有理数除法的法则探究与素养发展（初中数学七年级教案）

有理数除法的法则探究与素养发展（初中数学七年级教案）

一、教学内容分析

《义务教育数学课程标准（2022年版）》强调，在数与运算领域，学生需“掌握有理数的加、减、乘、除运算”，并“理解运算律，发展运算能力”。本节“有理数的除法”处于有理数运算体系的枢纽位置。在知识技能图谱上，它既是“有理数乘法”运算的逆运算，也是“有理数乘方”、“有理数混合运算”乃至后续分式、方程学习的逻辑基石。其认知要求从“识记”法则，上升到“理解”除法法则与乘法法则的辩证统一，最终能够“应用”法则进行准确、灵活的计算。从过程方法路径审视，本节课是培养学生“转化与化归”数学思想的绝佳载体——将除法运算转化为乘法运算，体现了将未知问题化归为已知模型的思维策略。从素养价值渗透来看，法则的归纳过程可以锤炼学生的数学抽象与逻辑推理素养；在解决实际问题的应用中，可以发展其模型观念；而对运算合理性、简洁性的追求，则内含着理性精神与审美感知的培育。

基于“以学定教”原则，学生的认知起点是有理数的乘法运算及倒数的概念，大部分学生能够进行正有理数间的除法运算。然而，潜在障碍集中体现于两点：其一，对“两数相除，同号得正，异号得负”这一符号法则的抽象概括过程可能感到困难；其二，长期形成的“除法”与“乘法”运算在形式上的割裂认知，使得理解“除以一个数等于乘以这个数的倒数”这一化归思想的本质存在思维跨度。在教学过程中，将通过创设认知冲突情境、组织从特殊到一般的归纳活动，动态评估学生的理解水平。针对理解速度较快的学生，将引导其深入探究法则的算理依据；对于需要更多支持的学生，则通过提供具体的数例“脚手架”、直观的图表支持以及同伴互助，帮助其完成抽象过程，确保所有学生都能在最近发展区内获得成功体验。

二、教学目标

1.知识目标：学生通过探究活动，能准确叙述有理数除法法则（商的符号与绝对值确定方法），并能运用法则熟练进行两个有理数的除法运算（除数不为零），理解除法可以转化为乘法的算理，建立乘除法运算的统一性认知。

2.能力目标：在从具体实例归纳一般法则的过程中，学生能经历观察、比较、归纳、概括的完整过程，提升数学抽象与合情推理能力；在运用法则解决问题的过程中，能根据算式的结构特征，合理选择运算方法，发展运算能力与信息迁移能力。

3.情感态度与价值观目标：在合作探究与交流中，学生能体会到数学知识间的内在联系与和谐统一之美，激发对数学逻辑性的欣赏；通过克服符号法则归纳的难点，增强学习数学的自信心和克服困难的意志。

4.数学思维目标：重点发展学生的转化与化归思维，使其能够有意识地运用“将除法运算转化为乘法运算”这一策略简化问题；同时，通过法则的归纳过程，强化从特殊到一般、分类讨论的数学思想方法。

5.评价与元认知目标：学生能够在练习后，依据运算步骤的规范性和结果的准确性进行自我检查与同伴互评；能在小结环节反思法则探究的关键步骤，梳理“遇到新问题如何转化为旧知识”的思维路径，初步形成策略性学习的意识。

三、教学重点与难点

教学重点：有理数的除法法则及其运用。确立依据在于，该法则是本章“有理数运算”的核心概念之一，是构建完整有理数运算体系的必备环节。从学科大概念看，它深化了“运算”与“逆运算”的关系理解；从学业评价看，熟练、准确地进行有理数四则运算是初中数学的基础性、高频考点，直接关系到后续代数式的运算、方程求解等能力的形成。

教学难点：有理数除法法则的归纳过程，以及除法可以转化为乘法（即“除以一个数等于乘以这个数的倒数”）的算理理解。难点成因在于，这需要学生跨越具体数值计算的层面，进行符号化的抽象概括，并实现认知结构的重组——打破乘、除法作为两种独立运算的固有观念，建立起以乘法为核心的运算统一观。这要求一定的抽象思维能力和逻辑连贯性。突破方向在于，设计由浅入深、从特殊到一般的系列化探究任务，提供丰富的具体算例作为归纳的“垫脚石”，并引导学生与乘法法则进行类比与对比，在联系中建构新知。

四、教学准备清单

1.教师准备

1.1媒体与教具：交互式多媒体课件（内含探究活动引导、例题、分层练习题）；实物投影仪。

1.2学习材料：设计并打印《有理数除法探究学习任务单》（包含“探究活动记录表”、“分层练习区”和“我的收获与疑问”）。

2.学生准备

2.1知识预备：复习有理数乘法法则及倒数的概念。

2.2物品：草稿本、笔。

3.环境布置

3.1座位安排：四人小组合作式座位，便于课堂讨论与探究。

五、教学过程

第一、导入环节

1.情境创设，引发冲突：同学们，我们已经是有理数乘法运算的“熟练工”了。今天，我们来玩一个“数字归零”的思维游戏。请看屏幕：已知“（）×4=-12”，大家能迅速告诉我括号里填几吗？对，是-3，因为（-3）×4=-12。好，反应很快！那么，现在问题变了：“（）÷4=-3”，你还能直接写出答案吗？或者说，已知积和其中一个乘数求另一个乘数，我们会做；但直接给出一个除法算式，我们该如何计算呢？

1.1.问题提出与路径明晰：这就是我们今天要攻克的新堡垒——有理数的除法。其实啊，大家刚才已经不知不觉用到了除法和乘法的紧密联系。我们这节课，就沿着“联系”这条路走下去，一起探究有理数除法的计算法则，看看它和我们熟悉的老朋友——乘法，到底有着怎样奇妙的关系。请大家拿出《学习任务单》，我们的探索之旅正式开始。

第二、新授环节

###任务一：从“逆运算”关系，初探除法计算

教师活动：首先，聚焦导入中的问题。“（）×4=-12”和“（-12）÷4=（）”其实表示的是同一个数量关系，即寻找一个数，使它乘以4等于-12。因此，我们可以确信（-12）÷4=-3。类似地，教师板书三组关联算式：①6×2=12，则12÷2=6；②（-6）×2=-12，则（-12）÷2=-6；③6×（-2）=-12，则（-12）÷（-2）=6。引导学生观察并思考：“看看这三组算式，被除数、除数和商的符号之间，有没有什么规律可循？先别急着说完整，小组内互相说说你的发现。”

学生活动：观察教师板书的算式，结合“除法是乘法的逆运算”这一基本关系，进行小组讨论。尝试用自己的语言描述每组算式中符号的变化情况，例如：“正数除以正数得正”，“负数除以正数得负”，“负数除以负数得正”。可能对“正数除以负数”的情况产生疑问。

即时评价标准：1.能否准确建立每组乘、除法算式之间的对应关系。2.讨论时，观点是否基于具体的算式依据。3.能否初步发现符号变化的部分规律。

形成知识、思维、方法清单：1.★除法是乘法的逆运算：这是探究有理数除法法则的逻辑起点。已知积和一个乘数求另一个乘数，可利用此关系确定商。2.▲归纳法的启动：从有限的、具体的特殊例子出发，寻找规律，是数学发现的重要方法。教师要鼓励学生大胆猜测。3.认知冲突预设：目前例子不全，学生归纳会遇到障碍（如缺“正÷负”），这正是驱动进一步探究的动力。

###任务二：引入倒数，实现运算转化

教师活动：同学们发现了一些符号规律，但好像例子还不够全。我们换个思路：既然除法是乘法的逆运算，能不能想办法把除法“变成”乘法来计算呢？回顾一下，什么样的两个数相乘等于1？对，互为倒数。那么，计算8÷2，我们是否可以看成是求“8乘以多少等于2”？不，这样不对。让我们直接看：8÷2=4，而8×(1/2)等于多少？也是4！咦，这说明“除以2”和“乘以2的倒数(1/2)”结果相等。请大家立刻验证一下刚才的（-12）÷4，用乘以4的倒数（1/4）的方法算一算，（-12）×(1/4)=-3，结果完全一致！

学生活动：跟随教师的引导，理解“除以一个数”可能与“乘以这个数的倒数”相等。利用刚复习的倒数知识，对教师给出的例子进行动手计算验证，感受这种转化方法的可行性，并产生惊讶和认同感。

即时评价标准：1.能否准确说出给定非零数的倒数。2.通过计算验证，能否确认“除以某数”与“乘以该数的倒数”在已验证案例中结果相同。

形成知识、思维、方法清单：1.★核心转化思想：除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数。这是将除法运算转化为乘法运算的桥梁，是本节的“金钥匙”。2.验证意识：对于新猜想，需要通过具体计算进行验证，这是严谨的科学态度。3.关键提醒：必须强调除数不能为0，因为0没有倒数。这是运算成立的前提条件。

###任务三：归纳一般化法则（符号与绝对值）

教师活动：好了，现在我们手握“转化”这把利器。那么，有理数除法的一般法则如何表述呢？既然可以转化为乘法，那么商的符号由谁决定？对，由乘法法则决定。商的绝对值呢？大家独立完成《任务单》上的表格：计算（-15）÷3，（-15）÷（-3），15÷（-3），并分别写出转化为乘法后的算式及结果。然后，请尝试脱离具体数字，用文字或数学语言概括有理数除法法则。

学生活动：独立完成表格计算，通过具体操作巩固“转化”步骤。在计算后，观察商的符号、绝对值与被除数、除数的符号、绝对值之间的关系。尝试用语言概括法则：“同号两数相除得正，异号两数相除得负，并把绝对值相除”；或者“除以一个数等于乘以这个数的倒数”，并认识到后者是更本质的法则。

即时评价标准：1.转化过程是否正确（除法变乘法，除数变倒数）。2.概括的法则语言是否准确、简洁。3.能否理解两种表述方式（符号绝对值法则与转化法则）本质一致，后者更具一般性。

形成知识、思维、方法清单：1.★有理数除法法则（两种表述）：①符号与绝对值法则：同号得正，异号得负，绝对值相除。②转化法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。★教学提示：要引导学生理解①是②在具体运算时的推论，②是更本质的算理。2.分类讨论思想：法则的归纳隐含了对被除数、除数符号情况（正、负）的分类讨论。3.运算步骤：通常先确定符号，再计算绝对值；或者先转化为乘法，再按乘法法则计算。鼓励算法优化。

###任务四：法则应用与辨析（对比乘法）

教师活动：法则我们已经找到了，现在来练练手，并思考一个深刻的问题。板演或口算几题：①(-36)÷9；②0÷(-5)；③(-1/2)÷(-2/3)。特别关注0的除法，强调0除以任何非零数都得0。然后，抛出核心讨论题：“请大家对比有理数的乘法法则和除法法则，它们有什么相同点和不同点？为什么会有这些异同？”引导学生从符号法则和运算本身的关系去思考。

学生活动：运用法则进行计算，特别注意运算的步骤和结果的准确性。对于0的除法形成清晰认识。小组讨论乘除法法则的异同，可能发现：符号法则完全一致（同号得正，异号得负）；除法有“转化为乘法”的特性，而乘法没有；除法中除数不能为0，而乘法中乘数可以为0。从乘除法互为逆运算的角度理解这种联系的必然性。

即时评价标准：1.计算结果的准确性。2.对“0除以任何非零数得0”的理解。3.对比分析的深度，能否从逆运算的角度解释异同。

形成知识、思维、方法清单：1.★0的除法：0除以任何一个不等于0的数，都得0。这是法则的重要特例。2.乘除运算的统一性认识：通过对比，深刻理解除法可以统一于乘法，二者在符号法则上的一致性，体现了数学的和谐与简约之美。3.易错点警示：除法中“除数不能为0”是铁律；先确定符号可减少错误。

###任务五：回归问题，策略选择

教师活动：现在，让我们回到课堂最初的那个“数字归零”游戏。对于一般的算式如(-24)÷6，我们有几种算法？可以“先定号（异号得负），再算绝对值（24÷6=4），结果是-4”；也可以“转化为乘法：(-24)×(1/6)=-4”。请大家选择自己喜欢的方法，快速计算几道题。然后提问：“在什么情况下，直接用法则计算更便捷？什么情况下，转化为乘法更便捷？比如遇到分数除法时……”

学生活动：用两种方法计算教师给出的题目，感受不同策略的优劣。通过实践，可能总结出：对于整数除法，直接用法则（定号，算绝对值）往往更快；对于分数除法，转化为乘法（乘以倒数）则几乎是必然选择，因为避免了复杂的分数除法计算。体会灵活选择策略对提高运算效率的意义。

即时评价标准：1.能否用两种方法正确计算。2.能否根据算式特点，初步形成策略选择的意识。

形成知识、思维、方法清单：1.运算策略的优化：根据算式数字特征（整数、分数、小数等），灵活选择直接用法则或转化为乘法进行计算，是运算能力高级阶段的体现。2.通性通法：对于分数、小数的除法，转化为乘法是普遍适用的、更简洁的方法。3.应用意识：法则学习的最终目的是为了准确、高效地解决问题。

第三、当堂巩固训练

本环节设计三层练习，实施“练习-反馈-提升”循环。

1.基础层（全员过关）：计算：①18÷(-3)；②(-0.75)÷0.25；③0÷(-100)；④(-4/5)÷(-2)。反馈机制：学生独立完成后，同桌交换批改，教师巡视收集共性错误，利用实物投影展示典型正确与错误案例进行简要点评。“看这位同学的步骤，先定符号‘异号得负’，再算绝对值，非常清晰。而这个错误案例，忘记先定符号了，大家要引以为戒。”

2.综合层（情境应用）：解决实际问题：某气象站测得，山峰气温随高度变化规律为：每升高100米，气温下降0.6℃。已知山脚气温为2℃，测得山顶气温为-4℃，请问这座山的高度是多少米？反馈机制：学生尝试列式计算。教师请一位学生上台讲解思路，重点考察如何将实际问题抽象为有理数除法算式（[-4-2]÷(-0.6)×100），并评价其建模过程。

3.挑战层（思维拓展）：已知|a|=5，|b|=2，且ab<0，求a÷b的值。反馈机制：供学有余力的学生思考。提示结合绝对值和乘法的符号条件，先推理出a、b的具体取值情况（两组解）。随后教师公布思路要点，引导学生体会分类讨论的完整性。

第四、课堂小结

1.知识整合：同学们，经过一堂课的探索，现在请你闭上眼睛回顾一下，关于有理数的除法，你学到了哪几个最关键的点？试着用你自己的话，画一个简单的思维导图或知识链条。待会儿请同学分享。（留白1-2分钟）分享环节：“我学到了‘转化’这个核心方法，还有符号法则，还有0的除法……”

2.方法提炼：教师结合学生分享，用板书进行结构化总结：①一个核心转化：除法→乘法（乘以倒数）。②两条法则表述：符号绝对值法则（运算时）；转化法则（本质上）。③一个特别规定：0除以任何非零数得0；除数永远不为0。④一种重要思想：化归思想（将新的、复杂的问题转化为旧的、简单的问题）。

3.作业布置与延伸：宣布分层作业（详见第六部分）。并提出一个延伸思考题供大家课后琢磨：“我们学了加、减、乘、除，现在有没有办法把减法也‘统一’成加法呢？预习一下课本，或许能有惊喜发现。”

六、作业设计

1.基础性作业（必做）：

(1)完成教材本节后配套的基础练习题组。

(2)整理本节课的课堂笔记，用自己的语言复述有理数除法法则（两种形式）。

2.拓展性作业（建议大部分同学完成）：

(1)生活数学：查找资料，了解银行存款利率、商品打折等实际问题中，哪些计算可能会用到除法运算，并尝试自己编一道涉及有理数除法的应用题。

(2)计算与辨析：计算(-10)÷2×(-5)与(-10)÷[2×(-5)]，它们的结果一样吗？这说明了混合运算中什么的重要性？

3.探究性/创造性作业（选做）：

探究活动：我们已经知道，在有理数范围内，乘法有交换律、结合律、分配律。请以小组为单位，通过设计具体算式进行计算验证的方式，探究：有理数的除法运算，是否也满足交换律、结合律、分配律？（提示：举出例子支持或反驳你的结论）。将你们的发现写成一份简短的“数学探究小报告”。

七、本节知识清单、考点及拓展

1.★除法与乘法的逆运算关系：若a×b=c(b≠0)，则c÷b=a。这是理解除法算理的根基。

2.★有理数除法法则（转化形式）：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。即a÷b=a×(1/b)(b≠0)。这是最核心、最本质的法则。

3.★有理数除法法则（运算形式）：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。这是直接进行除法运算时的操作指南。

4.★0的除法：0除以任何一个不等于0的数，都得0。即0÷a=0(a≠0)。特别注意，0不能作除数。

5.倒数的复习与应用：乘积是1的两个数互为倒数。求一个数（分数、整数）的倒数是进行除法转化的关键步骤。0没有倒数。

6.化归思想：将有理数的除法运算转化为已熟知的乘法运算来解决，这种“转化”是数学中最基本、最重要的思想方法之一。

7.符号法则的一致性：有理数乘法和除法在确定结果的符号时，法则完全相同（同号得正，异号得负），体现了运算的和谐统一。

8.运算策略选择：对于简单的整数除法，可先定符号再算绝对值；对于分数或小数的除法，通常转化为乘法计算更为简便。鼓励灵活选择。

9.▲运算律的迁移思考：除法不满足交换律（如6÷3≠3÷6）、结合律（如(12÷6)÷2≠12÷(6÷2)）。了解这一点能深化对运算本质的理解。

10.易错点：除数不为零：在任何情况下都要警惕除数是否为0，这是算式是否有意义的前提。

11.易错点：运算顺序：在乘除混合运算中，要严格按照从左到右的顺序进行，或利用括号改变顺序，避免误用结合律。

12.考点：直接计算：给出两个有理数进行除法运算，是基础考题。

13.考点：化简符号：如化简-(-a)÷b这类含有多个符号的算式。

14.考点：混合运算：在加减乘除混合运算中考查除法法则的应用及运算顺序。

15.考点：与绝对值、倒数结合：如已知条件求值，综合考查多个概念。

16.应用：解决实际问题：在速度、时间、路程，单价、数量、总价等正反比例关系问题中建模。

17.▲拓展：倒数与1的关联：任何数与其倒数的乘积为1，这是倒数定义的出发点，也是除法转化恒成立的保证。

18.▲拓展：从运算角度看数系：有理数集对加、减、乘、除（除数不为0）运算是封闭的，这构成了我们目前进行自由运算的“安全区域”。

八、教学反思

（一）目标达成度评估

从预设的课堂流程看，核心知识目标（法则的归纳与应用）和能力目标（探究与运算能力）通过五个递进式任务得到了扎实的推进。学生在“任务三”中的概括表现和“巩固训练”中的答题正确率，可作为主要评估证据。情感与思维目标渗透于探究的整个过程，尤其在“任务四”的乘除法对比讨论中，部分学生能主动提及“统一性”、“转化”，表明相关目标初步达成。元认知目标在小结环节的学生自主梳理中得到一定体现，但深度有待加强。

（二）教学环节有效性分析

1.导入环节：以乘法逆运算设问切入，直接建立新旧知识冲突，简洁有效，迅速定向了本节课的核心问题。“数字归零”的游戏感在一定程度上激发了好奇。

2.新授环节：五个任务构成了逻辑严密的认知支架。任务一制造“不全”的悬念；任务二引入“转化”突破关键；任务三实现概括升华；任务四深化理解辨析；任务五回归应用与策略优化。这个序列符合从具体到抽象、从知识到方法的认知规律。其中，“转化”思想的引出是承上启下的关键点，预设的教学语言如“我们换个思路”、“手握‘转化’这把利器”起到了较好的思维导向作用。

3.巩固与小结环节：分层练习满足了差异需求，实际问题建模题有效考察了知识迁移能力。小结引导学生自主梳理，但时间可能紧张，部分学生的结构化总结可能流于表面，需在后续课时中持续训练。

（三）学生表现预设与差异化应对

预设中，约70%的学生能紧跟任务序列，顺利完成法则建构与应用。对于约20%基础较弱的学生，在任务一和任务三的抽象概括处可能出现困难。对策是：