初中数学九年级上册“图形的相似”单元复习导学案

初中数学九年级上册“图形的相似”单元复习导学案

一、复习目标与核心素养锚定

【基础·必备知识重构】学生能够系统回顾比例线段、相似多边形、相似三角形的判定与性质、位似图形等核心概念，精准理解线段的比、成比例线段、黄金分割、相似比、位似比等关键术语，构建完整的知识体系。

【重点·关键能力提升】学生能够熟练运用相似三角形的判定定理（AA、SAS、SSS）解决几何证明问题；能够灵活运用相似三角形的性质（对应边成比例、对应高、中线、角平分线及周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方）进行几何计算；能够运用“A”型和“X”型等基本图形分析复杂图形中的相似关系。【高频考点】

【难点·综合思维培养】学生能够在动态几何问题、函数背景下识别和构造相似三角形，建立方程模型求解；能够综合运用相似形与方程、函数、三角函数等知识解决实际问题（如测量高度、宽度），体会数学模型思想。【热点】【重要】

【素养·观念浸润升华】通过复习，进一步发展学生的几何直观、空间观念与逻辑推理能力，感悟类比、数形结合、分类讨论及转化思想在数学学习中的应用，提升数学抽象和数学建模的核心素养。

二、知识体系构建与核心考点精析

（一）知识逻辑框架梳理（回顾与重构）

本章知识以“比例”为基石，以“相似”为核心，以“位似”为延伸。其内在逻辑是：从研究形状相同的图形（相似图形）出发，将其一般化得到相似多边形，再聚焦到最基本的相似多边形——相似三角形。通过研究相似三角形的判定与性质，进而利用其解决实际测量问题，并最终将其特殊化，研究一种位置特殊的相似——位似，实现图形的放大与缩小，并借此沟通了相似与坐标变换的联系。

（二）核心考点分层精讲

【基础·核心概念辨析】

1.比例线段与黄金分割：理解线段的比、成比例线段的概念，掌握比例的基本性质及其变形（合比、等比性质）。【基础】记忆黄金分割的定义、黄金比（≈0.618）及其几何意义，能够计算黄金分割点分线段得到的两条线段长度。【高频考点】

2.相似多边形：两个边数相同的多边形，如果对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做相似比。性质：对应角相等，对应边成比例，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。

3.相似三角形：定义与相似多边形一致。是本章的核心研究对象。

【重点·相似三角形的判定与性质】

4.判定定理：【重要】

（1）两角分别相等的两个三角形相似（AA）。这是最常用的判定方法。

（2）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似（SAS）。使用此定理时，必须确保角是两成比例边的夹角。

（3）三边成比例的两个三角形相似（SSS）。

（4）特殊：直角三角形相似的判定（HL）：斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似。

5.性质定理：【重要】【高频考点】

（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例。

（2）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。

（3）相似三角形的周长比等于相似比。

（4）相似三角形的面积比等于相似比的平方。

【难点·相似模型归纳】

6.“A”字型与“8”字型（又称“X”型）：这是由平行线构造的最基本相似模型。如图，DE∥BC，则△ADE∽△ABC（A字型）；若直线DF与BC平行且相交，则构成8字型。

7.子母型（直角三角形斜边上的高）：在Rt△ABC中，CD⊥AB于D，则△ACD∽△ABC∽△CBD。此模型常用于射影定理的推导。

8.一线三等角型（K型图）：在同一直线上依次有三个相等的角，往往可以构造出左右两个三角形相似。特别地，当中间一个角为直角时，即为“一线三垂直”模型，在函数与几何综合题中应用广泛。【难点】【热点】

9.旋转型（手拉手型）：将一个三角形旋转一定角度后，与另一个三角形构成相似。其特点是有一对顶点重合，且有两边成比例夹角相等，往往伴随另一对相似的三角形出现。

【拓展·图形的位似】

10.定义：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行（或在同一直线上），那么这两个多边形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。

11.性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比。

12.应用：在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将一个图形放大或缩小，其对应点的坐标变化规律是：将原图形各点的横纵坐标都乘以k或-k（k为位似比）。

三、教学实施过程（核心环节，分层推进，精准施教）

（一）诊断铺垫，唤醒记忆（5分钟）

教师通过一组快速抢答题，引导学生回顾本章核心概念，激活旧知。

问题1：已知线段a=2cm，b=3cm，c=4cm，d=6cm，这四条线段是否成比例？

问题2：两个五边形相似，一组对应边的比是2:3，那么它们的面积比是多少？

问题3：如图，△ABC中，DE∥BC，AD:DB=1:2，则△ADE与△ABC的相似比是多少？

问题4：什么是黄金分割？黄金分割比大约是多少？

【设计意图】通过简单具体的实例，快速扫描基础知识，发现学生知识盲区，为后续针对性复习奠定基础。

（二）体系建构，思维导图（8分钟）

教师引导学生以小组合作形式，在白板上补充完善“图形的相似”思维导图。教师巡堂指导，选取典型作品进行展示与点评，最终师生共同形成本章知识网络。

【主干】图形的相似

【一级分支】比例线段→比例性质、黄金分割

【一级分支】相似多边形→定义、性质

【一级分支】相似三角形→判定（AA,SAS,SSS,HL）、性质（边、角、重要线段、周长、面积）、基本模型（A字、X字、子母、一线三等角）

【一级分支】位似图形→定义、性质、坐标变换

【设计意图】将零散的知识点系统化、网络化，帮助学生从整体上把握知识间的内在联系，形成良好的认知结构。

（三）典例精析，模型突破（20分钟）

本环节采用“一题多变”、“一题多解”的方式，选取典型例题，聚焦核心考点与难点。

【高频考点1】相似三角形的判定与性质综合（“A”字型与“X”字型融合）

例题1：如图，在△ABC中，D为边BC上一点，E为边AD上一点，连接BE并延长交AC于点F，连接CF，且满足∠BED=∠BAC。

（1）求证：△ABE∽△ADC；

（2）若AE=2，ED=1，AB=3，求AC的长。

【解析】

（1）关键点：将已知角∠BED转化为其补角∠AEB等于∠BAC的补角∠DAC。引导学生发现，由∠BED=∠BAC，可得∠AEB=∠DAC。又因为∠BAE=∠DAC（公共角？注意观察，需证明∠BAE=∠ADC或其他角）。进一步分析，由∠AEB=∠DAC，结合对顶角或三角形内角和，可证得另一组角相等，从而得证。

（2）利用（1）中的相似关系，得到比例式AB:AE=AC:AD，代入已知数据即可求得AC。

【变式训练】将条件改为“D为BC中点，∠BED=∠BAC”，结论该如何变化？

【设计意图】此题融合了“A”字型和“8”字型的变形，考查学生从复杂图形中识别基本模型、寻找等角关系的能力，是判定与性质的综合运用。【重要】【高频考点】

【难点2】“一线三等角”模型的识别与应用

例题2：在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，E是BC边上的一个动点（不与B、C重合），过点E作EF⊥AE，交CD边于点F。

（1）求证：△ABE∽△ECF；

（2）当BE为何值时，CF的长度最大？并求出这个最大值。

【解析】

（1）引导学生观察：在直线BC上，点E处出现了两个直角（∠AEF=90°），结合矩形的直角∠B和∠C，构成了典型的“一线三垂直”模型（“一线三等角”的特殊情况）。通过同角的余角相等，易证∠BAE=∠CEF，从而由AA判定△ABE∽△ECF。

（2）设BE=x，则EC=6-x。由（1）中相似，可得AB:EC=BE:CF，即4:(6-x)=x:CF。用含x的代数式表示出CF=-(1/4)x²+(3/2)x，这是一个开口向下的二次函数。利用二次函数性质，在顶点处即x=3时，CF取最大值9/4。注意验证x=3是否在取值范围内。

【设计意图】将几何最值问题与二次函数相结合，体现了知识间的横向联系。此题不仅考查了相似模型的识别，更考查了将几何问题代数化的能力，是代数与几何综合题的典型代表。【难点】【热点】

【难点3】动态几何中的分类讨论

例题3：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm。点P从点A出发，沿AB方向以2cm/s的速度向终点B匀速运动；点Q从点C出发，沿CA方向以1cm/s的速度向终点A匀速运动。当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动。设运动时间为t秒。

（1）当t为何值时，以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？

【解析】

（1）首先计算AB=10cm。运动t秒后，AP=2t，AQ=6-t。

（2）关键点：△APQ与△ABC有公共角∠A。因此，要使两三角形相似，只需保证夹∠A的两边对应成比例即可。但由于未明确对应关系，需分两种情况讨论：

①当△APQ∽△ABC时，对应边为AP:AB=AQ:AC，即2t:10=(6-t):6，解得t=30/11。

②当△APQ∽△ACB时，对应边为AP:AC=AQ:AB，即2t:6=(6-t):10，解得t=18/13。

最后需检验两个解均符合题意（0<t≤5）。

【设计意图】动态几何问题是中考的压轴题常客，其核心在于“动静结合，以静制动”。此题训练学生在运动变化中抓住不变量（公共角），并对可能出现的相似对应关系进行分类讨论，培养学生思维的严谨性和深刻性。【难点】【高频考点】

（四）综合拓展，实际应用（7分钟）

例题4：（测量问题）周末，小华和小亮想用所学知识测量校园内旗杆的高度。由于旗杆底部不能直接到达，他们采用了如下方案：

如图，小华在点C处竖起一根2米高的标杆CD，此时小亮在点E处看到标杆顶端D和旗杆顶端A在一条直线上。测得CE=3米，小亮眼睛距地面的高度EF=1.5米。然后小华后退至点G处，再次竖起同一根标杆，此时小亮在点H处再次看到标杆顶端和旗杆顶端在一条直线上，测得GH=8米，点B、C、E、G、H在同一水平线上，且AB⊥BH，CD⊥BH，EF⊥BH。请你根据以上数据，帮助小华和小亮计算出旗杆AB的高度。

【解析】

本题是相似三角形在测量中的经典应用。需要构造相似三角形模型。

设BC=x，AB=y。

在第一次观测中，过点F作FM⊥AB于M，交CD于N。则△FDN∽△FAM。可得(AB-EF)/(CD-EF)=(BC+CE)/CE，即(y-1.5)/(2-1.5)=(x+3)/3。①

在第二次观测中，同理，过点H作HP⊥AB于P，交CD于Q。则△HDQ∽△HAP。可得(y-1.5)/(2-1.5)=(BC+CG+GH)/(CG+GH)？需仔细分析距离关系。更清晰的做法是，利用相似三角形对应高比等于相似比，列出关于x和y的方程组，解之即可。

【设计意图】引导学生将实际问题抽象为数学问题，构建相似三角形模型，培养学生数学建模的核心素养。同时，让学生体会数学在生活中的广泛应用。【重要】【热点】

（五）当堂检测，反馈矫正（5分钟）

教师分发检测小条，设置3-4道小题，涵盖比例、判定、性质、位似等核心内容，限时完成。题目难度分层，既有基础再现，也有变式提升。完成后小组内互批或教师收齐部分批阅，及时获取反馈信息。

检测题示例：

1.【基础】已知△ABC∽△DEF，相似比为3:1，且△ABC的面积为18，则△DEF的面积为______。

2.【重点】如图，D是△ABC的边AB上一点，连接CD，若AD=2，BD=4，∠ACD=∠B，求AC的长。

3.【难点】在平面直角坐标系中，已知点A(4,2)，B(2,-2)，以原点O为位似中心，将△ABO缩小为原来的一半，则点A的对应点A‘的坐标是______。

【设计意图】通过即时检测，检验学生对本节课复习内容的掌握程度，为后续的教学调整提供依据。

（六）课堂小结，反思提升（2分钟）

师生共同回顾本节课复习的重点内容：

1.知识层面：比例的性质，相似三角形的判定与性质，相似模型，位似。

2.方法层面：类比学习法（相似与全等），建模思想（实际应用题），分类讨论思想（动态相似），数形结合思想（函数与相似综合）。

3.素养层面：几何直观、逻辑推理、数学建模。

【设计意图】引导学生从知识、方法、素养三个维度进行总结反思，使学习成果系统化、深刻化。

（七）分层作业，个性发展（课后）

A层（基础巩固）：完成复习题中关于比例、相似多边形、相似三角形基本判定的题目。

B层（能力提升）：整理本节课涉及的相似模型，并寻找或自编一道运用“一线三等角”模型解决的题目。

C层（拓展探究）：查阅资料，了解位似变换在生活中的应用