2025-2026学年内蒙古自治区锡林郭勒盟第二中学高二下册期中质量监测数学试题 含答案

/数学一、单选题1.已知三地的位置及其间修筑的道路如图所示，则从地到地不同路线的条数是（）A.5 B. C.7 D.82.随机变量的分布列如下表所示，其中为函数的两个不同的极值点，则（）ξ012PabcA. B. C. D.3.函数的大致图象是（）A. B.C. D.4.某农科所在甲、乙、丙三个地块培育同一种苗，甲地块培育的一等种苗占比95%，乙地块培育的一等种苗占比80%，丙地块培育的一等种苗占比70%，甲、乙、丙培育的种苗数分别占总数的40%、30%、30%，将三个地块培育的种苗混放在一起.从这批种苗中随机抽取一株，它是一等种苗的概率为（）A. B. C. D.5.由组成没有重复数字的四位数中，偶数的个数是（）A.300 B.360 C.420 D.4806.在的展开式中，的系数为（）．A.120 B.80 C.40 D.7.若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.8.已知函数为定义在上的函数，满足，则下列正确的为（）A. B.C. D.二、多选题9.下列命题正确的有（）A.已知函数在上可导，若，则B.已知函数，若，则C.D.设函数的导函数为，且，则10.现有6本不同的书，则（）A.分给甲乙丙三人，每人2本，则共有90种分法B.分成三份，每份2本，则共有90种分法C.分成三份，一份1本，一份2本，一份3本，则共有60种分法D.分给甲乙丙三人，其中甲4本，乙1本，丙1本，则共有15种分法11.已知函数，则下列说法正确的是（）A.曲线在处的切线方程为B.函数的值域是C.若点P是曲线上的动点，则点P到直线距离的最小值为D.若过点至少可以作曲线的三条切线，则三、填空题12.若函数的图象在点处的切线方程是，则__________.13.从4个红球、3个黄球中一次性摸取3个球，则摸到的球中至少有2个黄球的方法数为_______．（用数字作答）14.若的展开式中的常数项为1，则_____.四、解答题15.7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男生3人，女生3人，在下列情况下，各有不同站法多少种？（列式并计算结果）（1）3名女生相邻；（2）3名男生互不相邻；（3）若3名男生身高都不等，从左往右按从高到低的一种顺序站；（4）老师不站中间，女生不站两端.16.已知函数（1）求函数的单调区间、极值；（2）设在上有两个零点，求的范围．17.已知．（1）当时，展开式中第三项的二项式系数是第二项二项式系数的4倍，①求的值；②求展开式中系数最大的项；（2）若时，在上恒成立，求的取值范围．18.人工智能广泛地运用概率的相关知识，我们可以设计如下试验模型；有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子中有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球，乙袋中有2个红球和8个白球.从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能摸出一个球，称为一次试验.若多次试验直到摸出红球，则试验结束.假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为.（1）求首次试验结束的概率；（2）在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率进行调整.①求选到的袋子为甲袋的概率；②将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案：方案一，从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球.请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大.19.已知（1）讨论函数的单调区间；（2）若有两个零点，，求a的取值范围；（3）证明：，恒成立.

数学一、单选题1.已知三地的位置及其间修筑的道路如图所示，则从地到地不同路线的条数是（）A.5 B. C.7 D.8答案：C解析：思路：根据分类加法和分步乘法计数原理可得.解答过程：由图知，从地到地的道路有2条，从地到地的道路有3条，由分步乘法计数原理可知，从地经过地到地不同的路线共有条；从地不经过地到地的路线有1条.根据分类加法计数原理可得，从地到地不同的路线共条.故选：C.2.随机变量的分布列如下表所示，其中为函数的两个不同的极值点，则（）ξ012PabcA. B. C. D.答案：D解析：思路：利用函数的极值点就是导函数的零点，再结合二次方程的韦达定理和分布列概率和为1可求解，并检验是否满足题意即可作出判断.解答过程：由，得，由，解得．当时，满足，故．故选：D.3.函数的大致图象是（）A. B.C. D.答案：A解析：思路：首先对函数求导，然后判断函数的单调性，进而可得出对应的图象.解答过程：，当或时，，单调递增，当时，，单调递减，排除B，C，D.故选：A．4.某农科所在甲、乙、丙三个地块培育同一种苗，甲地块培育的一等种苗占比95%，乙地块培育的一等种苗占比80%，丙地块培育的一等种苗占比70%，甲、乙、丙培育的种苗数分别占总数的40%、30%、30%，将三个地块培育的种苗混放在一起.从这批种苗中随机抽取一株，它是一等种苗的概率为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：分别计算从甲、乙、丙每块地中抽取到一等种苗的概率，再利用全概率公式计算最终结果.解答过程：记事件表示“随机抽取一株是一等种苗”，事件表示“抽取的种苗来自甲地块”，事件表示“抽取的种苗来自乙地块”，事件表示“抽取的种苗来自丙地块”，则，，，，，，由全概率公式，因此从这批种苗中随机抽取一株，它是一等种苗的概率为.故选：D5.由组成没有重复数字的四位数中，偶数的个数是（）A.300 B.360 C.420 D.480答案：C解析：思路：由最后一位数是0和最后一位不是0，两类情况讨论求解即可.解答过程：最后一位数是0，偶数的个数是；最后一位不是0，偶数的个数是，所以一共有种.6.在的展开式中，的系数为（）．A.120 B.80 C.40 D.答案：D解析：思路：根据二项式定理计算即可.解答过程：根据二项式定理，展开式的通项公式为：.令，可得，此时与相乘可得的系数为-80；令，可得，此时与相乘可得的系数为40；所以的系数为.7.若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：由题意在上恒成立，分离参数即可求解.解答过程：由题意在上恒成立，即恒成立，由对勾函数性质可知，在上单调递增，所以在上单调递增，所以，解得，故所求为.故选：C.8.已知函数为定义在上的函数，满足，则下列正确的为（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：根据给定条件，构造函数并利用导数确定单调性，再逐项分析判断.解答过程：令函数，求导得，因此函数在上单调递增，则，即，因此，AC错误，D正确；，而与的大小不确定，B错误.二、多选题9.下列命题正确的有（）A.已知函数在上可导，若，则B.已知函数，若，则C.D.设函数的导函数为，且，则答案：BD解析：思路：借助导数定义可得A；借助复合函数的导数运算法则计算即可得B；借助导数的除法运算法则计算即可得C；利用导数运算法则计算即可得D.解答过程：对A：，则，故A错误；对B：，则，解得，故B正确；对C：，故C错误；对D：，则，则，故D正确.10.现有6本不同的书，则（）A.分给甲乙丙三人，每人2本，则共有90种分法B.分成三份，每份2本，则共有90种分法C.分成三份，一份1本，一份2本，一份3本，则共有60种分法D.分给甲乙丙三人，其中甲4本，乙1本，丙1本，则共有15种分法答案：AC解析：思路：对A：先从6本书中选2本给甲，再从剩余4本书中选2本给乙，最后从余下的2本书中选2本给丙，根据分步计数原理得到答案；对B：根据平均分组公式计算得到答案；对C：这是“不均匀分组”问题，根据组合公式计算得到答案；对D：先从6本书中选4本给甲，再从剩余2本书中选1本给乙，最后余下的1本书给丙，根据分步计数原理得到答案.解答过程：对A：把6本书平均分给甲、乙、丙3个人，每人2本，分3步进行;先从6本书中取出2本给甲，有种取法，再从剩下的4本书中取出2本给乙，有种取法，最后把剩下的2本书给丙，有种情况，则把6本书平均分给甲、乙、丙3个人，每人2本，有（种）分法，故A正确；对B：先分三步，则应是种方法，但是这里出现了重复．不妨记6本书为,若第一步取了，第二步取了，第三步取了，记该种分法为则种分法中还有，，，，，共种情况，而这种情况仅是的顺序不同，因此只能作为一种分法，故分法有（种），故B错误；对C：这是“不均匀分组”问题，（种），故C正确；对D：把6本书分给甲、乙、丙3个人，甲4本，乙1本，丙1本，分3步进行，先从6本书中取出4本给甲，有种取法，再从剩下的本书中取出1本给乙，有种取法，最后把剩下的1本书给丙，有种情况，则把6本书分甲4本，乙1本，丙1本，有（种）分法，故D错误；故选：AC.11.已知函数，则下列说法正确的是（）A.曲线在处的切线方程为B.函数的值域是C.若点P是曲线上的动点，则点P到直线距离的最小值为D.若过点至少可以作曲线的三条切线，则答案：BC解析：思路：对于A，利用导数的几何意义求出切线方程；对于B，利用导数判断函数的单调性，从而求出的值域；对于C，当在点P处的切线与直线平行时，点P到直线的距离最小，求出点P坐标，用点到直线距离公式求出最值；对于D，设切点坐标，写出切线方程，将点的坐标代入切线方程，构造函数，，利用导数分析该函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围.解答过程：函数的定义域为，，对于A，因为，且，所以曲线在处的切线方程为，故A错误；对于B，当时，，函数的单调递增，当时，，函数的单调递减，所以的最大值为，又当时，；当时，，所以函数的值域是，故B正确；对于C，当曲线在点P处的切线与直线平行时，点P到直线的距离最小，设点，则，整理得，因为在上单调递增，所以有唯一解，此时，点P到直线的距离，故C正确；对于D，设过点的切线切点为，则切线斜率为，故曲线在点处的切线方程为，将点的坐标代入切线方程得，可得，令，，则，令，解得或，所以函数的单调递减区间为、，令，解得，所以函数的单调递增区间为，故函数的极小值为，极大值为，又当时，；当时，，作出函数的图象如下图所示：由图可知，当时，直线与函数的图象有三个交点，即若过点至少可以作曲线的三条切线，则，故D错误.三、填空题12.若函数的图象在点处的切线方程是，则__________.答案：3解析：思路：利用导数的几何意义得，将代入切线方程得解答过程：根据题意，函数的图象在点处的切线方程是，即，且，所以.故313.从4个红球、3个黄球中一次性摸取3个球，则摸到的球中至少有2个黄球的方法数为_______．（用数字作答）答案：13解析：思路：分析符合题意的情况种类，然后分类计算，再根据组合和组合数的计算方法，求出结果.解答过程：一次性摸取3个球，至少有2个黄球分为两种情况：情况一：两个黄球，一个红球，有种不同方法；情况二：三个黄球，；共有种方法；故1314.若的展开式中的常数项为1，则_____.答案：2解析：解答过程：由，其展开式的通项为，，而展开式的通项为，，令，得或或，因为的展开式中的常数项为1，所以，则，又，则.四、解答题15.7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男生3人，女生3人，在下列情况下，各有不同站法多少种？（列式并计算结果）（1）3名女生相邻；（2）3名男生互不相邻；（3）若3名男生身高都不等，从左往右按从高到低的一种顺序站；（4）老师不站中间，女生不站两端.答案：（1）720（2）1440（3）840（4）1296解析：思路：（1）根据题意，把3名女生看作一个元素，进行排列，即可求解；（2）把除去3名男生后剩余的4个元素全排列，再在5个空隙中放入3名男生，即可求解；（3）先对7个元素进行全排列，再除以3名男生的排列，即可求解；（4）根据题意，分为当老师站在两端中的一个位置和老师既不站中间也不站两端，结合排列数公式，即可求解.（1）因为3名女生相邻，可把3名女生看作一个元素，先进行5个元素的全排列，再对3名女生全排列，共有种站法；（2）先把除去3名男生后剩余的4个元素全排列，再在5个空隙中放入3名男生，共有种站法.（3）先对7个元素进行全排列，再除以3名男生的排列，共有种站法.（4）由题意知，老师不站中间，女生不站两端，可分为两类：①当老师站在两端中的一个位置，且女生不站两端时，有站法；②当老师不站在两端，且不站在中间时，有种站法，由分类计数原理得，共有种不同的站法.16.已知函数（1）求函数的单调区间、极值；（2）设在上有两个零点，求的范围．答案：（1）的增区间和，减区间为，极大值为2，极小值为（2）．解析：思路：（1）求导，令，可得极值点，分别讨论x不同范围时，的正负，可得单调区间，代入数据，可得极值.（2）由题意得方程在有两个不同实根，根据（1）可得的单调区间和最值，数形结合，即可得答案.（1）由题意得，令，得或，当或时，，则单调递增，当时，，则单调递减，所以的增区间和，减区间为，则的极大值为，极小值为．综上，的增区间和，减区间为，极大值为2，极小值为．（2）在有两个零点等价于方程在有两个不同实根．计算，，．由单调性知，当时，直线与图象有两个交点，故．17.已知．（1）当时，展开式中第三项的二项式系数是第二项二项式系数的4倍，①求的值；②求展开式中系数最大的项；（2）若时，在上恒成立，求的取值范围．答案：（1）①9；②（2）解析：思路：（1）①根据题目条件得到方程，求出；②写出通项公式，进而得到不等式组，求出，从而得到系数最大的项；（2）等价于，构造函数，求导，分两种情况，结合函数单调性，得到不等式，求出答案（1）①由已知得：，所以，解得：．②通项公式为，设，设最大，令所以化简得，又，所以．所以当时，系数最大项为．（2）若时，，则；设，则恒成立；，当时，恒成立，所以在上单调递增，又时，，所以，要想恒成立，需满足，解得，结合，所以．当时，，，所以在单调递减，在单调递增，故，又，由，故．综上．18.人工智能广泛地运用概率的相关知识，我们可以设计如下试验模型；有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子中有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球，乙袋中有2个红球和8个白球.从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能摸出一个球，称为一次试验.若多次试验直到摸出红球，则试验结束.假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为.（1）求首次试验结束的概率；（2）在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率进行调整.①求选到的袋子为甲袋的概率；②将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案：方案一，从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球.请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大.答案：（1）（2）①；②方案二解析：（1）设试验一次，“取到甲袋”为事件，“取