湖北省部分省级示范高中2025-2026学年高二数学上学期期中测试试卷含解析

★祝考试顺利★

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指

定位置.

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸

和答题卡上的非答题区域均无效.

3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非

答题区域均无效.

4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.

一、单选题：共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.

x2y2

1△

1.过椭圆259的左焦点F1的直线交椭圆于A，B两点，F2为椭圆的右焦点，则ABF2的周长为

（）

A.32B.20C.16D.12

【答案】B

【解析】

【分析】根据椭圆的定义，即可求解三角形的周长.

【详解】由椭圆的定义可得：AF1AF2BF1BF22a10，

ABF2的周长为：ABAF2BF2AF1BF1AF2BF220．

故选：B．

2.已知直线(k3)x(4k)y10与2(k3)x2y30平行，那么k的值为（）

A.1或3B.1或5C.3或5D.1或2

【答案】C

【解析】

【分析】讨论k的取值，结合两直线平行列式求解，即得答案；也可采用排除法.

3

【详解】当k3时，两直线为y1,y，满足题意；

2

k34k1

当k3时，因已知两条直线平行，所以，解得k5.

2k323

另解：把k1代入已知两条直线方程，得2x3y10与4x2y30，

此时两条直线的斜率不相等，所以两条直线不平行，所以k1，排除A，B，D.

故选：C

111

3.已知PA，PB，PAB，则PAB（）

4612

5111

A.B.C.D.

12346

【答案】B

【解析】

【分析】根据给定条件，利用概率的基本性质列式计算即得.

1111

【详解】由PA,PB,PAB，得PABPAPBPAB．

46123

故选：B

4.在空间直角坐标系中，若a(1,1,3),b(1,1,x)，且ab，则ab（）

A.13B.11C.3D.7

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意，利用向量垂直的坐标表示，求得x0，得到b(1,1,0)，结合向量模的计算公式，

即可求解.

【详解】由向量a(1,1,3),b(1,1,x)，

因为ab，可得ab113x0，解得x0，所以b(1,1,0)，

则ab(2,0,3)，所以ab22(3)27.

故选：D.

5.已知直线l:ykx2的一个方向向量为3,1，则直线l的倾斜角为（）

A.30B.60C.120D.150

【答案】A

【解析】

【分析】先根据方向向量求出直线的斜率，再求出倾斜角.

13

【详解】已知直线l的一个方向向量为(3,1)，根据直线方向向量与斜率的关系，直线的斜率k.

33

3π

因为直线的斜率ktan，且0π，所以.

36

故选：A.

6.抛掷一红一绿两颗质地均匀的骰子，记录骰子朝上面的点数，若用x表示红色骰子的点数，用y表示绿

色骰子的点数，用x,y表示一次试验结果，设事件E:xy8；事件F：至少有一颗点数为6；事件

G:x4；事件H:y4.则下列说法正确的是（）

A.事件E与事件F为互斥事件B.事件F与事件G为互斥事件

C.事件E与事件G相互独立D.事件G与事件H相互独立

【答案】D

【解析】

【分析】A选项，写出事件E,F包含的情况，得到EF，A错误；B选项，写出事件G包含的情况，

结合A选项，得到FG，B错误；C选项，写出事件EG包含的情况，故PEGPEPG，

C错误；D选项，写出事件H和GH包含的情况，得到PGHPGPH，D正确.

【详解】A选项，事件E:xy8包含的情况有2,6,3,5,4,4,5,3,6,2，

事件F：至少有一颗点数为6包含的情况有

1,6,2,6,3,6,4,6,5,6,6,6,6,1,6,2,6,3,6,4,6,5，

故EF，事件E与事件F不为互斥事件，A错误；

B选项，事件G:x4包含的情况有

5,1,5,2,5,3,5,4,5,5,5,6,6,1,6,2,6,3,6,4,6,5,6,6，

故FG，事件F与事件G不为互斥事件，B错误；

C选项，抛掷一红一绿两颗质地均匀的骰子，共有6636种情况，

5121

故PE,PG，

36363

21

事件EG包含的情况为5,3,6,2，故PEG，

3618

故PEGPEPG，故事件E与事件G不相互独立，C错误；

D选项，事件H:y4包含的情况有

1,1,1,2,1,3,2,1,2,2,2,3,3,1,3,2,3,3,4,1,4,2,4,3，

5,1,5,2,5,3,6,1,6,2,6,3，共18种情况，

181

故PH，

362

事件GH包含的情况有：5,1,5,2,5,3,6,1,6,2,6,3，

61

故PGH，

366

因为PGHPGPH，所以事件G与事件H相互独立，D正确.

故选：D

22

7.若两条直线l1:yxa,l2:yxb与圆xy4x2ym0(m5)的四个交点能构成矩形，则

ab（）

A.1B.1C.2D.2

【答案】D

【解析】

【分析】根据点到直线的距离公式即可求解.

【详解】由题意，直线l1,l2平行，且与圆的四个交点构成矩形，则可知圆心到两直线的距离相等且ab，

由圆x2y24x2ym0的圆心为2,1，

21a1a

圆心到的距离为，

l1:yxad1

22

21b1b

圆心到：的距离为，

l2yxbd2

22

1a1b

所以1a1b，整理得到abab20，

22

由ab，所以ab2．

故选：D．

8.已知点P(1,0)及圆C:x2y22，点M，N在圆C上，若PMPN，则|MN|的取值范围为（）

A.[31,31]B.[22,22]C.[23,23]D.[22,23]

【答案】A

【解析】

【分析】

如图所示，当四边形PMQN为正方形且MNOP时，|MN|取得最小值或最大值，求出M的坐标即可

得出答案．

【详解】如图所示，

当四边形PMQN为正方形且MNOP时，|MN|取得最小值或最大值．

由图可知PM所在直线斜率k1，则PM方程为yx1，

x2y22

则PM与圆x2y22的两个交点分别为M、M，，

yx1

1313

解得x，x，

M2M2

13311313

所以M(，)，M(，)，

2222

则的最小值为：，最大值为：，

|MN|2|yM|312|yM|31

所以|MN|的取值范围为[31，31]．

故选：A．

【点睛】解题的关键是根据题意，根据对称性，求得PM的方程，进而可求得M点坐标，即可求得答案，考

查数形结合的解题思想，考查了计算能力，属中档题．

二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部

分选对得部分分，有选错的得0分.

x2y2

9.已知椭圆C:1，F1，F2分别为它的左右焦点，A,B分别为它的左右顶点，点P是椭圆上的

259

一个动点，下列结论中正确的有（）

A.短轴长是3B.F1PF2的周长为15

4

C.离心率eD.若FPF90，则FPF的面积为9

51212

【答案】CD

【解析】

c

【分析】根据短轴长2b的定义可判断A；利用椭圆的定义可判断B；根据离心率e来判断C；利用勾股

a

定理以及椭圆的定义求出PF1PF2可判断D.

x2y2

【详解】A，由1，可得a5，b3,c4，所以椭圆C的短轴长为2b6，故A不正确；

259

B，F1PF2的周长为PF1PF2F1F22a2c18，故B不正确.

c4

C，离心率e，故C正确；

a5

D，，222，

F1PF290PF1PF2F1F264

2

又因为，所以，

PF1PF22a10PF1PF2100

即22，解得,

PF1PF22PF1PF2100PF1PF218

1

所以S△PFPF9，故D正确.

F1PF2212

故选：CD

10.如图，在正方体中，为底面的中心，E，F分别为，的中点，P

ABCDA1B1C1D1GA1B1C1D1ABBB1

点满足APAFAEAG，则（）

A.C1D//平面EFGB.BD1//平面EFG

111

C.GFBBCBABD.P，G，E，F四点共面

2122

【答案】ABD

【解析】

【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算判断ABC；求出P点坐标，再推导出FEPG判

断D.

【详解】在正方体ABCDA1B1C1D1中，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

令AB2，则C1(2,2,2),D(0,2,0),B(2,0,0),D1(0,2,2),E(1,0,0)，

G(1,1,2),F(2,0,1),B1(2,0,2),A1(0,0,2)，

则，，，，

EG(0,1,2)FE(1,0,1)C1D(2,02)BD1(2,2,2)

nFExz0

设平面EFG的法向量n(x,y,z)，则，令x1，得n(1,2,1)，

nEGy2z0

对于A，，且平面，则平面，A正确；

C1Dn0C1DEFGC1D//EFG

对于B，，平面，则平面，B正确；

BD1n21222(1)0BD1EFGBD1//EFG

对于C，，，，，

GF1,1,1B1B0,0,2CB0,2,0AB2,0,0

111

则GFBBCBAB，C错误；

2122

对于D，由APAFAEAG，得APAEAGAF(1,0,0)(1,1,2)(2,0,1)(0,1,1)，

即P(0,1,1)，则PG(1,0,1)，FE(1,0,1)，即FEPG，

因此FE//PG，即P,G,E,F四点共面，D正确.

故选：ABD.

11.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值（1）的点的轨

迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系xOy中，已知A4,2，B2,2，点P满足

PA

2，设点P的轨迹为圆C，下列结论正确的是（）

PB

22

A.圆C的方程是x4y216

B.过点A向圆C引切线，两条切线的夹角为

3

15

C.过点A作直线l，若圆C上恰有三个点到直线l距离为2，该直线斜率为

5

PD

D.在直线y2上存在异于A，B的两点D，E，使得2

PE

【答案】ABD

【解析】

【分析】

PA

根据A4,2，B2,2，点P满足2，设点Px,y，求出其轨迹方程，然后再逐项运算验证.

PB

PA

【详解】因为A4,2，B2,2，点P满足2，

PB

22

x4y2

设点Px,y，则2，

22

x2y2

22

化简得：x2y28x4y40，即x4y216，故A正确；

R1

因为AC8,R4，所以sin，则，解得，故B正确；

2AC2263

易知直线的斜率存在，设直线l:kxy4k20，因为圆C上恰有三个点到直线l距离为2，则圆心到

8k15

直线的距离为：d2，解得k，故C错误；

k2115

22

xmy2

假设存在异于A，B的两点Dm,2，En,2，则2，

22

xny2

2m8n4n2m212

化简得：x2y2x4y0，因为点P的轨迹方程为：x2y28x4y40，

33

2m8n

8

3m12m4

所以解得或（舍去），故存在D12,2,E6,2，故D正确；

4n2m212n6n2

4

3

故选：ABD

PA

【点睛】关键点点睛：本题关键是根据2求出点P的轨迹方程，进而再根据直线与圆的位置关系求

PB

解.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.设向量，，不共面，已知，，，

e1e2e3AB3e1e22e3BCe1e26e3CD4e12e28e3

若A，C，D三点共线，则______．

【答案】0

【解析】

【分析】方法一、根据题意，得到AC,CD，根据A，C，D三点共线得CDyAC，再利用向量相等的条

件求解参数即可；方法二、假设e1,e2,e3为空间的一个单位正交基底，再利用空间坐标的平行表示计算即

可.

【详解】方法一、因为，，，

AB3e1e22e3BCe1e26e3CD4e12e28e3

所以．

ACABBC2e11e24e3

因为A，C，D三点共线，所以存在唯一的实数y，使得CDyAC，

即，

4e12e28e3y2e11e24e3

42y

0

即2y1，解得．

y2

84y

方法二、因为向量e1，e2，e3不共面，所以可假设e1,e2,e3为空间的一个单位正交基底，

则AB在此基底下的坐标为3,1,2，同理BC1,,6，CD4,2,8，

则ACABBC2,1,4，

若A，C，D三点共线，则AC∥CD，

428

即，解得0．

214

故答案为：0.

13.柜子里有3双不同的鞋子，分别用表示6只鞋，从中有放回地取出2只，记事件

a1,a2,b1,b2,c1,c2．．．．

M“取出的鞋是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋”，则事件M的概率是____________．

1

【答案】

3

【解析】

【分析】列举法写出试验的样本空间，根据古典概型的概率公式直接可得解.

【详解】设表示三只左鞋，表示三只右鞋，

a1,b1,c1a2,b2,c2

则从中有放回取出2只的所有可能为：

a1,a1,a1,a2,a1,b1,a1,b2,a1,c1,a1,c2

a2,a1,a2,a2,a2,b1,a2,b2,a2,c1,a2,c2

b1,a1,b1,a2,b1,b1,b1,b2,b1,c1,b1,c2

b2,a1,b2,a2,b2,b1,b2,b2,b2,c1,b2,c2

c1,a1,c1,a2,c1,b1,c1,b2,c1,c1,c1,c2

c2,a1,c2,a2,c2,b1,c2,b2,c2,c1,c2,c2，共计36种，

其中满足取出的鞋一只左脚一只右脚，但不是一双鞋的有12种，

121

PM.

363

1

故答案为：.

3

14.棱长为6的正四面体ABCD中，点M为△BCD所在平面内的动点，且满足AM5，则直线

AM与直线BD所成的角的余弦值的最大值为_____.

51

【答案】##5

55

【解析】

【分析】利用给定条件判断M的轨迹，再建立空间直角坐标系，利用线线角的向量求法将所求夹角余弦值

表示为三角函数，结合三角函数的有界性求出取值范围即可.

【详解】首先，记A在底面BCD内的投影为O，则AO底面BCD，

因为CO,OM平面BCD，所以AOCO,AOOM，

因为正四面体ABCD，所以△BCD是等边三角形，

由题意得BCBDCDAC6，O是△BCD的中心，

23

则CO62,AO622，

32

由题意得AM5，则OM5221，

所以M的轨迹是以O为圆心，半径为1的圆，

建立如下图所示的空间直角坐标系：

设M与x轴正半轴所成的角为，则M(cos,sin,0)，

2626

0,2π,A0,0,2,B,,0,D,,0，

2222

所以AMcos,sin,2,BD0,6,0，

设直线AM与直线BD所成的角为，

6sin5

所以coscosAM,BDsin，

565

55

因为sin0,1，所以sin0,，

55

5

即直线AM与直线BD所成的角的余弦值的最大值为.

5

故答案为：5.

5

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15.翱翔蓝天，报效祖国是很多有志青年的梦想，而实现这个梦想，需要依次通过五关：目测、初检、复

检、文考（文化考试）、政审．若某校甲、乙、丙三位同学都顺利通过了前两关，根据分析甲、乙、丙三位

同学通过复检关的概率分别是0.4,0.5,0.75，他们能通过文考关的概率分别是0.6,0.5,0.3，若后三关之间

通过与否没有影响．

（1）求甲、乙都能进入政审这一关的概率；

（2）求甲、乙、丙三位同学中恰好有两个人通过复检的概率．

【答案】（1）0.06

（2）0.425

【解析】

【分析】（1）分别求甲、乙能进入政审这一关的概率，结合独立事件概率乘法公式运算求解；

（2）分析可知恰好有两个人通过复检的有：甲乙或甲丙或乙丙，结合独立事件概率乘法公式运算求解.

【小问1详解】

由题意可知：甲、乙分别能进入政审这一关的概率p10.40.60.24,p20.50.50.25，

所以甲、乙都能进入政审这一关的概率P1p1p20.240.250.06.

【小问2详解】

甲、乙、丙三位同学中恰好有两个人通过复检的有：甲乙或甲丙或乙丙，

所以恰好有两个人通过复检的概率

P20.40.510.750.410.50.7510.40.50.750.425.

16.在如图所示的平行六面体中，，，，

ABCDA1B1C1D1AB1AD2AA122

，，设，，.

A1ABA1AD45BAD60ABaADbAA1c

（1）用，，表示，，；

abcACAC1BD1

（2）求异面直线AC与BD1所成角的余弦值.

【答案】（1），，

ACabAC1abcBD1abc

（2）3105

35

【解析】

【分析】（1）应用空间向量的加减法计算求解；

（2）应用空间向量数量积公式计算ab,bc,ac，再应用异面直线所成角的余弦公式计算求解.

【小问1详解】

ACABADab，

，

AC1ACCC1abc

；

BD1AD1ABADAA1ABabc

【小问2详解】

12

因为abABADcos60121，acABAAcos451222，

212

2

bcADAAcos452224，

12

又，，

ACabBD1abc

所以22，

ACBD1ababcaacbbc12449

2

22

ACaba2abb1247，

2

222，

BD1abcabc2ab2ac2bc14824815

π

设异面直线与所成角为，

ACBD10,

2

ACBD193105

则coscosAC,BD1

ACBD171535

17.已知圆C过两点A1,1、B1,3，且圆心C在直线x2y10上.

（1）求圆C的标准方程；

（2）求过点P3,4的圆C的切线方程；

（3）若直线l的横截距为aa1，纵截距为bb1，直线l被圆C截得的弦长为23，求ab的最小值．

22

【答案】（1）C:x1y14

（2）x3或5x12y330

（3）642

【解析】

【分析】（1）设圆心为C2t1,t，根据CACB结合两点间的距离公式可求出t的值，可得出圆心的

坐标，进而可求出圆C的半径，由此可得出原C的标准方程；

（2）分析可知，点P在圆C外，对切线的斜率是否存在进行分类讨论，在切线斜率不存在时，直接验证即

可；在直线斜率的存在时，设出切线的方程，利用圆心到直线的距离等于圆的半径求出切线斜率的值，综

合可得出切线的方程；

（3）利用直线截圆的弦长可得出圆心C到直线l的距离为d1，求出直线l的方程，利用点到直线的距离

公式可得出ab22ab，利用基本不等式结合二次不等式的解法可求得ab的最小值.

【小问1详解】

解：因为圆心C在直线x2y10上，设圆心为C2t1,t，

因为点A1,1、B1,3在圆C上，所以CACB，

222

即4t2t12t2t3，解得t1，

22

所以圆心C1,1，半径rOA2，所以圆的标准方程为C:x1y14.

【小问2详解】

22

解：由（1）可得圆C:x1y14，则圆心C1,1，半径r2，

22

因为31414，则点P在圆C外，

当过点P3,4的直线斜率不存在，则直线方程为x3，

圆心C到直线x3的距离为2，故直线x3为圆C的切线；

当过点P3,4的直线斜率存在，

可设直线方程y4kx3，即kxy3k40，

32k

圆心C到该直线的距离d，

k21

32k

由直线kxy3k40与圆C相切，则dr，即2，

1k2

5

可得4k212k94k24，解得k，

12

5

此时，直线方程为y4x3，即5x12y330，

12

综上，切线的方程为x3或5x12y330.

【小问3详解】

解：直线l被圆C截的弦长为23，

2

所以，圆心C到直线l的距离为d431，

又直线l的横截距为aa1，纵截距为bb1，

xy

则直线l的方程为1，即bxayab0，

ab

abab

圆心C1,1到直线l的距离为d1，整理可得ab22ab，

a2b2

2

由ab2ab，得ab22ab4ab，即ab4ab20，

解得ab22或ab22，

因为a1，b1，则ab1，则ab22，故ab642，

ab

当且仅当时，即当ab22时，等号成立，

ab22

所以，ab的最小值为642.

π

18.如图，在四棱锥PABCD中，PA平面PBC,ABP，底面ABCD为直角梯形，

3

AB∥DC,ABBC,AB2DC4，BC22.

（1）证明：平面ABCD平面PAB；

（2）求点C到平面PAD的距离；

（3）线段PC上是否存在一点E，使得平面BDE与平面PAD所成角（即两个平面相交时所成的锐二面角）

7PE

的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

9EC

【答案】（1）证明见解析

（2）22

3

PE

（3）存在，2

EC

【解析】

【分析】（1）由线面垂直得到PABC，进而得到线面垂直，最后得到平面ABCD平面PAB.（2）建

立空间直角坐标系，求出关键点坐标和法向量，结合点面距离公式计算即可；

（3）结合（2），设CECP，得到平面EBD的一个法向量，结合题意，构造方程计算即可.

【小问1详解】

由PA平面PBC,BC平面PBC，则PABC，

又ABBC，由PAABA，且PA,AB平面PAB，

所以BC面PAB，

又BC面ABCD，所以平面ABCD平面PAB.

【小问2详解】

π

由（1）易知PAPB，又ABP，过P作POAB于O，

3

由面ABCD面PAB，面ABCD面PABAB,PO面PAB，

所以PO面ABCD，

过O作Oz∥BC，易知OzAB，

故可构建如图示空间直角坐标系.

又AB2DC4,BC22,DC∥AB，

则A0,3,0,P3,0,0,C0,1,22,D0,1,22，

所以AP3,3,0,AD0,2,22,DC0,2,0，

若mx,y,z是面PAD的一个法向量，

mAP3x3y0

则解得，

,m6,2,1

mAD2y22z0

mDC22

所以点C到平面PAD的距离.

m3

【小问3详解】

同（2）构建空间直角坐标系，易知平面PAD的法向量m6,2,1

设CECP，

于是BEBCCEBCCP

0,0,223,1,22

3,,2222，

DB0,2,22，

设nx,y,z是平面EBD的一个法向量，

nBE3xy2222z03222

则，令z1,n,2,1，

3

nDB2y22z0

7

因为平面BDE与平面PAD所成角的余弦值为，

9

3222

621

7

所以cosm,n3，

29

3222

21641

3

15

整理得8121250，即275310,或（舍）

327

1PE

故CECP，所以2

3EC

2

2642

19.已知圆2与圆249相外切.

C1:xaya0C2:xy3

939

（1）求圆C1的标准方程；

22

10222

（2）若nm2，求mnmn3的最小值；

33

PA

（3）已知A2,0，P为圆C上任意一点，试问在x轴上是否存在定点B（异于点A），使得为定值?

1PB

若存在，求点B的坐标；若不存在，请说明理由.

2

10264

【答案】（1）xy.

39

（2）641

3

（3）存在定点B，B的坐标为2,0.

【解析】

【分析】（1）运用圆与圆的位置关系构造方程求出圆心即可

22102

（2）将10222转化点到圆心与圆心

mnmn3Pm,nC1,0C2,3

3333

的距离之和，结合点关于直线的对称知识画图求解即可；

8

x

PA