湖北省咸宁市崇阳县2025-2026学年高二数学下学期素养测评试题解析版

湖北咸宁市崇阳县2025-2026学年高二数学下学期素养测评试题

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确

的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．

1.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把

数分成许多类，如图所示的1，3，6，10被称为三角形数，将所有的三角形数从小到大依次排列，则其第7

个数为（）

A.15B.21C.28D.36

【答案】C

【解析】

【分析】根据题图及前4个三角形数找到规律，即可得第7个数.

【详解】由题图及三角形数知：后一个数与前一个数的差依次为2，3，4，5，6，，

所以三角形数依次为1，3，6，10，15，21，28，即第7个数为28.

2.某质点沿直线运动，位移y（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为y(t)t22t，若质点在1t4

这段时间内的平均速度等于tt0时的瞬时速度，则t0（）

A.2B.2.5C.3D.3.5

【答案】B

【解析】

【分析】利用平均变化率和瞬时变化率的定义即可求解.

【详解】由题意得：y13,y4422424，

y4y1243

所以质点在1t4这段时间内的平均速度为：7，

4141

又yt2t2，所以yt02t027，解得t02.5.

3.有3封不同的信投入4个不同的信箱，可有不同的投入方法种数为（）

A.81B.64C.24D.12

【答案】B

【解析】

【详解】解：根据题意，不同的投入方法种数有4364种．

a2b2

4.若1,a1,a2,a3,7成等差数列；1,b1,b2,125成等比数列，则等于（）

a1b1

815

A.8B.C.D.4

258

【答案】A

【解析】

【分析】根据等差中项的性质，可得a2,a1的值，根据条件，可求出公比q，根据等比数列的通项公式，求

出b1,b2的值，代入即可得答案.

【详解】由1,a1,a2,a3,7成等差数列，得2a2178，解得a24，

5

2a145，解得a，

112

125

由1,b,b,125成等比数列，设公比为q，则q3，解得q5，

121

所以b1155,b2b1525，

ab425

228

则ab5.

115

2

5.已知函数f(x)x(2xa)2在x2处有极小值，则实数a的值为（）

A.4或12B.12C.4D.4或8

【答案】C

【解析】

【分析】f(2)0，求得a4或a12，分别求得函数fx的单调区间，结合函数极值点的定义，即

可求解.

2

【详解】由函数f(x)x(2xa)2，可得fx2xa4x2xa2xa6xa，

因为函数在x2处取得极小值，可得f(2)0，解得a4或a12，

2

当a4时，令f(x)0，解得x2或x；

3

2

令fx0，解得x2，

3

22

函数fx在,上单调递增，在,2上单调递减，在(2,)上单调递增，

33

所以fx在x2处有极小值，符合题意，

当a12时，令fx0，可得x2或x6；令fx0，可得2x6，

函数fx在(,2)上单调递增，在(2,6)上单调递减，在(6,)上单调递增，

所以fx在x2处有极大值，不符合题意，舍去.

综上可得，a4.

x2y2

6.在平面直角坐标系xOy中，圆O:x2y24与双曲线C:1相交于A,B,C,D四点，若点

a2b2

A,B,C,D构成圆O圆周的四等分点，圆O的直径长度是双曲线C实轴长的2倍，则双曲线C的离心率为

（）

3547

A.2B.3C.D.

57

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意，可以得出圆上符合题意的四点坐标，故得出双曲线上符合题意的点的坐标，将其代入

双曲线方程，得出a和b值，得出离心率.

【详解】由已知圆O:x2y24的直径为4，又直径长度是双曲线C实轴长的2倍，所以422a，

所以a1.

因为点A,B,C,D构成圆O圆周的四等分点，所以四等分点到圆心的距离为半径，

且四点与原点构成的连线互相垂直.即如图所示：

设圆与x轴交于点N，所以OAOB，且AONNOB45，

x2y24,x2y24,

所以设x,y是圆与双曲线的交点，所以或

yx,yx,

x2,x2,x2,x2,

解得或或或，

y2,y2,y2,y2,

所以四等分点的坐标为2,2,2,2,

22

x2y222

2,2,2,2,把2,2代入1中，得1，

a2b212b2

2222

2cabb2

解得b2，所以双曲线C的离心率e113.

aa2a21

7.习近平总书记在“十九大”报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛．“杨辉三角”揭

示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算

法》一书中出现．如图，由“杨辉三角”，下列叙述正确的是（）

A.第12行中第6个数最大

B.第2026行中从左往右第1013个数与第1014个数相等

C.1238

C3C4C5C10165

D.第19行中第8个数与第9个数之比为2:3

【答案】D

【解析】

【分析】根据条件及组合数的运算性质，逐一分析各个选项，即可得答案.

【详解】选项A：由题意得，第12行共有13个数，根据对称性可得，只有第7个数最大，故A错误；

选项B：第2026行共有2027个数，根据对称性可得，只有第1014个数最大，

即第1013个数与第1014个数不相等，故B错误；

选项C：12381238

C3C4C5C10C4C4C5C101

23838

C5C5C101C6C101

83，故C错误；

=C111C1111651164

选项D：第19行中第8个数为7，第9个数为8，

C19C19

19！

C77！(197)!8！11!82

则19，故D正确.

8！！

C1919712!123

8！(198)!

x

e、

8.若函数f(x)axalnx(ae)有两个极小值点x1x2x1x2，且存在满足条件的x1、x2使得

x

m2x1x2有解，则整数m的最小值为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

xlnalnxx

【分析】先求导，确定fx的单调性，确定极值点，得到11，令t1(0t1)，构造

x2lnalnx2x2

(2t1)lnt

F(t)(0t1)，求导确定单调性，求得最值，即可求解.

t1

xxx

(x1)ea(x1)ea(x1)(x1)eax

【详解】当ae时，f(x)a

x2xx2xx2

令gxexax，则gxexa，

当x(0,lna)时，gx0，当x(lna,)时，gx0，

则g(x)在(0,lna)上单调递减，在(lna,)上单调递增，

g(lna)0，且lna1,g(0)10，

当x时，g(x)，

故存在x1(0,lna),x2(lna,)使gx1gx20，又g(1)ea0，

故0x11x2，

则当x0,x1时，g(x)0,f(x)0,f(x)单调递减；

当xx1,1时，g(x)0,f(x)0,f(x)单调递增；

当x1,x2时，g(x)0,f(x)0,f(x)单调递减；

当xx2,时，g(x)0,f(x)0，f(x)单调递增，

x1

eax1,x1lnalnx1

故x1,x2为f(x)的两个极小值点，且满足则，

x2

eax2,x2lnalnx2

tlnt

x1,

x1t1(2t1)lnt

令t(0t1)，得则2xx，

xlnt12t1

2x,

2t1

1

(2t1)lnt3lnt2t1

令，则，

F(t)(0t1)t

F(t)2

t1(t1)

2

1312t3t1(2t1)(t1)

令h(t)3lnt2t1，则h(t)2，

ttt2t2t2

1

当0t时，h(t)0,h(t)单调递增，

2

1191

当t1时，h(t)0,h(t)单调递减，h3ln40,h3ln220,h(1)0，

2422

1

11

故h(t)在(0,1)内存在唯一零点t0,，即ht03lnt02t010，

42t0

且当t0,t0时，h(t)0，F(t)0，则F(t)单调递减；

当tt0,1时，h(t)0,F(t)0，则F(t)单调递增，

1

2t012t012

则，

2t01lnt0t02t0111

F(t)Ft04t04

t013t013t03t0

1

111

由t0,，又对勾函数y4t04在0,单调递减可得：

42t02

8

得Ft0,3，故整数m的最小值为3．

3

二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全

部选对得6分，选对但不全对的得部分分，有选错的得0分．

4

9.已知数列a的首项a,a2aaa，则（）

n15n1nnn1

12n

A.1是等比数列B.

ann

an21

1na1

C.数列的前n项和为11D.数列n的前n项和小于

nn2

an22215

【答案】AD

【解析】

1

【分析】根据已知条件，利用构造法得到数列1是等比数列，进而求出an，判断选项AB，结合分组

an

求和法判断选项C，利用裂项相消法，判断选项D.

12

【详解】因为an12ananan1，所以1，

anan1

1111111

所以，所以11，

an12an2an12an

11111

又因为1，所以数列1是首项为，公比为的等比数列，A正确

42

a14an

n1n1

11112n1

所以，所以，故B错误；

1ann1

an42221

23n1

1111111

因为数列的前n项和为n

ana1a2an222

n

11

1n1

4211

nn，所以C不正确；

1

122

2

a

记数列n的前n项和为S，

2n21n

a2n111

因为n，

2n212n112n212n112n21

111111111

所以S，

n2212312312412n112n2152n215

故D正确．

10.下列说法正确的有（）

A.甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲和乙相邻，则有48种排法

B.三位老师和三名学生站成一排，若任意两位老师不相邻，任意两名学生也不相邻，则有144种排法

C.将6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有360种不同的分法

D.将6本相同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有10种不同的分法

【答案】AD

【解析】

【分析】根据捆绑及排列可判断A；利用插空法可判断B；由分组分配可判断C；应用隔板法可判断D．

【详解】解：对于A，先捆绑甲和乙，再全排，则有24种排法，故A正确；

A2A448

对于B，先排学生，再老师插空，中间两空必须有教师，则有32种，故B错误；

A3A3272

对于C，根据题意，分组可为4,1,1；3,2,1；2,2,2，

C4C1A3

当分组为时，共有623种；

4,1,1290

A2

当分组为时，共有313种；

3,2,1C6C3A3360

C2C2A3

当分组为时，共有643种；

2,2,2390

A3

综上，共有9036090540种，故C错误；

对于D，根据隔板法可知，共有2种，故D正确．

C510

2

11.已知抛物线C:y2px(p0)的焦点为F，点D(1,0)为C的准线l1上一点，过F的直线l与C交

于A、B两点（A在第一象限），与准线l1交于P，过A、B分别向C的准线l1作垂线，垂足分别为A、B，

则下列命题正确的是（）

A.若|FA|4，则l的斜率为3

16

B.若△AAF为等边三角形，则|AB|

3

π

C.若|PB|2|BF||AB|，则直线l的倾斜角为

4

D.若△ABD的面积为43，则AFBF83

【答案】ABD

【解析】

【分析】先求得p值，设直线l方程并与抛物线联立，由韦达定理得y1y2,y1y2,x1x2,x1x2表达式，根

据焦半径求出A点坐标，代入斜率公式判断A；根据条件求直线l的斜率，进而求出m的值，由弦长公式，

即可判断B；由|PB|2|BF||AB|与韦达定理联立求出m2的值，即可判断C；根据面积公式，求出m2的值，

再求出AF和BF结合韦达定理，计算即可判断D.

p

【详解】依题意，抛物线C:y22px(p0)的准线方程为x1，解得p2，

2

则抛物线C的方程为y24x，F(1,0)，

设直线l的方程为xmy1(m0),A(x1,y1)(y10),B(x2,y2)，

xmy1

联立，得2，

2y4my40

y4x

y2y2

则yy4m,yy4,xx121,xxm(yy)24m22，

121212441212

选项A：由抛物线定义|FA|x114，得x13，

代入抛物线方程得，即，

y123A(3,23)

230

又F(1,0)，所以l的斜率k3，故A正确；

31

π

选项B：若△AAF为等边三角形，则直线l的倾斜角为，斜率为3，

3

13

即3，解得m，

m3

2

316

所以，故B正确；

ABx1x22422

33

2

选项C：直线l的方程为xmy1，令x1，得P1,，

m

22

则22221112，

PB(x21)y2(x21)x21(x21)

mmmm2

2

因BFx21,AB4m4，

2122

由|PB||BF||AB|，得1(x21)(x21)(4m4)，

m2

11

整理得2，由，得，

x24m1x1x21x12

x24m1

11

又xx4m22，所以4m214m22，解得m2，

124m213

1

则直线l的斜率k3，故C错误；

m

1

选项D：若△ABD的面积SDFyyyy43，

21212

又22，解得2，

y1y2(y1y2)4y1y216m1643m2

又，所以22，

A(1,y1),B(1,y2)AF2y144x121x1

同理，

BF21x2

则

AFBF4(1x1)(1x2)41x1x2x1x2

414m22141283，故D正确.

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分．

12.若2026232026，则的值被

(2x1)a0a1xa2xa3xa2026x(xR)a0a1a2a2026

8除的余数为____________．

【答案】1

【解析】

【分析】利用赋值法，可得系数之和，根据二项式定理可得展开式，可得系数的正负，从而可得系数绝对

值之和，结合二项式定理，可得答案．

【详解】令，得2026，

x1a0a1a2a3a2024a2025a20263

因为r2026rr，

Tr1C2026(2x)(1)

*

所以当r为奇数时，展开式中偶数项的系数为负，即a2k10kN，

当r为偶数时，展开式中奇数项的系数为正，即a2k0kN，

2026

所以a0a1a2a2026a0a1a2a3a2024a2025a20263，

又20261013101301013110121012，

3981=C10138+C10138C101381

故a0a1a2a2026被8除余1．

13.已知数列的前项和为，且n，若保持数列中各项先后顺序不变，在与

annSnSn21anak

ak1(k1,2,)之间插入k个2，使它们和原数列的项构成一个新的数列bn，记bn的前n项和为Tn，

则T20____________．

【答案】63

【解析】

【分析】应用an,Sn关系求通项公式，根据题设列举出新数列前20项，即可求解.

【详解】当时，n1，所以nn1n1，

n2Sn121anSnSn1222,n2

当时，1，不符合上式，

n1a1S1213

3,n1

所以数列的通项公式为，

anann1

2,n2

保持数列an中各项先后顺序不变，在ak与ak1(k1,2,)之间插入k个2，

1234

新数列bn的前20项为3,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2，

则1234.

T20322221+2+3+4+52=63

mxfx1fx2

14.已知f(x)xlnxe(m0)对定义域内任意x1x2，都有1成立，则m的取值范

x1x2

围为____________．

1

【答案】,

e

【解析】

mx

【分析】设gxfxxxlnxxe，由题设可得gx的单调性，从而得到lnxmemx，利用

同构可得xemx，参变分离后可求参数的取值范围.

【详解】因为x1x2，所以x1x20，

fx1fx2

又1，则fx1fx2x1x2，即fx1x1fx2x2，

x1x2

令gxfxx,x0,，则gx1gx2，

所以函数gx在0,上单调递减，

mx

所以gxlnxme0在0,上恒成立，所以lnxmemx，

即xlnxmxemxemxlnemx，

令函数hxxlnx，则hxlnx1，

11

当x0,时，hx0，当x,时，hx0，

ee

11

所以hx在0,上单调递减，在,上单调递增，

ee

1

当x0,时，hxxlnx0，

e

因为m0，所以hemxemxlnemxmxemx0，

mx

显然hxhe恒成立mR；

1

当x,时，hx单调递增，xlnx≤emxlnemx恒成立等价于xemx恒成立，

e

lnxlnx1lnx

两边取对数得lnxmx，故m，令函数x，则x，

xxx2

1

当x,e时，x0，当xe,时，x0，

e

1

所以x在,e上单调递增，在e,上单调递减，

e

11

所以xe，所以m，

maxee

1

综上所述，正实数m的取值范围为,.

e

四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

8

17

15.已知在x的展开式中常数项为，且a0．

a3x16

（1）求二项式系数最大的项和系数绝对值最大的项．

（2）从展开式中的所有项中任取四项，取出的四项中既有有理项也有无理项，求共有多少种不同的取法．

35816

【答案】（1）x3，T7x3,T7x4

834

（2）111

【解析】

【分析】（1）利用通项公式可求得a，利用二项式的性质可求二项式系数最大的项，设第k1项系数的绝

对值最大，可得k的不等式，求解即可；

4

（2）令8km,mZ，可求得展开式中有理项和无理项的项数，利用组合数公式可求得取出的四项

3

中既有有理项也有无理项的取法数.

【小问1详解】

k4

8k

根据展开式的通项可得1k3，

Tk1C8x

a

4

令8k0，解得k6．

3

6

常数项167，解得，

T7C8a2

a16

488

所以二项式系数最大的项143353，

T5C8xx

28

设第k1项系数的绝对值最大，

kk1

k1k11

C8C8

22

则，即，又kZ，所以或3，

kk12k3k2

11

kk1

C8C8

22

16

即第3项和第4项系数的绝对值最大，即34；

T37x,T47x

【小问2详解】

4

令8km,mZ，解得k0,3,6，

3

即展开式中的有理项共有3项，无理项有6项；

所以从展开式中的所有项中任取四项，

取出的四项中既有有理项也有无理项的取法共有132231种．

C3C6C3C6C3C6111

16.已知函数f(x)x3tx(tR)，在x0处切线的斜率为3．

（1）求f(x)的单调区间．

（2）若f(x)在[a,2]上取到最小值2，求实数a的取值范围．

【答案】（1）增区间为(,1),(1,)，减区间为(1,1)

（2）[2,1]

【解析】

【分析】（1）根据导数的几何意义，可得t值，代回f(x)，令f(x)0，可得单调增区间，令f(x)0，

可得单调减区间.

（2）由（1）得f(x)的单调性，令f(x)2，求出x值，分析即可得答案.

【小问1详解】

由题意f(x)3x2t，在x0处切线的斜率为3，

f(0)t3，则t3，

f(x)3x233(x1)(x1)，

令f(x)0，解得x1或x1，令f(x)0，解得1x1，

f(x)的增区间为(,1),(1,)，减区间为(1,1).

【小问2详解】

由题意可知，a2，

由（1）知，f(x)x33x在(,1)，(1,2)上单调递增，在(1,1)上单调递减．

又f(1)2，当x(1,2)时，f(x)2，

令f(x)2，则x33x20，即(x1)2(x2)0，解得x1或2，

当x2时，f(x)f(2)2，

a的取值范围为[2,1]．

17.已知数列的前项和满足n1．

ann4Sn6an3

a

（1）证明数列n为等差数列．

3n

（2）求数列an的前n项和．

（3）若不等式2对任意*恒成立，求的取值范围．

4n8n5annN

【答案】（1）证明见解析

n

（2）S3n1

n2

2

（3）

27

【解析】

【分析】（1）当n1时，代入可得a1，当n2时，根据anSnSn1，整理化简，结合等差数列的定义，

即可得证.

（2）由（1）可得an的通项公式，根据错位相减求和法，即可得答案.

4n104n10

（3）由条件得，令c，分析c的单调性，即可得答案.

3nn3nn

【小问1详解】

9

由题意知：当n1时，4S6a9，得a，

1112

当时，n，又n1，

n24Sn16an134Sn6an3

两式相减得n，即n，

4an6an6an123an3an13

aaa3

nn11，又1，

3n3n1312

a3

∴数列n是以为首项，1为公差的等差数列.

3n2

【小问2详解】

an311n

由（1）知：(n1)1n，即ann3，

3n222

352731n

则Sn333n3，

2222

3253741n1

3Sn333n3，

2222

n1

923n1n199131n1

2Sn333n3n3

222132

n

S3n1.

n2

【小问3详解】

4n10

不等式4n28n5a等价于，

n3n

4n1022

记c，则c2,c,c，所以ccc，

n3n129327123

4n6

cn12n312

时，n13，

n2

cn4n106n1536n15

3n

c

∴当n3时，6n152n3，即41，

c3

cn12

当时，，即得，

n301c3c4c5c6

cn27

22

所以ccc.

nmax342727

x2y2

18.已知椭圆C:1(ab0)焦距为4，短轴长为4．

a2b2

（1）求椭圆C的方程．

（2）若椭圆C与y轴的交点为A，B（点A位于点B的上方），直线l:ykx3与椭圆C交于不同的两点M，

N．设直线AN与直线BM相交于点G．试问点G是否在定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，说明

理由．

x2y2

【答案】（1）1

84

4

（2）在定直线y上

3

【解析】

【分析】（1）根据条件，可得b，c的值，根据a,b,c的关系，可得a2的值，即可得答案.

（2）将直线l与椭圆联立，根据韦达定理，可得表达式，求出直线AN、BM的方程，联立求

x1x2,x1x2

解，化简整理，即可得答案.

【小问1详解】

2c4b2

依题意可得，解得，则a2b2c28，

2b4c2

x2y2

所以椭圆C的方程为1；

84

【小问2详解】

4

点G在定直线y上，理由如下：

3

设点Nx1,y1,Mx2,y2，

x2y2

122

联立84，与直线l联立消去y，整理得12kx12kx100，

ykx3

5

由Δ(12k)241012k20，得k2

8

12k106

且xx,xx，所以xxkxx，

1212k21212k212512

y12y22

易知A(0,2),B(0,2)，则lAN:y2x,lBM:y2x，

x1x2

5

x1x2x2

y2y12x2kxxx14

两式作商得1226，解得y，

y2y2xkxx5x55

21121xx5x3

6121

4

故G在定直线y上．

3

19.对x1,x2,,xn[a,b]，若函数f(x)在[a,b]有

x1x2xnfx1fx2fxn

f，则称函数f(x)是在[a,b]上的“凹函数”，反之，

nn

xxxfx1fx2fxn

若满足f12n，则称函数f(x)是在[a,b]上的“凸函数”，

nn

当且仅当x1x2xn时等号成立．也可理解为若函数f(x)在[a,b]上可导，f(x)为f(x)在[a,b]上

的导函数，f(x)为f(x)在[a,b]上的导函数，当f(x)0时，函数f(x)是在[a,b]上的“凹函数”，反

之，当f(x)0时，则称函数f(x)是在[a,b]上的“凸函数”．

（1）判断函数f(