2025-2026学年青海西宁二中教育集团高二下册期中考试数学试题 含答案

/数学第一部分（选择题共58分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率是（）A. B. C. D.2.已知等比数列中，＝1，＝2，则等于.A.2 B.2 C.4 D.43.已知函数的导函数为，满足，则（）A. B. C.3 D.84.在等差数列中，首项，公差，前n项和为，且满足，则的最大项为（）A. B. C. D.5.设等比数列的前项和为，前项积为，，且和的等差中项为，则的最大值为（）A. B. C. D.6.函数满足，在上存在导函数，且在上，若，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.7.已知数列满足，则的最小值为（）A. B. C. D.8.设函数，若，则的最大值为（）A.2 B. C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对得6分，有错误选项得0分，若正确选项有两个，部分选对得3分，若正确选项有三个，选对一个正确选项得2分，有选错的得0分.9.设等差数列{an}的前n项和为Sn.若S3＝0，a4＝8，则（）A.Sn＝2n2－6n B.Sn＝n2－3nC.an＝4n－8 D.an＝2n10.数列的前n项和为，且，下列说法正确的是（）A.若为等差数列，则的公差为1B.若为等差数列，则的首项为1C.D.11.已知是函数的极值点，则（）A.有1个零点B.当时，C.曲线关于点对称D.过点与曲线相切的直线有2条第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知数列的前n项和为，若，则________．13.已知函数，曲线在点处的切线方程是，则曲线在点处的切线方程是_________.14.已知实数，满足，则的值为__________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数，曲线在点处的切线与直线平行.（1）求a的值；（2）求函数的单调区间；（3）求函数在上的最大值、最小值.16.已知等差数列满足，.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.17.西樵镇举办花市，如图，有一块半径为20米，圆心角的扇形展示台，展示台分成了四个区域：三角形OCD摆放菊花“泥金香”，弓形CMD摆放菊花“紫龙卧雪”，扇形AOC和扇形BOD（其中）摆放菊花“朱砂红霜”.预计这三种菊花展示带来的日效益分别是：泥金香50元/米2，紫龙卧雪30元/米2，朱砂红霜40元/米2.（1）设，试建立日效益总量关于的函数关系式；（2）试探求为何值时，日效益总量达到最大值.18.已知数列中，，且满足．（1）证明：数列为等比数列；（2）求的通项公式；（3）令，为数列的前n项和，证明：．19.已知函数.（1）若，讨论的单调性；（2）若时，，求的取值范围；（3）若时，方程的两个不同实数根为，，证明.

数学第一部分（选择题共58分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率是（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据题意，化简得到，即，结合导数的几何意义，即可求得曲线在点处的切线的斜率，得到答案.解答过程：由，所以，即，所以曲线在点处的切线的斜率是.故选：A.2.已知等比数列中，＝1，＝2，则等于.A.2 B.2 C.4 D.4答案：C解析：解答过程：试题分析：，，，可见，，依旧成等比数列，所以，解得.考点：等比数列的性质3.已知函数的导函数为，满足，则（）A. B. C.3 D.8答案：A解析：思路：应用导数的加减法则对函数求导得，代入求得，进而求.解答过程：由题设，可得，故，所以，故.故选：A4.在等差数列中，首项，公差，前n项和为，且满足，则的最大项为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：由已知结合等差数列的求和公式可得，，由等差数列的性质可知，，结合已知可得，，即可判断．解答过程：解：等差数列中，且满足，∴，由等差数列的性质可知，，∵首项，公差，∴，∴，，则的最大项为．故选C．方法提示：本题主要考查了等差数列的性质的简单应用，属于基础试题．5.设等比数列的前项和为，前项积为，，且和的等差中项为，则的最大值为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：设等比数列的公比为，根据已知条件求出和的值，可得出数列的通项公式，分析可知：当时，，当时，，当时，，即可得出的最大值.解答过程：设等比数列的公比为．若，则，不符合题意，所以，解得．又因为和的等差中项为，所以，则，解得．所以，，当时，，当时，，当时，，所以的最大值为．故选：B.6.函数满足，在上存在导函数，且在上，若，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：由题可知函数为奇函数，构造函数，再根据函数的奇偶性以及单调性解不等式即可.解答过程：由函数满足，可知函数为奇函数，，即，构造函数，由题意知：在上，，故在上单调递减，为奇函数，，即为奇函数，故在R上单调递减，因此原不等式可化为：，即，解得.故选：D．7.已知数列满足，则的最小值为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据题意，利用叠加法，求得，得到，结合函数的单调性，以及，即可求解.解答过程：由数列满足，则，所以，又由函数在上单调递减，在上单调递增，因为，当时，可得；当时，可得，因为，所以的最小值为.故选：A.8.设函数，若，则的最大值为（）A.2 B. C. D.答案：D解析：思路：先根据得出同号的情况，进而得到，从而构造函数，利用导数求得的最大值.解答过程：记，易知在相同区间内均单调递增，由知，或，即在相同区间内均同时成立，故有相同的零点，不妨设该零点为，则，则，即，则，故，记，则，令，得；令，得；则在单调递增，在单调递减，所以当时，取得最大值，即的最大值为.故选：D二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对得6分，有错误选项得0分，若正确选项有两个，部分选对得3分，若正确选项有三个，选对一个正确选项得2分，有选错的得0分.9.设等差数列{an}的前n项和为Sn.若S3＝0，a4＝8，则（）A.Sn＝2n2－6n B.Sn＝n2－3nC.an＝4n－8 D.an＝2n答案：AC解析：思路：根据已知条件求得，由此求得，从而确定正确选项，解答过程：依题意，，所以.故选：AC10.数列的前n项和为，且，下列说法正确的是（）A.若为等差数列，则的公差为1B.若为等差数列，则的首项为1C.D.答案：AD解析：思路：本题考查等差数列的应用，根据条件构造出，两式相减得，再根据选项中的条件进行求解来判断A，B；利用求和公式来判断C，D．解答过程：因为，所以，两式相减得．若数列为等差数列，则的公差．又，所以，解得，所以A正确，B错误；，所以，所以C错误．因为，所以恒成立，即成立，所以D正确，故选：AD．11.已知是函数的极值点，则（）A.有1个零点B.当时，C.曲线关于点对称D.过点与曲线相切的直线有2条答案：ACD解析：思路：求出导函数，利用极值点的性质求得，然后求出的单调区间，结合单调性及极值的符号，根据零点存在定理判断零点个数判断A；先判断，再根据单调性判断B；由判断曲线的对称性判断C；设切点，利用导数的几何意义求出切线方程，将点代入切线方程化简得，进而求出切点坐标，即可判断切线条数判断D.解答过程：由得，则，解得，则，当时，，当时，，所以在，上单调递增，在上单调递减，所以的极小值为，极大值为，满足是函数的极值点，又，由零点存在定理得有1个零点，A正确；由，得，，所以，又在上单调递增，所以，故B错误；因为，所以曲线关于点对称，C正确；设过点的直线与曲线相切于点，所以切线方程，将点代入切线方程为，整理得，即，解得，或，过点的直线与曲线相切于点或，因此过点与曲线相切的直线有2条，D正确．故选：ACD．第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知数列的前n项和为，若，则________．答案：768解析：思路：先将代入已知条件化简得到数列是等比数列，再写出通项公式，计算即得结果.解答过程：由，得，即，又，所以数列是首项为1，公比为4的等比数列，所以，所以．故答案为.13.已知函数，曲线在点处的切线方程是，则曲线在点处的切线方程是_________.答案：解析：思路：由曲线在点处的切线方程是，故，再结合，，得到，故得解.解答过程：由曲线在点处的切线方程是，故，又在点处的切线方程是：故答案为.方法提示：本题考查了导数在切线问题中的应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.14.已知实数，满足，则的值为__________.答案：解析：思路：通过换元简化复杂解析式，构造两个单变量辅助函数，利用导数分别判断单调性、求出最值，结合不等式约束关系，确定仅当两个函数同时取到对应最值时原不等式成立，最后联立等量关系求解未知数，从而得到所求.解答过程：设，则，原不等式可改写为：，移项得，设，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以的最大值为，即，设hn=e当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以的最小值为即，由题意可知，且，，可知：，此时：，，即得到方程组4x+y−4=12故.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数，曲线在点处的切线与直线平行.（1）求a的值；（2）求函数的单调区间；（3）求函数在上的最大值、最小值.答案：（1）（2）单调递增区间为和，单调递减区间为.（3）最大值为40，最小值为.解析：思路：（1）对函数求导，由导数的几何意义得切线的斜率，利用两直线平行，斜率相等即可求得a的值；（2）对函数求导，利用导数研究函数的单调性即可求解；（3）求出在上的单调性，即可利用单调性求出最值.（1）因为，则，则，而直线的斜率为，则，解得.（2）由（1）可知，所以，定义域为，且.令，即，化简可得，解得，当，即时，解得或，所以的单调递增区间为和，当即时，解得，所以的单调递减区间为.综上，得单调增区间为和，单调减区间为.（3）由（2）知，其单调增区间为和，单调减区间为，所以在上单调递减，在上单调递增，为其极小值点，则04

0减函数增函数40综上，函数在上的最大值为，最小值为.16.已知等差数列满足，.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.答案：（1）（2）Sn思路：（1）利用等差数列的通项公式进行计算即可；（2）利用错位相减法求和.（1）设等差数列的公差为，则，所以，又，所以，所以，所以.（2）由（1）可知，则①，所以4S由①②得：，所以Sn17.西樵镇举办花市，如图，有一块半径为20米，圆心角的扇形展示台，展示台分成了四个区域：三角形OCD摆放菊花“泥金香”，弓形CMD摆放菊花“紫龙卧雪”，扇形AOC和扇形BOD（其中）摆放菊花“朱砂红霜”.预计这三种菊花展示带来的日效益分别是：泥金香50元/米2，紫龙卧雪30元/米2，朱砂红霜40元/米2.（1）设，试建立日效益总量关于的函数关系式；（2）试探求为何值时，日效益总量达到最大值.答案：（1），其中，（2）解析：思路：（1）由题意可求得，然后根据扇形的面积公式和三角形的面积公式可表示出各个面积，从而可表示出关于的函数关系式；（2）对关于的函数关系式求导，然后根据导数的正负求出其单调区间，从而可求出其最大值.（1）依题意得，，则，其中，.（2），令，得，当，，函数递增，当时，，函数递减.所以，是函数的极大值点，且唯一；从而当时，日效益总量可取得最大值.18.已知数列中，，且满足．（1）证明：数列为等比数列；（2）求的通项公式；（3）令，为数列的前n项和，证明：．答案：（1）证明见解析（2）（3）证明见解析解析：思路：（1）由题意，可得，结合等比数列的定义即可证明；（2）由（1），根据等比数列的通项公式计算即可求解；（3）由（2）可得，利用裂项相消求和法可得，结合作差法即可证明.（1）由题意知，所以，由于，故，故，故数列是以3为首项，公比为3的等比数列；（2）由（1）知，数列是以3为首项，公比为3的等比数列，所以，故（3）由（2）知．，所以，-故由于，故，19.已知函数.（1）若，讨论的单调性；（2）若时，，求的取值范围；（3）若时，方程的两个不同实数根为，，证明.答案：（1）答案见解析（2）（3）证明见解析解析：思路：（1）对函数求导，分类讨论参数的取值范围，确定导数的正负区间，得到函数在不同情况下的单调区间；（