2025-2026学年宁夏回族自治区吴忠市青铜峡市宁朔中学高三下册适应性考试数学试题 含答案

/数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集，集合，则（）A. B. C. D.2.已知，则（）A.1 B.2 C.4 D.83.已知，是夹角为的两个单位向量，，，则（）A. B. C.19 D.94.已知等差数列共有10项，其所有奇数项和为60，所有偶数项和为80，则（）A.10 B.8 C.6 D.45.已知正方体的体积为，若球与该正方体的所有棱都相切，则球的表面积为（）A. B. C. D.6.已知互不相等的正数满足，则下列关系式可能成立的是（）A. B. C. D.7.设一组样本数据的平均值是1，且的平均值是3，则数据的方差是（）A.1 B.2 C.3 D.48.已知函数，则不等式的解集是（）A. B.C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列函数中，最小正周期为，且在上单调递增的为（）A. B.C. D.10.已知等比数列的前n项和为，公比为q，则下列命题正确的是()A.若，，则B.若，则数列是单调递增数列C.若，，，则数列是公差为的等差数列D.若，，且，则的最小值为411.设抛物线的焦点为，直线与抛物线相交于，两点，与轴交于点，，则下列说法正确的是（）A. B.C. D.与的面积之比为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若双曲线过点且与双曲线有相同的渐近线，则的焦距为___________．13.已知随机变量，且，若（为有理数），则________．14.小华在某不透明的盒子中放入4红5黑9个球，随机摇晃后，小华从中取出一个小球丢掉（未看被丢掉小球的颜色）．现从剩下8个小球中取出两个小球，结果都是黑球，则丢掉的小球也是黑球的概率为______．四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程演算步骤.15.已知函数.（1）当时，若曲线在点处的切线与轴平行，求点的坐标；（2）若恒成立，求a的取值范围.16.某新能源汽车公司为研究电池容量对续航里程的影响，随机选取了10辆不同配置的车进行测试，测量每辆车的电池容量（单位：）和续航里程（单位：），得到如下数据：样本号12345678910总和电池容量35404550556570758085600续航里程3303503904104805205606206407005000并计算得．（1）估计这10辆车的平均电池容量与平均续航里程；（2）求电池容量与续航里程的样本相关系数；（精确到0.001）（3）现该公司计划推出新款车型，电池容量为，已知续航里程与电池容量近似成正比，利用以上数据给出新款车型续航里程的估计值．（精确到1）附：相关系数．17.的内角的对边分别是，已知．（1）求；（2）若点在边上，为的平分线且长度为1，求；（3）若是边上的一点，且，求的面积的最大值．18.如图，四棱锥的底面是正方形，平面，，点，分别是棱，的中点.（1）求证：平面；（2）求平面与平面的夹角的余弦值；（3）求到直线的距离；19.如图，已知椭圆过点，焦距为，斜率为的直线与椭圆相交于异于点的两点，且直线均不与轴垂直.（1）求椭圆的方程；（2）求中点E的轨迹方程；（3）记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：为定值.

数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集，集合，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：化简两个集合，结合集合的补集和并集运算可得答案.解答过程：由，解得或，所以，又，所以2.已知，则（）A.1 B.2 C.4 D.8答案：C解析：解答过程：依题意有，，所以．3.已知，是夹角为的两个单位向量，，，则（）A. B. C.19 D.9答案：A解析：思路：应用向量数量积的定义及其运算律求数量积即可.解答过程：由题设.4.已知等差数列共有10项，其所有奇数项和为60，所有偶数项和为80，则（）A.10 B.8 C.6 D.4答案：D解析：思路：利用等差数列的偶数项的和与奇数项的和的性质可求答案.解答过程：设的公差为．依题意，，解得，又，解得，则．5.已知正方体的体积为，若球与该正方体的所有棱都相切，则球的表面积为（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：已知正方体的体积为，则，则，球为正方体的棱切球，故其半径，球的表面积为．6.已知互不相等的正数满足，则下列关系式可能成立的是（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：化简等式得到，作出函数图象，结合图象可比大小.解答过程：因为所以，整理可得．令，在同一直角坐标系中分别作出的图象，因为互不相等，观察可知，当时，，当时，．7.设一组样本数据的平均值是1，且的平均值是3，则数据的方差是（）A.1 B.2 C.3 D.4答案：B解析：思路：根据已知条件结合方差公式直接求解即可.解答过程：由题意得，所以数据的方差.故选：B8.已知函数，则不等式的解集是（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：证明函数是奇函数且在上单调递增，利用函数奇偶性和单调性解不等式.解答过程：因为函数的定义域为，且，所以函数是奇函数，因为函数，，在上单调递增，所以函数在上单调递增，因为，所以，所以，解得或.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列函数中，最小正周期为，且在上单调递增的为（）A. B.C. D.答案：AC解析：解答过程：A选项，，最小正周期为：，令，其中，解得：，当时，，即：在上单调递增，所以A选项正确；B选项，，最小正周期为：，令，其中，解得：，当时，，当时，，即：在和上单调递增，所以B选项错误；C选项，，最小正周期为：，所以最小正周期为，令，其中，当时，，即：在上单调递增，所以C选项正确；D选项，，最小正周期为：，令，解得：，当时，，当时，，即：在和上单调递增，所以D选项错误；10.已知等比数列的前n项和为，公比为q，则下列命题正确的是()A.若，，则B.若，则数列是单调递增数列C.若，，，则数列是公差为的等差数列D.若，，且，则的最小值为4答案：AC解析：思路：A：利用等比数列前n项和公式即可计算；B：根据函数单调性即可判断；C：根据等差数列定义即可判断；D：利用基本不等式即可判断．解答过程：对于A，，故A正确；对于B，∵，故的单调性由q和共同决定，q>1无法判断数列为递增数列，如，此时数列为递减数列，故B错误；对于C，∵为常数，∴数列是公差为的等差数列，故C正确；对于D，若，，则，，∵，∴，即，即，即，即当时，的最大值为4，故D错误．故选：AC．11.设抛物线的焦点为，直线与抛物线相交于，两点，与轴交于点，，则下列说法正确的是（）A. B.C. D.与的面积之比为答案：BCD解析：思路：先由抛物线焦半径公式结合题意得到则在第二象限，在第一象限，且，接着联立直线与抛物线方程结合韦达定理求出和p即可判断选项AB；进而求出点A和B和C即可计算求解判断CD.解答过程：由题得且，则在第二象限，在第一象限，且，联立，则，所以或（舍去），所以抛物线，，，所以可得，，所以，直线与轴交于点，所以，所以.所以A错误，BCD正确.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若双曲线过点且与双曲线有相同的渐近线，则的焦距为___________．答案：解析：解答过程：设，将代入可得，则，焦距为．13.已知随机变量，且，若（为有理数），则________．答案：2解析：思路：由正态分布的对称性求参数值，应用二项式定理及已知确定对应项系数确定，即可得.解答过程：由正态分布的对称性知，则，所以，由的展开式通项为，由题设，，所以.14.小华在某不透明的盒子中放入4红5黑9个球，随机摇晃后，小华从中取出一个小球丢掉（未看被丢掉小球的颜色）．现从剩下8个小球中取出两个小球，结果都是黑球，则丢掉的小球也是黑球的概率为______．答案：解析：思路：首先计算每种情况下，“取出2个黑球”的条件概率，再用贝叶斯公式计算概率.解答过程：用表示丢掉一个小球后任取两个小球均为黑球，用表示丢掉的小球为红球，表示丢掉的小球为黑球，则，由全概率公式可得，所以.故四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程演算步骤.15.已知函数.（1）当时，若曲线在点处的切线与轴平行，求点的坐标；（2）若恒成立，求a的取值范围.答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用在处斜率为0即可求解；（2）将问题转化成进行求解.（1）当时，，，设点的坐标，由题意得：，解得：，所以，因此点的坐标为.（2），令，则，因为，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，所以，即：a的取值范围是.16.某新能源汽车公司为研究电池容量对续航里程的影响，随机选取了10辆不同配置的车进行测试，测量每辆车的电池容量（单位：）和续航里程（单位：），得到如下数据：样本号12345678910总和电池容量35404550556570758085600续航里程3303503904104805205606206407005000并计算得．（1）估计这10辆车的平均电池容量与平均续航里程；（2）求电池容量与续航里程的样本相关系数；（精确到0.001）（3）现该公司计划推出新款车型，电池容量为，已知续航里程与电池容量近似成正比，利用以上数据给出新款车型续航里程的估计值．（精确到1）附：相关系数．答案：（1）平均电池容量，平均续航里程．（2）0.995（3）解析：（1）平均电池容量，平均续航里程．（2）（3）由样本数据，可知续航里程与电池容量的比值约为，故新款车型续航里程的估计值为．17.的内角的对边分别是，已知．（1）求；（2）若点在边上，为的平分线且长度为1，求；（3）若是边上的一点，且，求的面积的最大值．答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）利用正弦定理和余弦定理对已知条件进行转换得到，从而得到；（2）利用为及三角形的面积公式即可得到的关系式，变形得；（3）根据已知条件得到，再利用数量积的运算律得到的关系式，最后运用基本不等式得到的最大值，从而得到的面积的最大值．（1）因为，所以由正弦定理可得，整理可得，由余弦定理可得，所以，因为，故．（2）因为为的平分线，所以，因为，即，又因为，所以，故．（3）因为，所以，即，所以，即，即，当且仅当即当时等号成立，所以，即面积的最大值为．18.如图，四棱锥的底面是正方形，平面，，点，分别是棱，的中点.（1）求证：平面；（2）求平面与平面的夹角的余弦值；（3）求到直线的距离；答案：（1）证明见解析；（2）；（3）解析：思路：（1）通过建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再根据向量平行关系判断直线与平面的垂直关系.（2）已知两个平面的法向量，利用向量点积公式求两个法向量夹角的余弦值，此余弦值的绝对值即为两个平面夹角的余弦值.（3）求出，，再求出两向量夹角正弦值，最后乘以即可.（1）因为四棱锥的底面是正方形，平面，所以以点D为坐标原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则，，，所以，．设平面EFD的法向量为，则令，则．又因为，所以，即，由平面，得平面．（2）设平面与平面的夹角为θ，平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，所以，则平面与平面的夹角的余弦值为．（3），，则，则求到直线的距离为.19.如图，已知椭圆过点，焦距为，斜率为的直线与椭圆相交于异于点的两点，