竞赛数学高中试题及答案

竞赛数学高中试题及答案一、单选题（每题2分，共20分）1.已知集合A={x|x^2-3x+2=0}，B={x|x^2-ax+1=0}，若B⊆A，则实数a的取值集合为（）（2分）A.{1,2}B.{1}C.{2}D.{0,1,2}【答案】D【解析】集合A={1,2}，当B=∅时，Δ=a^2-4＜0，得-2＜a＜2；当B≠∅时，B={1}或B={2}，得a=1或a=2。综上，a∈{0,1,2}。2.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值为（）（2分）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】f(x)=|x-1|+|x+2|表示数轴上x对应点到1和-2对应点的距离之和，最小值为3。3.若复数z满足|z|=1，则z^2021+1的值可能是（）（2分）A.1B.-1C.2D.0【答案】B【解析】设z=cosθ+isinθ，则z^2021=cos(2021θ)+isin(2021θ)，z^2021+1=cos(2021θ)+1=2cos^2(2021θ/2)，当θ=π时，z=-1，z^2021+1=-1。4.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=1，b=√3，C=30°，则sinA的值为（）（2分）A.1/2B.√3/2C.1/√3D.√3/4【答案】C【解析】由正弦定理a/sinA=b/sinB，得sinA=bsinA/a=√3sin30°/1=√3/2，sinB=√3/2，A=60°，故sinA=1/2。5.设函数f(x)=x^3-3x^2+2x，则方程f(x)=0在区间[-2,2]上的实数根个数为（）（2分）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】f'(x)=3x^2-6x+2=3(x-1)^2-1，令f'(x)=0，得x=1±√3/3，f(-2)=-14，f(-√3/3)=10√3/9-2√3/9>0，f(1-√3/3)=4√3/9-2√3/9<0，f(1+√3/3)=0，f(2)=0，故有三个根。6.执行以下程序段后，变量s的值为（）（2分）i=1;s=0;whilei<=5dos=s+i;i=i+2;endwhileA.1B.3C.8D.15【答案】C【解析】i=1时，s=s+i=1；i=3时，s=s+i=4；i=5时，s=s+i=8。7.执行以下程序段后，变量t的值为（）（2分）t=0;forj=1to4dot=t+j(j+1);endforA.20B.30C.40D.50【答案】B【解析】t=12+23+34+45=30。8.若数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_1=1，a_(n+1)=2a_n+1，则a_5的值为（）（2分）A.31B.63C.127D.255【答案】C【解析】a_2=3，a_3=7，a_4=15，a_5=31。9.在直角坐标系中，点P(x,y)满足x^2+y^2-2x+4y=0，则点P到原点的距离的最大值为（）（2分）A.√5B.√10C.5D.10【答案】B【解析】圆的标准方程为(x-1)^2+(y+2)^2=5，圆心(1,-2)，半径√5，圆上点到原点的最大距离为√10。10.若函数f(x)=x^2+px+q在x=1时取得极小值-2，则f(0)的值为（）（2分）A.-1B.0C.1D.2【答案】C【解析】f'(x)=2x+p，f'(1)=0，得p=-2，f(1)=1+p+q=-2，得q=-1，f(0)=q=-1。二、多选题（每题4分，共20分）1.以下命题中，正确的是（）（4分）A.若|a|=|b|，则a=bB.若a>b，则a^2>b^2C.若a>b，则1/a<1/bD.若a≠0，则a^3>aE.若a+b=0，则a^2=b^2【答案】C、E【解析】A错，a=-b；B错，如a=-2，b=-1；C对，ab>0时成立；D错，如a=-1；E对，ab<0时成立。2.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a^2=b^2+c^2，则（）（4分）A.sinA=1/2B.cosA=1/2C.sinB+sinC=sinAD.sinA=√3/2E.cosB=cosC【答案】B、E【解析】由余弦定理a^2=b^2+c^2-2bccosA，得cosA=1/2，A=60°，sinA=√3/2，B+C=120°，sinB+sinC=sinB+sin(120°-B)=sinB+√3/2cosB+1/2sinB=3/2sinB+√3/2cosB>sinA。3.关于x的方程x^2+px+q=0有实数根的充要条件是（）（4分）A.p^2-4q≥0B.q≤0C.Δ=p^2-4qD.|x_1-x_2|≤2E.p≥-2√q【答案】A、E【解析】Δ=p^2-4q≥0；由|x_1-x_2|=√Δ≤2，得p^2-4q≤4；p≥-2√q等价于p^2≥4q，结合Δ≥0得p^2≥4q。4.在等差数列{a_n}中，若a_1+a_5+a_9=45，则S_9的值为（）（4分）A.81B.135C.225D.279E.405【答案】B、C【解析】a_5=a_1+4d，a_9=a_1+8d，a_1+a_5+a_9=3a_1+12d=45，S_9=9/2(2a_1+8d)=9/245=135；S_9=3/29(a_1+a_9)=3/29(a_1+a_1+8d)=3/2945=135。5.在△ABC中，若f(x)=sinAsinB-sin^2C，则f(π/3)=（）（4分）A.1/4B.1/2C.3/4D.1E.3/2【答案】A、C【解析】f(π/3)=sinAsinB-sin^2C=sinAsinB-(1-sin^2A-sin^2B)=sinAsinB-sin^2A-sin^2B+1=1-sinAsinB-(sinA-sinB)^2；当A=B=π/3时，f(π/3)=1-1/4=3/4。三、填空题（每题4分，共20分）1.若函数f(x)=x^2+px+q在x=1时取得极小值-2，则f(0)+f(2)的值为_________（4分）【答案】6【解析】f(0)+f(2)=q+(4+4p+q)=4p+2q=-4+2(-1)=6。2.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=2，b=√7，c=3，则cosB的值为_________（4分）【答案】-1/2【解析】由余弦定理cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)=(4+9-7)/(223)=-1/2。3.数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=1，a_(n+1)=2a_n+1，则a_6的值为_________（4分）【答案】63【解析】a_2=3，a_3=7，a_4=15，a_5=31，a_6=63。4.在直角坐标系中，点P(x,y)满足x^2+y^2-2x+4y=0，则点P到直线x-y=0的距离的最大值为_________（4分）【答案】√10【解析】圆的标准方程为(x-1)^2+(y+2)^2=5，圆心(1,-2)，直线x-y=0的法向量为(1,-1)，圆心到直线的距离为|1(-1)+(-2)1|/√2=3√2，最大距离为3√2+√5=√10。5.若函数f(x)=x^3-3x^2+2x，则方程f(x)=0在区间[-2,2]上的实数根个数为_________（4分）【答案】3【解析】f'(-2)=10>0，f'(-1)=4>0，f'(-√3/3)>0，f'(1-√3/3)<0，f'(1+√3/3)=0，f'(2)=4>0，故有三个根。四、判断题（每题2分，共10分）1.若复数z满足|z|=1，则z^2021+1的值一定是-1。（）【答案】（×）【解析】如z=-1，z^2021+1=-1+1=0。2.在△ABC中，若a:b:c=3:4:5，则△ABC是直角三角形。（）【答案】（√）【解析】3^2+4^2=5^2，故为直角三角形。3.若数列{a_n}是等差数列，则{a_n^2}也是等差数列。（）【答案】（×）【解析】如a_n=n，则a_n^2=n^2，不是等差数列。4.若函数f(x)=x^2+px+q在x=1时取得极小值-2，则p=-2。（）【答案】（√）【解析】f'(1)=2+p=0，得p=-2。5.若数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_1=1，a_(n+1)=2a_n+1，则{a_n}是等比数列。（）【答案】（×）【解析】a_(n+1)-a_n=2a_n+1-a_n=a_n+1，不是等比数列。五、简答题（每题5分，共15分）1.证明：在△ABC中，若a:b:c=3:4:5，则△ABC是直角三角形。（5分）【解析】设a=3k，b=4k，c=5k，由余弦定理cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)=(9k^2+16k^2-25k^2)/(23k4k)=0，故C=90°，△ABC是直角三角形。2.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_1=1，a_(n+1)=2a_n+1，求通项公式a_n。（5分）【解析】a_2=3，a_3=7，a_4=15，a_5=31，猜测a_n=2^n-1，用数学归纳法证明：①n=1时，a_1=2^1-1=1，成立；②假设n=k时成立，a_k=2^k-1；则a_(k+1)=2a_k+1=2(2^k-1)+1=2^(k+1)-1，成立。故a_n=2^n-1。3.求函数f(x)=x^2+px+q在x=1时取得极小值-2的p、q的值。（5分）【解析】f'(x)=2x+p，f'(1)=2+p=0，得p=-2，f(1)=1+p+q=-2，得q=-1，故p=-2，q=-1。六、分析题（每题10分，共20分）1.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=2，b=√7，c=3，求cosA和sinB的值。（10分）【解析】cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)=(7+9-4)/(2√73)=3√7/14，sinB=sin(π-(A+C))=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=sinA√(1-sin^2A)+cosA√(1-sin^2C)=√(1-(3√7/14)^2)√(1-(3√7/14)^2)+3√7/14√(1-(3√7/14)^2)=√(1-27/196)√(1-27/196)+3√7/14√(1-27/196)=13√7/196。2.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_1=1，a_(n+1)=2a_n+1，求S_n的表达式。（10分）【解析】a_2=3，a_3=7，a_4=15，a_5=31，猜测a_n=2^n-1，用数学归纳法证明：①n=1时，a_1=2^1-1=1，成立；②假设n=k时成立，a_k=2^k-1；则a_(k+1)=2a_k+1=2(2^k-1)+1=2^(k+1)-1，成立。故a_n=2^n-1，S_n=n/2(a_1+a_n)=n/2(1+2^n-1)=n2^(n-1)。七、综合应用题（每题25分，共50分）1.在直角坐标系中，点P(x,y)满足x^2+y^2-2x+4y=0，求点P到直线x-y=0的距离的最大值和最小值。（25分）【解析】圆的标准方程为(x-1)^2+(y+2)^2=5，圆心(1,-2)，半径√5，直线x-y=0的法向量为(1,-1)，圆