2025-2026学年山东德州市平原县第一中学高一下册期中模拟考试数学试题 含答案

/数学一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，，且向量在上的投影的数量为，则（）A. B. C. D.2.已知，则（）A. B. C. D.3.已知在正方形网格中的向量，，如图所示，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.已知，，则在上的投影向量是（）A. B.C. D.5.若，且，则（）A. B. C. D.6.已知平行四边形中，，，．若点满足，点为中点，则（）A. B. C. D.7.数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理．设点O，G，H分别为三角形ABC的外心，重心，垂心，则（）A. B.C. D.8.三国时期的数学家刘徽在对《九章算术》作注时，给出了“割圆术”求圆周率的方法；魏晋南北朝时期，祖冲之利用割圆术求出圆周率约为，这一数值与的误差小于八亿分之一.现已知的近似值还可表示为，则的值为（）A. B. C.4 D.二､多项选择题：本大题共3小题.每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选错的得0分.9.计算下列各式的值，结果为2的有（）A. B.C. D.10.下列说法正确的是（）A.若向量，满足，则与的夹角为钝角B.，是平面内一组不共线的向量，如果，，，则，，三点共线C.在任意锐角中，恒成立D.点是函数图象的一个对称中心11.如图，已知，，，，其内有一点，满足，过点的直线分别交，于点，.设，，则下列说法正确的是（）A. B.点为的重心C. D.三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知A，B，C三点共线，若，则______．13.已知，，则______．14.如图，圆心角为的扇形的半径为1，点是上一点，作这个扇形的内接矩形.则矩形的最大面积是__________.四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知向量，满足.（1）求与的夹角；（2）若，求实数的值；（3）求与夹角的余弦值.16.已知函数fx（1）求的最小正周期和增区间；（2）若存在，使等式成立，求实数的取值范围.17.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，，，．（1）若A，B，C三点共线，求x的值；（2）当时，直线OC上是否存在一点M，使取得最小值？若存在，求出点M的坐标，若不存在，试说明理由．18.已知，其中．（1）求的值；（2）求的值．19.已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴向量，同时称函数为向量的相伴函数.（1）设gx=cosx+π4（2）记的相伴函数为，若方程在区间上有且仅有四个不同的解，求实数的取值范围；（3）已知点且满足，向量的相伴函数在处取得最大值，当点运动时，求的取值范围.

数学一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，，且向量在上的投影的数量为，则（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：设与的夹角为，向量在上的投影的数量为，即，因为，所以解得，因为，所以，因此，即.2.已知，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：利用诱导公式及二倍角公式化简即可.解答过程：所以.故选：D3.已知在正方形网格中的向量，，如图所示，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：A解析：思路：由题可得，，，由可得，然后利用充分条件及必要条件的定义判断即得.解答过程：设三个向量都在平面直角坐标系内，正方形网格长度为1，则，，，由，则，解得，则，∴由“”可以推出“”，当时，，∴由“”推不出“”故“”是“”的充分不必要条件.故选：A.4.已知，，则在上的投影向量是（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：根据在上的投影向量是计算即可解决.解答过程：由题知，，所以，设与夹角为，所以在上的投影向量是.故选：B5.若，且，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：利用同角三角函数的商数关系及两角和的正弦公式求出，代入两角差的正弦公式即可得解.解答过程：因为，所以，又，所以，所以.6.已知平行四边形中，，，．若点满足，点为中点，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：将向量、、用基底表示，结合平面向量数量积的运算性质可求得的值.解答过程：如下图所示：因为，则，又因为点为的中点，则，，，所以，.故选：C.7.数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理．设点O，G，H分别为三角形ABC的外心，重心，垂心，则（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：由题可知，再根据向量的线性运算求解即可.解答过程：根据题意，作图如下，所以，则，所以，则.故选：D.8.三国时期的数学家刘徽在对《九章算术》作注时，给出了“割圆术”求圆周率的方法；魏晋南北朝时期，祖冲之利用割圆术求出圆周率约为，这一数值与的误差小于八亿分之一.现已知的近似值还可表示为，则的值为（）A. B. C.4 D.答案：C解析：思路：将代入，结合三角函数的基本关系式、三角恒等变换的公式，准确化简、运算，即可求解.解答过程：由题意，将代入，可得==(4二､多项选择题：本大题共3小题.每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选错的得0分.9.计算下列各式的值，结果为2的有（）A. B.C. D.答案：ACD解析：思路：利用和角正切公式或其变形化简求值判断A、C，应用和差角正余弦公式化简求值判断B、D.解答过程：A：tan75°+B：1cosC：由，则tan20°+tan所以1+tan20°⋅D：2，满足.10.下列说法正确的是（）A.若向量，满足，则与的夹角为钝角B.，是平面内一组不共线的向量，如果，，，则，，三点共线C.在任意锐角中，恒成立D.点是函数图象的一个对称中心答案：BC解析：思路：由共线反向可判断A，由向量共线可判断B，由两角和的正切公式可判断C，由二倍角公式及辅助角公式化简可判断D.解答过程：对于A，当，共线反向时，夹角为，此时满足，故A错误，对于B：，又有公共点，所以，，三点共线，B正确，对于C：在任意锐角中，由，得：，化简可得：，C正确，对于D，，显然对称中心的纵坐标为，D错误，故选：BC11.如图，已知，，，，其内有一点，满足，过点的直线分别交，于点，.设，，则下列说法正确的是（）A. B.点为的重心C. D.答案：BCD解析：思路：对于A由得，对于B取的中点为，，利用重心的性质即可判断，对于C由，利用三点共线即可判断，对于D设中点为，计算，利用重心的性质得.解答过程：对于A：由有，故A错误；对于B：取的中点为，由又，所以点共线，且为三等分点，即为的重心，故B正确；对于C：由，又三点共线，即，故C正确；对于D：设中点为，则有，又，即，所以，在中有，又为重心，所以，故D正确.故选：BCD.三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知A，B，C三点共线，若，则______．答案：##0.5解析：思路：根据向量共线的充要条件计算即可.解答过程：因为A，B，C三点共线，故有而，故，解之得.故13.已知，，则______．答案：解析：思路：先利用二倍角公式对等式进行化简，然后结合角的取值范围求出的值，最后根据二倍角公式求出即可.解答过程：由二倍角公式可得，即，，，故上式化为，.故答案为.14.如图，圆心角为的扇形的半径为1，点是上一点，作这个扇形的内接矩形.则矩形的最大面积是__________.答案：解析：思路：设（），利用矩形面积公式及三角函数的最值即可得解.解答过程：设（），则，，，所以，所以，矩形的面积当，即时，矩形的面积取得最大值．四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知向量，满足.（1）求与的夹角；（2）若，求实数的值；（3）求与夹角的余弦值.答案：（1）（2）（3）.解析：思路：（1）由数量积的运算律结合向量夹角的公式计算可得；（2）由向量垂直数量积为零计算可得；（3）先由数量积的运算律和模长的计算公式求出两向量的模长，再代入夹角公式计算可得.（1）记，所成角为，有，则，即，又，所以，又，因为，所以.因为，所以.（2）因为，所以，展开得，又由，，得（3）因为，所以，因为，所以，可得.所以与的夹角的余弦值为.16.已知函数.（1）求的最小正周期和增区间；（2）若存在，使等式成立，求实数的取值范围.答案：（1）最小正周期为，增区间为；（2）解析：（1）fx=sin所以的最小正周期为，令，则，所以的增区间为；（2）当时，，则−12≤sin2令−m=fx⇒−1≤−m≤17.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，，，．（1）若A，B，C三点共线，求x的值；（2）当时，直线OC上是否存在一点M，使取得最小值？若存在，求出点M的坐标，若不存在，试说明理由．答案：（1）4（2）存在，此时．解析：思路：（1）根据向量平行的充要条件计算即可；（2）设点M坐标，利用向量数量积的坐标表示计算，结合二次函数求最值即可.（1）由题意可得：，，因为A，B，C三点共线，所以，故，解得．（2）假设直线OC上存在M点，因为，所以，设，则，．当时，取最小值，此时．18.已知，其中．（1）求的值；（2）求的值．答案：（1）；（2）；解析：思路：由已知函数值以及角的范围得，，且，，结合两角和差公式即可求值.解答过程：（1）知：，∵，则，∴，而，∴，（2）由，∴，由知：，∴由题意，得，结合（1）有，∴.方法提示：关键点点睛：根据已知确定，范围，并确定，与已知角的关系，进而求函数值.19.已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴向量，同时称函数为向量的相伴函数.（1）设，试求函数的相伴向量，并求出与方向相反的单位向量；（2）记的相伴函数为，若方程在区间上有且仅有四个不同的解，求实数的取值范围；（3）已知点且满足，向量的相伴函数在处取得最大值，当点运动时，求的取值范围.答案：（1）OM→=2（2）（3）.解析：思路：（1）应用和差角余弦公式展开函数式，