2025-2026学年宁夏青铜峡市宁朔中学高二下册期中考试数学试题 含答案

/数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.可以表示为（）A.A3012 B.A3013 C.2.已知的导函数图象如图，则的极大值点为（）A. B. C. D.3.在等差数列中，，则（）A.6 B.10 C.12 D.184.由1，2，3，4，5，6所组成的无重复数字的4位数中偶数的个数为（）A.360 B.180 C.156 D.1505.函数的单调递减区间是A. B. C. D.6.已知是各项均为正数的等比数列，设其前n项和为，若成等差数列，则（）A.9 B.2 C. D.7.已知数列满足，，则此数列前2025项的和为（）A. B.2025 C. D.40508.已知，，，，则下面结论正确的是（）A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列求导运算正确的是（）A.若，则B.若，则y'C.若，则D.若y=x10.设数列的前项和为，且，则（）A.B.是单调递增数列C.是等比数列D.的最大值是3011.已知函数，则（）A.点是函数图象的对称中心 B.是函数的极小值点C.当时， D.当时，三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.曲线在点处的切线方程为___________．13.4名护士和2名医生站成一排，护士站在一起，医生也要站在一起，总共有___________种不同的排法．14.数列前项和为___________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知等比数列中，，（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和．16.已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）求在上的最值.17.已知数列的前项和为，若，且.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.18.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）当时，求证.19.已知函数fx（1）求的极值（2）若，讨论的零点的个数；（3）若为正整数，记此时的唯一零点为，证明：数列是递增数列

数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.可以表示为（）A. B.A3013 C. D.A答案：B解析：解答过程：题目中的式子18×19×20×⋯×30，项数为

30−18+1=13项由排列数的公式可知，可以表示为A30132.已知的导函数图象如图，则的极大值点为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据导函数的图象判断区间单调性，进而确定极大值点.解答过程：由图知上，上且仅有，所以在上单调递减，在上单调递增，所以的极大值点为.故选：D3.在等差数列中，，则（）A.6 B.10 C.12 D.18答案：C解析：解答过程：由等差数列的性质可得，即，故.4.由1，2，3，4，5，6所组成的无重复数字的4位数中偶数的个数为（）A.360 B.180 C.156 D.150答案：B解析：解答过程：第1步，个位上的数字为2或4或6，有3种方法，第2步，从其余5个数中选3个排在千位、百位和十位，有种方法，故可以组成个符合条件的数．5.函数的单调递减区间是A. B. C. D.答案：A解析：思路：求得，结合，即可求解.解答过程：由题意，函数的定义域为，可得，令，即，解得，所以函数的单调递减区间为.故选：A.6.已知是各项均为正数的等比数列，设其前n项和为，若成等差数列，则（）A.9 B.2 C. D.答案：A解析：思路：根据题意得，化简得，解得，再由即可求解．解答过程：设正项等比数列的公比为，因为成等差数列，所以，即，解得（舍去）或，所以．故选：A．7.已知数列满足，，则此数列前2025项的和为（）A. B.2025 C. D.4050答案：A解析：思路：利用递推关系求得数列的前几项，可得数列是以3为周期的周期数列，进而可求得数列前2025项的和.解答过程：由，，解得，又，解得，又，解得，所以数列是以3为周期的周期数列，所以所以.故选：A.8.已知，，，，则下面结论正确的是（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：先判断函数的单调性，利用函数的单调性比较大小.解答过程：因为，所以（当且仅当时取等号），所以函数在上单调递增.又，即，所以，即.故选：B二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列求导运算正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若y=x答案：AB解析：思路：利用导数公式与导数运算法则逐项求解可得答案．解答过程：对于A：由，得，A正确；对于B：由，得y'=对于C：由，得，C错误；对于D：由y=xe10.设数列的前项和为，且，则（）A.B.是单调递增数列C.是等比数列D.的最大值是30答案：ACD解析：思路：根据条件得为等差数列，且首项，公差，逐一判断即可．解答过程：在数列中，由，得，因此数列是首项，公差的等差数列，对于A，an对于B，Sn=10n+n对于C，2an+1对于D，Sn=−(n−11.已知函数，则（）A.点是函数图象的对称中心 B.是函数的极小值点C.当时， D.当时，答案：AD解析：思路：对函数求导，得出函数的单调性并结合图象即可判断出B选项，利用中心对称的定义计算可判断A，对于C选项，由，求得的范围，结合函数最值的性质即可求解；D选项，根据已知自变量的范围判断函数值的范围，进而比较大小.解答过程：由题意，，求导可得，令，得，当或时，；当时，.所以在和上单调递增，在上单调递减，且，可作出大致图象如图所示．对于A，，所以函数的图象关于点成中心对称，故A正确；对于B，由图象可知，是函数的极大值点，故B错误；对于C，当时，，因为，结合函数图象和单调性可得，故C错误；对于D，当时，，此时，，则，所以，故D正确．故选：AD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.曲线在点处的切线方程为___________．答案：解析：解答过程：因为，所以，将代入可得切线的斜率，所以曲线在点处的切线方程为：，即.13.4名护士和2名医生站成一排，护士站在一起，医生也要站在一起，总共有___________种不同的排法．答案：96解析：解答过程：第一步：4名护士之间的排法，有种方法；第二步：2名医生之间的排法，有2种方法；第三步：医生和护士之间，有2种方法；所以，不同的排法种数有种．14.数列前项和为___________．答案：解析：思路：先对数列的通项公式进行拆分化简，采用裂项相消法求前项和.解答过程：数列的第项为：，故故答案为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知等比数列中，，（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和．答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据条件先求出首项和公比代入等比数列通项求解即可.（2）结合等差数列求和公式和等比数列求和公式，用分组求和的方法代入求解即可.（1）设等比数列的首项为，公比为，其通项公式为，根据已知条件，可列出方程组，化简得：，将代入，解得，因此通项公式为；（2）这个数列的每一项都是一个等差数列与一个等比数列的对应项的和，因此可以分组求和．．16.已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）求在上的最值.答案：（1）函数在上单调递增，在上单调递减（2）最大值，最小值，解析：思路：（1）根据导数的正负得出其单调性；（2）根据第一问的函数单调性得出其最值.（1）函数，则，当时，，当，，故函数在上单调递增，在上单调递减（2）由（1）可得函数在上单调递增，在上单调递减且，，则在上的最大值，最小值，17.已知数列的前项和为，若，且.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.答案：（1）（2）解析：思路：（1）由与的关系求数列的通项公式；（2）利用“错位相减法”求数列的前项的和.（1）当时，.当时，，用代替，可得.两式相减得：，又，所以是以3为首项3为公比的等比数列，所以.（2），所以：两式相减得：，所以：.18.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）当时，求证.答案：（1）答案见解析；（2）证明见解析.解析：思路：（1）求出函数的导数，分类讨论导数正负情况即可求出函数单调性.（2）由（1）求出函数的最小值，再构造函数，利用导数证明不等式.（1）函数中，，求导得，当时，在上单调递增；当时，时，时，，函数在上单调递增，在上单调递减，所以当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递增，在上单调递减.（2）证明：由（1）知，当时，，设，求导得，当时，；当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，，因此，则，所以.19.已知函数fx（1）求的极值（2）若，讨论的零点的个数；（3）若为正整数，记此时的唯一零点为，证明：数列是递增数列答案：（1）极小值为，无极大值.（2）当时，在上有两个零点；当或时，有唯一零点；当时，无零点．（3）证明见解析解析：思路：（1）先求出函数的导数，借助导数正负划分单调区间，判断出函数在单调递减、在单调递增，进而确定为极值点，代入解析式算出函数的极小值.（2）将函数零点问题转化为方程有解的问题，构造辅助函数，求导分析的单调性与最小值，再结合在不同区间的取值范围，分类讨论参数的取值，以此判定零点的个数情况.（3）由前面结论得到时函数唯一零点满足的等式，对等式两边取对数建立关于与的关系式，两式作差整理得到与的大小关系，再利用函数在上