湖北省汉川市2025-2026学年高二数学上学期10月质量检测试卷含解析

考生注意：

1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.

2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.

3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应

题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域

内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.

4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册第一章.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.（）

A.B.C.D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用向量的线性运算直接求解即可.

【详解】.

故选：A

2.已知点是点在坐标平面内射影，则（）

A.B.C.D.5

【答案】B

【解析】

【分析】根据点在面上的射影及空间向量的模求解.

【详解】因为是点在坐标平面内的射影，

所以，，

所以，

故选：B

3.下列命题错误的是（）

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A.零向量不能作为直线的一个方向向量

B.若向量是平面的一个法向量，则也是平面的一个法向量

C.在长方体中，是底面的一个法向量

D.单位向量都是相等向量

【答案】D

【解析】

【分析】根据零向量方向判断A，根据共线向量判断B，根据长方体的性质判断C，根据单位向量概念判断

D.

【详解】由直线的方向向量规定为一个非零向量，所以不能作为直线的一个方向向量，故A正确；

向量是平面的一个法向量,则共线向量也是平面的一个法向量，故B正确；

在长方体中，因为侧棱与底面垂直，所以是底面的一个法向量，故C正确；

单位向量模相等，但方向不一定相同，故不一定是相等向量，故D错误.

故选：D

4.若平面，的法向量分别为，，则平面与的位置关系是（）

A.平行B.垂直C.相交但不垂直D.无法确定

【答案】C

【解析】

【分析】根据空间向量的坐标运算判断向量是否平行或垂直，从而可判断平面与的位置关系.

【详解】平面，的法向量分别为，，

则不平行，则平面，不平行，

又，则平面，不垂直，

故平面与相交但不垂直.

故选：C.

5.已知平面经过点，为平面的一个法向量，点是平面内异于点

的任意一点，则（）

A.B.

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C.D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据法向量的性质利用数量积求解.

【详解】因为是平面的一个法向量，

所以，

故，

即，

故选：B

6.如图1，正方形中，，，是的中点.将沿折叠到的

位置，使得平面平面（如图2），则直线与平面所成角的正弦值为（）

A.B.C.D.

【答案】C

【解析】

【分析】建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法求解.

详解】连接，如图，

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由题意可知，，

又平面平面，是交线，平面，

所以平面，又平面，所以，

以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，

设，则，，，，，

由，，知为的中点，则，,

,，

设平面的一个法向量，

则，令，则，即，

设直线与平面所成角为，

则，

故选：C

7.已知空间向量，，共面，则（）

A.B.1C.2D.3

【答案】A

【解析】

【分析】由空间向量共面定理，代入计算，即可得到结果.

【详解】由共面可知，存在实数使得，

即，

所以，解得.

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故选：A

8.如图，在四棱锥中，平面，，，，

，点是四边形内部的一点，且平面与平面的夹角为，则点的轨迹的长

度为（）

A.B.C.D.

【答案】D

【解析】

【分析】由平面与平面的夹角为，知点在以为端点的一条线段上，再利用向量法求解。

【详解】如图，以为坐标原点，以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，

则.

由平面与平面的夹角为，知点在以为端点的一条线段上，

设直线与轴的交点为，平面的一个法向量为，

设平面的法向量为，，

则取，故平面一个法向量为.

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又由平面与平面的夹角为，得，

解得，所以点的轨迹的长度为.

故选：D．

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知向量，，则下列说法正确的是（）

A.向量，的夹角为

B.

C.若是坐标原点，且，，则以，为邻边的平行四边形的面积为

D.向量在向量上的投影向量为

【答案】AC

【解析】

【分析】对于A：利用向量夹角公式可得；对于B：先得到的坐标，再平方即得答案；对于C：利

用平行四边形的面积公式可得；对于D：利用投影向量公式可得.

【详解】选项A：计算数量积：，

模长：，，

夹角余弦：，

因此，故选项A正确；

选项B：计算：，，

模长：，故选项B错误；

选项C：以，为邻边的平行四边形的面积，故选项C

正确；

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选项D：向量在向量上的投影向量为：，

，，

代入得：，故选项D错误.

故选：AC

10.如图，在平行六面体中，与相交于点，记，，，

为的重心，则（）

A.B.

C.D.

【答案】BC

【解析】

【分析】根据空间向量的线性运算逐项计算即可判断.

【详解】由，故A错误；

，故B正确；

，故C正确；

，故D错误.

故选：BC

11.如图，在棱长为2的正方体中，，分别是棱，的中点，点是正方形

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内部任意一点（包括边界），则（）

A.的长度的最大值为

B.若平面，则点为的一个三等分点

C.平面截正方体所得截面的周长为

D.直线与平面所成角的正弦值最大为

【答案】ABD

【解析】

【分析】建立空间直角坐标系，根据两点间距离公式、线面垂直的性质、正方体截面的性质，结合空间向

量夹角公式、基本不等式逐一判断即可.

【详解】A：建立如图所示的空间直角坐标系，

则，

，当时，的长度的最大值为，

此时点与点重合，故本选项正确；

B：，设平面的法向量为，

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，，

所以有，可取，

当平面时，则有，则有，

即，，，

显然，所以点为的一个三等分点，因此本选项正确；

C：如上图所示：截面是五边形，

显然，

由平面几何知识可知，

因为，所以，

得，同理，可得，

于是，，

，，

所以平面截正方体所得截面的周长为

，因此本选项说法不正确；

D：由上可知平面的法向量为，，

直线与平面所成角的正弦值为，

因为，

所以有，当且仅当时取等号，

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于是有，当且仅当时取等号，

所以直线与平面所成角的正弦值最大为，因此本选项说法正确，

故选：ABD

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.点关于轴对称的点的坐标为______.

【答案】

【解析】

【分析】根据题意，结合空间直角坐标系的定义，即可求解.

【详解】根据空间直角坐标系的定义，可得点关于轴对称的点的坐标为.

故答案为：.

13.在空间直角坐标系中，轴上一点到点和的距离相等，则点的坐

标为______.

【答案】

【解析】

【分析】设，根据空间向量的坐标求两点距离列方程即可得所求.

【详解】设，因为，

所以，解得，

故点的坐标为.

故答案为：.

14.如图，在四棱锥中，，，，，，

在棱上，若，，，四点共面，则______.

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【答案】

【解析】

【分析】设，以为基底表示出，利用，，，四点共

面，得到，再由，得到

，代入上式，即可得到方程组，进而求出结果.

【详解】由题知，设，

则，

又，

且

，

因为，，，四点共面，

所以，

即，

又因为，则，

第11页/共20页

即，

所以，

所以，

所以

，

所以，解得，

故，所以.

故答案为：

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知向量（其中，为实数）是直线的方向向量，向量是平面的

法向量.

（1）若，求的最小值；

（2）若，求，的值.

【答案】（1）

（2）

【解析】

【分析】（1）由，得到，求得，化简得到，结合二次函数的

性质，即可求解；

（2）由，得到，结合共线向量的坐标表示，列出方程组，即可求解.

【小问1详解】

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解：由向量是直线的方向向量，向量是平面的法向量，

若，则，可得，所以，

则，

当时，取得最小值，最小值为.

【小问2详解】

解：若，可得，所以，

可得，由，代入可得.

16.已知是空间的一个基底，向量.

（1）证明：是空间的另一个基底；

（2）用基底表示向量.

【答案】（1）证明见详解

（2）

【解析】

【分析】（1）假设共面，则，判断是否存在实数和使等式成立即可；

（2）设，根据向量相等求出即可.

【小问1详解】

设共面．根据共面向量定理可知，

此时不存在实数和使等式成立，

故不共面，

是空间的另一个基底.

【小问2详解】

设，则，又，

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，解得，

17.如图，在平行六面体中，，且，

.

（1）分别求，的长；

（2）证明：.

【答案】（1）

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）由空间向量线性运算，可得，，利用数量积运算性

质即可得出．

（2）由和，计算出，利用向量数量积运算性质计算即可证明.

【小问1详解】

因为，且，，

故，

又，故

，

由于，

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所以

，

【小问2详解】

，

所以．

18.如图，在四棱柱中，底面是边长为2的正方形，⊥底面，

，为的中点，.

（1）证明：平面；

（2）当时，求的中点到平面的距离；

（3）当直线与平面所成的角为时，求的值.

【答案】（1）证明见详解

（2）

（3）

【解析】

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【分析】（1）建立空间直角坐标系，在平面找一个向量与共线，再利用线面平行的判定定理即

可证明；

（2）利用点到平面的距离公式求解即可；

（3）利用线面角的向量求法求解即可.

【小问1详解】

是边长为的正方形，，又平面，

以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，

，

为的中点，，取的中点，则，

所以，

，，平面，平面

//平面

【小问2详解】

，

设平面的一个法向量为

则令，则，得

当时，为的中点，

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设的中点为，则，

点到平面的距离．

故的中点到平面的距离.

【小问3详解】

，

，

，由（2）知平面的一个法向量

设直线与平面所成的角为，则

即，解得或（舍去），

故当时，直线与平面所成的角为.

19.如图，在四棱锥中，底面为长方形，，为的中点，，

，.

（1）证明：平面；

（2）点为底面所在平面内的任意一点（在长方形外，和均为锐角），且

.

（ⅰ）若平面和平面的夹角为，求的最大值；

（ⅱ）请判断是否存在点，使得五棱锥存在外接球，若存在，求出外接球的半径；若不存

在，请说明理由.

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【答案】（1）证明见解析

（2）（i）（ii）不存在，证明见解析

【解析】

分析】（1）根据勾股定理证明线线垂直，根据线面垂直证明线线垂直，再综合证明线面垂直即可；

（2）（i）建立空间直角坐标系，设出点坐标，利用空间向量求二面角的最值即可；（ii）先求四棱锥

的外接球球心，再证明点不在该球上即可.

【小问1详解】

证明：因为，所以，所以，故．

又平面，所以平面．

又平面，所以．

因为，所以，

所以，即．

又平面，所以平面．

【小问2详解】

解：如图，取的中点，连接，则．

以为坐标原点，所在直线分别为