第1课时　双曲线及其标准方程（一）2026-2027学年高二数学上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.2.1双曲线及其标准方程新课程标准解读核心素养1.了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世

界和解决实际问题中的作用数学抽象2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程数学抽象、直观想象第1课时双曲线及其标准方程（一）目录基础知识·重落实01典型例题·精研析02知能演练·扣课标03基础知识·重落实01课前预习

必备知识梳理

如图，取一条拉链，打开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点

F1，

F2上，把笔尖放在拉链的拉手

M

处，随着拉链逐渐拉开或者闭拢，笔尖所经过的点就画出一条曲线，这条曲线就是双曲线的其中一支.【问题】

类比椭圆，你认为该情境中的曲线上的点应满足怎样的几

何条件？

知识点一

双曲线的定义1.定义：一般地，我们把平面内与两个定点

F1，

F2的距离的

⁠

等于非零常数（

｜

F1

F2｜）的点的轨迹叫

做双曲线.2.符号表示：｜｜

MF1｜－｜

MF2｜｜＝2

a

（常数）且0＜2

a

＜｜

F1

F2｜.3.焦点：两个定点

⁠.4.焦距：

的距离，表示为｜

F1

F2｜.差

的绝对值小于

F1，

F2

两焦点间提醒

（1）若将定义中差的绝对值中的绝对值符号去掉，则点

M

的轨迹为双曲线的一支，具体是哪一支，取决于｜

MF1｜与｜

MF2｜的大小；（2）双曲线定义中的常数必须要大于0且小于｜

F1

F2｜.知识点二

双曲线的标准方程焦点在

x

轴上焦点在

y

轴上标准方程

⁠（

a

＞0，

b

＞0）

⁠（

a

＞0，

b

＞0）图形

焦点在

x

轴上焦点在

y

轴上焦点坐标

F1（－

c

，0），

F2

⁠

F1

，

F2

（0，

c

）

a

，

b

，

c

的关系

c2＝

⁠（

c

，0）

（0，－

c

）

a2＋

b2

【想一想】1.如何从双曲线的标准方程判断焦点位置？提示：“焦点跟着正项走”，若

x2项的系数为正，则焦点在

x

轴

上；若

y2项的系数为正，那么焦点在

y

轴上.2.双曲线中

a

，

b

，

c

的关系与椭圆中

a

，

b

，

c

的关系有何不同？提示：双曲线中，

b2＝

c2－

a2，即

c2＝

a2＋

b2，其中

c

＞

a

，

c

＞

b

，

a

与

b

的大小关系不确定；而在椭圆中，

b2＝

a2－

c2，即

a2＝

b2

＋

c2，其中

a

＞

b

＞0，

a

＞

c

，

c

与

b

的大小关系不确定.

1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）平面内到两定点的距离的差等于常数（小于两定点间距离）

的点的轨迹是双曲线.

（

×

）（2）平面内到点

F1（0，4），

F2（0，－4）的距离之差等于8的点

的轨迹是双曲线.

（

×

）（3）双曲线标准方程中，

a

，

b

的大小关系是

a

＞

b

.

（

×

）×××

3.已知双曲线中

a

＝5，

c

＝7，则该双曲线的标准方程为（

）解析：

b2＝

c2－

a2＝72－52＝24，故选C.

解析：当点

P

在双曲线左支上时，｜

PF2｜－｜

PF1｜＝10，则｜

PF2｜＝22；当点

P

在双曲线右支上时，｜

PF1｜－｜

PF2｜＝10，

则｜

PF2｜＝2.22或2

典型例题·精研析02课堂互动关键能力提升

题型一双曲线标准方程的认识

（1）方程表示双曲线？

（2）方程表示焦点在

x

轴上的双曲线？

A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

题型二求双曲线的标准方程【例2】

分别求适合下列条件的双曲线的标准方程：（1）两个焦点的坐标分别是（－5，0），（5，0），双曲线上的点

与两焦点的距离之差的绝对值等于8；

通性通法求双曲线标准方程的两个关注点提醒

若焦点的位置不明确，应注意分类讨论.也可以设双曲线方程为

mx2＋

ny2＝1的形式，注意标明条件

mn

＜0.【跟踪训练】1.若双曲线中

a

＋

c

＝9，

b

＝3，则双曲线的标准方程为

⁠

⁠.

2.（2024·常州质检）若圆

x2＋

y2－4

x

－9＝0与

y

轴的两个交点

A

，

B

都在双曲线上，且

A

，

B

两点恰好将此双曲线的焦距三等分，则此

双曲线的标准方程为

⁠.

题型三双曲线定义的应用

22

（2）已知双曲线

x2－

y2＝1，点

F1，

F2为其两个焦点，点

P

为双曲线

上一点，若

PF1⊥

PF2，则｜

PF1｜＋｜

PF2｜＝

⁠.

通性通法双曲线的定义的应用（2）在解与焦点三角形（△

PF1

F2）有关的问题时，一般地，可由双

曲线的定义，得｜

PF1｜，｜

PF2｜的关系式，或利用正弦定

理、余弦定理，得｜

PF1｜，｜

PF2｜的关系式，从而求出｜

PF1｜，｜

PF2｜.但是，一般我们不直接求解出｜

PF1｜，｜

PF2｜，而是根据需要，把｜

PF1｜＋｜

PF2｜，｜

PF1｜－｜

PF2｜，｜

PF1｜·｜

PF2｜看作一个整体来处理.（1）已知双曲线上一点的坐标，可以求得该点到某一焦点的距离，

进而根据定义求该点到另一焦点的距离；【跟踪训练】

1.已知

M

（－2，0），

N

（2，0），｜

PM

｜－｜

PN

｜＝4，则动点

P

的轨迹是（

）A.双曲线B.双曲线左支C.一条射线D.双曲线右支解析：

因为｜

PM

｜－｜

PN

｜＝4＝｜

MN

｜，所以动点

P

的轨

迹是一条射线.故选C.

A.－2＜

m

＜2B.

m

＞0C.

m

≥0D.｜

m

｜≥2解析：

∵已知方程表示双曲线，∴（2＋

m

）（2－

m

）＞0.

∴－2＜

m

＜2.

知能演练·扣课标03课后巩固核心素养落地1.若双曲线方程为

x2－2

y2＝1，则它的右焦点坐标为（

）

123456789101112131415162.（2024·温州月考）

P

是双曲线

x2－

y2＝16左支上一点，

F1，

F2分别

是左、右焦点，则｜

PF1｜－｜

PF2｜＝（

）A.4B.－4C.8D.－8

12345678910111213141516

12345678910111213141516

12345678910111213141516

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.以上均有可能

12345678910111213141516

A.若1＜

t

＜3，则曲线

C

为椭圆B.若曲线

C

为椭圆，且长轴在

y

轴上，则2＜

t

＜3C.若曲线

C

为双曲线，则

t

＜1或

t

＞3D.曲线

C

可能是圆12345678910111213141516

12345678910111213141516

12345678910111213141516

123456789101112131415167.已知双曲线方程为2

x2－

y2＝

k

（

k

≠0），焦距为6，则

k

＝

⁠

⁠.

6或－

6

12345678910111213141516

12345678910111213141516

123456789101112131415169.（2024·湛江月考）已知

F1，

F2分别为双曲线

C

：

x2－

y2＝1的左、

右焦点，点

P

在

C

上，∠

F1

PF2＝60°，则｜

PF1｜·｜

PF2｜

＝

⁠.

4

1234567891011121314151610.求适合下列条件的双曲线的标准方程：（1）焦点在

y

轴上，焦距为10，且经过点（0，4）；

12345678910111213141516

12345678910111213141516

A.1或21B.14或36C.2D.21解析：

设双曲线的左、右焦点分别为

F1，

F2，不妨设｜

PF1｜

＝11，根据双曲线的定义知｜｜

PF1｜－｜

PF2｜｜＝2

a

＝10，

∴｜

PF2｜＝1或｜

PF2｜＝21.而1＜

c

－

a

＝7－5＝2，∴舍去｜

PF2｜＝1，∴点

P

到另一个焦点的距离为21.12345678910111213141516

12345678910111213141516

12345678910111213141516

A.焦点在

y

轴上的双曲线B.焦点在

x

轴上的双曲线C.焦点在

y

轴