2025-2026学年辽宁省沈阳市五校协作体高二下册5月期中数学试题 含答案

/数学本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1.数列1，，，，3，…，的一个通项公式是（）A. B.C. D.2.对于事件,,,,则()A.0.4 B.0.08 C.0.6 D.0.483.已知等差数列的前项和为，且，则（）A.4 B.8 C.12 D.164.离散型随机变量X的分布列如下，则（）X－1012Pm2m0.30.1A.0.5 B.0.6 C.0.7 D.0.85.已知等比数列的公比为.设甲：为递减数列，乙：，，则甲是乙的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.将一张正方形纸片连续进行6次折叠操作，每次操作中，沿中线折叠（记为“直线操作”）的概率为，沿对角线折叠（记为“斜线操作”）的概率为，各次操作相互独立．记X为6次操作中“斜线操作”的次数，且，则6次操作中“直线操作”次数的期望为（）A. B. C. D.7.若数列的前n项和为，则（）A. B.3n C. D.8.已知事件A，B满足，，若A与B互斥，记，若A与B相互独立，记，则（）A.0 B.0.1 C.0.14 D.0.24二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.某校举办“班班有歌声”爱国主义合唱比赛，7位评委给某班的评分分别为82，90，65，68，80，92，80，依据评分规则，需去掉一个最高分和一个最低分，剩余5个评分为有效数据，则（）A.有效数据的极差是10 B.有效数据的平均数是80C.有效数据的第80百分位数是86 D.有效数据的方差是5010.下列事件中，A，B是相互独立事件的是（）A.一枚硬币掷两次，“第一次为反面朝上”，“第二次为正面朝上”B.袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸两次球，“第一次摸到白球”，“第二次摸到白球”C.掷一枚骰子，“出现点数为偶数”，“出现点数为2或3”D.掷一枚骰子，“出现点数为奇数”，“出现点数为偶数”11.已知数列的首项，且满足，则（）A.数列为等比数列 B.C.数列是递增数列 D.若，则n的最小值为12三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.观察下面各等高堆积条形图，其中两个分类变量x，y相关关系最强的是______．13.与的公共项从小到大构成新数列，则的最小项为______.14.已知函数在上单调递增的概率为，且随机变量，若，则______．（若，则有，，）四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知是等差数列的前项和，．（1）求数列的通项公式；（2）求证：．16.某非遗传承工作室针对传统手工艺进行数字化复原测试，经技术测算：使用AI智能修复技术（甲方案）修复一张破损纹样的成功率为，使用人工精细修复技术（乙方案）修复一张破损纹样的成功率为．现组建3个测试样片组，每组包含4张待修复纹样，其中2张用甲方案修复，2张用乙方案修复．若某个样片组中，甲方案修复成功的张数超过乙方案修复成功的张数，则称该组为“智能组”．（1）求一个测试样片组为“智能组”的概率；（2）现观察3个这样的测试样片组，用X表示这3个组中“智能组”的个数，求X的分布列和数学期望．17.设数列的前n项和为，其中，为常数，且，，成等差数列．（1）若，求的通项公式；（2）若，存在，使数列为等比数列，求的前n项和．18.为了对某批新产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销后得到一组销售数据，如下表所示：试销单价（百元）123456产品销量（件）4744373527（1）求的值；（2）已知变量具有线性相关关系，求产品销量（件）关于试销单价（百元）的回归直线方程（计算结果精确到整数位）；（3）用表示与对应的产品销量的估计值．当销售数据的残差的绝对值时，则将销售数据称为一个“有效采集数据”．现从这6组销售数据中任取2组，求“有效采集数据”个数的分布列和期望．附：参考公式参考数据：．19.已知等差数列的前n项和为，数列是等比数列，，，．（1）求数列和的通项公式；（2）对任意的正整数n，设，求数列的前2n项和；（3）若对于数列，在和之间插入个1（），组成一个新的数列，求数列的前2026项和．

数学本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1.数列1，，，，3，…，的一个通项公式是（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：找出各项与序号之间的规律，写出通项公式即可.解答过程：将数列改写为：，，，，，…，所以是数列1，，，，3，…，的一个通项公式.故选：D2.对于事件,,,,则()A.0.4 B.0.08 C.0.6 D.0.48答案：D解析：解答过程：,所以，又，所以.3.已知等差数列的前项和为，且，则（）A.4 B.8 C.12 D.16答案：C解析：思路：由等差数列的前项公式有，再由解得答案．解答过程：因为为等差数列的前项和，且，所以等差数列的前项公式有，即又因为，所以，则.故选：C4.离散型随机变量X的分布列如下，则（）X－1012Pm2m0.30.1A.0.5 B.0.6 C.0.7 D.0.8答案：C解析：解答过程：可知，解得，所以.5.已知等比数列的公比为.设甲：为递减数列，乙：，，则甲是乙的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：B解析：思路：利用等比数列的概念结合必要不充分条件定义即可得解.解答过程：若为递减数列，则对任意有即，所以或，如满足和的数列均为递减数列，故充分性不成立；若，，则数列为递减数列，所以必要性成立.所以甲是乙的必要不充分条件.故选：B6.将一张正方形纸片连续进行6次折叠操作，每次操作中，沿中线折叠（记为“直线操作”）的概率为，沿对角线折叠（记为“斜线操作”）的概率为，各次操作相互独立．记X为6次操作中“斜线操作”的次数，且，则6次操作中“直线操作”次数的期望为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：使用二项分布概率公式与期望公式求解.解答过程：由题意知，若，则，即，解得，设为6次操作中“直线操作”次数，则，期望为7.若数列的前n项和为，则（）A. B.3n C. D.答案：C解析：解答过程：由题意可得，则，化简得，则，即，因为，解得，所以是以为首项，以为公比的等比数列，所以，即.8.已知事件A，B满足，，若A与B互斥，记，若A与B相互独立，记，则（）A.0 B.0.1 C.0.14 D.0.24答案：D解析：解答过程：当A与B互斥，则，当A与B相互独立，可知也相互独立，则，所以.二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.某校举办“班班有歌声”爱国主义合唱比赛，7位评委给某班的评分分别为82，90，65，68，80，92，80，依据评分规则，需去掉一个最高分和一个最低分，剩余5个评分为有效数据，则（）A.有效数据的极差是10 B.有效数据的平均数是80C.有效数据的第80百分位数是86 D.有效数据的方差是50答案：BC解析：思路：根据题意先求有效数据，再逐项验证即可求解.解答过程：根据题意有效数据为：所以有效数据的极差为，故A错误；有效数据的平均数为，故B正确；由，所以有效数据的第80百分位数为，故C正确；有效数据的方差为，故D错误.故选：BC.10.下列事件中，A，B是相互独立事件的是（）A.一枚硬币掷两次，“第一次为反面朝上”，“第二次为正面朝上”B.袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸两次球，“第一次摸到白球”，“第二次摸到白球”C.掷一枚骰子，“出现点数为偶数”，“出现点数为2或3”D.掷一枚骰子，“出现点数为奇数”，“出现点数为偶数”答案：AC解析：解答过程：对于选项A，可知事件“第一次为反面朝上，且第二次为正面朝上”，可知PA所以，所以相互独立，选项A正确；对于选项B，可知第一次摸到白球的条件下，第二次摸到白球的概率为，第一次没有摸到白球的条件下，第二次摸到白球的概率为，可知第一次的结果对第二次摸球有影响，所以事件不相互独立，选项B错误；对于选项C，可知事件“出现点数为2”，可知，所以，所以相互独立，选项C正确；对于选项D，可知事件互斥，即，所以事件不相互独立，选项D错误；11.已知数列的首项，且满足，则（）A.数列为等比数列 B.C.数列是递增数列 D.若，则n的最小值为12答案：ACD解析：解答过程：由，得，即，因为，所以，可得，所以数列是以1为首项，为公比的等比数列，所以A正确；可得，所以，解得，所以，选项B错误；由，可知增大时，增大，增大，所以数列是递增数列，所以C正确；可知，，所以D正确；三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.观察下面各等高堆积条形图，其中两个分类变量x，y相关关系最强的是______．答案：③解析：解答过程：由图可知，图③的差异最大，则相关关系最强.13.与的公共项从小到大构成新数列，则的最小项为______.答案：解析：思路：根据等差数列的性质，是以13为首项，14为公差的等差数列，再结合函数的单调性判断最小项.解答过程：是以13为首项，14为公差的等差数列，.令，根据在上单调递减，上单调递减，又时，，时，，最小值为.14.已知函数在上单调递增的概率为，且随机变量，若，则______．（若，则有，，）答案：0.8解析：思路：根据分段函数单调性的概念，列出不等式，求出参数的范围，进而根据正态分布的对称性，判定参数，再根据原则，求出参数值.解答过程：当函数在上单调递增，则，解得，所以，即，由，可得，由，可得，因为对称轴，且，即离对称轴更远，可知，即，解得.四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知是等差数列的前项和，．（1）求数列的通项公式；（2）求证：．答案：（1）（2）证明见解析解析：思路：（1）设等差数列的公差为，根据题意，列出方程组，求得，进而得到数列的通项公式.（2）由（1）可得，结合裂项法求和，求得，结合，得到，即可得证.（1）解：设等差数列的公差为，因为，可得，解得，所以，即数列的通项公式为.（2）解：由（1）知：数列的通项公式为，可得，则，因为，可得，所以，即.16.某非遗传承工作室针对传统手工艺进行数字化复原测试，经技术测算：使用AI智能修复技术（甲方案）修复一张破损纹样的成功率为，使用人工精细修复技术（乙方案）修复一张破损纹样的成功率为．现组建3个测试样片组，每组包含4张待修复纹样，其中2张用甲方案修复，2张用乙方案修复．若某个样片组中，甲方案修复成功的张数超过乙方案修复成功的张数，则称该组为“智能组”．（1）求一个测试样片组为“智能组”的概率；（2）现观察3个这样的测试样片组，用X表示这3个组中“智能组”的个数，求X的分布列和数学期望．答案：（1）；（2）的分布列为：0123期望为.解析：思路：（1）使用二项分布概率公式，独立事件概率公式求解；（2）使用二项分布概率公式，期望公式求解.（1）设甲、乙方案修复成功的张数分别为，，则，，则，，，，，，“智能组”成功分为三种情况：当，时，，当，时，，当，时，，所以一个测试样片组为“智能组”的概率为.（2）由题意可知，，可能的取值为：0，1，2，3，，，，，的分布列为：0123期望为.17.设数列的前n项和为，其中，为常数，且，，成等差数列．（1）若，求的通项公式；（2）若，存在，使数列为等比数列，求的前n项和．答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据等差中项的概念，写出和的关系式，进而求出通项公式即可；（2）根据等比数列的性质，求出数列的通项公式，进而根据错位相减法，求出数列前项和即可；（1）由题可知，即，可得，作差得，化简得，即，因为，所以，解得，即，所以是以为首项，4为公比的等比数列，所以.（2）可知数列是以为首项，4为公比的等比数列，所以，则，所以，当且仅当时，即时，数列为等比数列，则，可得，则，可得，作差得，解得.18.为了对某批新产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销后得到一组销售数据，如下表所示：试销单价（百元）123456产品销量（件）4744373527（1）求的值；（2）已知变量具有线性相关关系，求产品销量（件）关于试销单价（百元）的回归直线方程（计算结果精确到整数位）；（3）用表示与对应的产品销量的估计值．当销售数据的残差的绝对值时，则将销售数据称为一个“有效采集数据”．现从这6组销售数据中任取2组，求“有效采集数据”个数的分布列和期望．附：参考公式参考数据：．答案：（1）（2）（3）012解析：思路：（