2025-2026学年甘肃兰州第一中学高一下册期中考试数学试题 含答案

/数学满分150分，考试时间120分钟．答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡．一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）1.已知，则（）A. B. C. D.2.如图所示，已知在中，是线段上的靠近A的三等分点，则（）A. B. C. D.3.已知平面向量，，若，则（）A. B. C.1 D.24.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，C.已知，则的形状一定是（）A.等边三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等腰直角三角形5.在中，内角的对边分别为.若，，且则（）A. B. C. D.6.如图，某建筑物的高度，一架无人机上的仪器观测到建筑物顶部的仰角为15°，地面某处的俯角为45°，且，则此无人机距离地面的高度为（）A. B. C. D.7.已知，则（）A. B. C. D.8.在锐角中，角的对边分别为的面积为，若，则的取值范围为（）A. B. C. D.二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）9.已知在中，角A，B，所对的边分别为且，，，则下列说法正确的是（）A.或 B.C. D.该三角形的面积为10.（多选）的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，则下列说法正确的是（

）A.若，则B.若，则是钝角三角形C.若，则为等腰三角形D.若，则有两解11.在锐角中，角，，的对边分别为，，为外接圆圆心，已知，，则下列结论正确的是（）A.B.C.周长取值范围为D.和面积之差的取值范围为第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分)12.从小到大依次排列的四个数1，，，9，这四个数的中位数和平均数相等，则这四个数的和是______.13.在中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c．若，则的值为______．14.在中，，，为线段上一点，，则的最大值为________．四、解答题（本大题共5小题，共计77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤›15.某市为了改善交通状况，实行“小红帽”志愿者服务，协助交警参与交通疏导．现对某单位参与志愿服务次数进行统计，随机抽取40名职工作为样本，得到这40名职工参加“小红帽”志愿者服务的次数．根据所得数据，按分成六组，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求图中a的值；（2）若该单位有职工200人，试估计该单位参加志愿服务次数不低于15次的总人数；（3）试估计该单位职工参与志愿服务次数的中位数．16.求下列各式的值：（1）；（2）.17.已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，．（1）若，，求c；（2）若的面积为，，求a．18.已知向量，，，设函数；（1）求的最小正周期与单调递增区间；（2）对，不等式恒成立，求的取值范围．19.已知正边形的外接圆的圆心为，半径为.（1）设，（i）若点在半径上运动，半径的中点为，当最大时，求的长；（ii）若点在两边上运动（包括端点），求的范围；（2）若点在圆上运动，证明：为定值，并求此定值（结果用表示）.

数学满分150分，考试时间120分钟．答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡．一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）1.已知，则（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：因为，所以.2.如图所示，已知在中，是线段上的靠近A的三等分点，则（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：因是线段上的靠近A的三等分点，则.3.已知平面向量，，若，则（）A. B. C.1 D.2答案：D解析：思路：根据平面向量的线性运算以及平行向量的坐标表示即可求出值.解答过程：，，则，由得，解得.故选：D.4.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，C.已知，则的形状一定是（）A.等边三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等腰直角三角形答案：C解析：思路：利用余弦定理变形，再结合余弦函数的性质判断即可.解答过程：在中，由余弦定理得，整理得，而，函数在上单调递减，因此，所以是等腰三角形.故选：C5.在中，内角的对边分别为.若，，且则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：利用余弦定理表示出，利用条件变换求解即可.解答过程：因为，，且由余弦定理知，，解得，故选：6.如图，某建筑物的高度，一架无人机上的仪器观测到建筑物顶部的仰角为15°，地面某处的俯角为45°，且，则此无人机距离地面的高度为（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：由题意，在中，，，所以.在中，，，所以，由正弦定理，.又为等腰直角三角形，所以.故选项B正确.7.已知，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：直接根据诱导公式计算可得结果.解答过程：因为，所以由诱导公式得．故选：A8.在锐角中，角的对边分别为的面积为，若，则的取值范围为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：由面积公式与正余弦定理化简后得出关系后求解解答过程：由题意，而，所以，由余弦定理得，故，又由正弦定理得，整理得，故或（舍去），得，因为是锐角三角形，故，解得，故，.故选：C.方法提示：关键点点睛：关键是适当结合正弦定理、余弦定理进行边角转换由此即可顺利得解.二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）9.已知在中，角A，B，所对的边分别为且，，，则下列说法正确的是（）A.或 B.C. D.该三角形的面积为答案：BC解析：思路：利用余弦定理求得，利用正弦定理求得，由此求得，进而求得，利用三角形的面积公式求得三角形的面积，从而确定正确选项.解答过程：由余弦定理得，所以，由正弦定理得，所以，由于，所以，所以，三角形的面积为，故BC选项正确，AD选项错误.故选：BC.10.（多选）的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，则下列说法正确的是（

）A.若，则B.若，则是钝角三角形C.若，则为等腰三角形D.若，则有两解答案：ACD解析：思路：利用大角对大边及正弦定理，结合余弦定理即可求解.解答过程：对于A，，所以，由正弦定理得，故A正确；对于B，，故边最长，角最大.设，则.所以角为锐角，故是锐角三角形，故B错误；对于C，，则，则为等腰三角形，故C正确；对于D，，因为，故，结合可得，根据正弦定理由正弦函数的性质可知有两解，所以有两解，故D正确.故选：ACD.11.在锐角中，角，，的对边分别为，，为外接圆圆心，已知，，则下列结论正确的是（）A.B.C.周长取值范围为D.和面积之差的取值范围为答案：ACD解析：思路：对A：借助正弦定理将角化为边后结合余弦定理计算即可得；对B：结合所给条件与正弦定理计算即可得；对C：借助正弦定理可将边化为角，并用表示出周长，再利用的范围计算周长范围即可得；对D：借助表示出与面积，即可表示出面积之差，从而可结合换元法与二次函数性质得解.解答过程：对A：由与正弦定理可得，即，，，又，故，故A正确；对B：，所以由正弦定理，可得，①又因为，即，即，②将①代入②可得，解得，选项B错误；对C：由正弦定理，，故：展开，得：，周长，利用三角恒等变换，结合，得，故：，故选项C正确；对D：设外接圆半径为，则，且，即，因为，所以，，所以，由，则，所以，则和面积之差的取值范围为，故选项D正确.故选：ACD.第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分)12.从小到大依次排列的四个数1，，，9，这四个数的中位数和平均数相等，则这四个数的和是______.答案：20解析：思路：由中位数及平均数定义求得这四个数的中位数和平均数，然后建立方程求得，即可求得答案.解答过程：中位数为，平均数为，由题意得，则，∴，故20.13.在中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c．若，则的值为______．答案：##解析：思路：根据余弦定理计算即可.解答过程：因为，所以由余弦定理可得.故14.在中，，，为线段上一点，，则的最大值为________．答案：解析：思路：由利用面积公式和数量积可得，由利用正弦定理结合三角恒等变换可得，由可得，由三点共线的可得，设，利用辅助角公式结合正弦函数有界性分析求解.解答过程：设角所对的边分别为，因为，则，可得，且，所以，因为，即，可得，由正弦定理可得，又因为且，可得，则，因为，则，可得，且，则，可得，可得，则，可知为等腰直角三角形，由，可得，因为，且为线段上一点，则，且，设，则，且，可得，所以的最大值为.故答案为.四、解答题（本大题共5小题，共计77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤›15.某市为了改善交通状况，实行“小红帽”志愿者服务，协助交警参与交通疏导．现对某单位参与志愿服务次数进行统计，随机抽取40名职工作为样本，得到这40名职工参加“小红帽”志愿者服务的次数．根据所得数据，按分成六组，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求图中a的值；（2）若该单位有职工200人，试估计该单位参加志愿服务次数不低于15次的总人数；（3）试估计该单位职工参与志愿服务次数的中位数．答案：（1）（2）（3）15.3125解析：思路：（1）根据频率分布直方图中频率之和为1可求得的值.（2）首先求出该单位参加志愿服务次数不低于15次的频率，从而求得人数.（3）根据中位数的概念即可求出该单位职工参与志愿服务次数的中位数.（1）由频率分布直方图可知，解得．（2）由图可知该单位参加志愿服务次数不低于15次的频率为，则该单位参加志愿服务次数不低于15次的人数为．（3）因为，所以该单位职工参与志愿服务次数的中位数的估计值在内．设该单位职工参与志愿服务次数的中位数的估计值为，则，解得，即该单位职工参与志愿服务次数的中位数的估计值为15.3125．16.求下列各式的值：（1）；（2）.答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用两角和的正弦公式化简求值；（2）根据两角和的正弦公式及诱导公式化简即可求值.（1）.（2）.17.已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，．（1）若，，求c；（2）若的面积为，，求a．答案：（1）2（2）解析：思路：（1）先求出角，结合正弦定理可得答案；（2）先利用面积求出，结合余弦定理可得答案.（1）因为，，所以，由正弦定理，可得.（2）因为的面积为，所以，因为，，所以，解得.由余弦定理可得，即.18.已知向量，，，设函数；（1）求的最小正周期与单调递增区间；（2）对，不等式恒成立，求的取值范围．答案：（1），，（2）解析：思路：（1）先根据向量的数量积公式和三角函数的化简，可得，再利用正弦函数性质列不等式计算求解；（2）参变分离转化为函数的最值问题.（1），，由，得，，故的递增区间为，；（2），恒成立由，得，故时，，，实数的取值范围是.19.已知正边形的外接圆的圆心为，半径为.（1）设，（i）若点在半径上运动，半径的中点为，当最大时，求的长；（ii）若点在两边上运动（包括端点），求的范围；（2）若点在圆上运动，证明：为定值，并求此定值（结果用表示）.答案：（1）（i）；（ii）（2）证明见解析，定值为解析：思路：（1）（i）计算，再利用两角和差的正切公式计算，结合基本不等式即可；（ii）过点过，交的延长线于点S