抛物线及其标准方程2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.3.1抛物线及其标准方程新课程标准解读核心素养1.了解抛物线的实际背景，感受抛物线在刻画现实世

界和解决实际问题中的作用数学抽象2.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程直观想象、数学运算目录基础知识·重落实01典型例题·精研析02知能演练·扣课标03基础知识·重落实01课前预习

必备知识梳理

把一根直尺固定在图板上直线

l

的位置，把一块三角尺的一条直

角边紧靠着直尺的边缘，再把一条细绳的一端固定在三角尺的另一条

直角边的一点

A

，取绳长等于点

A

到直角顶点

C

的长（即点

A

到直线

l

的距离），并且把绳子的另一端固定在图板上的一点

F

.

用铅笔尖扣

着绳子，使点

A

到笔尖的一段绳子紧靠着三角尺，然后将三角尺沿着

直尺上下滑动，笔尖就在图板上描出了一条曲线.【问题】

你能画出该曲线并说明该曲线具有哪些性质吗？

知识点一

抛物线的定义平面内与一个定点

F

和一条定直线

l

（

l

不经过点

F

）的

⁠

的点的轨迹叫做抛物线.点

F

叫做抛物线的

，直线

l

叫做抛物

线的

⁠.提醒

定义中要注意强调定点

F

不在定直线

l

上.当直线

l

经过点

F

时，

点的轨迹是过定点

F

且垂直于定直线

l

的一条直线.距离相等焦点准线知识点二

抛物线标准方程的几种形式图形标准方程焦点坐标准线方程

⁠（

p

＞0）

x

＝

⁠

⁠（

p

＞0）

x

＝

⁠y2＝2

px

y2＝－2

px

图形标准方程焦点坐标准线方程

⁠（

p

＞0）

y

＝

⁠

⁠（

p

＞0）

y

＝

⁠x2＝2

py

x2＝－2

py

提醒

四个标准方程的区分方法：焦点在一次项变量对应的坐标轴

上，开口方向由一次项系数的符号确定.当系数为正时，开口向坐标轴

的正方向；当系数为负时，开口向坐标轴的负方向.

1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）抛物线的方程都是二次函数.

（

×

）（2）抛物线的焦点到准线的距离是

p

（

p

＞0）.

（

√

）（3）平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是抛

物线.

（

×

）（4）只有抛物线的顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上时，抛物线

才具有标准形式.

（

√

）×√×√2.焦点为（0，2）的抛物线的标准方程是（

）A.

x2＝8

y

B.

x2＝4

y

C.

y2＝4

x

D.

y2＝8

x

3.抛物线

y2＝

x

的准线方程为（

）

典型例题·精研析02课堂互动关键能力提升

题型一求抛物线的标准方程角度1

直接法求抛物线的标准方程【例1】

（1）焦点在

y

轴上，并且焦点到准线的距离等于6的抛物线

的标准方程是（

C

）A.

x2＝±3

y

B.

y2＝±6

x

C.

x2＝±12

y

D.

x2＝±6

y

解析：

由已知得

p

＝6且焦点在

y

轴上，所以抛物线的标准

方程是

x2＝±12

y

.C

通性通法

在抛物线方程的类型已确定的前提下，由于标准方程中只有一个

参数

p

，所以只需一个条件就可以确定抛物线的方程.角度2

待定系数法求抛物线的标准方程【例2】

顶点在原点，且过点（－4，4）的抛物线的标准方程是

（

）A.

y2＝－4

x

B.

x2＝4

y

C.

y2＝－4

x

或

x2＝4

y

D.

y2＝4

x

或

x2＝－4

y

解析：

设抛物线方程为

y2＝－2

p1

x

（

p1＞0）或

x2＝2

p2

y

（

p2＞

0），把（－4，4）代入得16＝8

p1或16＝8

p2，即

p1＝2或

p2＝2.故抛

物线的标准方程为

y2＝－4

x

或

x2＝4

y

.故选C.通性通法用待定系数法求抛物线标准方程的步骤提醒

当抛物线的类型没有确定时，可设方程为

y2＝

mx

（

m

≠0）或

x2＝

ny

（

n

≠0），这样可以减少讨论情况的个数.【跟踪训练】

根据下列条件分别求出抛物线的标准方程：（1）经过点（－3，－1）；

（2）焦点为直线3

x

－4

y

－12＝0与坐标轴的交点.

题型二抛物线定义的应用角度1

焦半径公式及应用

A.1B.2

AC.4D.8（2）抛物线

x2＝4

y

上的点

P

到焦点的距离是10，则

P

点的坐标

为

⁠.解析：

设点

P

（

x0，

y0），由抛物线方程为

x2＝4

y

，知焦

点坐标为（0，1），准线方程为

y

＝－1.由抛物线的定义，得｜

PF

｜＝

y0＋1＝10，所以

y0＝9，代入抛物线方程得

x0＝±6.所以

P

点坐标为（±6，9）.（6，9）或（－6，9）

通性通法

根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准

线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距离与点线距离的相互

转化，从而简化某些问题.角度2

与抛物线有关的轨迹问题【例4】

已知圆

C

的方程为

x2＋

y2－10

x

＝0，求与

y

轴相切且与圆

C

外切的动圆圆心

P

的轨迹方程.解：设点

P

的坐标为（

x

，

y

），动圆的半径为

R

，∵动圆

P

与

y

轴相切，∴

R

＝｜

x

｜.∵动圆与定圆

C

：（

x

－5）2＋

y2＝25外切，∴｜

PC

｜＝

R

＋5，∴｜

PC

｜＝｜

x

｜＋5，当点

P

在

y

轴右侧时，

x

＞0，则｜

PC

｜＝

x

＋5，∴点

P

的轨迹是以（5，0）为焦点的抛物线，则圆心

P

的轨迹方程为

y2＝20

x

（

x

＞0）；当点

P

在

y

轴左侧时，

x

＜0，则｜

PC

｜＝－

x

＋5，此时点

P

的轨迹

是

x

轴的负半轴，即方程为

y

＝0（

x

＜0）.∴点

P

的轨迹方程为

y2＝20

x

（

x

＞0）或

y

＝0（

x

＜0）.通性通法解与抛物线有关的轨迹问题的方法

求解与抛物线有关的轨迹问题，既可以用轨迹法直接求解，也可

以先将条件转化，再利用抛物线的定义求解.角度3

最值问题【例5】

已知点

P

是抛物线

y2＝2

x

上的一个动点，求点

P

到点（0，

2）的距离与

P

到该抛物线准线的距离之和的最小值.

【母题探究】1.（变条件）若将本例中的点（0，2）改为点

A

（3，2），求｜

PA

｜

＋｜

PF

｜的最小值.

通性通法利用抛物线定义研究最值的一般思路（1）若点

M

在抛物线的内部，过点

M

作准线的垂线，该垂线与抛物

线的交点到抛物线焦点

F

和到已知点

M

的距离最小；（2）若点

M

在抛物线的外部，连接

MF

，则

MF

与抛物线的交点

P

可

使｜

PF

｜＋｜

PM

｜的值最小.【跟踪训练】

平面上一动点

P

到定点

F

（1，0）的距离比点

P

到

y

轴的距离大1，

求动点

P

的轨迹方程.解：由题意，动点

P

到定点

F

（1，0）的距离比到

y

轴的距离大1，由

于点

F

（1，0）到

y

轴的距离为1，故当

x

＜0时，直线

y

＝0上的点符

合题意；当

x

≥0时，题中条件等价于点

P

到点

F

（1，0）与到直线

x

＝－1的距

离相等，故点

P

的轨迹是以

F

为焦点，直线

x

＝－1为准线的抛物线，

轨迹方程为

y2＝4

x

.故所求动点

P

的轨迹方程为

y2＝4

x

（

x

≥0）或

y

＝0（

x

＜0）.

1.若动点

P

到定点

F

（－4，0）的距离与到直线

x

＝4的距离相等，则

P

点的轨迹是（

）A.抛物线B.线段C.直线D.射线解析：

动点

P

的条件满足抛物线的定义.故选A.2.已知抛物线

y

＝2

px2过点（1，4），则抛物线的焦点坐标为

（

）A.（1，0）D.（0，1）

3.已知抛物线

y2＝2

px

（

p

＞0）的焦点为

F1，若点

A

（2，－4）在抛

物线上，则点

A

到焦点的距离为

⁠.解析：把点（2，－4）代入抛物线

y2＝2

px

，得16＝4

p

，即

p

＝4，

从而抛物线的焦点为（2，0）.故点

A

到焦点的距离为4.4.若焦点在

y

轴上，且抛物线上一点

P

（

m

，1）到焦点

F

的距离为

6，求抛物线的标准方程.

4

知能演练·扣课标03课后巩固核心素养落地

B.

x

＝1C.

y

＝1D.

y

＝2解析：

抛物线的标准方程为

x2＝－4

y

，则准线方程为

y

＝1.123456789101112131415162.在平面直角坐标系中，与点（1，2）和直线

x

＋

y

－3＝0的距离相

等的点的轨迹是（

）A.直线B.抛物线C.圆D.双曲线解析：

因为点（1，2）在直线

x

＋

y

－3＝0上，所以所求点的轨

迹是过点（1，2）且与直线

x

＋

y

－3＝0垂直的直线，故选A.12345678910111213141516

12345678910111213141516

4.（2024·温州月考）已知

P

为抛物线

y2＝4

x

上一个动点，

Q

为圆

x2＋

（

y

－4）2＝1上一个动点，则点

P

到点

Q

的距离与点

P

到抛物线的

准线的距离之和的最小值是（

）A.5

123456789101112131415165.（多选）经过点

P

（4，－2）的抛物线的标准方程为（

）A.

y2＝

x

B.

x2＝8

y

C.

x2＝－8

y

D.

y2＝－8

x

解析：

若抛物线的焦点在

x

轴上，设抛物线的方程为

y2＝

mx

（

m

≠0），因为抛物线经过点

P

（4，－2），所以（－2）2＝4

m

，解得

m

＝1，所以抛物线的标准方程为

y2＝

x

.若抛物线的焦点在

y

轴上，设抛物线的方程为

x2＝

ny

（

n

≠0），因为抛物线经过点

P

（4，－2），所以42＝－2

n

，解得

n

＝－8，所以抛物线的标准方

程为

x2＝－8

y

.故选A、C.123456789101112131415166.（多选）对标准形式的抛物线给出下列条件，其中满足抛物线

y2＝

10

x

的有（

）A.焦点在

y

轴上B.焦点在

x

轴上C.开口向右，焦点坐标为（5，0）12345678910111213141516

12345678910111213141516

解析：由题意得

m

＋1＝22，解得

m

＝3.3

123456789101112131415168.在抛物线

y2＝－12

x

上，与焦点的距离等于9的点的坐标是

⁠

⁠.

（－

123456789101112131415169.（2024·泰州月考）已知直线

l1：4

x

－3

y

＋6＝0和直线

l2：

x

＝－

1，抛物线

y2＝4

x

上一动点

P

到直线

l1和直线

l2

的距离之和的最小值

是

⁠.

2

1234567891011121314151610.根据下列条件分别求抛物线的标准方程：（1）抛物线的焦点是双曲线16

x2－9

y2＝144的左顶点；

12345678910111213141516（2）抛物线的焦点

F

在

x

轴上，直线

y

＝－3与抛物线交于点

A

，｜

AF

｜＝5.

12345678910111213141516

11.若动点

M

（

x

，

y

）到点

F

（4，0）的距离比它到直线

x

＋5＝0的

距离小1，则点

M

的轨迹方程是（

）A.

x

＋4＝0B.

x

－4＝0C.

y2＝8

x

D.

y2＝16

x

解析：

依题意可知，点

M

到点

F

的距离等于点

M

到直线

x

＝－

4的距离，因此其轨迹是抛物线，且

p

＝8，顶点在原点，焦点在

x

轴正半轴上，所以其方程为

y2＝16

x

.故选D.1234567891011121314151612.（多选）设抛物线

y2＝4

x

，

F

为其焦点，

P

为抛物线上一点，则

下列结论正确的是（

）A.抛物线的准线方程是

x

＝－1B.当

PF

⊥

x

轴时，｜

PF

｜取最小值D.以线段

PF

为直径的圆与

y

轴相切12345678910111213141516

12345678910111213141516

1234567891011121314151613.已知

M

是抛物线

C

：

y2＝2

px

（

p

＞0）上一点，

F

是抛物线

C

的焦

点，过

M

作抛物线

C

的准线的垂线，垂足为

N

，若∠

MFO

＝120°

（

O

为坐标原点），△

MNF

的周长为12，则｜

NF

｜＝

⁠.

4

1234567891011121314151614.（2024·青岛月考）如图所示，已知抛物线

y2＝2

px

（

p

＞0）的焦

点为

F

，

A

是抛物线上横坐标为4，且位于

x

轴上方的点，点

A

到抛

物线准线的距离等于5，过点

A

作

AB

垂直于

y

轴，垂足为点

B

，

OB

的中点为

M

.

（1）求抛物线的方程；

12345678910111213141516（2）过点

M

作

MN

⊥

FA

，垂足为

N

，求点

N

的坐标.

12345678910111213141516

A.4B.8C.16D.3212345678910111213141516

12