解随机现象的本质，构建用数学语言描述和分析不确定性的思维框架。树状图作为枚举样本空间的一种直观、结构化的工具，是连接具体随机试验与抽象概率计算的关键桥梁。本设计秉持“以学生为中心”的建构主义理念，强调在真实、富有认知冲突的情境中，引导学生经历从实际问题中抽象出数学模型、探索方法、形成策略、反思优化的完整学习过程。教学过程中，注重渗透分类讨论、有序思考、数形结合等数学思想方法，培养学生思维的严谨性与条理性。同时，通过跨学科视野，将概率问题置于统计学、决策科学乃至日常生活的广阔背景中，使学生体会数学的广泛应用价值，激发其探究不确定世界的理性精神。

二、学习目标分析

1.知识与技能目标：

1.2.理解并复述等可能随机事件的概念，能准确判断一个试验是否为等可能事件。

2.3.掌握用树状图枚举所有等可能结果的方法，能规范、清晰、不重不漏地画出简单随机试验的树状图。

3.4.能根据树状图列出的所有等可能结果，熟练应用古典概型公式P(A)=事件A包含的等可能结果数/所有等可能结果数，计算简单事件的概率。

4.5.能辨别在涉及两步或三步的随机试验中，何时适用列表法，何时更宜采用树状图法，初步形成方法选择的意识。

6.过程与方法目标：

1.7.经历从具体情境中抽象出数学问题、构建树状图模型的过程，体会模型思想在解决问题中的威力。

2.8.通过动手操作、合作探究、对比分析，发展观察、归纳、概括和逻辑推理能力。

3.9.在尝试、纠错、优化树状图绘制规范的过程中，培养有序、系统、严谨的思维品质。

10.情感态度与价值观目标：

1.11.在探究活动中感受数学的条理性和结构性之美，增强学习数学的兴趣和自信心。

2.12.通过对现实世界中不确定性问题的理性分析，形成审慎决策的意识和理性面对风险的态度。

3.13.在小组合作中学会倾听、表达与协作，培养科学的探究精神和实事求是的科学态度。

三、学习者特征分析

九年级学生正处于从形象思维向抽象逻辑思维深化发展的关键期。在知识储备上，他们已经学习了确定事件与随机事件、必然事件与不可能事件、频率与概率的初步概念，对概率的古典定义（等可能性）有初步了解，并已掌握用枚举法（直接列举）求一步试验概率的基本技能。然而，当试验步骤增加（两步或以上）、可能结果数量增多时，学生往往面临枚举杂乱、遗漏或重复的思维困境，这正是引入树状图这一组织化工具的认知生长点。

学生的潜在困难可能在于：

（1）对“等可能”前提的忽视，导致模型误用；

（2）在绘制树状图时，思维的无序性导致分支混乱；

（3）无法将具体情境中的操作（如抽取、抛掷）准确地转化为树状图中的层次和分支；

（4）从复杂的树状图中准确计数特定事件包含的结果数存在困难。

相应的教学策略是：创设认知冲突情境，暴露直接枚举的局限性；通过教师示范、学生模仿、同伴互评，强化树状图绘制的规范性；设计梯度分明的问题链，从两步等可能试验逐步过渡到非等可能或三步试验，在辨析与变式中深化理解；强调“先画图，再标注，后计算”的解题程序，培养良好的解题习惯。

四、教学重点与难点

教学重点：

1.树状图模型的理解与构建：引导学生理解树状图如何系统地、层次化地展示一个随机试验所有可能的结果。

2.利用树状图求等可能事件概率的方法与步骤：包括正确画出树状图，在图上清晰标注所有可能结果，并据此进行概率计算。

教学难点：

1.树状图绘制中的“有序思考”：如何确保在每一层分支中，所有可能情况都被独立、不重不漏地列出。

2.对“等可能性”这一应用前提的深刻理解与自觉审视：学生需能判断所给问题情境是否满足等可能条件，这是正确应用古典概型和树状图法的基石。

3.从具体情境到树状图抽象的思维转换：将生活语言描述的操作（如“放回”与“不放回”）准确地转化为树状图的结构差异。

五、教学策略与方法

为实现深度学习，本节课将采用多元融合的教学策略：

1.情境-问题驱动教学法：以精心设计的真实或拟真问题作为课堂主线，让学生在解决问题的迫切需求中主动建构新知。

2.探究发现式学习：教师不直接呈现树状图，而是引导学生面对复杂枚举任务时，自主探索如何“有策略地”列出所有结果，在探索中“发现”树状图结构的优越性。

3.合作学习与交流辨析：通过小组活动，让学生在绘制、对比、讨论树状图的过程中，互相纠正、启发，深化对方法本质的理解。

4.范例教学与变式训练：教师提供规范范例，随后通过一系列变式问题（如改变试验步骤、条件），锻炼学生灵活应用和迁移知识的能力。

5.信息技术融合：利用动态几何软件或交互式白板，直观演示树状图的生成过程，特别是在处理“放回”与“不放回”等动态变化时，增强可视化和理解效果。

六、教学资源与工具准备

1.教师准备：

1.2.多媒体课件：包含问题情境动画、树状图绘制步骤演示、例题与变式题、课堂练习与小结。

2.3.实物教具：两个不透明的袋子（分别标记A、B）、三种颜色（红、黄、蓝）的小球若干、一枚均匀硬币、一枚均匀骰子。

3.4.学案设计：印有核心问题、探究任务、例题、课堂练习和课后作业的导学案。

4.5.交互式白板或黑板，用于板书关键步骤和学生作品展示。

6.学生准备：

1.7.复习概率的古典定义及一步试验的枚举法。

2.8.直尺、铅笔、彩笔（用于画树状图）。

3.9.分好的学习小组（4人一组为宜）。

七、教学过程设计与实施

（一）创设情境，引发认知冲突（预计用时：8分钟）

活动1：问题呈现

教师利用课件呈现问题：

“小明有一个不透明的A袋，里面装有红、黄两个除颜色外完全相同的小球。他还有一个B袋，里面装有蓝、白两个除颜色外完全相同的小球。小明先从A袋中随机摸出一个球，记录颜色后，再从B袋中随机摸出一个球。请问：他两次摸球，最终摸出的两个球颜色恰好是‘一红一蓝’的概率是多少？”

活动2：初步尝试与暴露困难

教师提问：“这是一个几步的试验？你能直接想到所有可能的结果吗？请尝试列出并计算概率。”

学生独立思考1分钟后，请几位学生口头回答或上台书写。预计学生会尝试直接列举，如：（红，蓝）、（红，白）、（黄，蓝）、（黄，白）。部分学生可能能正确列出并计算概率P(一红一蓝)=1/4。

教师肯定学生的尝试，并追问：“如果A袋里有红、黄、绿三个球，B袋里有蓝、白、黑三个球呢？还能这么轻松地不重不漏地列出来吗？”

学生立即感受到随着可能性的增加，直接列举变得繁琐且易错。

活动3：认知聚焦

教师引导：“当试验从一步变为两步，可能结果增多时，我们需要一种更系统、更直观、更不易出错的方法来帮助我们清晰地列出‘所有可能发生的结果’。今天，我们就来学习这样一种强大的数学工具——树状图。”

设计意图：从简单的两步等可能试验入手，让学生先用旧知（直接枚举）尝试解决，既复习了古典概型，又为引入新工具做好铺垫。通过增加可能性数量，制造认知冲突，使学生切身感受到学习新方法的必要性，激发强烈的求知欲。

（二）探究新知，构建方法模型（预计用时：22分钟）

活动1：概念明晰与示范引领

教师回到最初A袋（红、黄）、B袋（蓝、白）的问题。首先强调应用古典概型的前提：“请判断，从每个袋中摸出一个球，每个球被摸到的可能性相同吗？”（学生回答：是，等可能）

教师宣布：“下面，老师用一种新的‘图’来展示这个试验的所有可能路径。”

教师在黑板中央画一个起点，标注“开始”。

第一步：从起点画出两条等长的分支线，分别指向“红”和“黄”，并说明：“这第一层，代表从A袋摸球的所有可能结果。”在分支旁可标注“A袋”。

第二步：分别从“红”这个节点和“黄”这个节点，各自再画出两条分支，分别指向“蓝”和“白”。并说明：“这第二层，代表在第一次摸出某种颜色后，从B袋摸球的所有可能结果。”在第二层分支旁可标注“B袋”。

第三步：从“开始”到每一个最终的“端点”（如红-蓝、红-白等），形成一条完整的路径。教师用彩色粉笔描出其中一条路径（如红-蓝），并讲解：“这样的一条路径，就代表了试验的一种可能结果。我们称之为一个‘基本事件’或‘一种等可能的结果’。”

第四步：在每条路径的终点，用括号写出该路径代表的结果，如（红，蓝）。最终，图上清晰展示出四条路径：（红，蓝）、（红，白）、（黄，蓝）、（黄，白）。

教师总结图形的形状像一棵倒长的树，引出“树状图”或“树形图”的名称。

活动2：归纳绘制步骤与要点

教师引导学生观察黑板上的树状图，小组讨论并归纳绘制树状图的关键步骤：

1.定层级：明确试验分为几步，树状图就有几层（除起点外）。

2.画分支：从起点开始，每一步画出该步骤所有等可能的结果作为分支。分支要清晰、均匀。

3.标结果：将每条从起点到终点的路径所代表的结果，写在终点处。通常用有序数对、字母组合或文字描述。

4.算总数：终点处的结果个数，就是所有等可能结果的总数（n）。

教师板书强调核心：“不重不漏，条理清晰”。

活动3：首试身手与规范强化

教师出示变式1：“将A袋中的球换成红、黄、绿三个球，B袋不变。请用树状图列出所有可能结果，并计算摸出‘一绿一白’的概率。”

学生独立在学案上绘制。教师巡视，选取有代表性（规范、有细微错误）的作品用实物投影展示。引导学生互评：树状图层次是否清晰？第一步的三个分支是否完整？从每个节点出发的第二层分支是否都是两个？结果标注是否完整？总数计算是否正确（应为3×2=6个）？

通过评议，强化绘图规范：用尺子画线，节点对齐，结果标注整齐。

活动4：方法提炼与公式再认

教师提问：“观察树状图，所有等可能结果的总数，与每一步的可能性数量之间有什么关系？”（引导学生发现：总数=第一步可能数×第二步可能数，初步感受乘法原理）。

“求事件A的概率，在树状图上如何操作？”（引导学生说出：先找出事件A包含的路径终点，数出个数k，则P(A)=k/n）。

教师板书古典概型公式与树状图法的联系，形成程序性知识：“审题→判断等可能性→画树状图→数n与k→代入公式计算”。

设计意图：这是本节课的核心环节。通过教师规范示范，为学生建立正确的“最初表象”。通过学生模仿尝试和同伴互评，将绘图规范内化。通过变式练习，巩固基本技能。通过观察归纳，将具体操作上升到方法论层面，并与已学的概率公式紧密挂钩，形成完整的问题解决策略。

（三）应用深化，拓展思维层次（预计用时：12分钟）

活动1：辨析“放回”与“不放回”

教师提出新情境：“一个不透明的袋子里装有红、黄两个球。小明随机摸出一个球，记录颜色后放回袋子摇匀，再随机摸出一个球。求两次摸到相同颜色的概率。”

学生独立绘制树状图。教师巡视后，请一位学生板演。

板演后，教师提出关键问题：“这个树状图，和刚才从两个不同袋子摸球的树状图，在结构上有什么区别？”（引导学生发现：结构完全一样，都是两层，每层两个分支）。

教师追问：“那么，如果第一次摸出红球后不放回，直接摸第二个球呢？请画出树状图。”

学生绘制。教师选取对比展示。引导学生观察发现：在“不放回”条件下，当第一次摸出红球后，第二次只能从剩下的黄球中摸，因此从“红”节点出发的第二层分支只有“黄”；同理，从“黄”节点出发的第二层分支只有“红”。

教师引导总结：“‘放回’使得每次试验条件相同，树状图同层分支数相同；‘不放回’则改变了试验条件，树状图从不同节点出发的下层分支数可能不同。画图时，必须密切关注题目中的条件描述！”

活动2：初步感受多步试验

教师提出挑战性问题：“抛掷一枚均匀的硬币三次，观察正面（H）反面（T）出现的情况。求恰好出现两次正面的概率。”

引导学生分析这是三步试验。请学生尝试构思树状图应该有几层？每层大致如何？由于分支较多（2^3=8），课堂上只要求列出思路，或画出草图，重点是理解层级的增加。可以请学生在黑板上合作画出前两层。具体计算可作为思考题留待课后完成。

活动3：方法对比与选择意识

教师简短提问：“我们之前还学过用‘列表法’求概率，它适用于什么情况？和树状图法比，各有什么优劣？”

引导学生回忆：列表法通常适用于两步试验，且每一步的结果是有限且便于在表格行列中呈现的情况（如掷两个骰子）。其优点是结果呈现集中，便于查找；缺点是对于非等可能或两步以上试验，或者每一步结果较多时，表格会变得复杂或不适用。树状图则能更清晰地展示多步、分支复杂（包括非等可能）的过程，直观性强。

教师小结：选择方法要因题而异。目前我们重点掌握树状图法。

设计意图：本环节是技能的深化与思维的拓展。通过“放回”与“不放回”的对比，引导学生关注问题条件对树状图结构的决定性影响，培养审题的严谨性。通过三步试验的尝试，将方法推向更一般的情形。通过方法与列表法的简短对比，初步培养学生根据问题特征选择优化解法的意识，避免思维固化。

（四）巩固练习，促进内化迁移（预计用时：10分钟）

学生独立完成学案上的课堂练习部分。练习设计体现梯度：

基础题：

1.从甲、乙、丙三人中随机选派两人参加活动，试用树状图表示所有可能结果，并计算甲被选中的概率。（考察将实际问题转化为两步有序选择：第一步选第一人，第二步在剩余人中选第二人，注意“不放回”特征）。

2.同时抛掷两枚均匀的硬币，求一枚正面向上、一枚反面向上的概率。（此题既可用树状图，也可用列表，鼓励学生用树状图完成，巩固方法）。

提高题：

3.一个转盘被分成红、黄、蓝三个面积相等的扇形。转动转盘两次，求两次指针都落在红色区域的概率。（考察学生对“等可能”的再认，以及有“放回”的两步试验）。

4.小红的书包里有语文、数学、英语三本教材，她随机依次拿出两本（不放回）。用树状图表示所有可能结果，并计算第一本拿出数学书的概率。（考察对“依次”即有序的理解）。

教师巡视，进行个别指导。完成后，利用投影讲评典型解法，重点纠正练习中暴露出的对“有序/无序”、“放回/不放回”理解不清导致的绘图错误。

（五）课堂小结，构建知识网络（预计用时：5分钟）

教师引导学生以开放式问题进行总结：

“通过本节课的学习，

1.你学到了什么新的数学工具？它的主要作用是什么？（树状图，系统、清晰地列出所有等可能结果）

2.用树状图求概率的一般步骤是怎样的？（五步法）

3.在画树状图时，最容易出错的地方是什么？你有什么好建议提醒同学们？（审题不清，忽视等可能前提；分支画漏；‘放回’与‘不放回’混淆。建议：慢审题，标条件，按步骤画）

4.树状图背后体现了什么样的数学思想？（分类讨论、有序思考、数形结合、模型思想）”

教师最后用结构化的板书（或课件）进行总结升华，将树状图置于概率求解方法的知识网络中。

（六）布置作业，延伸学习空间

必做题：

1.课本对应章节的练习题。

2.设计一个两步的等可能随机试验情境，并用树状图求出其中某个指定事件的概率。

选做题/探究题：

3.研究“石头、剪刀、布”游戏。甲乙两人随机出手一次，用树状图分析所有可能结果，并求甲获胜、平局的概率各是多少。

4.（预习导向）尝试用树状图分析“从一副扑克牌中（去掉大小王）随机抽一张，记下花色后放回洗匀，再抽一张”和“不放回连续抽两张”两种情况下，两张牌花色相同的概率。思考表格法是否适用于此题？

八、板书设计

板书左侧区域用于呈现核心流程与要点，右侧区域作为树状图绘制示范和学生作品展示区。

左侧主板书：

课题：用树状图求概率

一、适用情境：两步或以上随机试验，求等可能事件的概率。

二、核心工具：树状图（树形图）

三、绘制步骤：

1.审题定层级（几步？）

2.起点画分支（所有可能）

3.路径标结果（不重不漏）

4.数出n与k

四、概率计算：P(A)=k/n

五、关键注意：

1.前提：等可能性！

2.条件：放回？不放回？（影响分支）

3.思维：有序、分类。

右侧副板书：（用于例题示