2025-2026学年福建厦门集美中学高一下册期中质量检测数学试题 含答案

/数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分1.设复数（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点所在的象限为（

）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.若平面平面，，则与的位置关系是（）A.与相交 B.与平行C.在内 D.无法判定3.如图，在平行四边形ABCD中，点E是BC的中点，设，，则等于（）A. B. C. D.4.如图所示，已知在长方体中，，则和BG所成角的大小是（

）A. B. C. D.5.已知分别为三个内角所对的边，若，则（）A. B. C.或 D.6.已知是关于的方程在复数范围内的一个根，则实数（）A.4 B. C.2 D.7.已知圆柱和圆锥的底面半径相同，母线长也相同，则它们的表面积之比为（）A. B. C. D.3：18.在矩形ABCD中，，，点E为BC的中点，点F在边CD上，若，则的值为（）A. B.1 C.2 D.二、多择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.9.已知为虚数单位，复数，，则（）A.的共轭复数为 B.C.为实数 D.的虚部为-510.向量，满足，，，下列说法正确的是（）A. B.与的夹角为C.在上的投影向量的模等于 D.11.如图，在棱长为2的正方体中，点是线段的中点，点为线段上的动点（包括端点），则下列说法中正确的是（）A.三棱锥的体积为定值B.直线与互为异面直线C.从点处沿该正方体表面到达点处的最短距离为D.当为线段中点时，平面截正方体所得截面图形为梯形三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知棱台的上､下底面面积分别是2，8，高为3，则棱台的体积等于___________.13.一艘轮船从地出发，沿东偏南的方向以每小时20千米的速度匀速航行2小时，到达地，再沿北偏东的方向以每小时20千米的速度匀速航行1小时，到达地，则两地之间的距离是__________千米.14.已知复数满足，则的最小值是______．四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（共77分）15.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求B；（2）若，，求c．16.四棱锥中底面是平行四边形，E是中点，平面与交于F．（1）求证：平面．（2）求证：F是中点．17.如图，已知在平行四边形中，，，，设向量是与向量垂直的单位向量．（1）求点D的坐标；并判断平行四边形是否为矩形．（2）求单位向量的坐标；18.已知为锐角三角形，分别为三个内角的对边,且，（1）求；（2）若，的面积为，求的周长；（3）若，求周长的取值范围.19.如图，在一块三角形观景架MNP中，点Q为底边NP的中点，点O为支撑杆MQ的中点．过点O的拉索分别与边MN，MP交于点R，S．设，．（1）若，求的值；（2）求的最小值；（3）若是边长为2的等边三角形，求的最小值．

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分1.设复数（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点所在的象限为（

）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案：A解析：解答过程：，对应的点为，在第一象限.2.若平面平面，，则与的位置关系是（）A.与相交 B.与平行C.在内 D.无法判定答案：B解析：思路：利用面面平行的性质定理即可得解.解答过程：，，利用线面平行的性质定理可得.故选：B3.如图，在平行四边形ABCD中，点E是BC的中点，设，，则等于（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：结合图形，利用向量的线性运算即可求得.解答过程：由图知，.故选：C.4.如图所示，已知在长方体中，，则和BG所成角的大小是（

）A. B. C. D.答案：C解析：思路：由∥，得到为和BG所成角求解.解答过程：因为∥，所以为和BG所成角，所以在中，，因为为锐角，所以，所以和BG所成角的大小是，故选：C5.已知分别为三个内角所对的边，若，则（）A. B. C.或 D.答案：A解析：思路：利用正弦定理求得，结合三角形边角关系即可求出角.解答过程：由正弦定理，，可得，因，则，故.故选：A.6.已知是关于的方程在复数范围内的一个根，则实数（）A.4 B. C.2 D.答案：B解析：思路：利用实系数一元二次方程两虚根共轭，得到方程另一根，最后利用韦达定理得到答案.解答过程：是方程的一个根，是方程的另一个根.则由韦达定理得：，解得：，故选：B7.已知圆柱和圆锥的底面半径相同，母线长也相同，则它们的表面积之比为（）A. B. C. D.3：1答案：C解析：思路：设它们底面圆半径为，母线长为，计算其表面积后可得比例关系.解答过程：设它们底面圆半径为，母线长为，记圆柱的表面积为，则，记圆锥的表面积为，则，所以圆柱与圆锥表面积之比.故选：C8.在矩形ABCD中，，，点E为BC的中点，点F在边CD上，若，则的值为（）A. B.1 C.2 D.答案：C解析：思路：建立平面直角坐标系，利用坐标表示向量的数量积，求出点，在计算结果即可.解答过程：建立平面直角坐标系如图所示：由题意可知，，设，则，由，可得，所以，又，所以，故选：C.二、多择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.9.已知为虚数单位，复数，，则（）A.的共轭复数为 B.C.为实数 D.的虚部为-5答案：BD解析：思路：求出的共轭复数判断A；求出、可判断B；由复数的加法，求出的值判断C；由复数的乘法运算，求出，可判断D.解答过程：因为的共轭复数为，所以A错误；因为，，所以B正确；因为，所以C错误；因为，所以虚部为，所以D正确.10.向量，满足，，，下列说法正确的是（）A. B.与的夹角为C.在上的投影向量的模等于 D.答案：BCD解析：思路：根据向量数量积的运算律结合题干条件即可判断选项A；由平面向量的数量积定义即可判断选项B；根据投影向量的计算公式即可判断选项C；根据向量数量积的运算律计算即可判断选项D.解答过程：∵，，，∴，∴，故选项A错误；设的夹角为，则，∴，∵，∴，故选项B正确；∵在上的投影向量为，∴在上的投影向量的模等于，故选项C正确；∵，∴，故选项D正确.故选：BCD.11.如图，在棱长为2的正方体中，点是线段的中点，点为线段上的动点（包括端点），则下列说法中正确的是（）A.三棱锥的体积为定值B.直线与互为异面直线C.从点处沿该正方体表面到达点处的最短距离为D.当为线段中点时，平面截正方体所得截面图形为梯形答案：ABD解析：思路：根据在正方体的几何特点，逐项判断即可.解答过程：因为在棱长为2的正方体中，点是线段的中点，所以，因为平面，点为线段上的动点，所以到平面的距离为2，所以，所以A正确；因为直线与不同在任何一个平面内，所以直线与互为异面直线，所以B正确；正方体的侧面展开图如下：则点处沿该正方体表面到达点处的最短距离为，所以C错误；如图，取的中点，当为线段中点时，有，所以平面截正方体所得截面图形为平面，又，所以平面为梯形，所以D正确.故选：ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知棱台的上､下底面面积分别是2，8，高为3，则棱台的体积等于___________.答案：解析：解答过程：由棱台的体积公式得.13.一艘轮船从地出发，沿东偏南的方向以每小时20千米的速度匀速航行2小时，到达地，再沿北偏东的方向以每小时20千米的速度匀速航行1小时，到达地，则两地之间的距离是__________千米.答案：解析：思路：根据给定条件，画出图形，再利用余弦定理解三角形作答.解答过程：依题意，如图，在中，从地出发，沿东偏南的方向到达地，再沿北偏东的方向到达地，，则千米，千米，由余弦定理得，因此千米,所以两点间的距离是千米．故14.已知复数满足，则的最小值是______．答案：4解析：思路：利用复数运算的几何意义求解即可.解答过程：设，由得x−12+y2所以复数表示的点在以为圆心，1为半径的圆上，z+2+4i=x+2+所以的最小值为AB−1=1−四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（共77分）15.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求B；（2）若，，求c．答案：（1）（2）7解析：思路：（1）利用余弦定理进行求解；（2）先利用同角三角函数关系得到，再使用正弦定理求解（1）变形为：，所以，因为，所以，（2）因为，且，所以由正弦定理得：，即，解得：16.四棱锥中底面是平行四边形，E是中点，平面与交于F．（1）求证：平面．（2）求证：F是中点．答案：（1）证明见解析（2）证明见解析解析：思路：（1）即证，利用线面平行的判定定理即可得证；（2）由（1）有平面，利用线面平行的性质定理即可得，进而得证.（1）由底面是平行四边形，所以，又平面平面，所以平面；（2）由（1）有平面，又平面，平面平面，所以，又E是中点，所以F是中点.17.如图，已知在平行四边形中，，，，设向量是与向量垂直的单位向量．（1）求点D的坐标；并判断平行四边形是否为矩形．（2）求单位向量的坐标；答案：（1），平行四边形不是矩形（2）或解析：思路：（1）利用平行四边形的性质结合向量相等求出点坐标，利用向量数量积与垂直的关系判断平行四边形是否为矩形；（2）利用向量垂直数量积为0，结合单位向量的性质列方程组求解．（1）设顶点的坐标为，，由题意可得，则，，解得，点的坐标是；又，，，不垂直于，平行四边形不是矩形．（2）设，依题意有，，，，，解得或，或．18.已知为锐角三角形，分别为三个内角的对边,且，（1）求；（2）若，的面积为，求的周长；（3）若，求周长的取值范围.答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式推出，可求得答案；（2）由三角形的面积公式求出，代入余弦定理可求出，即可求出的周长.（3）由正弦定理表示出，结合两角差的正弦公式可化简得到，确定角的范围，结合正弦函数性质即可求得答案.（1）在中，因为，所以，即，因为所以，故，则；（2）因为的面积为，即，所以.由余弦定理得.解得,所以周长为.（3）由正弦定理得，即，则，因为为锐角三角形，则，故，所以，则，故，故周长的取值范围为.19.如图，在一块三角形观景架MNP中，点Q为底边NP的中点，点O为支撑杆MQ的中点．过点O的拉索分别与边MN，MP交于点R，S．设，．（1）若，求的值；（2）求的最小值；（3）若是边长为2的等边三角形，求的最小值．答案：（1）；（2）4（3）解析：思路：（1）根据