2025-2026学年福建泉州外国语学校等校高三下册5月联考数学试题 含答案

/数学满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.已知单位向量，满足，则（）A. B.0 C. D.3.若复数满足，则（）A. B. C. D.4.已知是定义在上的奇函数，且当时，，则（）A. B. C. D.5.已知数列为等差数列，设甲：，乙：，则（）A.甲是乙的充分不必要条件 B.甲是乙的必要不充分条件C.甲是乙的充要条件 D.甲是乙的既不充分也不必要条件6.已知函数，若，则（）A. B. C. D.17.已知，若，则（）A. B. C. D.8.已知双曲线的右焦点为，设为坐标原点，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点（异于原点），点在双曲线上，若，则双曲线的离心率为（）A. B. C.2 D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.某公益组织为了更好地安排志愿服务工作，抽取了位志愿者作为样本，并统计了其年龄的数据，按区间，，，，，分组，制成了如下图所示的频率分布直方图，则（）A.样本数据的众数估计为岁B.样本中年龄在的人数为C.估计志愿者年龄的中位数为岁D.若从所有志愿者中任选两人，则其年龄均介于的概率为10.在棱长为2的正方体中，P是线段AC上的动点（包含两个端点），则下列结论正确的是（）A.与是异面直线B.过点P与垂直的平面截正方体所得截面的面积为C.的最大值为D.的最小值为11.已知函数，其中，且当时，，则（）A. B.C.的极大值为 D.若且恒成立，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若抛物线上一点到其焦点的距离为5，为坐标原点，则________．13.已知某密码由4个正整数组成，且所有数字之和为7，则该密码共有________种可能（用数字作答）．14.已知某圆锥的侧面积为定值，则当该圆锥的内切球的体积最大时，其母线与底面所成角的余弦值为________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15.4月6日，河南郑州街头出现人形机器人“店员”，为顾客提供智能售卖服务．已知每次独立执行高难度动作时，A机器人成功的概率为0.6，失败的概率为0.4；B机器人成功的概率为0.8，失败的概率为0.2．（1）若从A，B两个机器人中等可能地选用一个机器人独立执行一次高难度动作，求该机器人失败的概率；（2）若A，B两个机器人各自独立执行一次高难度动作，记这两个机器人失败的总次数为X，求X的分布列和数学期望．16.记的内角的对边分别为，已知．（1）求；（2）设，且边上的高为，求的周长．17.如图，在四棱锥中，为正三角形，，，．（1）证明：平面平面；（2）若，且锐二面角的正弦值为，求.18.已知函数．（1）若为增函数，求实数a的取值范围；（2）证明：函数有且仅有一个零点．19.已知椭圆的左、右焦点分别为、，，点M在椭圆C上，且的面积的最大值为．（1）求椭圆C的方程；（2）设G为的重心，I为的内心，I、G两点不重合．①证明：；②点P，Q在椭圆C上，且，求的面积的取值范围．

数学满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：因为是增函数，所以；因为，所以.2.已知单位向量，满足，则（）A. B.0 C. D.答案：A解析：解答过程：依题意，，即，所以，故．3.若复数满足，则（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：设，两边取模可得，所以，故.4.已知是定义在上的奇函数，且当时，，则（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：由已知得，而，则，所以.5.已知数列为等差数列，设甲：，乙：，则（）A.甲是乙的充分不必要条件 B.甲是乙的必要不充分条件C.甲是乙的充要条件 D.甲是乙的既不充分也不必要条件答案：B解析：解答过程：设，则，，当时，成立，但不成立；当时，，，所以．因此甲是乙的必要不充分条件．6.已知函数，若，则（）A. B. C. D.1答案：C解析：思路：根据已知得是的一个极值点，且，代入求参数值，最后确定原函数的解析式，即可求.解答过程：由，知关于对称，所以是的一个驻点，即，且，故，解得，所以，则．7.已知，若，则（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：由题意得，，所以，即，即，因为，所以，，所以，.8.已知双曲线的右焦点为，设为坐标原点，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点（异于原点），点在双曲线上，若，则双曲线的离心率为（）A. B. C.2 D.答案：D解析：思路：由圆的几何性质可得，求得,及，由双曲线的定义得，由余弦定理可得到，进而求得离心率.解答过程：以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点，所以，不妨设双曲线的一条渐近线为，则到该直线的距离为，因为，所以，设双曲线的左焦点为，则，在中，由余弦定理得，即，解得，所以双曲线的离心率为．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.某公益组织为了更好地安排志愿服务工作，抽取了位志愿者作为样本，并统计了其年龄的数据，按区间，，，，，分组，制成了如下图所示的频率分布直方图，则（）A.样本数据的众数估计为岁B.样本中年龄在的人数为C.估计志愿者年龄的中位数为岁D.若从所有志愿者中任选两人，则其年龄均介于的概率为答案：ABC解析：思路：直接由频率直方图可得中位数，众数及频数，因此可判断ABC，再由相互独立事件的概率可得D选项错误.解答过程：对于A，观察图可知，样本数据的频率最大的一组为，所以样本数据的众数估计为，因此A选项正确；对于B，样本中年龄在的频率为，所以样本中年龄在的人数为，B选项正确；对于C，前三组的频率为，所以中位数在第三组中，因此志愿者年龄的中位数为，C选项正确；对于D，设任意一个人的年龄为，则，所以从所有志愿者中任选两人且两人年龄均介于的概率为，故D选项错误．10.在棱长为2的正方体中，P是线段AC上的动点（包含两个端点），则下列结论正确的是（）A.与是异面直线B.过点P与垂直的平面截正方体所得截面的面积为C.的最大值为D.的最小值为答案：ACD解析：思路：建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明得到与不平行与平面，进而证明结论判断A，利用空间位置关系的向量证明得到面，求出所求截面，最后求解截面面积判断C，利用线线夹角的向量求法求出解析式，进而求解最值判断C，将平面与平面沿展开为同一平面，应用平面两点间线段最短判断D即可.解答过程：对于A，如图，作出符合题意的图形，以为原点建立空间直角坐标系，由题意得，，，，，而P是线段上的动点，则，设，得到，，则，解得，得到，则，而，，可得与不平行，设面的法向量为，则，令，解得，，可得，得到，且不在面内，可得平面，而面，则与无交点，得到与是异面直线，故A正确，对于B，由题意得，则，而，，设面的法向量为，则，令，解得，，可得，而，可得面，则为所求截面，由勾股定理得，则是等边三角形，由三角形面积公式得，故B错误，对于C，由题意得，，则，则，令，，由二次函数性质得在上单调递减，在上单调递增，且，则，，即的最大值为，故C正确，对于D，将平面与平面沿展开为同一平面，如下图示，当且仅当共线时，最小，而，，故由余弦定理得，故D正确.11.已知函数，其中，且当时，，则（）A. B.C.的极大值为 D.若且恒成立，则答案：ABD解析：思路：假设，利用函数零点的之间关系推得与已知不符即可判断A；对和两种情形进行分析得到与已知不符，进而判断B；通过导数求得的极大值可判断C；由恒成立，令，转化为恒成立，根据确定参数.解答过程：对于A，若，则，因为，所以当时，，不符合题意，所以，故A正确；对于B，若，则当时，，不符合题意；若，则当时，，不符题意；若，则，符合题意，故B正确；对于C，，所以为的极大值点，所以，故C错误；对于D，，其中，所以恒成立，所以，解得，故D正确．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若抛物线上一点到其焦点的距离为5，为坐标原点，则________．答案：解析：解答过程：设，因为，所以，则，所以，所以．13.已知某密码由4个正整数组成，且所有数字之和为7，则该密码共有________种可能（用数字作答）．答案：20解析：解答过程：已知密码由个正整数组成，设四个数字分别为，满足，且.根据隔板法，解的个数为，共有种可能.14.已知某圆锥的侧面积为定值，则当该圆锥的内切球的体积最大时，其母线与底面所成角的余弦值为________．答案：解析：思路：设圆锥的侧面积为，底面半径为，母线长为，由等面积法可得该圆锥的内切球半径，结合圆锥侧面积可得，记为定值，进而得到，结合基本不等式可得，进而求解即可.解答过程：设圆锥的侧面积为，底面半径为，母线长为，由，可得，而圆锥侧面积为，即，记为定值，则，当且仅当，即，即时等号成立，此时，所以圆锥的内切球体积最大时，其母线与底面所成角的余弦值为．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15.4月6日，河南郑州街头出现人形机器人“店员”，为顾客提供智能售卖服务．已知每次独立执行高难度动作时，A机器人成功的概率为0.6，失败的概率为0.4；B机器人成功的概率为0.8，失败的概率为0.2．（1）若从A，B两个机器人中等可能地选用一个机器人独立执行一次高难度动作，求该机器人失败的概率；（2）若A，B两个机器人各自独立执行一次高难度动作，记这两个机器人失败的总次数为X，求X的分布列和数学期望．答案：（1）（2）分布列见解析，期望为解析：思路：（1）根据条件概率的概念，以及全概率公式，求出事件的概率即可；（2）根据独立事件乘法公式，求出各种情况下失败的概率，写出分布列，再根据数学期望的概念，求出结果即可；（1）设事件为选用机器人，事件为选用机器人，用事件表示机器人失败，则，，，．由全概率公式得．（2）由题意得的取值可能为0，1，2．，，，可得的分布列为0120.480.440.08有．16.记的内角的对边分别为，已知．（1）求；（2）设，且边上的高为，求的周长．答案：（1）（2）解析：思路：（1）由条件并结合正弦定理可得，再由角的范围可得所求角的值；（2）先由等面积法可得，再由余弦定理及条件可得，再代入余弦定理得，从而可得三角形周长.（1）因为，由正弦定理得，，，，，，．（2）因为边上的高为，所以，由（1）知，所以，因此，即①.又由余弦定理，，，②又因为，得代入②，，所以，，解得或（舍去）.再由②和①得，因此，所以.的周长为．17.如图，在四棱锥中，为正三角形，，，．（1）证明：平面平面；（2）若，且锐二面角的正弦值为，求.答案：（1）证明见解析（2）解析：思路：（1）取棱的中点，由勾股定理可证，又，利用线面垂直的判定定理可证平面，再由面面垂直的判定定理得证；（2）以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，由题可得点在以为圆心，2为半径，过点的圆上，设出点的坐标，求出平面和平面的法向量，利用向量法结合已知条件列式求出的坐标，得解.（1）取棱的中点，因为，所以.在中，由余弦定理得.又为等边三角形，所以，在中，因为，所以，所以，因为，，平面，所以平面.因为平面，所以平面平面.（2）以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，由题设得，，又由，可得点在以为圆心，2为半径，过点的圆上，有，设，则，，易知平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，则，即，可取，记锐二面角的大小为，，则，化简得，且，所以，，所以，即.18.已知函数．（1）若为增函数，求实数a的取值范围；（2）证明：函数有且仅有一个零点．答案：（1）（2）证明见解析解析：思路：（1）对函数求导，问题化为恒成立，应用导函数求右侧的最小值，即可得；（2）问题化为证明在上有且仅有一个零点，应用导数研究其零点即可证.（1）由题设，若为增函数，则，，即对任意恒成立，即恒成立．令，，令，得，当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增，所以，即的取值范围是；（2）令，可得，令，所以，设且，则，当时，当时，所以在区间单调递减，在区间单调递增，所以，所以，在上单调递增，取，且，则，取，且，则，所以在区间存在唯一零点，所以有且仅有一个零点.19.已知椭圆的左、右焦点分别为、，，点M在椭圆C上，且的面积的最大值为．（1）求椭圆C的方程；（2）设G为的重心，I为的内心，I、G两点不重合．①证明：；②点P，Q在椭圆C上，且，求的面积的取值范围．答案：（1）（2）①证明见解析；②解析：思路：（1）由可得，由的面积的最大值可得，从而可得椭圆方程；（2）①设，利用重心性质得到，再利用等面积法得到的内切圆半径，所以和的纵坐标相等，；②设延长线交轴于点，利用角平分线定理得到，进而得