2025-2026学年安徽桐城市杨公中学高二下册第三次教学质量监测数学试题 含答案

/数学满分150分，考试时间120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知函数在处有极小值，则（）A. B. C.或 D.或2.已知函数，则不等式的解集为（）A. B. C. D.3.已知函数的定义域为，，当时，，则曲线在点处的切线的斜率为（）A.2 B.1 C. D.4.已知函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（）A. B.C. D.5.已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（）A. B. C. D.6.若函数在定义域上恰有三个零点，则实数a的取值范围是（）A. B. C.或 D.7.已知函数，若，则的最小值是（）A. B. C. D.8.已知函数，，若，，则的最小值为（）A. B. C.-1 D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数，则（）A.B.函数有两个极值点C.方程有两个不同的根D.若函数在定义域内为增函数，则10.双曲正弦函数与型函数是两个重要的函数模型，它们在数学与信息学科中有着广泛的应用，其解析式分别为，则（）A.是增函数B.的值域为C.点是曲线的对称中心D.函数有且只有一个零点11.已知函数，则（）A.是的极小值点B.有两个不同零点C.若函数的对称中心为，则D.当时，三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若斜率为1的直线与曲线和圆都相切，则实数的值为______．13.牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿迭代法，这种方程求根的方法，在计算机等科学领域被广泛应用.如图，设是方程的根，选取作为的初始近似值.过点作曲线在处的切线，切线方程为，当且时，称与轴的交点的横坐标是的一次近似值；过点作曲线在处的切线，切线方程为，当且时，称与轴的交点的横坐标是的两次近似值；重复以上过程，得到的近似值序列.这就是所谓的“牛顿迭代法”.（1）当时，的次近似值与次近似值可建立等式关系：__________；（2）若取作为的初始近似值，根据牛顿迭代法，计算方程正实根的两次近似值为__________（用分数表示）.14.若对任意的，恒有，则实数的取值范围为_____.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数．（1）讨论的单调性；（2）当时，恒成立，求的取值范围．16.已知函数.（1）讨论函数的单调性（2）若函数在其定义域的一个子集内存在两个极值点，求实数a的取值范围并求的极值.17.已知函数.（1）若曲线在处的切线方程为，求实数的值（2）讨论函数的单调区间；（3）若，对任意两个不相等的正数，都有恒成立，求实数的取值范围.18.已知函数.（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）若有两个极值点.（i）求实数的取值范围；（ii）证明.19.已知函数，，．（1）讨论的单调性；（2）求的零点个数；（3）当时，记，的各零点之和为T，证明：．参考数据：，．

数学满分150分，考试时间120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知函数在处有极小值，则（）A. B. C.或 D.或答案：A解析：解答过程：由题意得，由题可知，解得或．当时，，当时，或，当时，，即在和上单调递增，在上单调递减.此时在处取得极大值，不符合题意；当时，，当时，或，当时，，即在和上单调递增，在上单调递减.，此时在处取得极小值，符合题意.2.已知函数，则不等式的解集为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：先判断为定义域上的奇函数且导数恒正单调递增,再利用奇偶性把不等式化为,借助单调性得到二次不等式,求解得或.解答过程：函数的定义域为，且.即为上的奇函数.求导得.故在上单调递增.原不等式等价于.由单调性得，即，解得或.3.已知函数的定义域为，，当时，，则曲线在点处的切线的斜率为（）A.2 B.1 C. D.答案：C解析：思路：利用导数求出曲线在点处的切线的斜率，再利用对称性求得答案.解答过程：由函数的定义域为，，得函数的图象关于直线对称，因此曲线在点处的切线与曲线在点处切线关于直线对称，其斜率互为相反数，当时，，求导得，则，所以曲线在点处的切线的斜率为.4.已知函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：根据导函数的符号与原函数单调性的关系进行判断函数图像趋势即可求解.解答过程：由的图象可知：当和时，，故在，上单调递增，当和时，，故在，上单调递减，所以，选项D正确.5.已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：由题意可知，对任意的，恒成立，即，求出函数在上的值域，即可得出实数的取值范围.解答过程：因为，则，由题意可知，对任意的，恒成立，即，因为函数在上单调递减，故，所以.6.若函数在定义域上恰有三个零点，则实数a的取值范围是（）A. B. C.或 D.答案：A解析：思路：先考虑时，根据零点存在定理确定此时函数有一个零点，结合题意可知时，有两个零点，对函数求导，利用导函数得到函数的单调性，求出函数的最小值为，和端点函数值，构造不等式求解即可.解答过程：当时，则，，所以在上单调递增，且，，在内存在唯一零点；因为函数在其定义域内恰有三个零点，所以当时，有两个零点，，令，则或（舍去），在上单调递减，在上单调递增，又当，时，，且，当时，，所以当时，有两个零点时，需满足，解得.7.已知函数，若，则的最小值是（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据题意可得，令，，化简可得，令，利用导数得到函数单调性即可求解.解答过程：，令，，则有显然又，所以令，，所以，所以在单减，在单增，所以时最小为4，所以的最小值为．8.已知函数，，若，，则的最小值为（）A. B. C.-1 D.答案：A解析：思路：利用导数分析的单调性及最值，根据指对互化，利用函数同构得，结合的单调性及取值情况，得到的关系，从而可得，结合的最小值，求得的最小值.解答过程：函数的定义域为，.当时，；当时，.在上单调递减，在上单调递增.在处取得最小值.又当时，，且，若，，则，所以，即.所以.所以当，即时，取得最小值，最小值为.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数，则（）A.B.函数有两个极值点C.方程有两个不同的根D.若函数在定义域内为增函数，则答案：ACD解析：思路：先对求导代入求出,判定A正确,再代入得到解析式与导数,由导数零点仅有知只有一个极值点,判定B错误,构造求导分析单调性与最值,结合两端趋势知有两个零点,判定C正确,整理增函数对应的导数恒非负,用基本不等式求出最小值为4,得,判定D正确,最终选ACD.解答过程：已知，定义域为，求导得.令，则，解得，故选项A正确.将代入得，.令，得（舍去），当时，，单调递减；当时，，单调递增，故仅有一个极小值点，无极大值点，选项B错误.令，求导得.令，得，当时，，单调递减；当时，，单调递增.，且和时，由零点存在定理有两个不同根，即方程有两个不同根，选项C正确.由在内为增函数，得恒成立，即恒成立.由基本不等式得，当且仅当时取等号，故，选项D正确.10.双曲正弦函数与型函数是两个重要的函数模型，它们在数学与信息学科中有着广泛的应用，其解析式分别为，则（）A.是增函数B.的值域为C.点是曲线的对称中心D.函数有且只有一个零点答案：AD解析：思路：由在上为增函数，可判断A；由求值域可判断B；设，可得则对称中心为，进而可判断C；设，由利用单调性，可得结论判断D.解答过程：对于A项，由在上为增函数，可得在上为增函数，故A正确；对于B项，，因为，所以，所以，所以的值域为，故B错误；对于C项，设，则，因为，所以的对称中心为，故C错误；对于D项，设，则，因为，，所以，所以在上单调递增，又因为，，所以函数有且只有一个零点，故D正确.11.已知函数，则（）A.是的极小值点B.有两个不同零点C.若函数的对称中心为，则D.当时，答案：BCD解析：思路：本题可按选项逐一分析，对A，先求导，根据导数符号判断单调性，确定为极大值点，A错误；对B，因式分解得，可知零点为（二重根）和，共两个不同零点，B正确；对C，利用三次函数对称中心公式，求得对称中心为，故，C正确；对D，先确定时，再求在该区间的值域为，D正确．解答过程：，，令，得，，当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以是极大值点，是极小值点．对于A，是的极大值点，A错误；对于B，，由，得，所以有两个不同零点，B正确；对于C，对于三次函数，对称中心为，若函数的对称中心为，则，，所以，C正确；对于D，当时，，因为在上单调递减，在上单调递增，且，，，所以，D正确．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若斜率为1的直线与曲线和圆都相切，则实数的值为______．答案：或解析：思路：先根据导数得出切线斜率计算求出参数及切点，再点到直线距离等于半径得出参数.解答过程：设直线与曲线的切点为，由，则，则，，即切点为，所以直线为，又直线与圆都相切，则有，解得或13.牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿迭代法，这种方程求根的方法，在计算机等科学领域被广泛应用.如图，设是方程的根，选取作为的初始近似值.过点作曲线在处的切线，切线方程为，当且时，称与轴的交点的横坐标是的一次近似值；过点作曲线在处的切线，切线方程为，当且时，称与轴的交点的横坐标是的两次近似值；重复以上过程，得到的近似值序列.这就是所谓的“牛顿迭代法”.（1）当时，的次近似值与次近似值可建立等式关系：__________；（2）若取作为的初始近似值，根据牛顿迭代法，计算方程正实根的两次近似值为__________（用分数表示）.答案：①.②.##解析：思路：（1）根据题意利用归纳推理可得的次近似值与的次近似值的关系式；（2）设，求导，化简，取，分析计算即可.解答过程：第一空：由曲线在处的切线方程为：，令，解得，又曲线在处的切线方程为：，令，解得，由此推理得的次近似值与的次近似值的关系式为：；第二空：方程正实根为，设函数，则，由，当时，，.14.若对任意的，恒有，则实数的取值范围为_____.答案：解析：思路：由已知不等式变形得出，令，其中，利用导数分析该函数的单调性，可得出，即可得出，参变分离可得，构造函数，其中，利用导数求出函数的最小值，即可得出实数的取值范围.解答过程：对任意的，恒有，则，即，令，其中，则，所以函数在上单调递增，且，由可得，则，参变分离可得，构造函数，其中，，由可得，由可得，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，故，即实数的取值范围是.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数．（1）讨论的单调性；（2）当时，恒成立，求的取值范围．答案：（1）当时，的增区间为，无减区间；当时，函数的减区间为，增区间为（2）解析：思路：（1）求导即可分析的单调性；（2）将变换为，令，求导研究的极值即可．（1）因为，其中，①当时，恒成立，的增区间为，无减区间；②当时，令，得，由可得，由可得，此时，函数的减区间为，增区间为；综上所述：当时，的增区间为，无减区间；当时，函数的减区间为，增区间为．（2）当时，恒成立，即恒成立，令，则，其中，恒成立，所以由可得，由可得，故函数的减区间为，增区间为，所以，即，故的取值范围是．16.已知函数.（1）讨论函数的单调性（2）若函数在其定义域的一个子集内存在两个极值点，求实数a的取值范围并求的极值.答案：（1）时，在，上单调递增，在上单调递减；时，在上单调递增；时，在，上单调递增，在上单调递减；（2），的极大值为，极小值为.解析：思路：（1）求导，含参讨论导数的正负，得函数的单调性；（2）由（1）若要有两个极值点，这两个极值点必是，由两个极值点都在区间上得出参数范围，再由单调性求极值.（1），由得或，当时，在，上恒大于0，在上恒小于0，在，单调递增，在上单调递减；时，在上恒成立，在上单调递增；时，在，上大于0恒成立，在上小于0恒成立，在，上单调递增，在上单调递减；综上，时，在，上调递增，在上单调递减；时，在上单调递增；时，在，上单调递增，在上单调递减.（2）由（1）知的极值点是，1，因此这两个极值点需在区间内，则且，解得，的极大值为，极小值为.17.已知函数.（1）若曲线在处的切线方程为，求实数的值（2）讨论函数的单调区间；（3）若，对任意两个不相等的正数，都有恒成立，求实数的取值范围.答案：（1），（2）答案见解析（3）解析：思路：（1）根据导数几何意义和切点坐标可构造方程组求得；（2）求导后，分别在和的情况下，根据的正负得到的单调区间；（3）利用导数可求得单调性，从而将恒成立的不等式转化为单调递减，进而得到恒成立，采用分离变量法可求得结果.（1），，解得：，又，，解得：；，.（2）由题意知：的定义域为，；①当时，若，则；若，则；的单调递减区间为，单调递增区间为；②当时，i.若，则当时，；当时，；的单调递增区间为，单调递减区间为；ii.若，则在上恒成立，的单调递增区间为，无单调递减区间；iii.若，则当时，；当时，；的单调递增区间为，单调递减区间为；综上所述：当时，的单调递减区间为，单调递增区间为；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.（3）的定义域为，，，，即，在上单调递增，不妨设，则，则由得：，令，则在上单调递减，在上恒成立，，设，则，当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减，，，即实数的取值范围为.18.已知函数.（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）若有两个极值点.（i）求实数的取值范围；（ii）证明.答案：（1）（2）（i）；（ii）证明见解析解析：思路：（1）当时先写出表达式,代入求得函数值,再对求导得到,代入算出切线斜率,由点斜式即可得出曲线在点处的切线方程为.（2）（i）由求出导数并通分化简,根据函数有两个极值点,转化为分子二次方程在上有两个不等正根,利用韦达定理与判别式列出不等式组,求解得出实数的取值范围.（ii）利用极值点满足二次方程关系,代入化简构造单变量函数,再对二次求导分析单调性,确定其极小值点与单调区间,找到唯一极值点,借