2025-2026学年辽宁省朝阳市高一下册期中考试数学试题 含答案

/数学第Ⅰ卷（选择题，共58分）一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若，，则（）A. B. C. D.2.函数的单调递减区间是（）A. B.C. D.3.已知为单位向量，与的夹角为，则与的夹角为（）A. B. C. D.4.的内角所对的边分别为，若，则为（）A. B.或 C. D.5.已知向量，绕原点逆时针旋转到的位置，则点的坐标为（）A. B. C. D.6.若，且，则（）A. B.或 C. D.7.随着时代与科技的发展，信号处理以各种方式被广泛应用于医学､声学､密码学､计算机科学､量子力学等各个领域．而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数，某种信号的波形可以利用函数的图像近似的模拟，则（）A.的最大值为3B.为周期函数，且最小正周期为C.的图象关于直线对称D.的图象关于点对称8.直角中，斜边为所在平面内一点，（其中），则下列说法错误的是（）A.点经过的外心B.点所在轨迹的长度为1C.的取值范围是D.的取值范围是二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知向量，且，则（）A.与的夹角为B.在上的投影向量为C.D.10.要得到函数的图像，只需将函数的图像（）A.先向右平移个单位长度，再将横坐标扩大为原来的3倍B.先向左平移个单位长度，再将横坐标扩大为原来的3倍C.先将横坐标扩大为原来的3倍，再向左平移个单位长度D.先将横坐标扩大为原来的3倍，再向右平移个单位长度11.已知对任意角恒成立．设的内角满足的面积满足，记分别为角所对的边，则下列说法正确的是（）A.B.外接圆面积的最大值为C.D.的最小值为64第II卷（非选择题，共92分）三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.在中，，则中最大角的余弦值为__________．13.已知直线与函数的图象相交，若自左至右的三个相邻交点满足，则实数__________．14.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若是平面内三个不同的单位向量，且满足，则的取值范围为__________．四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知单位向量的夹角为，向量，向量（1）若，求的值；（2）若与夹角为钝角，求的范围．16.设的内角的对边分别为，已知．（1）求角；（2）若角的平分线交于点的面积为面积的两倍，求的长．17.设的内角所对的边分别为，若．（1）判断的形状；（2）若，试求的最小值．18.设，函数．（1）求函数的解析式，并写出对称中心；（2）将的图像向下平移个单位得到函数；①函数在上恰好有三个对称中心，求的范围；②若对任意恒成立，求实数的取值范围．19.“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点O即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知分别是三个内角的对边，已知．（1）求角A；（2）若点在上，为的费马点，当面积最大时，求；（3）设点为的费马点，，求实数的最小值．

数学第Ⅰ卷（选择题，共58分）一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若，，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据同角三角函数关系求，再根据结合两角和差公式运算求解.解答过程：因为，，则，可得，所以.2.函数的单调递减区间是（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：由余弦函数的单调区间直接求解即可．解答过程：，令，则．所以函数的单调递减区间是.3.已知为单位向量，与的夹角为，则与的夹角为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：设，由与的夹角为列出方程求解即可．解答过程：设，因为与的夹角为，所以，两边同时平方得，，整理得，或，因为，所以，所以，则．4.的内角所对的边分别为，若，则为（）A. B.或 C. D.答案：C解析：解答过程：由正弦定理可得，，即，因为，所以，故.5.已知向量，绕原点逆时针旋转到的位置，则点的坐标为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：设与轴的正半轴夹角为，可得与轴的正半轴夹角为，由可求得的坐标．解答过程：解：如图：设与轴的正半轴夹角为，由题可得，则，，则，，所以的坐标为．6.若，且，则（）A. B.或 C. D.答案：C解析：思路：根据所给角的范围，同角三角函数的平方关系及各象限三角函数的正负，结合两角和的正弦公式即可求解．解答过程：因为，所以，又，所以，，所以，又因为，所以，又，所以，则，所以．7.随着时代与科技的发展，信号处理以各种方式被广泛应用于医学､声学､密码学､计算机科学､量子力学等各个领域．而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数，某种信号的波形可以利用函数的图像近似的模拟，则（）A.的最大值为3B.为周期函数，且最小正周期为C.的图象关于直线对称D.的图象关于点对称答案：D解析：思路：由题可知，由正弦型函数的值域判断A；根据周期函数的定义及诱导公式判断B；由函数对称轴的定义判断C；由函数图像对称中心的定义判断D．解答过程：因为函数，定义域为，，故A错误；，，对于B，由知B错误，对于C，由知C错误，对于D，因为，所以的图像关于点对称，故D正确．8.直角中，斜边为所在平面内一点，（其中），则下列说法错误的是（）A.点经过的外心B.点所在轨迹的长度为1C.的取值范围是D.的取值范围是答案：D解析：思路：若为中点，根据已知有共线，即可判断A，B；设，利用向量加法的几何意义及数量积的运算律可得，由二次函数图像即可判断C；由向量数量积的几何意义有，结合已知即可判断D．解答过程：若为中点，则，故，又，所以共线，故在线段上，轨迹长为1，又是的外心，故AB正确；由上述推理知，在线段上，设，则，因为为中点，所以，，所以，故C正确；由，又斜边，则，则，故D错误．二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知向量，且，则（）A.与的夹角为B.在上的投影向量为C.D.答案：ABD解析：思路：由平面向量夹角的余弦公式即可判断A；由投影向量的公式判断B；由平面向量运算的坐标公式判断C；由平面向量模长的坐标公式判断D．解答过程：对于A，，故A正确；对于B，在上的投影向量为，故B正确；对于C，，又，所以，将代入上式得，，所以，则或，故C错误；对于D，由C知，，故D正确．10.要得到函数的图像，只需将函数的图像（）A.先向右平移个单位长度，再将横坐标扩大为原来的3倍B.先向左平移个单位长度，再将横坐标扩大为原来的3倍C.先将横坐标扩大为原来的3倍，再向左平移个单位长度D.先将横坐标扩大为原来的3倍，再向右平移个单位长度答案：BC解析：思路：利用三角函数的平移伸缩变换即可求解．解答过程：对于A，先向右平移个单位长度，得到，再将横坐标扩大为原来的3倍得到，故A错误；对于B，先向左平移个单位长度，得到，再将横坐标扩大为原来的3倍得到，故B正确；对于C，先将横坐标扩大为原来的3倍，得到，再向左平移个单位长度得到，故C正确．对于D，先将横坐标扩大为原来的3倍，得到，再向右平移个单位长度，得到，故D错误．11.已知对任意角恒成立．设的内角满足的面积满足，记分别为角所对的边，则下列说法正确的是（）A.B.外接圆面积的最大值为C.D.的最小值为64答案：BC解析：思路：根据三角形的内角和及题目所给公式计算并判断选项A；根据面积公式结合正弦定理可判断选项B、C；根据三角形三边的性质可判断选项D．解答过程：因为，所以，因为，所以，则，所以，即，得，即，故A错误；设外接圆的半径为，由正弦定理得，所以，则，故的外接圆面积的最大值为，故B正确；由，因为，故C正确；因为，所以，由上述结论可知，所以，故D错误．第II卷（非选择题，共92分）三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.在中，，则中最大角的余弦值为__________．答案：解析：思路：由正弦定理结合已知得出，再由余弦定理即可求解．解答过程：由正弦定理得，，设，则，且最大，所以的最大角为，．13.已知直线与函数的图象相交，若自左至右的三个相邻交点满足，则实数__________．答案：解析：思路：根据题意由三角函数的周期性得出的长，并用的横坐标之差表示，再结合的中点函数值取最值即可求解．解答过程：由题意设，，因为，所以，所以，所以，点和点的中点坐标为，所以，所以，即，解得，所以，所以，所以．14.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若是平面内三个不同的单位向量，且满足，则的取值范围为__________．答案：解析：思路：首先根据奇函数性质推导在全体实数域上的分段表达式，结合取值条件求出三个单位向量两两数量积的取值范围，通过建立平面直角坐标系简化向量运算，将目标式转化为三角函数求值域问题，最终得到取值范围.解答过程：∵是定义在上的奇函数，且时，,∴当时，，则，且.结合已知条件:由，得.由，得.由，得.∵是互相垂直的单位向量，建立平面直角坐标系，设，单位向量,∴，，解得.∵，,∴.由辅助角公式得,∵，∴,∴，则,∴原式的取值范围为.四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知单位向量的夹角为，向量，向量（1）若，求的值；（2）若与夹角为钝角，求的范围．答案：（1）（2）且解析：思路：（1）根据垂直向量的数量积为0求解即可；（2）利用数量积为负求解，注意排除向量共线情况.（1），若，则，即，解得．（2）由题意，，又时，，，且16.设的内角的对边分别为，已知．（1）求角；（2）若角的平分线交于点的面积为面积的两倍，求的长．答案：（1）（2）解析：思路：（1）由已知及正弦定理边角互化，再结合辅助角公式即可求解；（2）由三角形面积公式及余弦定理，结合已知即可求解．（1）因为，且，所以，由正弦定理得，因为，所以，即，因为，所以，所以．（2）因为角C的平分线交AB于点D，所以，所以，所以，由（1）可知，，结合余弦定理可得，从而，，则，又，解得．17.设的内角所对的边分别为，若．（1）判断的形状；（2）若，试求的最小值．答案：（1）直角三角形或等腰三角形（2）解析：思路：（1）由正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式化简即可；（2）由正弦定理边化角得出，设，，构造函数，由换元法求解最小值．（1）因为，结合正弦定理可得，因此，因为所以，所以，从而，所以或，即或，故为直角三角形或等腰三角形．（2）因为，所以，所以，令，由于，所以，所以，所以，由对勾函数性质可知在上单调递减，所以当时，．18.设，函数．（1）求函数的解析式，并写出对称中心；（2）将的图像向下平移个单位得到函数；①函数在上恰好有三个对称中心，求的范围；②若对任意恒成立，求实数的取值范围．答案：（1），对称中心为（2）①；②解析：思路：（1）由平面向量数量积的坐标运算，结合三角恒等变换即可化简，（2）①由诱导公式及同角三角函数的商数关系，结合正切函数的图象列出不等式即可求解；②由题目转化为恒成立，再构造函数求解的最小值即可求解．（1）由题意，令，则，所以对称中心为．（2）①，，所以，因为，所以，因为在上恰好有三个对称中心，所以，所以．②对任意恒成立，即，令，则，所以，设，则，又，所以为奇函数，且为周期函数等价于任意的，若，则；若，则；即，所以只要取内的最小值即可．，令，则，令，则在上单调递减，在上单调递增，所以，即，所以，所以．19.“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点O即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知分别是三个内角的对边，已知．（1）求角A；（2）若点在上，为的费马点，当面积最大时，求；（3）设点为的费马点，，求实数的最小值．答案：（1）（2）