2025-2026学年安徽省示范高中培优联盟高一下册5月下册联赛数学试题 含答案

/数学满分150分，考试时间120分钟.一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.若集合，，则（）A. B. C. D.2.若：直线与平面有公共点，：直线与平交，则是的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件3.已知非零实数，满足，且，则下列说法正确的是（）A. B. C. D.4.函数的单调递减区间为（）A. B. C. D.5.已知角的终边经过点，且，则m的值为（）A.4 B.3 C. D.6.已知等边的边长为，点P是该三角形所在平面内的动点，满足，当向量的模取最大值时，与夹角的正切值为（）A. B. C. D.7.在中，角所对的边分别为，满足，，则的外接圆半径为（）A.1 B.2 C.3 D.48.已知，，满足，，则（）A. B. C. D.二、选择题（本题共3小题，第10题为选考题，请考生任选一题作答.每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.若函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.B.直线是函数图象的一条对称轴C.不等式的解集为D.当，满足，则【选考人教版】10.已知复数满足，则下列结论正确的是（）A.若是的共轭复数，则B.若，则（是虚数单位）C.的最小值为1D.的最大值为3【选考北师大版】11.从1，2，3，4，5，6中随机有放回地抽取两个数，每次抽取一个，记第一次抽到的数为，第二次抽到的数为，定义事件：“是3的整数倍”，“是偶数”，“”，“能被4整除”，则下列结论正确的是（）A. B.C.事件与事件相互独立 D.事件与事件相互不独立12.已知函数，下面说法正确的是（）A.B.在区间上单调递减C.关于的方程的实根个数不可能为4个D.关于的方程的实根个数可能为6个三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）13.已知正实数满足．则的最小值为________14.若函数在区间上有且只有个零点，则的取值范围是_________．15.已知正方形边长为2，点是正方形边上一动点，满足，点是正方形所在平面内一动点，满足．若，则的取值范围是_________．四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）16.设集合，．（1）若，求；（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数m的值．17.已知函数，其中．（1）当时，求的单调递增区间；（2）若函数的最大值为①求实数的值；②将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，求图象的对称轴方程.18.已知函数，且，，（1）当时，求关于x的不等式的解集；（2）当时，不等式在上恒成立，求m的取值范围.【选考人教版】19.如图所示，在直角中，，，，取的中点为D，将沿翻折到的位置，使得．（1）求证：平面平面；（2）求点D到平面的距离；（3）求直线与平面所成角的余弦值.【选考北师大版】20.甲，乙两人参加某公司的招聘考试，考试分为文化测试和体能测试，其中文化测试有3道题，要求至少答对其中的2道题才能通过，通过得1分，不通过得0分；体能测试有2道题，全部合格才能通过，通过得1分，不通过得0分；假设甲答对每道文化测试题的概率为，乙答对每道文化测试题的概率为，甲，乙两人每一道体能测试题合格的概率都是，甲乙两人各自参加完这两项测试，且回答每道题都是独立的．（1）求甲恰好答对两道文化测试题的概率（用p表示），并计算此概率取最大值时对应的p的值；（2）两项测试得分的和为该人的总分，当时，解决下列问题：①求甲总分为1分的概率；②求甲的总分高于乙的总分的概率.21.我们学习过一些代数式恒等变形的方法，例如：，等等，利用这些知识解决下面的问题.已知定义在上的函数满足．（1）求，，的值；（2）设函数，利用代数式恒等变形的方法，求出函数的解析式；（3）证明：．

数学满分150分，考试时间120分钟.一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.若集合，，则（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：易知，；所以．2.若：直线与平面有公共点，：直线与平交，则是的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件答案：B解析：解答过程：根据可知直线在平面内或直线与平交，故是的必要不充分条件．3.已知非零实数，满足，且，则下列说法正确的是（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据不等式的性质判断A，B；利用作差法判断C，D.解答过程：易知，，故A错误，B正确；对于C，移项作差，得，因为不能判断的正负，所以不能确定的正负，所以不能判断的大小关系，故C错误；对于D，移项作差，，所以，故D错误.4.函数的单调递减区间为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：使用复合函数的单调性判断结论求解.解答过程：由得，所以函数的定义域为，因为函数在上单调递增，为增函数，所以函数在区间上单调递增，因为函数在上单调递减，为增函数，所以函数在区间上单调递减，所以函数的单调递减区间为．5.已知角的终边经过点，且，则m的值为（）A.4 B.3 C. D.答案：A解析：思路：根据诱导公式及三角函数的定义列方程求解即可．解答过程：由角的终边经过点，则，，整理得，，解得或（舍去），所以m的值为．6.已知等边的边长为，点P是该三角形所在平面内的动点，满足，当向量的模取最大值时，与夹角的正切值为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：通过化简向量条件得出动点P的轨迹，再利用三点共线确定使线段最长时P的位置，最后在直角三角形中解出目标夹角的正切值即可.解答过程：设的中点为，以为原点建系，则有，，，解得，所以点的轨迹是以中点为圆心，为半径的圆，易得等边的高，所以点在圆外，要使的模取最大值，此时三点共线，由圆的图像性质易得此时，则，与的夹角为，在中，.7.在中，角所对的边分别为，满足，，则的外接圆半径为（）A.1 B.2 C.3 D.4答案：A解析：思路：由正弦定理边化角得到，再通过计算，结合余弦定理即可求解.解答过程：已知，即，由正弦定理边化角得：，即，又，，，，．．，故，又，所以，由正弦定理知，故．8.已知，，满足，，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：对A：可变形为，构造函数，利用该函数单调性及零点存在性定理即可得；对D：由题可得，分别是函数，与函数和图象的交点横坐标，可设两个交点分别为，，结合反函数性质即可得；对B：由D中所得可得，再利用基本不等式中“1”的活用计算即可得；对C：结合A中所得与计算即可得.解答过程：对A：可变形为，令，则当时，单调递减，又，时，，故，故A错误；对D：由题可得，分别是函数，与函数和图象的交点横坐标，则两个交点分别为，，由于函数和图象关于直线对称，而且函数，图象也关于对称，所以，两点关于直线对称，故，故D错误；对B：因为，所以，则，取倒数变形得，所以，，故，故B错误；对C：因为，所以，则，又因为，故，故C正确.二、选择题（本题共3小题，第10题为选考题，请考生任选一题作答.每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.若函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.B.直线是函数图象的一条对称轴C.不等式的解集为D.当，满足，则答案：ABD解析：思路：先通过函数图象确定函数的解析式，然后根据函数的性质逐一判断选项即可．解答过程：由图象知，最小正周期为，则，将代入中，得，得，，又，则，所以该函数的解析式为．对于A，，故A正确；对于B，由的对称轴为，，得，，取时，直线是函数图象的一条对称轴，故B正确；对于C，由，则，即，，解得，，所以该不等式的解集为，，故C错误；对于D，根据函数的解析式画图如下，由，满足，则，所以，故D正确．【选考人教版】10.已知复数满足，则下列结论正确的是（）A.若是的共轭复数，则B.若，则（是虚数单位）C.的最小值为1D.的最大值为3答案：ACD解析：思路：A利用复数的运算化简；B举反例；C利用复数的几何意义求；D利用化简得，再设可求或利用三角不等式求解.解答过程：对于A，，故A正确；对于B，当时，，故B错误；对于C，设复数在复平面中的点为，则表示点在以为圆心的单位圆上，表示点到的距离，故的最小值为，故C正确；对于D，由A知，则，设，则，因为，所以，则的最大值为3，故D正确．或．（当时取等号）【选考北师大版】11.从1，2，3，4，5，6中随机有放回地抽取两个数，每次抽取一个，记第一次抽到的数为，第二次抽到的数为，定义事件：“是3的整数倍”，“是偶数”，“”，“能被4整除”，则下列结论正确的是（）A. B.C.事件与事件相互独立 D.事件与事件相互不独立答案：ACD解析：思路：基于古典概型，通过列举法找出各个事件对应的具体样本点，进而计算概率并利用公式验证事件间的独立性.解答过程：对于A，3和6满足条件，故，答案A正确；对于B，所有可能出现的样本点有，，…，，共个，其中的有，共10个，故，答案B错误；对于C，，易得，满足事件的有共6个，故，则，答案C正确；对于D，，满足事件D的有共9个，故，，则，故答案D正确．12.已知函数，下面说法正确的是（）A.B.在区间上单调递减C.关于的方程的实根个数不可能为4个D.关于的方程的实根个数可能为6个答案：AD解析：思路：对于A，直接由解析式即可判断，对于B，由对数型复合函数单调性可判断，画出函数图象，结合函数和的图象分类讨论可判断CD.解答过程：，A正确，当时，，由对数型复合函数单调性可知：在区间上单调递增，B错误.画出函数的图象，如图1，设，画出其图象，如图2，，对于选项C，D，，当时，则，由的图象可知，方程的实根个数为2个；故方程的实根个数为2个；当时，则或，由的图象可知，方程的实根个数为2个；故方程的实根个数为2个；当时，由图1可知，有三个根，，当，由的图象可知，方程无解，当，由的图象可知，方程的实根个数为2个，综上可知：方程的实根个数为2个；当时，方程有四个根，，当，由的图象可知，方程有一个根，当，由的图象可知，方程无解，当，由的图象可知，方程有一个根，当，由的图象可知，方程有两个根，综上方程的实根个数为4个；当时，方程有四个根，，当时，由的图象可知，方程有两个根，当时，由的图象可知，方程无解，当时，由的图象可知，方程有两个根，当时，由的图象可知，方程有两个根，综上方程的实根个数为6个；当时，方程有两个根，，当时，由的图象可知，方程有两个根，当，由的图象可知，方程无解，当，由的图象可知，方程有两个根，综上方程的实根个数为4个；当时，方程有两个根，，当时，，由的图象可知，方程有两个根，当，由的图象可知，方程无解，综上方程的实根个数为2个.故C错误，D正确.方法提示：三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）13.已知正实数满足．则的最小值为________答案：解析：思路：将已知等式变为，利用可构造出符合基本不等式的形式，利用基本不等式可求得最小值.解答过程：由得：，，，，，，（当且仅当时取等号）的最小值为故答案为.方法提示：本题考查利用基本不等式求解和的最小值的问题，关键是能够灵活运用和为的式子构造出符合基本不等式的形式.14.若函数在区间上有且只有个零点，则的取值范围是_________．答案：解析：思路：利用正弦函数的性质，得到的零点x=π解答过程：由ωx−π4因为在区间上有且只有个零点，故存在，使得π4故34因为，故且−1−4k<34+3故，若，则154≤ω<若，则274≤综上.15.已知正方形边长为2，点是正方形边上一动点，满足，点是正方形所在平面内一动点，满足．若，则的取值范围是_________．答案：解析：思路：通过建立直角坐标系使用三角换元，利用参数表示动点坐标，最终将求的范围转化为求两个相互独立变量的最值问题.解答过程：以点为原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，则，，，设，，，，解得，所以在边上，不妨设，，点，因为，所以有，设，则，故，，即，，因为，所以，即，结合，当时，取最大值，当时，取最小值，故．四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）16.设集合，．（1）若，求；（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数m的值．答案：（1）；（2）．解析：思路：（1）先分别求解集合和集合，再根据交集的定义求出；（2）先分别求解集合和集合，再根据逻辑关系得到不等式组，解出即可.（1）当时，集合，分式不等式等价于：，解得：，即，因为集合，由，解得：或，即，因此.（2）因为，则，解得：，即，则，由题意，“”是“”的必要不充分条件，即，且，则，因此：，解得：，所以17.已知函数，其中．（1）当时，求的单调递增区间；（2）若函数的最大值为①求实数的值；②将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，求图象的对称轴方程.答案：（1），；（2）①；②，．解析：思路：（1）根据条件，利用倍角公式及辅助角公式得到，再由正弦函数的性质，即可求解；（2）①利用倍角公式及辅助角公式得到，结合条件，利用正弦函数的性质，即可求解；②根据条件得到，再由正弦函数的性质，即可求解.（1）由，由，，解得，，所以的单调递增区间为，.（2）①，其中，因为函数的最大值为，所以有，解得；②由①知，所以，令，，解得，，即图象的对称轴方程为，．18.已知函数，且，，（1）当时，求关于x的不等式的解集；（2）当时，不等式在上恒成立，求m的取值范围.答案：（1）当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为（2）当时，m的取值范围是，当时，m的取值范围是解析：思路：（1）因式分解后，分及进行讨论并计算即可得；（2）问题可转化为在区间上恒成立，令，构造函数，再分及讨论并计算即可得.（1）当时，，下面解不等式，即，因为，所以，当时，解得；当时，解得，综上所述，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为；（2）当时，不等式可变形为，即，，所以问题转化为在区间上恒成立，令，则，则，故，令，，当时，函数在上单调递增，，则；当时，函数在上单调递增，在上单调递减，故，则；综上所述，当时，m的取值范围是；当时，m的取值范围是．【选考人教版】19.如图所示，在直角中，，，，取的中点为D，将沿翻折到的位置，使得．（1）求证：平面平面；（2）求点D到平面的距离；（3）求直线与平面所成角的余弦值.答案：（1）证明见解析；（2）；（3）；解析：思路：(1)通过计算线段长度，利用勾股定理证明线面垂直，进而证明面面垂直；(2)采用等体积法，通过转换顶点求点到平面的距离；(3)利用面面垂直的性质找到线面角的平面角，再通过三角函数关系求解余弦值即可.（1）在直角中，，，，所以，因为为中点，所以，取AD的中点为E，连接PE，CE，由为边长为2的等边三角形得，，在中，，，，由余弦定理可得，所以，因为，所以，即，又因为，且，所以平面因为平面，所以平面平面；（2）由（1）可知，平面，则，所以，在中，，，，由余弦定理，，所以，，因为，则点D到面的距离为；（3）过点C作AD延长线的垂线，垂足为Q，连接PQ，由（1）知因为平面平面，且平面平面，，所以平面，故为直线PC与平面PAD所成角，在中，，，，在中，，，由勾股定理：，，即直线PC与面PAD所成角的余弦值为．【选考北师大版】20.甲，乙两人参加某公司的招聘考试，考试分为文化测试和体能测试，其中文化测试有3道题，要求至少答对其中的2道题才能通过，通过得1分，不通过得0分；体能测试有2道题，全部合格才能通过，通过得1分，不通过得0分；假设甲答对每道文化测试题的概率为，乙答对每道文化测试题的概率为，甲，乙两人每一道体能测试题合格的概率都是，甲乙两人各自参加完这两项测试，且回答每道题都是独立的．（1）求甲