2025-2026学年辽宁省铁岭市、营口市部分校高二下册5月学情调研数学试题 含答案

/数学满分150分，考试时间120分钟.一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）1.设函数，则（）A. B.3 C. D.62.在等差数列中，，则（）A.1 B.2 C.3 D.43.已知四个点，，，得到的线性相关系数为，去掉后得到的线性相关系数为，则（）A. B. C. D.无法确定4.已知x是自变量，下列计算正确的是（）A. B.C. D.5.记为数列的前n项积，若，则（）A. B. C. D.6.记为数列的前n项和，设甲：是等比数列，乙：存在常数k，使得是等比数列，则（）A.甲是乙的充分不必要条件 B.甲是乙的必要不充分条件C.甲是乙的充要条件 D.甲是乙的既不充分也不必要条件7.设函数，则（）A. B. C. D.8.在等差数列中，，，则（）A.2 B.1 C. D.二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知函数，则（）A.曲线关于对称B.在区间上单调递增C.在区间上单调递减D.曲线在处的切线方程为10.在正整数数列中，，，则（）A. B. C. D.是完全平方数11.现定义“离散有限数列”同时满足以下3个条件：①各项全为正偶数；②从第2项起数列中的每一项都由前一项除以区间内的整数得到；③不存在区间内的整数m，使得最后一项为m与一个偶数的积，则（）A.1352、104、4是“离散有限数列”B.当1024、t、2是“离散有限数列”时，t的取值唯一C.项数大于或等于3的等差数列一定不是“离散有限数列”D.当“离散有限数列”的首项是4位数时，末项不可能是48，也不可能是18三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.若一组点通过最小二乘估计得到的回归直线方程为，且，则______．13.定义，，，若，则______．14.设首项为0的数列满足，则的最小值为______．四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.近年来某App用户保持连续增长，李明收集了2021～2025年该App在线用户数y（单位：万人）的数据，如表所示．年份20212022202320242025年份代码x12345App在线用户数y80150210260300（1）求x与y的相关系数r（结果保留两位小数）；（2）求y关于x的回归直线方程，并预测2027年该App的在线用户数．附：回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计公式为，；相关系数．参考数据：．16.某校对学生的艺术特长进行调查，得到如下数据．有艺术特长无艺术特长男250100女350150（1）用频率估计概率，从本校的男生中任选两名，求他们均有艺术特长的概率；（2）在犯错误的概率不超过0.1的前提下，是否可以认为学生性别与有无艺术特长有关．附：，．0.10.050.010.0050.001k2.7063.8416.6357.87910.82817.记为数列的前n项和，已知．（1）证明：数列是等比数列；（2）设，求的前n项和．18.已知函数．（1）若．（ⅰ）证明：曲线过定点；（ⅱ）当时，求曲线在点处的切线方程．（2）当时，讨论的单调性．19.已知数列满足．（1）证明：单调递减；（2）证明：，并求的前n项和；（3）记前n项的平均数为，中位数为，讨论时与的大小．

数学满分150分，考试时间120分钟.一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）1.设函数，则（）A. B.3 C. D.6答案：B解析：解答过程：此时，．于是．2.在等差数列中，，则（）A.1 B.2 C.3 D.4答案：B解析：思路：由等差数列的性质求解即可.解答过程：因为，所以,故．3.已知四个点，，，得到的线性相关系数为，去掉后得到的线性相关系数为，则（）A. B. C. D.无法确定答案：A解析：解答过程：注意到，，均在直线上．故，而不在该直线上，即四点不共线，故．于是．4.已知x是自变量，下列计算正确的是（）A. B.C. D.答案：C解析：解答过程：对于A选项，．故A错误；对于B选项，．故B错误；对于C选项，．故C正确；对于D选项，．故D错误.5.记为数列的前n项积，若，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：由求得，由求得，再求和即得．解答过程：由条件知，，，于是．6.记为数列的前n项和，设甲：是等比数列，乙：存在常数k，使得是等比数列，则（）A.甲是乙的充分不必要条件 B.甲是乙的必要不充分条件C.甲是乙的充要条件 D.甲是乙的既不充分也不必要条件答案：D解析：解答过程：对于充分性，当时，为等比数列，此时，是公差为1的等差数列，显然其不为等比数列，充分性不成立；对于必要性，取，，，此时是等比数列．此时不为等比数列，必要性不成立．故甲是乙的既不充分也不必要条件．7.设函数，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：求导，并根据导函数定义可得答案.解答过程：因，则，于是．8.在等差数列中，，，则（）A.2 B.1 C. D.答案：C解析：解答过程：由题意可得①，，此时显然，由①可得，代入②得即，整理得，解得或（舍），故．二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知函数，则（）A.曲线关于对称B.在区间上单调递增C.在区间上单调递减D.曲线在处的切线方程为答案：ACD解析：思路：求出，根据二次函数的对称性判断A，导数的正负性判断BC，导数的几何意义判断D.解答过程：对于A选项，，显然曲线关于对称，故A正确；对于B选项，当时，，单调递减，故B错误，C正确；对于D选项，，，可得曲线在处的切线方程为．即，故D正确．10.在正整数数列中，，，则（）A. B. C. D.是完全平方数答案：ABD解析：思路：对于A，B，C选项，可采用代入法验证分析，D选项需要将n替换成，再计算分析即可.解答过程：对于A选项，，若，则，矛盾，又因为是正整数数列，故，故A正确；对于B选项，此时，若，则，矛盾；若，则，矛盾，故．故B正确；对于C选项，此时，故，故C错误；对于D选项，将n替换成得，将等式两边同时作为的项数可得，故，于是是完全平方数，故D正确．11.现定义“离散有限数列”同时满足以下3个条件：①各项全为正偶数；②从第2项起数列中的每一项都由前一项除以区间内的整数得到；③不存在区间内的整数m，使得最后一项为m与一个偶数的积，则（）A.1352、104、4是“离散有限数列”B.当1024、t、2是“离散有限数列”时，t的取值唯一C.项数大于或等于3的等差数列一定不是“离散有限数列”D.当“离散有限数列”的首项是4位数时，末项不可能是48，也不可能是18答案：AC解析：思路：利用“离散有限数列”的定义可判断A选项；设存在、，使得，，推导出，可得出的可能取值，可判断B选项；利用等差数列的定义结合“离散有限数列”的定义可判断C选项；讨论末项的可能取值，并列举出一个符合条件的序列，可判断D选项.解答过程：对于A选项，因为，，满足②，易知也满足①③．故1352、104、4是“离散有限数列”，故A正确；对于B选项，存在、．使得，，所以，则，所以的值可能是或，即t可能的值有2个，故B错误；对于C选项，不妨设a、b、c为等差数列的连续3项，若该等差数列为“离散有限数列”，则存在正整数、，使得，，所以，由得，所以，由、，可得，．所以不成立．故C正确：对于D选项，因为，其中且2为偶数，所以48不满足条件③，所以48不可能是末项，若末项且n为偶数，则，此时，不满足条件③，对任意正整数和正偶数p，均有，故18满足条件③，所以18可能是末项，且9000，180，18是符合条件的一个“离散有限数列”，故D错误.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.若一组点通过最小二乘估计得到的回归直线方程为，且，则______．答案：解析：解答过程.回归直线方程一定经过样本中心点，，即，.又，.13.定义，，，若，则______．答案：解析：思路：根据函数的迭代关系求得，然后由导数公式求解．解答过程：注意到，故，，所以，所以．14.设首项为0的数列满足，则的最小值为______．答案：3解析：思路：根据已知平方得出，再根据求和关系得出，最后分奇数偶数计算求解最小值.解答过程：由．得，则，所以，即，则，由且可知当n为奇数时，为偶数；当n为偶数时，为奇数．所以为偶数，设a23=2xx即使更接近11，故当时，的值最小为，且当的前19项中奇数项均为0，偶数项均为-1，a20=1,四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.近年来某App用户保持连续增长，李明收集了2021～2025年该App在线用户数y（单位：万人）的数据，如表所示．年份20212022202320242025年份代码x12345App在线用户数y80150210260300（1）求x与y的相关系数r（结果保留两位小数）；（2）求y关于x的回归直线方程，并预测2027年该App的在线用户数．附：回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计公式为，；相关系数．参考数据：．答案：（1）；（2），预测2027年该App的在线用户数为420万人.解析：思路：（1）先计算年份代码和用户数的均值，再计算各离差乘积及平方和，代入相关系数公式求解即可；（2）利用最小二乘估计公式求出回归系数和截距，得回归直线方程，再将2027年对应的代码代入计算即可.（1）由题得，，则，．（2）由（1）可得，则，，所以y关于x的回归直线方程为，当时，，所以预测2027年该App的在线用户数为420万人．16.某校对学生的艺术特长进行调查，得到如下数据．有艺术特长无艺术特长男250100女350150（1）用频率估计概率，从本校的男生中任选两名，求他们均有艺术特长的概率；（2）在犯错误的概率不超过0.1的前提下，是否可以认为学生性别与有无艺术特长有关．附：，．0.10.050.010.0050.001k2.7063.8416.6357.87910.828答案：（1）（2）可以认为学生性别与有无艺术特长无关解析：思路：（1）利用二项分布的概率公式求解即可；（2）根据卡方公式求出的值，与临界值进行比较即可判断.（1）因为该校男生有艺术特长的概率为，记有艺术特长的男生人数为，显然，于是．（2）因为，故在犯错误的概率不超过0.1的前提下，可以认为学生性别与有无艺术特长无关17.记为数列的前n项和，已知．（1）证明：数列是等比数列；（2）设，求的前n项和．答案：（1）证明见解析；（2）解析：思路：（1）根据，求出，得到结论；（2）求出，利用错位相减法和分组求和法进行求解（1）因为，所以，两式相减得，即，化简得，则，当时，，，则，所以，所以数列是首项为，公比为2的等比数列．（2）由（1）得，则，因为，所以，则，所以，则．设①，则②，式子①-②得，故，故．18.已知函数．（1）若．（ⅰ）证明：曲线过定点；（ⅱ）当时，求曲线在点处的切线方程．（2）当时，讨论的单调性．答案：（1）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）（2）当时，在上单调递增；当时，在，上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增．解析：思路：（1）（ⅰ）当时，，令，即可求得定点坐标；（ⅱ）利用切线斜率等于切点处的导数求解即可；（2）先对求导，再分、、三种情况进行讨论即可.（1）（ⅰ）由题得，因为，所以曲线过定点．（ⅱ）由题得，则，所以．又，所以曲线在点处的切线方程为．即．（2）由题得，．则，对于，，当，即时，，在上单调递增．当，即时，由，得，当时，，则当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增．当时，，则当时，，单调递减；当时，，单调递增．综上，当时，在上单调递增；当时，在，上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增．19.已知数列满足．（1）证明：单调递减；（2）证明：，并求的前n项和；（3）记前n项的平均数为，中位数为，讨论时与的大小．答案：（1）证明见解析（2）证明见解析，（3）当时，，当时，解析：思路：（1）通过作商比较法求出,利用组合数公式化简组合数比值,推导出比值为,小于1且数列各项为正,由此证得数列单调递减.（2）构造辅助函数,借助组合数恒等式化简,再结合组合数关系式变形,证得裂项恒等式成立；利用裂项相消求和,中间项全部抵消,代入的值,直接得出数列前项和.（3）先由数列单调性推出相邻两项差值构成的数列也单调递减,依据中位数定义,分、为奇数、为偶数三种情况讨论；利用递减差数列的项大小关系放缩,配对首尾项作不等式累加,结合