2025-2026学年安徽临泉田家炳实验中学（临泉县教师进修学校）高三下册模拟预测数学试题 含答案

/数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若为偶函数，则=（）A.4 B.3 C. D.22.在的展开式中，含项的系数为（）A. B. C. D.3.已知，，，则（）．A.p和q都是真命题 B.和q都是真命题C.p和都是真命题 D.和都是真命题4.若，且向量在方向上的投影向量为，则（）A.3 B.2 C. D.5.如图，这是单叶双曲面的立体结构图，且为中心对称图形，其轴截面为双曲线的一部分.若该几何体的高为4，上底面圆的直径为6，垂直于旋转轴的截面圆的面积的最小值为，则在下列双曲线的方程中，与该轴截面双曲线的离心率相同的方程是（）A. B. C. D.6.已知,则（）A.40 B.32 C.72 D.647.如图，在函数的部分图象中，为线段的中点，则（）A. B. C. D.8.如图，这是某零件的结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球、正四面体的三个面均相切.若，则该模型中一个小球的表面积为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的形态.图(1)形成对称形态，图(2)形成“右拖尾”形态，图(3)形成“左拖尾”形态.根据所给的直方图，下列结论正确的有（）A.图(1)的平均数=中位数=众数 B.图(2)的众数<中位数<平均数C.图(2)的平均数<众数<中位数 D.图(3)的平均数<中位数<众数10.已知函数，则下列结论正确的有（）A.曲线恒过定点 B.若，则的极小值为C.若，则的最大值大于 D.若，则11.如图所示，这是某机场给旅客提供的圆锥形纸杯.该纸杯母线长，开口直径.若旅客使用该纸杯喝水，当水面与纸杯内壁所形成的椭圆经过母线的中点时，设，则下列结论正确的有（）A.B.cmC.此时直线与水面所成线面角的正弦值为D.此时水面椭圆的离心率为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知i为虚数单位，则=____.13.某早餐店加入网络平台后，若每天小笼包的销售量满足(单位：个)，则300天内小笼包的日销售量在950到1100个的天数大约为____(精确到整数).

（若随机变量，则，，）14.若，，则的最大值是____.(其中表示中的较小值)四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知数列满足(n∈N*).（1）求数列的前项和；（2）设，证明.16.如图，由半圆和部分抛物线合成的曲线C称为“羽毛球曲线”，曲线C与x轴有A，B两个交点，且经过点.（1）求a，r的值；（2）设，M为曲线C上的动点，求的最小值.17.如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，平面底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，，，.（1）求证：平面平面PAD.（2）若，求二面角的余弦值.18.在某校高三体育课中，甲、乙两同学比赛投篮，比赛规则是甲、乙每人投个球，进球多的一方获得胜利，胜利次获得个积分，平局或者输方不得分.已知甲和乙每次进球的概率分别是和，且每人、每次进球与否都互不影响.（1）若，求在进行一轮比赛后甲比乙多投进球的概率.（2）若，且每轮比赛互不影响，乙要想获得至少个积分且获得积分的每轮比赛至少要赢甲个球，求：①设事件C表示乙每轮比赛至少要赢甲个球，求；(结果用含的式子表示)②从数学期望的角度分析，理论上至少要进行多少轮比赛?19.一般地，设函数在上连续，用分点将分成n个小区间，每个小区间的长度为，在每个小区间上任取一点，作和式.如果无限接近于0(亦即)时，上述和式无限趋近于常数S，那么称该常数S为函数在上的定积分，记.当时，定积分的几何意义表示由曲线，两直线与x轴所围成的曲边梯形的面积.如果是上的连续函数，且，那么.（1）求；（2）如果在上连续，可设函数，当时，若恒成立，求实数m的取值范围；（3）若数列{an}满足，利用定积分的几何意义，证明

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若为偶函数，则=（）A.4 B.3 C. D.2答案：B解析：解答过程：∵为偶函数，∴，又，∴.2.在的展开式中，含项的系数为（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：二项式展开式的通项公式为，含的项对应，代入得该项系数为．3.已知，，，则（）．A.p和q都是真命题 B.和q都是真命题C.p和都是真命题 D.和都是真命题答案：B解析：思路：利用集合的运算，可判断p是假命题，再利用对数运算，可判断q是真命题，从而可作出正确判断.解答过程：因为，所以，即p是假命题，是真命题，故AC错误.因为时，，所以q是真命题，是假命题，故D错误.综上可知，和q都是真命题，B正确.故选：B．4.若，且向量在方向上的投影向量为，则（）A.3 B.2 C. D.答案：D解析：解答过程：∵向量在方向上的投影向量为，∴，∴.5.如图，这是单叶双曲面的立体结构图，且为中心对称图形，其轴截面为双曲线的一部分.若该几何体的高为4，上底面圆的直径为6，垂直于旋转轴的截面圆的面积的最小值为，则在下列双曲线的方程中，与该轴截面双曲线的离心率相同的方程是（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：设轴截面双曲线所在的方程为.因为垂直于旋转轴的截面圆的面积的最小值为,所以,又由该几何体的高为,上底面圆的直径为,得到双曲线上一点的坐标为,代入,可得,所以,所以.选项A,双曲线离心率为.选项B,双曲线离心率为.选项C,双曲线离心率为.选项D,双曲线离心率为.所以只有C选项与该轴截面双曲线的离心率相同.6.已知,则（）A.40 B.32 C.72 D.64答案：D解析：思路：根据题干信息构造单调函数，将换元转化为，利用函数单调性得，即，代入原式即可求出.解答过程：令，易知在上单调递增.由，得.对变形，设，则.代入得，即.因为单调递增，函数值相等则自变量相等，所以.即，也就有.结合，替换得.7.如图，在函数的部分图象中，为线段的中点，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：不妨令，求得，设，利用已知可得，进而利用二倍角的余弦公式计算可得，求解即可.解答过程：不妨令，∵，∴，设，∵=，∴可得，∴解得∴，∴，∵由题图可知，∴解得，即.8.如图，这是某零件的结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球、正四面体的三个面均相切.若，则该模型中一个小球的表面积为（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：如图所示，设大球的球心为，大球的半径为，大正四面体的底面中心为，高为，的中点为，连接.棱长，则，，正四面体的高.因为，所以，所以.设小球的半径为，小球也可看作一个小的正四面体的内切球，且小正四面体的高，所以，所以小球的表面积为.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的形态.图(1)形成对称形态，图(2)形成“右拖尾”形态，图(3)形成“左拖尾”形态.根据所给的直方图，下列结论正确的有（）A.图(1)的平均数=中位数=众数 B.图(2)的众数<中位数<平均数C.图(2)的平均数<众数<中位数 D.图(3)的平均数<中位数<众数答案：BD解析：解答过程：图（1）的频率分布直方图是对称的，平均数、中位数和众数相差不大，但不一定相等，A错误；图（2）的频率分布直方图是“右拖尾”形态，众数最小，平均数大于中位数，B正确，C错误；图（3）的频率分布直方图是“左拖尾”形态，众数最大，平均数小于中位数，D正确.10.已知函数，则下列结论正确的有（）A.曲线恒过定点 B.若，则的极小值为C.若，则的最大值大于 D.若，则答案：AD解析：思路：根据函数的导数得到函数的单调性，依次判断即可.解答过程：已知函数对于A，因为，则曲线恒过定点，故A正确；对于B，当时，，则，令，解得，当，，则在上单调递增；当，，则在上单调递减；故的极大值为，无极小值，故B错误；对于C，当时，，则，令，解得，当，，则在上单调递增；当，，则在上单调递减；故的最大值为，故C错误；对于D，，当时，，所以在上单调递增，由于，所以，所以，故D正确.11.如图所示，这是某机场给旅客提供的圆锥形纸杯.该纸杯母线长，开口直径.若旅客使用该纸杯喝水，当水面与纸杯内壁所形成的椭圆经过母线的中点时，设，则下列结论正确的有（）A.B.cmC.此时直线与水面所成线面角的正弦值为D.此时水面椭圆的离心率为答案：BCD解析：思路：A：由母线，底面半径，得​，故A错误；B：在中用余弦定理，代入​，得，B正确；C：线面角即，由正弦定理，解得​​，C正确；D：建立轴截面，利用相似比求椭圆长短轴，计算离心率​​，D正确.解答过程：由于，故A项错误；∵，∴.即，故B项正确；此时直线与水面所成的线面角为，且，则，解得，故C项正确；设椭圆的中心为，作圆锥的轴截面，与底面直径交于点，与椭圆交于点，连接交于点，以为原点、所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，则=，又由，得，，从而，则点P的坐标为，不妨设椭圆的方程为，把和点的坐标代入方程，解得，∵，∴.故D项正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知i为虚数单位，则=____.答案：解析：解答过程：原式.13.某早餐店加入网络平台后，若每天小笼包的销售量满足(单位：个)，则300天内小笼包的日销售量在950到1100个的天数大约为____(精确到整数).

（若随机变量，则，，）答案：246解析：思路：根据正态分布在特定区间的概率及正态曲线的对称性进行计算即可得解.解答过程：∵，，∴.∴300天内小笼包的销售量约在950到1100个的天数大约是．14.若，，则的最大值是____.(其中表示中的较小值)答案：##解析：思路：利用不等式，结合基本不等式求解．解答过程：因≤，当时，，的最大值是．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知数列满足(n∈N*).（1）求数列的前项和；（2）设，证明.答案：（1）；（2）由（1）知，，，显然数列单调递减，因此，即，所以.解析：思路：（1）利用等差数列前项和公式求解.（2）由（1）的结论并变形并求出，再结合数列单调性及不等式性质推理得证.（1）数列中，，则，数列是首项为1，公差为2的等差数列，所以数列的前项和.（2）略16.如图，由半圆和部分抛物线合成的曲线C称为“羽毛球曲线”，曲线C与x轴有A，B两个交点，且经过点.（1）求a，r的值；（2）设，M为曲线C上的动点，求的最小值.答案：（1）（2）.解析：思路：（1）根据点的坐标求出抛物线方程，进而得到点A，B的坐标，最后求出圆的半径.（2）设，根据的取值范围，分类讨论取值，再求出最小值.（1）∵将点的坐标代入，可得a=1，∴抛物线.又∵的图象与x轴交于点，∴，把点A，B的坐标代入半圆，可得r=1.（2）设，∵，∴.∵当时，，∴，∴当时，；∵当时，，∴，∴当时，.∵<，∴的最小值为.17.如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，平面底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，，，.（1）求证：平面平面PAD.（2）若，求二面角的余弦值.答案：（1）∵为的中点，，，∴，且，∴四边形是平行四边形，∴，∵底面为直角梯形，，，∴．又，平面，∴平面．∵平面，∴平面平面．（2）.解析：思路：（1）借助题设条件运用面面垂直的判定定理推证；（2）借助题设运用空间向量的数量积公式求解．（1）略（2）∵，平面底面，平面底面，平面，∴底面，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，设，则，即，∴，，，∴，，，设平面的法向量，则，取，得，平面的法向量．设二面角的平面角为，则.18.在某校高三体育课中，甲、乙两同学比赛投篮，比赛规则是甲、乙每人投个球，进球多的一方获得胜利，胜利次获得个积分，平局或者输方不得分.已知甲和乙每次进球的概率分别是和，且每人、每次进球与否都互不影响.（1）若，求在进行一轮比赛后甲比乙多投进球的概率.（2）若，且每轮比赛互不影响，乙要想获得至少个积分且获得积分的每轮比赛至少要赢甲个球，求：①设事件C表示乙每轮比赛至少要赢甲个球，求；(结果用含的式子表示)②从数学期望的角度分析，理论上至少要进行多少轮比赛?答案：（1）.（2）①；②轮解析：思路：（1）设事件表示甲在一轮比赛中投进个球，表示乙在一轮比赛中投进个球，，根据题意，结合独立重复试验的概率公式可得；（2）①由题意得，结合独立重复试验的概率公式可得；②先求出，然后根据二项分布期望公式列不等式得，令，利用导数求最值即可得解.（1）设事件表示甲在一轮比赛中投进个球，表示乙在一轮比赛中投进个