2025-2026学年安徽鼎尖教育高一下册4月期中考试数学试题 含答案

/数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数（i为虚数单位），则（）A. B. C. D.2.在中，，，，则（）A.16 B. C.9 D.3.如图所示，某测量人员在高为100m的山顶A处，测得地面同一直线上的B、C两点的俯角分别为和，则B、C两点的距离为（）A. B. C. D.4.《九章算术》中将正圆台称为“圆亭”．某中学数学社团仿照古制制作了“圆亭”模型，模型上、下底面周长分别为和，高为3，则该模型的体积为（）A. B. C. D.5.用斜二测画法画出的水平放置的的直观图是边长为2的正三角形，则原的面积为（）A. B. C. D.6.对于简单凸多面体，满足欧拉公式：顶点数棱数面数．已知某正多面体的每个面都是正三角形，每个顶点连接4条棱，则该正多面体的棱数E为（）A.6 B.12 C.16 D.207.在锐角中，内角的对边分别为，已知，，且边上的中线长为，则的面积为（）A. B. C. D.8.已知非零向量，不共线，给出下列四个结论：①若，则；②若，则存在正实数，使得与垂直；③“”是“与的夹角为锐角”的充分不必要条件；④若，则“”是“与的夹角为”的充要条件．其中正确结论的个数是（）A.1 B.2 C.3 D.4二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数z满足（为虚数单位），且z是关于x的实系数一元二次方程的一个根，则下列说法正确的有（）A.z的虚部为 B.复数z的共轭复数为C. D.10.如图，已知正三棱柱的所有顶点都在表面积为的球O的球面上，底面边长为a，侧棱长为h，则下列说法正确的有（）A.正三棱柱的外接球的球心O一定是上下底面中心连线的中点B.若底面边长，则侧棱长C.若侧棱长，则该正三棱柱的体积为D.该正三棱柱的侧面积的最大值为11.已知中，，点P为边BC上的动点，满足（，为实数），则下列说法正确的有（）A.的面积的最大值为 B.当P为BC中点时，C.若的面积为面积的，则 D.若，则的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量，，若与共线，则实数______．13.已知三棱锥的三条侧棱两两垂直，且三个侧面的面积分别为1，2，3，则该三棱锥的体积为________．14.在平面斜坐标系中，，平面上任意一点P的斜坐标定义为：若，其中、分别为x轴、y轴正方向上的单位向量，则P的斜坐标为．已知点A的斜坐标为，点B的斜坐标为．若，则实数k的值为________．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知，是夹角为的两个单位向量，设，．（1）求证：与垂直；（2）求向量与的夹角的大小．16.已知复数z满足，且z的共轭复数满足为纯虚数．（1）求复数z；（2）若复数，求w在复平面内对应点的坐标，并判断该点所在的象限．17.在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求角A的大小；（2）若，求的周长的取值范围．18.如图，在直三棱柱中，底面是直角三角形，，，侧棱．该直三棱柱内有一个圆柱，圆柱的下底面在直三棱柱的底面ABC上，上底面在直三棱柱的上底面上，且圆柱的侧面与直三棱柱的三个侧面都相切．（1）求该圆柱的表面积；（2）求该直三棱柱的外接球O的体积；（3）点M是直三棱柱外接球表面上的动点，N是圆柱表面上的动点，记，R为外接球的半径，求R−d19.在中，角的对边分别为，已知．（1）求的值；（2）若，解答下列问题：①当的面积为时，求AC边上的中线长；②若点D在边上，且平分，求的取值范围．

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数（i为虚数单位），则（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：由题意得，.2.在中，，，，则（）A.16 B. C.9 D.答案：A解析：思路：方法一：建立平面直角坐标系，再根据平面向量数量积的坐标运算公式即可求解；方法二：根据平面向量线性运算及数量积的运算律即可求解．解答过程：方法一：坐标法．以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，则，，．，，则．方法二：利用向量关系．．由于，，所以．3.如图所示，某测量人员在高为100m的山顶A处，测得地面同一直线上的B、C两点的俯角分别为和，则B、C两点的距离为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据锐角三角函数，分别求得，即可求解．解答过程：设山顶在地面的投影为，则，从看的俯角为，则，所以．从看的俯角为，则，所以．由于、在的同侧，则．4.《九章算术》中将正圆台称为“圆亭”．某中学数学社团仿照古制制作了“圆亭”模型，模型上、下底面周长分别为和，高为3，则该模型的体积为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：应用圆台体积公式计算求解.解答过程：已知圆台上、下底面周长分别为和，则半径分别为，，高．圆台体积公式为，代入得：．5.用斜二测画法画出的水平放置的的直观图是边长为2的正三角形，则原的面积为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据直观图面积与原图面积的关系即可求解．解答过程：由斜二测画法，直观图面积与原图面积的关系为，已知直观图是边长为2的正三角形，其面积为，所以原三角形面积为．6.对于简单凸多面体，满足欧拉公式：顶点数棱数面数．已知某正多面体的每个面都是正三角形，每个顶点连接4条棱，则该正多面体的棱数E为（）A.6 B.12 C.16 D.20答案：B解析：思路：根据顶点数，棱数，面数之间的数量关系，结合欧拉公式列出方程即可求解．解答过程：因为过每个顶点的棱数为4，则，得；每个面是正三角形，每条棱属于2个面，故，得；代入欧拉公式：，解得．7.在锐角中，内角的对边分别为，已知，，且边上的中线长为，则的面积为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：由正弦定理及两角和的正弦公式得出，再根据三角形中线的向量表示及平面向量数量积的运算律得出，由三角形面积公式即可求解．解答过程：由已知条件，化简得．由正弦定理得，，又，所以，所以，由于为锐角三角形，所以．边上的中线长为，设边上的中线长为，则，所以，所以，所以．8.已知非零向量，不共线，给出下列四个结论：①若，则；②若，则存在正实数，使得与垂直；③“”是“与的夹角为锐角”的充分不必要条件；④若，则“”是“与的夹角为”的充要条件．其中正确结论的个数是（）A.1 B.2 C.3 D.4答案：B解析：思路：根据平面向量垂直的性质，结合平面向量数量积的运算性质、平面向量夹角公式逐一判断即可.解答过程：①由得，展开得，故，正确．②若与垂直，，解得，因、，故，不存在正实数，错误．③，即，得，即与夹角为锐角（因为不共线），反之亦然，故为充要条件，不是充分不必要，错误．④由，得，；反之亦然，故为充要条件，正确．正确结论为①④，共2个．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数z满足（为虚数单位），且z是关于x的实系数一元二次方程的一个根，则下列说法正确的有（）A.z的虚部为 B.复数z的共轭复数为C. D.答案：ACD解析：思路：根据复数的乘除法运算及共轭复数的定义即可判断AB；将代入方程，列出方程组求解即可判断CD．解答过程：对于AB，由得，其虚部为，共轭复数为2i，故A正确、B错误；对于CD，实系数方程一根为，代入原方程得，，解得，，故C、D正确．10.如图，已知正三棱柱的所有顶点都在表面积为的球O的球面上，底面边长为a，侧棱长为h，则下列说法正确的有（）A.正三棱柱的外接球的球心O一定是上下底面中心连线的中点B.若底面边长，则侧棱长C.若侧棱长，则该正三棱柱的体积为D.该正三棱柱的侧面积的最大值为答案：ABD解析：思路：由球表面积求得，由几何关系，正三棱柱的性质，三棱柱的体积公式及基本不等式结合选项分别判断即可求解．解答过程：由已知球表面积为得半径，对于A，正三棱柱外接球球心为上下底面中心连线的中点，故A正确；对于B，由几何关系得，即，代入，得，故B正确；对于C，若，则，体积，故C错误；对于D，由得，侧面积，因为，当且仅当时等号成立，所以，故D正确．11.已知中，，点P为边BC上的动点，满足（，为实数），则下列说法正确的有（）A.的面积的最大值为 B.当P为BC中点时，C.若的面积为面积的，则 D.若，则的最小值为答案：ABC解析：思路：根据平面向量数量积的定义，平面向量数量积的运算律及三角形面积公式即可判断A；由平面向量数量积的运算律即可判断B；由三点共线即可判断C；由平面向量数量积的运算律即可判断D．解答过程：对于A，由已知条件，得，由，得，平方得，得，．，由，得，则，所以，故A正确．对于B，当为中点时，，则，故B正确．对于C，由在上，设且，则与面积比等于，由得，故C正确．对于D，若，则，结合，得，为等边三角形．,，则，当时，取得最小值，故D错误．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量，，若与共线，则实数______．答案：##0.5解析：解答过程：由已知得，，因为两向量共线，所以，解得．13.已知三棱锥的三条侧棱两两垂直，且三个侧面的面积分别为1，2，3，则该三棱锥的体积为________．答案：##解析：解答过程：由题意，设三条侧棱长分别为，，，且两两垂直，三个侧面为直角三角形，其面积分别为，，，即，，．三式相乘得，所以，三棱锥的体积为．14.在平面斜坐标系中，，平面上任意一点P的斜坐标定义为：若，其中、分别为x轴、y轴正方向上的单位向量，则P的斜坐标为．已知点A的斜坐标为，点B的斜坐标为．若，则实数k的值为________．答案：6解析：思路：由斜坐标定义用、表示，再根据平面向量数量积的运算律列出方程即可求解．解答过程：因，所以，由题意，．，已知、为单位向量，夹角为，故，则，解得．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知，是夹角为的两个单位向量，设，．（1）求证：与垂直；（2）求向量与的夹角的大小．答案：（1）证明见解析（2）（或）解析：思路：（1）根据平面向量数量积的运算律即可证明；（2）由平面向量数量积的运算律及夹角的余弦公式即可求解．（1）由已知，，所以．因为，是夹角为的单位向量，所以，且，代入得，因此，与垂直（2）设向量与的夹角为，则．先计算．再计算，所以；，所以．于是，因为，故（或）．16.已知复数z满足，且z的共轭复数满足为纯虚数．（1）求复数z；（2）若复数，求w在复平面内对应点的坐标，并判断该点所在的象限．答案：（1）或（2）当时，在复平面内对应点的坐标为，且该点位于第二象限；当时，在复平面内对应点的坐标为，该点位于第四象限．解析：思路：（1）设，其中，由题意可得，求解即可；（2）由复数的运算可得，再代入（1）中的结论求解即可.（1）设，其中，由，得，又，则．因为为纯虚数，所以实部为零，虚部不为零，即，联立方程，解得．当时，；当时，．所以或．（2）由，而，故．当时，，在复平面内对应点的坐标为，且该点位于第二象限；当时，，在复平面内对应点的坐标为，且该点位于第四象限．综上，当时，在复平面内对应点的坐标为，且该点位于第二象限；当时,在复平面内对应点的坐标为，该点位于第四象限．17.在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求角A的大小；（2）若，求的周长的取值范围．答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据正弦定理，结合锐角三角形的性质进行求解即可；（2）根据正弦定理，结合锐角三角形的性质、辅助角公式、正弦型函数的最值性质进行求解即可.（1）由正弦定理，得，代入已知，得．因为，，得，即．又为锐角三角形，所以；（2）由正弦定理得，所以，．因为，所以，即，因为是锐角三角形，所以解得．周长．．由于，则，从而，，所以周长的取值范围是．18.如图，在直三棱柱中，底面是直角三角形，，，侧棱．该直三棱柱内有一个圆柱，圆柱的下底面在直三棱柱的底面ABC上，上底面在直三棱柱的上底面上，且圆柱的侧面与直三棱柱的三个侧面都相切．（1）求该圆柱的表面积；（2）求该直三棱柱的外接球O的体积；（3）点M是直三棱柱外接球表面上的动点，N是圆柱表面上的动点，记，R为外接球的半径，求的最大值．答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）由三角形的内切圆半径及圆柱表面积公式即可求解；（2）由球的体积公式即可求解；（3）将的最大值，转化为求圆柱表面上的点到球心的距离的最大值的平方，结合图形及勾股定理即可求解．（1）在直三棱柱中，底面是等腰直角三