湖北枢校2026届高三数学上学期12月联考试题含解析

考试时间：120分钟 满分：150分

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的）

2

Axylog24xBx1x3

1，，则AB（）

.

A.2,1B.2,3C.1,2D.1,3

【答案】C

【解析】

【分析】通过求解不等式4x20得到集合A，再根据交集的定义进行运算即可得解.

222

【详解】要使函数ylog24x有意义，须满足4x0，即x40，

即x2x20，解得2x2，所以Ax2x2.

因为Bx1x3，所以ABx1x2，即AB1,2.

故选：C

2.样本数据：3，3，4，4，5，6，6，7，7，8的上四分位数为（）

A.6B.6.5C.7D.7.5

【答案】C

【解析】

【分析】首先明确上四分位数即第75百分位数，再根据n个数据的第p百分位数的求法求解即可.

【详解】已知样本数据共有10个，上四分位数即第75百分位数，由1075%=7.5，

该样本数据是从小到大排列的，故样本数据的上四分位数为第8个数据7.

故选：C

3.若z1ii2025，则z（）

11111111

A.iB.iC.iD.i

22222222

【答案】A

【解析】

【分析】根据in运算的周期性和复数的除法运算直接化简求解即可.

ii1i1i11

【详解】i2025i45061i，zi.

1i1i1i222

故选：A.

4.正项等比数列an的前n项和为Sn

，S24,S440，则a3（）

A.6B.9C.8D.11

【答案】B

【解析】

【分析】由等比数列求和公式求得q，进而可求解.

【详解】设等比数列的公比为q,q0，

2

则S2a1a24,S4a1a2a1a2q40

即44q240，解得：q3，

又a1a1q4，

解得a11，

则2，

a3a1q9

故选：B

5.已知a1，2，b1，m，aab，则m（）

A.3B.2C.3D.2

【答案】A

【解析】

【分析】根据向量减法的坐标运算和向量垂直的坐标表示计算得到参数值

【详解】由题可知，ab2,2m，因为aab，所以1222m0，

解得m3.

故选：A.

6.若函数ytanx的对称中心与函数ysinx的对称中心重合，则（）

A.1B.1

2

1

C.1D.

2

【答案】D

【解析】

kπ

1

【分析】分别写出ytanx的对称中心为,0，ysinx的对称中心为k2π,0，由题意得到

2

21，求解即可.

kπkπ

【详解】令x1,kZ，得x1,kZ，

2121

kπ

1

所以函数ytanx的对称中心为,0,k1Z，

2

又函数ysinx的对称中心为k2π,0,k2Z，

函数ytanx的对称中心与函数ysinx的对称中心重合，

1

所以21，即，

2

故选：D

21

7.已知OAOB3，AB32，点C4,2，O为坐标原点，则CACB的最小值是（）

33

525

A.B.C.5D.45

33

【答案】C

【解析】

2

【分析】由AB18可推导得到OAOB，结合OAOB3可设A3cos,3sin，

2

2121

B3sin,3cos，利用向量坐标运算表示出CACB，计算可得CACB，可知当cos1

3333

2

21

时，CACB取得最小值，进而得到结果.

33

2222

【详解】ABOBOAOB2OAOBOA182OAOB18，

OAOB0，则OAOB，

OAOB3，A,B两点在以O为圆心，3为半径的圆上，

设A3cos,3sin，由OAOB可取B3sin,3cos，

2121

CACB3cos4,3sin23sin4,3cos2

3333

2cossin4,cos2sin2，

2

2122

CACB2cossin4cos2sin22520cos，

33

2

2121

则当cos1时，CACB取得最小值25205，CACB5.

3333min

故选：C.

1114

8.已知acos，bsin，cln，则（）

4443

A.cbaB.cabC.abcD.acb

【答案】C

【解析】

π

【分析】根据a,b,c的数字特征分别构造函数fxtanxx0x、

2

1

gxsinxln1x0x1，利用导数可求得fx,gx单调性，由ff00和

4

1

gg00可确定a,b,c的大小关系.

4

π11cos2x

【详解】令fxtanxx0x，则fx1tan2x0，

2cos2xcos2x

π1

\f(x)在0,上单调递增，ff00，

24

1

sin

1111111

即tan，4，又cos0，sincos，即ab；

1

44cos44444

4

1

令gxsinxln1x0x1，则gxcosx，

1x

1

令hxgx，则hxsinx20，gx在0,1上单调递减，

1x

gxg00，gx在0,1上单调递减，

1134

gg00，即sinlnln，bc；

4443

综上所述：abc.

故选：C.

二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全

部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）

9.下列说法正确的是（）

A.x是函数fxsin2x的一条对称轴

4

B.x1是x22x30的充要条件

C.已知DX3，则D3X227

5

D.x1的展开式中x2项的系数为5

【答案】AC

【解析】

【分析】由正弦函数对称轴的求法可判断A；解一元二次不等式可判断B；由随机变量间方差的关系式可判

断C；由二项式的通项公式可判断D.

k

【详解】对于A，函数fxsin2x的对称轴满足2xk,kZ，即x,kZ。

242

取k0，x确实是一个对称轴，所以A正确；

4

对于B，由x22x30，得：x3x10x3或x1，

当x3时，x22x30成立，而x1不成立，所以B错误；

对于C，D3X232DX9327，因此C正确；

对于D，5展开通项kk5k，

(x1)Tk1C5x1

2项对应，系数为2，不是5，所以D错误.

xk2C510

故选：AC

10.已知f(x)x36x211x6，则下列选项中正确的是（）

A.x1是函数yf(x)的零点

3

B.f(x)的极大值点为2

3

C.f(x)的图象关于点(2,0)中心对称

11

D.x5使得f(x)f(4x)6

22

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据题目条件结合函数零点、导数与极值、函数图像的对称性、不等式与单调性等性质逐一分析

判断选项.

【详解】选项A：计算f1161160，故x1是零点，A正确.

23

选项B：由fx3x12x11，令fx0得x2,fx开口向上，

3

3

较小根处导数由正变负，故x2为极大值点，B正确.

3

选项C：计算f2xx3x，f2xx3x，

则f2xf2x0恒成立，故图象关于点2,0中心对称，C正确.

选项D：由函数图象关于点(2,0)中心对称可知f(4x)f(x)，不等式化简为fx6，

当x5时fx0，fx单调递增且f5246，故x5，fx6，D错误.

故选：ABC

11.已知正方体的棱长为，点为的中点，点为底面的边界及其内

ABCDA1B1C1D11MCC1PA1B1C1D1

部任意一点，则下列选项正确的是（）

A.点P为B1D1中点时，MP平面AB1D1

3

B.点P为CD中点时，过B,M,P三点作正方体ABCDABCD的截面，则截面周长为252

1111112

C.AC与BD交于O，则四面体OB1C1C的外接球的表面积为2π

1

D.当P在线段AC上运动时，四面体PBDM体积的最大值为

114

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据线面垂直性质和勾股定理可分别证得MPB1D1，MPAP，根据线面垂直的判定可知A

正确；作出截面图形后，根据长度关系可求得B错误；根据外接球的性质可确定球心位于过点G且平行于

OI2IN2ON2

的直线上，利用可构造方程组求得，代入球的表面积公式可知C正确；以为

OH222RD

ICIGGC

坐标原点建立空间直角坐标系，利用点到平面距离的向量求法可求得点P到平面BDM距离的最大值，结

合三棱锥体积公式可求得D正确.

【详解】对于A，由题意知：A1C1B1D1P，

平面，平面，，

CC1A1B1C1D1B1D1A1B1C1D1CC1B1D1

B1D1A1C1，A1C1CC1C1，A1C1,CC1平面ACC1A1，

B1D1平面ACC1A1，又MP平面ACC1A1，B1D1MP；

222

2

22219，2213，2223，

AM11MPAP1

2422422

AP2MP2AM2，APMP；

APB1D1P，AP,B1D1平面AB1D1，MP平面AB1D1，A正确；

对于B，连接A1P,A1B,CD1，

M,P分别为CC1,C1D1中点，MP//CD1，又A1B//CD1，

MP//A1B，M,P,A1,B四点共面，

则过B,M,P三点的正方体ABCDA1B1C1D1的截面为梯形A1BMP，

2

，12，215，

A1B2MPA1BA1PBM1

2222

3

梯形ABMP的周长为52，B错误；

12

对于C，取BC中点H，连接BC1,B1C，交于点G，连接GH，过G作OH的平行线

OH平面BCC1B1，G为△B1C1C的外接圆圆心，

四面体OB1C1C的外接球球心I在过点G的OH的平行线上，

作INOH，垂足为N，

1

设IGm，则ONm，设四面体OBCC的外接球半径为R，

211

2

211

222Rmm0

OIINON

由得：42，解得：，

22221

ICIGGC1R

R2m22

2

2

即四面体OB1C1C的外接球球心即为点G，半径R，

2

2

四面体OB1C1C外接球表面积S4πR2π，C正确；

55

2

15441

对于D，BD2，BMDM1，cosBMD，

5

4225

4

26115266

sinBMD，SBMDMsinBMD；

5BDM22454

若三棱锥PBDM体积最大，则点P到平面BDM的距离最大，

以为坐标原点，正方向为x,y,z轴正方向可建立如图空间直角坐标系，

DDA,DC,DD1

1

则A11,0,1，C10,1,1，B1,1,0，D0,0,0，M0,1,，

2

1

则，，，，

A1C11,1,0DB1,1,0DM0,1,DA11,0,1

2

设，则，

A1PA1C1,,001DPDA1A1P1,,1

设平面BDM的法向量nx,y,z，

DBnxy0

则1，令z2，解得：x1，y1，n1,1,2，

DMnyz0

2

DPn32

则点P到平面BDM的距离d，

n6

，当时，36，

010dmax

62

1661

四面体PBDM体积的最大值为，D正确.

3424

故选：ACD.

三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）

12.已知正四棱台的上下底面边长分别为2和4，侧棱长为5，则其体积为_____.

【答案】283

3

【解析】

【分析】取正棱台过侧棱且过上下底面中心的截面，利用勾股定理得到高，然后求体积即可.

【详解】

如图，取正四棱台过侧棱且过上下底面中心的截面，AD,BC为侧棱，AECD，

则ADBC5，

因为上下底面边长分别为2和4，

1

所以AB22，CD42，DE42222，

2

所以AE523，即棱台的高为3，

1283

棱台的体积=224222423.

33

故答案为：283.

3

13.哪吒之《魔童闹海》票房大卖，其中蕴含的很多人生道理引起共鸣，如哪吒与命运抗争的顽强，李靖

对哪吒不离不弃的关爱.因此哪吒系列手办盲盒深受欢迎，其中共有包含哪吒，敖丙，哪吒父母，四大龙王

共8个人物手办，小明从8个盲盒中（8个盲盒内的人物一定不同）任意抽取3个盲盒，则包含哪吒和至多

一位龙王的概率是_____.

15

【答案】

56

【解析】

【分析】首先计算出任取3个盲盒的取法总数；分类讨论求得满足题意的取法种数，根据古典概型概率公式

可求得结果.

【详解】从个盲盒中任取个盲盒，共有3种取法；

83C856

抽取的盲盒中，包含哪吒，不包含龙王的取法有2种；包含哪吒和一个龙王的取法有11种；

C33C4C312

12315

任意抽取3个盲盒，包含哪吒和至多一位龙王的概率p.

5656

15

故答案为：.

56

x

14.已知函数fxe，g(x)lnx，若曲线yf(x)在点(x1,f(x1))处的切线与曲线ygx在

点处的切线平行，则2___若，a1对于任意都成立，

x2,gx22x1g(x2)a0axg(x)f(x)x1

则a的最大值为_____.

【答案】①.0②.e

【解析】

【分析】运用两切线斜率相等列式及对数运算公式可求得第一空的结果；同构函数hxxex，研究其单

xx

调性将题设不等式转化为a在(1,)上恒成立，再由求导得出函数m(x)在(1,)上的最小

lnxlnx

值即可.

1

【详解】由fxex得fxex，由g(x)lnx得g(x)，

x

11

ⅱ=x1x1

依题意得f(x1)g(x2)，即elnelnx1lnx2，

x2x2

所以，则22；

x1lnx202x1g(x2)2x1lnx22x12lnx22(x1lnx2)0

a

又axa1gxfxaxa1lnxexaxalnxxexxalnxaxexlnxa·elnxxex，

a

即a0时，lnxa·elnxxex对于任意x1都成立，

令hxxex,(x1)，

则hxexx10，所以h(x)在(1,)上单调递增，

aa

又因为lnxaelnxxex，即h(lnx)h(x)，

由函数的单调性，可得lnxax对于任意x1恒成立，

x

又因为lnxaxalnxxa(x1)，

lnx

xx

即为a在(1,)上恒成立，所以a,x1，

lnxlnxmin

x

令m(x),(x1)，

lnx

lnx1

则m(x)2，当xe时，m(x)0，当1xe时，m(x)0，

lnx

所以m(x)在1,e上单调递减，在e,上单调递增，

所以，所以，

mxminmeeae

所以a的最大值为e，

故答案为：0;e.

四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

15.已知点Msinxcosx,sin2x，N2,23，O为坐标原点，函数fxOMON

（1）求fx的解析式及最小正周期

（2）三角形ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，AD为BAC的角平分线，AB2AC，BD2.

若fA23，求ACD的面积

π

【答案】（1）fx2sin2x3，最小正周期为π

3

3

（2）3或

25

【解析】

【分析】（1）根据向量数量积坐标运算、二倍角公式和辅助角公式可化简得到fx，根据正弦型函数最小

正周期求法可求得结果；

πππ

（2）由fA23，结合A的范围可求得A或；当A时，根据余弦定理和勾股定理可证得

323

π

ACBC，根据角度关系可求得AC,CD，进而求得S；当A时，根据正弦定理可求得AD,CD，

ACD2

结合两角和差正弦公式和三角形面积公式可求得.

SACD

【小问1详解】

OMsinxcosx,sin2x，ON2,23，

π

fxOMON2sinxcosx23sin2xsin2x31cos2x2sin2x3，

3

则fx的最小正周期Tπ.

【小问2详解】

ππ3

fA2sin2A323，sin2A，

332

ππ5πππ2π

A0,π，2A,，则2A或，

333333

ππ

A或；

32

ππ

当A时，AB2AC，BC2AB2AC22ABACcosA5AC24AC2cos3AC2，

33

AC1π

AC2BC2AB2，ACBC，sinB，B，

AB26

π

又AD为BAC的角平分线，DABCADB，ADBD2，

6

CDADsinCAD1，ACADcosCAD3，

13

SACCD；

ACD22

πAC1525

当A时，tanB，sinB，cosB，

2AB255

π

AD为BAC的角平分线，BADCAD，

4

BD25210

ADsinB

在△ABD中，由正弦定理得：sinBAD255，

2

210

25AD52

sinCcosB，在ACD中，由正弦定理得：CDsinCAD1，

5sinC252

5

22525310

sinCDAsinBADBsinBADcosBcosBADsinB，

252510

112103103

SADCDsinCDA1.

ACD225105

33

综上所述：ACD的面积为或.

25

16.在四棱锥PABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD//BC，ADAB，侧面PAB底面ABCD，

1

ADBC2，PAB是边长为23的等边三角形，F是CD的中点，E为PC上一点.

2

（1）若AC与BD交于点M，满足EM//平面PAB，求EC的长；

337

（2）设PEtPC，若平面PAB与平面BEF所成锐二面角的余弦值为，求t的值.

37

【答案】（1）47

3

1

（2）t或1

32

【解析】

2

【分析】（1）根据线面平行性质可知EM//PA，根据平行线分线段成比例可知ECPC；由面面垂直性

3

质可知PO平面ABCD，根据长度关系和勾股定理可求得结果；

（2）以O为坐标原点建立空间直角坐标系，根据二面角向量求法可构造方程求得t的值.

【小问1详解】

若EM//平面PAB，

平面PAC平面PABPA，EM平面PAC，EM//PA，

1112

AD//BC，ADBC，AMMC，PEEC，ECPC；

2223

作POAB，垂足为O，连接OC，

平面PAB平面ABCD，平面PAB平面ABCDAB，PO平面PAB，

PO平面ABCD，又OC平面ABCD，POOC；

△PAB是边长为23的等边三角形，O为AB中点，OB3，PO3，

OCOB2BC219，PCPO2OC227，

247

ECPC.

33

【小问2详解】

O,F分别为AB,CD中点，OF//AD，又ADAB，OFAB，

PO,OF,OB两两互相垂直，

以O为坐标原点，OB,OF,OP正方向为x,y,z轴正方向，可建立如图所示空间直角坐标系，

则P0,0,3，F0,3,0，C3,4,0，B3,0,0，

PC3,4,3，PEtPC3t,4t,3t，又BP3,0,3，

BEBPPE3t3,4t,33t，BF3,3,0，

设平面BEF的法向量nx,y,z，

BEn3t3x4ty33tz0

则，令y3t3，则，z7t3，

x33t33

BFn3x3y0

n33t33,3t3,7t3；

y轴平面PAB，平面PAB的一个法向量m0,1,0，

mn3t3337

cosm,n

222，

mn27t19t17t337

11

解得：t或t.

32

17.21世纪某次机器人展览会上，已知某公司共有25个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示：

红色外观蓝色外观

内饰

外观

棕色内饰1010

米色内饰23

（1）若小明从这些模型中随机拿一个模型，记事件A为小明取到红色外观的模型，事件B为小明取到棕色

内饰的模型，求PB和PBA，并判断事件A和事件B是否独立.

（2）该公司举行了一个抽奖活动，规定在一次抽奖中，每人可以从这些模型中拿两个汽车模型，给出以下

假设：

假设1：拿到的两个模型会出现三种结果，即外观和内饰均为同色，外观和内饰都异色，以及仅外观或内饰

同色.

假设2：按抽奖的可能性大小，概率越小奖项越高

假设3：该抽奖活动的奖金额为：一等奖800元，二等奖500元，三等奖300元

请你分析奖项对应的结果，设X为奖金额，写出X的分布列并求出X的数学期望.

45

【答案】（1），，不独立

56

（2）分布列见解析，446

【解析】

【分析】（1）根据古典概型概率公式和事件的独立性定义即可得出；

（2）分别求出三种结果对应的概率，比较大小，确定对应的概率，求出分布列，利用期望公式进行计算即

可.

【小问1详解】

204

PB，

255

10510122048

PB|A，pAB，PAPB，

126252525125

PABPAPB，所以A，B不独立；

【小问2详解】

记外观与内饰均同色为事件A1，外观与内饰都异色为事件A2，仅外观或仅内饰同色为事件A3，

C2C2C2C247

则101023，

PA12

C25150

C1C1C1C11

103210，

PA22

C256

C1C1C1C1C1C1C1C139

102103101023，

PA32

C2575

PA2PA1PA3，

∴一等奖为两个汽车模型的外观与内饰都异色，

二等奖为两个汽车模型的外观与内饰均同色，

三等奖为两个汽车模型仅外观或仅内饰同色．

X的分布列：

X800500300

14739

P

615075

14739

EX800500300446．

615075

18.已知等差数列an的前n项和为Sn，且S24，S416；数列bn满足

nn1n1

2b12b22bnn122，nN.

（1）求数列an和bn的通项公式；

（2）cnanbn，求数列cn的前n项和Tn；

n

（3）将数列和数列各取前项，按从小到大排成一个新的数列，其中重复的数按

1anbn100dn

照出现的个数重复排列，求dn的前106项和

【答案】（1），n

an2n1bn21

n12

（2）Tn2n32n6

（3）162

【解析】

【分析】（1）根据等差数列前n项和公式可构造方程组求得a1,d，由等差数列通项公式可得an；根据已知

bbb1b1

等式可得b23n2n1，由前n项和与通项之间关系可得n2，由此

12222n12n12n12n1

可得bn；

（2）求得cn后，采用错位相减法可求得结果；

n

（3）通过分析可确定前项中，包含数列的前项和数列的前项，结合并项求

dn1061an99bn7

和法和等比数列求和公式可求得结果.

【小问1详解】

设等差数列an的公差为d，

S22a1d4a11

由得：，an12n12n1；

S44a16d16d2

nn1n1

2b12b22bnn122，

bbb1

b23n2n1，

12222n12n1

bbb1

当n2且nN时，b23n12n，

12222n22n2

b111

n22，则b2n1；

2n12n12n22n1n

当时，，满足n；

n1b1413bn21

n

综上所述：bn21nN.

【小问2详解】

nn

由（1）得：cn2n1212n122n1，

123n1n

Tn1232522n322n121352n32n1

n12n1

1213225232n32n12n