基础数学（第2册）

第四章三角函数三角函数是研究现实世界中周期现象和圆周运动的重要数学工具，在测量、建筑、工程技术等领域具有广泛的应用．本章将在初中所学锐角三角函数知识的基础上，将角的概念推广到任意角，重新认识正弦函数、余弦函数和正切函数等三角函数，并研究它们的图像、性质及应用．我们以前学过的角的范围是，但仅用这个范围内的角并不能描述某些现实状况，如钟表的秒针围绕机芯轴转了一圈又一圈（图4-1）等，这就需要我们对角的概念进行推广。4.1.1角的概念的推广1．任意角一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O，按逆时针（或顺时针）方向旋转到另一位置OB所形成的图形称为角，如图4-2所示．旋转开始处的射线OA称为角α的始边，旋转终止处的射线OB称为角α

的终边，射线的端点O称为角α

的顶点．图4-1图4-2一般规定：按逆时针方向旋转所形成的角称为正角，按顺时针方向旋转所形成的角称为负角．特别地，当一条射线没有作任何旋转时，也认为形成了一个角，这个角称为零角，零角的始边与终边重合．这样就将角的概念推广到了任意角，可以有任意大小的正角、负角和零角．以前经常将角记为的形式，今后将常用小写希腊字母α，β，γ，…来表示角．例如，在图4-3中，正角，负角，正角．图4-3正角和负角是表示具有相反意义的旋转量，它的正负规定纯属习惯，这与正数、负数的规定是一样的．为了研究的方便，我们经常在平面直角坐标系中讨论角．将角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合，这样一来，角的终边落在第几象限，就把这个角称为第几象限的角，或者说这个角在第几象限．例如，角是第一象限的角，角是第二象限的角，角是第三象限的角，角是第四象限的角，如图4-4所示．图4-4锐角是第几象限的角？第一象限的角一定是锐角吗?想一想图4-5特别地，如果一个角的终边落在坐标轴上，则称为界限角，它不属于任何一个象限．例如，，，，，，，，角等都是界限角．2．终边相同的角在同一直角坐标系中，作出，和角，如图4-5所示．角可以看成是角的始边绕坐标原点按逆时针方向旋转到角的终边位置后，继续按逆时针旋转一周所形成的角；角可以看成是角的始边绕坐标原点按逆时针方向旋转到角的终边位置后，再按顺时针方向旋转一周所形成的角．提示通过观察可以发现，，角的终边都与角的终边相同．我们把这些角称为与角终边相同的角．显然，与角终边相同的角有无数多个，它们可以分别写成：……

……因此，所有与角终边相同的角（包括角），都可以表示成与的整数倍的和，即都可以写成的形式．所以，与角终边相同的角的集合为

（4-1）需要注意的是，α

与之间是“+”号，如，应为．终边相同的两个角度数之差一定是的整数倍．例1指出下列各角是第几象限的角：（1）-330°；（2）120°；（3）225°；（4）

-45°．解（1）-330°角的终边落在第一象限，因此它是第一象限的角．（2）120°角的终边落在第二象限，因此它是第二象限的角．（3）225°角的终边落在第三象限，因此它是第三象限的角．（4）-45°角的终边落在第四象限，因此它是第四象限的角．例2在0°~360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是哪个象限的角：（1）-120°；（2）640°；（3）-950°12′．解（1）因为，所以与-120°角终边相同的角为240°角，它是第三象限的角，所以-120°角是第三象限的角．（2）因为，所以与角终边相同的角为角，它是第四象限的角，所以角是第四象限的角．（3）因为，所以与角终边相同的角为角，它是第二象限的角，所以角是第二象限的角．例3写出与下列各角终边相同的角的集合，并把其中在范围内的角写出来：（1）60°；（2）-21°；（3）363°14′．解（1）与60°角终边相同的角的集合为．当k=-1时，；当k=0时，；当k=1时，．因此，在-360°~720°范围内与60°角终边相同的角为-300°，60°和420°．（2）与-21°角终边相同的角的集合为．当k=0时，；当k=1时，；当k=2时，．因此，在-360°~720°范围内与-21°角终边相同的角为-21°，339°和699°．（3）与363°14′角终边相同的角的集合为．当k=-2时，；当k=-1时，；当k=0时，．因此，在-360°~720°范围内与363°14′角终边相同的角为-356°46′，3°14′和363°14′．在初中，我们学习过角的度量，规定圆周的所对的圆心角作为1度的角，记作．这种以“度”为单位来度量角的单位制称为角度制．在数学和其他科学中，经常使用另一种方法来度量角．把等于半径长的圆弧所对的圆心角称为1弧度的角，记作1弧度或．这种以“弧度”为单位来度量角的单位制称为弧度制．如图4-6所示，用弧度制表示的这两个圆心角分别是，．4.1.2弧度制图4-6一般规定：正角的弧度是正数，负角的弧度是负数，零角的弧度是零．根据定义可知，在半径为r的圆中，长度为l的圆弧所对的圆心角α的大小用弧度制表示就是（4-2）由于圆的周长为，所以圆周所对的圆心角的弧度大小为由此可得角度制与弧度制之间的转换关系为即因此，角度与弧度的转换公式为（4-3）（4-3）用弧度制表示角的大小时，通常可以省略单位“弧度”或“”。例如，通常可以写作．表4-1中列出了一些特殊角的角度与弧度的对应关系．表4-1采用弧度制以后，角与实数之间就建立了一一对应的关系，每一个角都对应唯一的一个实数；反过来，每一个实数都对应唯一的一个角．用计算器进行角度与弧度转换下面，我们以用CASIOfx－82ESPLUS型计算器将由角度转换为弧度，将由弧度转换为角度为例，介绍用计算器进行角度与弧度转换的一般方法．（1）首先将由角度转换为弧度．按ON键，打开计算器，然后依次按SHIFT键和MODE键，再按4键选择弧度制，将计算器设置为弧度计算模式．（2）先输入“135”，再依次按SHIFT，Ans，1键，改输入值为角度“”，然后按=键，即可得到对应的弧度值“”．计算器辅助求值（3）接下来将由弧度转换为角度．先按ON键（清屏），然后依次按SHIFT键和MODE键，再按3键选择角度制，将计算器设置为角度计算模式．（4）按键，先输入分子中的“11”，再依次按SHIFT，×10x

键输入分子中的“”，然后按键，输入分母“6”，再按键．（5）依次按SHIFT，Ans，2键，改输入值为弧度“”，然后按=键，即可得到对应的角度值“330”．（6）依次按SHIFT键和AC键，关闭计算器．例4将下列各角由角度转换为弧度：（1）108°；（2）-315°；（3）240°；（4）75°30′．解（1）；（2）；（3）；（4）例5将下列各角由弧度转换为角度：（1）；（2）；（3）；（4）2.5．解（1）；（2）；（3）；（4）．4.2.1任意角的正弦、余弦和正切函数图4-7在初中，我们学习过锐角三角函数，它们是以锐角为自变量，以直角三角形中边的比值为函数值的三角函数，如图4-7所示．,,.图4-8在直角坐标系中，设角α

是一个任意角，在角α的终边上任取一点，则点P到原点的距离为，如图4-8所示，那么任意角的正弦、余弦和正切可以分别定义为（4-5）需要注意的是，当角α的终边在y轴上时，终边上任意一点的横坐标x都等于0，此时正切函数无意义．根据相似三角形的知识，对于每一个确定的角α，其正弦、余弦和正切（当时）的值都是唯一确定的，且与点P在角α

终边上的位置无关．因此，正弦、余弦和正切都是以角α

为自变量的函数，分别称为角α

的正弦函数、余弦函数和正切函数，它们都是角α

的三角函数．在弧度制下，三角函数可以看作是以实数为自变量的函数．正弦函数、余弦函数和正切函数的定义域及值域如表4-3所示．表4-3三角函数定义域值

域RRR任意角α

的余切可以定义为定义域为正割可以定义为定义域为提示例1已知角α的终边经过点P(5,-12)，求角α

的正弦、余弦和正切值．解因为x=5，y=-12，

，所以，，．表4-41．各象限角的三角函数值的正负号根据任意角的三角函数的定义，由于，所以三角函数值的正负号取决于角α

终边上点P的坐标（x,y）．表4-4中列出了各象限角的三角函数值的正负号与点的坐标的对应关系．4.2.2三角函数的正负号α所在象限点

P的坐标xy第一象限+++++第二象限-++--第三象限----+第四象限+--+-为了便于记忆，我们把，，的正负号标在各个象限中，如图4-9所示．图4-9在第一象限全为正，在第二象限仅为正，在第三象限仅为正，在第四象限仅为正．此规律可简记为“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．提示对于界限角，可以根据三角函数的定义求出其正弦、余弦和正切值．例如，零角的终边与x轴的正半轴重合，并且r为点P到原点的距离，所以对于角α终边上的任意点P(x,y)都有r=x，y=0．因此，根据三角函数的定义有2．界限角的三角函数值表4-5类似地，可以得到，，，等界限角的三角函数值，如表4-5所示．三角函数0010-1010-1010不存在0不存在0在已知角度大小的情况下，可以通过CASIOfx－82ESPLUS型计算器的sin，cos，tan键，方便地求出任意角的正弦、余弦、正切等三角函数值；同样，在已知正弦、余弦、正切函数值的情况下，也可以通过CASIOfx－82ESPLUS型计算器，方便地求出指定范围内的角．1．求已知角的三角函数值具体方法为：设置计算模式（角度制或弧度制）→按sin(或cos，tan)键→输入角的大小→按=键显示结果．2．已知三角函数值求角以正弦函数为例：在计算器的标准设置中，已知正弦函数值，只能计算器辅助求值求得（或）范围内的角．具体方法为：设置角度或弧度计算模式→依次按SHIFT，sin键→输入已知的正弦函数值→按=键显示然后，可以再根据需要利用诱导公式，定范围内的角．同理，在已知余弦函数值求角时，只能求得在（或）范围内的角，然后，可根据需要利用诱导公式，（或）范围内的角．等求出任意指等求出任意指定范围内的角．同理，在已知余弦函数值求角时，只能求得在（或）范围内的角，然后，可根据需要利用诱导公式，

等求出任意指定范围内的角；在已知正切函数值求角时，只能求得（或）范围内的角，然后，可根据需要利用诱导公式，等求出任意指定范围内的角．例2判断下列各三角函数值的正负号：（1）cos250°；（2）；（3）tan(-672°)；（4）．解（1）因为250°角是第三象限的角，所以．（2）因为角是第四象限的角，所以．（3）因为，48°角是第一象限的角，所以-672°角也是第一象限的角，．（4）因为，角是第四象限的角，所以角也是第四象限的角，．例3若且，则θ是第几象限的角？解由知，θ

可能是第一或第二象限的角，或终边在y轴的正半轴上的界限角；由知，θ

可能是第二或第三象限的角，或终边在x

轴的负半轴上的界限角．综上可知，θ是第二象限的角．例4求值：．解

例5用计算器求下列各三角函数值（精确到0.001）：（1）； （2）tan257°；（3）cos2.5；（4）cos27

°；（5）sin165°；（6）．解（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．例6已知sinx=0.7，0°~360°利用计算器求在范围内的角x（精确到0.01°）．解利用计算器得到锐角为x1≈44.43°；利用，得到所求的钝角为x2≈180°-44.43°=135.57°．故在0°~360°范围内，正弦函数值为0.7的角为44.43°和135.57°．4.3.1单位圆在平面直角坐标系中，以原点为圆心，单位长度为半径的圆称为单位圆．如图4-10所示，设任意角α

的终边与单位圆相交于点P(x,y)，根据三角函数的定义，可得由此可见，角α

的正弦值和余弦值分别等于其终边与单位圆的交点P的纵坐标y和横坐标x．因此，角α

的终边与单位圆的交点P

的坐标可以表示为

．图4-10例1已知角α

=30°，求其终边与单位圆交点的坐标．解设角α

的终边与单位圆相交于点P(x,y)，根据三角函数的定义，可得，．因为α

=30°，所以，，故，．因此，角α

的终边与单位圆的交点P的坐标为．4.3.2同角三角函数的基本关系式因为，，，所以当时，有于是就得到了同角三角函数的基本关系式：（4-6）（4-7）利用这两个基本关系式，可以由一个已知的三角函数值，求出其他各三角函数值，还可以对同角的三角函数式进行化简．一般用sin2α，cos2α分别表示(sinα)2，(cosα)2．提示例2已知，且α

是第二象限的角，求cosα和tanα．解因为，所以，解得．由于α

是第二象限的角，所以cosα

<0，故，例3已知，求下列各式的值：（1）； （2）．解因为，所以．；例4化简：．解例5求证：．证法一因为所以．证法二因为又，，所以．证法三由sinα≠0知cosα≠1，所以1-cosα≠0，于是因此，原式成立．4.4.1的诱导公式对于任意角α，在平面直角坐标系中，角，-α，，的终边与角的终边有着特殊的关系．我们可以用几个公式表述上述关系，这些公式就是三角函数的诱导公式．根据三角函数的定义可知，终边相同的角的同名三角函数值相等．在平面直角坐标系中，角与角α

的终边相同，所以当时，有（4-8）以上为弧度制下的表示形式，其角度制下的表示形式为利用上述公式，可以将任意角的三角函数转化为范围内角的三角函数．例1求下列各三角函数值：（1）； （2）cos405°；（3）．解

（1）；（2）；（3）．4.4.2-α

的诱导公式如图4-11所示，设单位圆与任意角α，

-α的终边分别相交于点P和点P’，则点P的坐标为(cosα,sinα)，点P’的坐标为(cos(-α),sin

(-α))．由于点P

和点P’关于x轴对称，故它们的横坐标相同，纵坐标互为相反数，所以图4-11由同角三角函数的关系式知于是得到角-α

的诱导公式为（4-9）利用这组公式，可以将任意负角的三角函数转化为正角的三角函数．例2求下列各三角函数值：（1）；（2）；（3）．解（1）；（2）；（3）．4.4.3的诱导公式如图4-12所示，设单位圆与任意角α，的终边分别相交于点P和点P’，则点P

的坐标为(cosα,sinα)，点P’的坐标为．由于点P和点P’关于原点中心对称，故它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数，所以图4-12由同角三角函数的关系式知于是得到角的诱导公式为（4-9）其角度制下的表示形式为根据公式（4-9）和（4-10）可得于是得到角的诱导公式为（4-11）其角度制下的表示形式为利用上述公式，可以将任意范围内的角的三角函数转化为锐角的三角函数．例3求下列各三角函数值：（1）；（2）；（3）；（4）．解（1）（2）；（3）；（4）

4.4.4的诱导公式在中，若，则根据三角函数的定义，可得由此可以看出，当时，有于是得到角的诱导公式为（4-12）其角度制下的表示形式为根据公式（4-11）和（4-12）可得于是得到角的诱导公式为（4-13）其角度制下的表示形式为利用上述公式可以实现正弦和余弦之间的转化，为我们以后的计算、化简、证明提供很多方便．公式（4-8）、（4-9）、（4-10）、（4-11）、（4-12）、（4-13）统称为三角函数的诱导公式．利用这些公式可以将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数．例4求证：（1）；（2）．证明（1）因为，所以原式成立．（2）因为，所以原式成立．4.5.1正弦函数的图像和性质在研究三角函数的时候，习惯上采用字母x来表示角（自变量），如正弦函数为，余弦函数为等．正弦函数的定义域为实数集R．这里先用描点法作出它在区间上的图像．把区间分成8等份，分别求出函数在各分点及区间端点的函数值，然后列表，如表4-6所示．表4-6以表中的x值为横坐标，对应的y值为纵坐标，在直角坐标系中依次描出相应的点，然后用光滑的曲线依次连接这些点，即可得到函数在区间上的图像，如图4-13所示．图4-13根据终边相同的角的同名三角函数值相等，即可知，正弦函数在区间…，，，，，，，，…上的图像，都与它在区间上的图像形状完全相同，只是位置不同而已．图4-14我们把正弦函数在区间上的图像向左或向右平移个单位，就可以得到在R上的图像，如图4-14所示．正弦函数的图像称为正弦曲线．事实上，要作正弦函数在区间上的图像，如果对精确度要求不高的话，可以先找出五个关键点，分别为，，，将这五个关键点在直角坐标系中描出来，再用光滑的曲线将它们依次连接即可．这种作图方法称为“五点法”．提示由正弦曲线可知，正弦函数主要具有如下性质：（1）定义域正弦函数的定义域为R，即．（2）值域正弦函数的值域为．当时，取得最大值1；当时，取得最小值-1．正弦曲线夹在直线y=-1和y=1之间，即对于任意的实数x，都有成立，函数的这种性质称为有界性．正弦函数是R上的有界函数．（3）周期性一般地，对于函数，如果存在一个不为零的常数T，使得当x

取定义域D内的每一个值时，都有，并且成立，则函数称为周期函数，非零常数T称为这个函数的一个周期．由于正弦函数的定义域为R，对于任意的，都有，并且

（诱导公式）成立，因此正弦函数是周期函数，

以及都是它的周期．在周期函数的所有周期中，如果存在一个最小的正数，那么就将它称为最小正周期（习惯上直接简称为周期）．故正弦函数的周期为．（4）奇偶性正弦曲线关于原点O中心对称，因此正弦函数是奇函数．（5）单调性当x由增大到时，正弦曲线逐渐上升，的值由-1增大到1；当x由增大到时，正弦曲线逐渐下降，的值由1减小到-1．根据周期性可知，正弦函数在每一个区间上都是增函数，其函数值由-1增大到1；在每一个区间上都是减函数，其函数值由1减小到-1．例1利用“五点法”作出函数在区间上的图像．解按五个关键点列表，如表4-7所示．以表中的x值为横坐标，对应的y

值为纵坐标，在直角坐标系中依次描出相应的点，然后用光滑的曲线依次连接这些点，即可得到函数在区间上的图像，如图4-15所示．图4-15表4-7例2已知sinx=5-

a，求a的取值范围．解因为，所以

，即，解得．因此，a的取值范围是．例3求使函数取得最大值的x的集合，并指出最大值是多少．解设，则使函数取得最大值1的集合是，由，得．故所求集合为，函数的最大值为1．x010.710-0.71-1-0.7100.7114.5.2余弦函数的图像和性质首先用描点法作出余弦函数在区间上的图像．把区间分成8等份，分别求出函数在各分点及区间端点的函数值，然后列表，如表4-8所示．表4-8以表中的x值为横坐标，对应的y值为纵坐标，在直角坐标系中依次描出相应的点(x,y)然后用光滑的曲线依次连接这些点，即可得到函数在区间上的图像，如图4-16所示．图4-16余弦函数的定义域为R，由的值域为可知，余弦函数是R上的有界函数；由可知，余弦函数是周期函数，其周期为．图4-17根据余弦函数的周期性，把在区间上的图像向左或向右平移个单位，就可以得到在R上的图像，如图4-17所示．余弦函数的图像称为余弦曲线．综上可知，余弦函数主要具有如下性质：（1）定义域余弦函数的定义域为R，即．（2）值域余弦函数的值域为[-1,1]．当时，取得最大值1；当时，取得最小值-1．余弦函数是R上的有界函数．（3）周期性余弦函数是周期为的周期函数．（4）奇偶性余弦曲线关于y

轴对称，因此余弦函数是偶函数．（5）单调性当x由0增大到时，余弦曲线逐渐下降，的值由1减小到-1；当x由增大到时，余弦曲线逐渐上升，的值由-1增大到1．根据周期性可知，余弦函数在每一个区间上都是增函数，其函数值由-1增大到1；在每一个区间

上都是减函数，其函数值由1减小到-1．例4利用“五点法”作出函数在区间上的图像．解按五个关键点列表，如表4-9所示．

表4-9以表中的x值为横坐标，对应的y值为纵坐标，在直角坐标系中依次描出相应的点(x,y)，然后用光滑的曲线依次连接这些点，即可得到函数在区间上的图像，如图4-18所示．图4-18例5求使函数y=cos2x取得最大值的x

的集合，并指出最大值是多少．解设u=2x，则使函数y=cosu取得最大值1的集合是，由，得．故所求集合为，函数y=cos2x的最大值为1．4.5.3正切函数的图像和性质正切函数的定义域为．首先用描点法作出正切函数在区间上的图像．把区间分成8等份，分别求出函数在各分点及区间端点的函数值，然后列表，如表4-10所示．表4-10以表中的x值为横坐标，对应的y值为纵坐标，在直角坐标系中依次描出相应的点(x,y)然后用光滑的曲线依次连接这些点，即可得到函数在区间上的图像，如图4-19所示．正切函数的定义域为．由诱导公式可知，正切函数是周期函数，其周期为。图4-19图4-20根据正切函数的周期性，把在区间上的图像向左或向右平移个单位，就可以得到在定义域内的图像，如图4-20所示．正切函数的图像称为正切曲线．从图4-20中可以看出，正切曲线是由被相互平行的直线所隔开的无穷多支曲线组成的．综上可知，正切函数主要具有如下性质：（1）定义域正切函数的定义域为．（2）值域正切函数的值域为R．当

且x

无限接近于

时，的函数值接无限近于无穷大，但没有最大值；当且x

无限接近于时，的函数值无限接近于无穷小，但没有最小值．（3）周期性正切函数是周期为π

的周期函数．（4）奇偶性正切曲线关于原点O中心对称，因此正切函数是奇函数．

（5）单调性当x

由增大到时，正切曲线逐渐上升，的值由增大到．根据周期性可知，正切函数在每一个开区间

上都是增函数，其函数值由增大到．例6利用“五点法”作出函数在区间上的图像．解按五个关键点列表，如表4-11所示．

图4-18表4-11以表中的x值为横坐标，对应的y

值为纵坐标，在直角坐标系中依次描出相应的点(x,y)，然后用光滑的曲线依次连接这些点，即可得到函数y=-tanx在区间上的图像，如图4-21所示．例7求函数y=tan2x的定义域和单调区间．解设u=2x，由y=tanu的定义域为，可知，即．所以y=tan2x的定义域是．因为正切函数在区间上是增函数，所以，解得．因此，函数y=tan2x的单调区间是．在物理和工程技术的许多问题中，经常会遇到形如的函数（其中A，ω，φ

是常数）．例如，在简谐运动中位移与时间的函数关系就是形如的函数．这个函数与函数有什么关系呢？显然函数是函数的特殊情况，其中A=1，ω=1，φ=0.下面我们以函数的图像为基础，通过改变参数A，ω，φ来研究函数的图像．图4-221．探索对函数图像的影响先看函数，和的图像之间的关系．利用“五点法”在同一直角坐标系上分别作出函数，和在区间上的图像，如图4-22所示．从图4-22中可以看出，只要把图像上所有点的纵坐标都伸长为原来的2倍，横坐标不变，就可以得到函数的图像；同理，只要把图像上所有点的纵坐标缩短为原来的，横坐标不变，就可以得到函数的图像根据周期函数的定义可以看出，三个函数的周期没有发生变化，都是．利用正弦函数的周期性，把函数和的图像向左右延伸，就可以得到函数和在R

上的图像．当A取其他值时也有类似情况．因此，函数的图像可以看作是把图像上所有点的纵坐标伸长（当A>1时）或缩短（当0<A<1时）为原来的A倍（横坐标不变）而得到的，从而函数的值域为[-A,A]，最大值为A，最小值为-A，通常称A为振幅．先看函数，和的图像之间的关系．利用“五点法”在同一直角坐标系上分别作出函数，

和的图像，如图4-23所示．从图4-23中可以看出，只要将函数图像上每个点的横坐标都缩短为原来的，纵坐标不变，就可以得到函数的图像；同理，只要将函数图像上每个点的横坐标都伸长为原来的2倍，纵坐标不变，就得可以到函数的图像．2．探索ω对函数图像的影响图4-23根据周期函数的定义可以得到因此，π

是函数的周期，4π

是函数的周期．利用正弦函数的周期性，把函数和

的图像向左右延伸，就可以得到函数和在R上的图像．当ω

取其他值时也有类似情况．因此，函数的图像可以看作是把图像上每个点的横坐标伸长（当0<ω<1时）或缩短（当ω>1时）为原来的倍（纵坐标不变）而得到的，从而函数的周期，通常称周期的倒数

为频率．先看函数，

和的图像之间的关系．利用“五点法”在同一直角坐标系上分别作出函数，

和的图像，如图4-24所示．从图4-24中可以看出，只要将函数的图像向左平移个单位长度就可以得到函数的图像；同理，只要将函数的图像向右平移个单位长度就可以得到函数的图像．根据周期函数的定义可以看出，三个函数的周期没有发生变化，都是2π．利用正弦函数的周期性，把函数

和的图像向左右延伸，就可以得到函数和在R上的图像．3．探索φ对函数图像的影响图4-24例1

已知函数，求这个函数的振幅、周期、初相，并作出该函数的图像．解函数的振幅为2，周期，初相为．法一：按五个关键点列表，如表4-12所示．表4-12以表中的x

值为横坐标，对应的y

值为纵坐标，在直角坐标系中依次描出相应的点(x,y)，然后用光滑的曲线依次连接这些点，即可得到函数在区间上的图像，如图4-30所示．利用函数周期性，即可得到函数在R上的图像．法二：步骤一作出正弦函数y=sinx的图像，如图4-31所示；步骤二将函数y=sinx的图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，如图4-32所示；图4-30图4-31图4-32步骤三将函数图像上每个点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图像，如图4-33所示；步骤四将函数图像上每个点的纵坐标伸长为原来的2倍（横坐标不变），即可得到函数的图像，如图4-34所示．图4-33图4-34如果某种变化着的现象具有周期性，那么它就可以借助三角函数来描述．下面通过几个例子来说明三角函数在实际问题中的简单应用．例1在图4-35中，点O为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向．若已知简谐运动的振幅为3cm，周期为3s，且物体向右运动到最大距离时开始计时．（1）求物体相对于平衡位置的位移x(cm)和时间

t(s)之间的函数解析式；对于具有实际意义的数学模型，需要根据实际背景及问题的条件，判断定义域．（2）求该物体在t=5s时的位置．图4-35解

（1）设x和t之间的函数解析式为由题意知A=3；，即；当t=0时，x=3sinφ=3，即sinφ=1，又因为

，所以．因此，函数解析式为

，即

．（2）令t=5，得．故该物体在t=5s时的位置是在点O的左侧，与点O的距离为1.5m．例2如图4-36所示，某地一天从6时到14时（包括6时和14时）的温度变化曲线近似地满足函数（其中A>0，ω

>0，0<φ<π）．（1）求这一天的最大温差；（2）写出这段曲线的函数解析式．图4-36解（1）由图4-36可知，从6时到14时的图像是函数半个周期的图像，所以，则这一天的最大温差是20℃．（2）由图4-36可知，

；又因为

，所以．于是函数为．将x=6，y=10代入上式，解得．综上所述，这段曲线的函数解析式为反三角函数一般用“arc+函数名”的形式表示，如反正弦函数表示为，反余弦函数表示为等．如图4-40所示为正弦函数在R上的图像.图4-401．反正弦函数由图4-40可知：（1）正弦函数在R上无反函数．（2）在区间上，正弦函数的自变量x与函数值y是一一对应的，故正弦函数在区间上有反函数．综上所述，正弦函数在区间上有反函数，称为反正弦函数，记作．反正弦函数的定义域为，值域为.

下面，我们来研究反正弦函数的图像和性质．如图4-41所示为反正弦函数在区间上的图像．图4-41由图4-41可知，反正弦函数主要具有如下性质：（1）定义域反正弦函数的定义域为．（2）值域反正弦函数的值域为．（3），，.

如图4-42所示为余弦函数在R上的图像．图4-422．反余弦函数由图4-42可知：（1）余弦函数在R上无反函数．（2）在区间上，余弦函数的自变量x与函数值y是一一对应的，故余弦函数在区间上有反函数．综上所述，余弦函数在区间上有反函数，称为反余弦函数，记作．反余弦函数的定义域为，值域为．图4-43下面，我们来研究反余弦函数的图像和性质．如图4-43所示为反余弦函数在区间上的图像．由图4-43可知，反余弦函数主要具有如下性质：（1）定义域反余弦函数的定义域为．（2）值域反余弦函数的值域为．（3），，．如图4-44所示为正切函数在上的图像．由图4-44可知：（1）正切函数在R上无反函数．（2）在区间上，正切函数的自变量x与函数值y是一一对应的，故正切函数在区间上有反函数．综上所述，正切函数在区间上有反函数，称为反正切函数，记作．反正切函数的定义域为R，值域为．3．反正切函数图4-42图4-45下面，我们来研究反正切函数的图像和性质．如图4-45所示为反正切函数在区间R上的图像．由图4-45可知，反正切函数主要具有如下性质：（1）定义域反正切函数的定义域为R，即．（2）值域反正切函数的值域为．（3），，．由图4-46可知：（1）余切函数在R上无反函数．（2）在区间上，余切函数的自变量x与函数值y是一一对应的，故余切函数在区间上有反函数．综上所述，余切函数在区间上有反函数，称为反余切函数，记作．反余切函数的定义域为R，值域为．4．反余切函数图4-46如图4-46所示为余切函数在R上的图像．下面，我们来研究反余切函数的图像和性质．如图4-47所示为反余切函数