2025-2026学年山东菏泽市高二下册期中考试（A）数学试题 含答案

/数学满分150分，考试时间120分钟，一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若，则（）A.2或6 B.2或3 C.3 D.62.函数在点处的切线方程为（）A. B.C. D.3.已知函数，则（）A. B.0 C. D.4.二项式的展开式中的常数项为（）A. B. C. D.5.过原点的直线与曲线相切，则切点坐标为（）A. B.C. D.6.6个除颜色外完全相同的小球，其中红、黄、蓝各2个，把这6个小球排成一排，其中红色小球不相邻的排法有（）种A.40 B.60 C.80 D.1207.如图所示，已知直线与曲线相切于两点，则对函数描述正确的是（）A.有极小值点，没有极大值点 B.有极大值点，没有极小值点C.至少有两个极小值点和一个极大值点 D.至少有一个极小值点和两个极大值点8.定义在上的函数，对任意实数都有，．若，则不等式的解集是（）A. B. C. D.二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分）9.若的展开式中的系数为，则（）A. B.所有项系数之和为1C.二项式系数之和为 D.二项式系数最大项为第3项10.已知（且），若，且（e为自然对数的底数），则（）A. B.C. D.11.定义在上的函数满足当时，，其中，则下列结论中正确的有（）A.B.C.当时，若在区间内恰有两个零点，则的取值范围是D.任意，三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.若的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，则______．13.将这9个数字填在的方格表中，要求每一行从左到右、每一列从上到下的数字依次变小．若将4填在如图所示的位置上，则填写方格表的方法共有_______种．14.已知直线与曲线，分别相交于，两点，则的最小值为______．四、解答题（本大题共5小题，共77分．请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的自然数．（Ⅰ）在组成的三位数中，求所有偶数的个数；（Ⅱ）在组成的三位数中，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如301，423等都是“凹数”，试求“凹数”的个数；（Ⅲ）在组成的五位数中，求恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的自然数的个数．16.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）当时，，讨论的零点个数.17.已知．（1）求和的值；（2）求的值．18.已知函数，．（1）设的导函数为．（ⅰ）若与有相同的零点，求的值；（ⅱ）若对任意，都有，求的取值范围；（2）若有唯一解，求的取值范围．19.已知函数.（1）当时，讨论的单调性；（2）当时，若在上恒成立，求正整数的最大值；（3）若在上有零点，比较与的大小.（参考数据：，，）

数学满分150分，考试时间120分钟，一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若，则（）A.2或6 B.2或3 C.3 D.6答案：A解析：思路：根据组合数性质解方程即可.解答过程：由题意可得或，解得或.经检验均满足题意.故选：A.2.函数在点处的切线方程为（）A. B.C. D.答案：A解析：思路：先求得，得到且，结合导数的几何意义，即可求解.解答过程：由函数，可得，可得且，即切线的斜率为，切点坐标为，所以在点处的切线方程为，即.3.已知函数，则（）A. B.0 C. D.答案：B解析：思路：先根据求导公式求出函数的导数，再将代入中计算的值即可.解答过程：由导数法则求导得：，代入得.故选：B.4.二项式的展开式中的常数项为（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：二项式的展开式的通项为，常数项的的指数为0，当，，．5.过原点的直线与曲线相切，则切点坐标为（）A. B.C. D.答案：A解析：思路：设切点坐标为，则，利用导数求出切线方程，将原点坐标代入切线方程，求出的值，即可得出切点坐标.解答过程：设切点坐标为，则，对函数求导得，切线斜率为，所以曲线在点处的切线方程为，将原点坐标代入切线方程得，解得，故切点坐标为.故选：A.6.6个除颜色外完全相同的小球，其中红、黄、蓝各2个，把这6个小球排成一排，其中红色小球不相邻的排法有（）种A.40 B.60 C.80 D.120答案：B解析：思路：根据题意，先排黄、蓝4个小球，共有种，再把红球插入共有种，则共有种．解答过程：首先排黄、蓝各2个，共4个小球，相当于4个位置中，选2个放黄球，另2个放蓝球，共有种，放好4个小球后，选2个空位插入2个红球，共有种，综上，共有种．故选：B．7.如图所示，已知直线与曲线相切于两点，则对函数描述正确的是（）A.有极小值点，没有极大值点 B.有极大值点，没有极小值点C.至少有两个极小值点和一个极大值点 D.至少有一个极小值点和两个极大值点答案：C解析：解答过程：如图所示，设切点为和，且在点处，因为，所以由图可知，当时，，所以，单调递减；当时，，所以，单调递增，所以在处取得极小值；当时，，所以，单调递减，所以在处取得极大值；当时，，所以，单调递增，所以在处取得极小值.综上所述，在和处取得极小值，在处取得极大值，有两个极小值点和一个极大值点.8.定义在上的函数，对任意实数都有，．若，则不等式的解集是（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：由可知函数最小正周期为3，由构造一个函数的导数，利用该函数单调性求解问题.解答过程：由可知,设，则所以，函数最小正周期为3，由可得，设(C为常数)，则，那么，在上单调递增，，，由可得，，即，又在上单调递增所以，，故选A.二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分）9.若的展开式中的系数为，则（）A. B.所有项系数之和为1C.二项式系数之和为 D.二项式系数最大项为第3项答案：BC解析：解答过程：二项式的通项为，由解得，因为的系数为，而，所以，解得，故A错误；令，则，故B正确；二项式系数的和为，当时，，故C正确；当时，二项式系数的最大值出现在中间项，即第4项，对应，故D错误．10.已知（且），若，且（e为自然对数的底数），则（）A. B.C. D.答案：ACD解析：思路：首先构造函数根据单调性即可判断A;令，即可判断B;令，利用导数说明函数的单调性，得到，即可判断C;令，利用导数说明函数的单调性，即可判断D.解答过程：由，可知或，又，因同正，两边同除以可得，令，则，所以当时，在上单调递减，当时，在上单调递增，当且，此时与题意不符合;当且时，，故，所以，A正确.令，则，所以当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，因为，所以当时，，即，即，故B错误;令，则，记，则，所以，则，所以在上单调递增，所以，即，即，所以，即，故C正确;令，则，令，则，即在上单调递增，所以在上单调递增，所以，即，故D正确.11.定义在上的函数满足当时，，其中，则下列结论中正确的有（）A.B.C.当时，若在区间内恰有两个零点，则的取值范围是D.任意，答案：ABD解析：思路：选项A，因为满足，所以确定，代入对应解析式计算；选项B，先分析当时的符号，再分析所在区间对应的的符号，根据符号关系判断乘积是否非负；选项C，根据零点个数分类讨论，找出区间包含两个正整数的的范围；选项D，将转化为关于的函数，结合定义域和值域判断.解答过程：由题意，对，当时，：对任意，，因此的符号由决定，时符号为；的零点为所有正整数.选项A，，对应，代入得：，正确.选项B，对任意：若，则，的符号为，与同号，故；若或为整数，则.因此恒成立，正确.选项C，在区间内，恰好有两个零点，转化为：在开区间中，恰好包含两个正整数.故存在非负整数，使得，故k≤t<k+1k2当时，；当时，；当时，，综上所述，，C错误；选项D，令，则原式可化为.因为，所以且.那么，D正确.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.若的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，则______．答案：解析：思路：根据二项式定理及组合数的计算，即可求解.解答过程：二项式的展开式中第3项与第6项的二项式系数分别为与，由题意可得，，解得.13.将这9个数字填在的方格表中，要求每一行从左到右、每一列从上到下的数字依次变小．若将4填在如图所示的位置上，则填写方格表的方法共有_______种．答案：12解析：思路：确定1，9的位置，再确定2，3的位置，最后确定余下4个数的位置，列式计算即可.解答过程：由每一行从左到右、每一列从上到下的数字依次变小，得在左上角，在右下角，如图，排在位置，有种方法，从余下的4个数字中任取2个按从左到右由大到小排在位置，有种方法，最后两个数字从上到下由大到小排在位置，有1种方法，所以填写方格表的方法共有（种）.故1214.已知直线与曲线，分别相交于，两点，则的最小值为______．答案：解析：思路：联立方程求得，，设，将，，代入，得到，设函数，求导判断其单调性求其最小值即可.解答过程：由题意联立方程：，化简得：，同理联立方程：，化简得：，所以，令，因，则，，，则，令，，则，令，则，当时，，则在上单调递增，又因，则当时，，当时，，则在上单调递减，在上单调递增，所以，即的最小值为.四、解答题（本大题共5小题，共77分．请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的自然数．（Ⅰ）在组成的三位数中，求所有偶数的个数；（Ⅱ）在组成的三位数中，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如301，423等都是“凹数”，试求“凹数”的个数；（Ⅲ）在组成的五位数中，求恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的自然数的个数．答案：（Ⅰ）共有30个符合题意的三位偶数．（Ⅱ）共有20个符合题意的“凹数（Ⅲ）共有28个符合题意的五位数解析：解答过程：试题分析：在正自然数中，零不能处在最高位，（1）偶数的个位数为偶数，所以只能为0，2，4，根据排列公式求出偶数个数即可；（2）由题意可知十位数可为0，1，2，分别从剩余的数字中取两个进行排列；（3）5个数字中只有两个奇数，所以可将1，3以及夹在中间的偶数看作整体，并与剩余的两个偶数进行排列计算．试题解析：（1）将所有的三位偶数分为两类：（i）若个位数为，则共有（个）；（ii）若个位数为或，则共有（个），所以，共有个符合题意的三位偶数．（2）将这些“凹数”分为三类：（i）若十位数字为，则共有（个）；（ii）若十位数字为，则共有（个）；（iii）若十位数字为，则共有（个），所以，共有个符合题意的“凹数”．（3）将符合题意的五位数分为三类：（i）若两个奇数数字在一、三位置，则共有（个）；（ii）若两个奇数数字在二、四位置，则共有（个）；（iii）若两个奇数数字在三、五位置，则共有（个），所以，共有个符合题意的五位数．考点：排列的运用.16.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）当时，，讨论的零点个数.答案：（1）答案见解析（2）答案见解析解析：思路：（1）求，根据a的范围分类讨论导数的正负，从而判断f(x)的单调性；（2）令并参变分离，将问题转化为三次函数与常数函数图象交点问题.（1）的定义域为R，.若，令，得或，令，得；若，令，得或，令，得.综上，当时，在，上单调递增，在上单调递减；当时，在，上单调递增，在上单调递减.（2）当时，，令，则，令，则.当和时，，单调递减；当时，，单调递增.所以的极小值为，的极大值为，画出函数的大致图象，如图，由图可知，当或时，函数有1个零点；当或时，函数有2个零点；当时，函数有3个零点.17.已知．（1）求和的值；（2）求的值．答案：（1），（2）-488

解析：思路：小问1通过赋值法求解，通过二项式展开式的通项求解的值；小问2通过求导，再用赋值法求解的值.（1）令，得，即；设的展开式通项为，那么.（2）对两边同时求导，可得令，得即.18.已知函数，．（1）设的导函数为．（ⅰ）若与有相同的零点，求的值；（ⅱ）若对任意，都有，求的取值范围；（2）若有唯一解，求的取值范围．答案：（1）（ⅰ）；（ⅱ）（2）解析：思路：（1）（ⅰ）先对求导，根据求出值，并代入求.（ⅱ）将转化为问题，先求得的一个大致范围，然后对进行分类讨论，由此求得的取值范围.（2）将方程有唯一解问题转化为函数图象交点问题，对进行分类讨论，并对不同区间的函数求导分析单调性，根据函数值范围确定的值.（1）因为，所以，（ⅰ）因为，由得，所以，所以．（ⅱ）原问题转化为在时恒成立．依题意，，令，所以，得，①当时，原不等式可化为，所以，此时，所以的最大值为，所以，所以；②当时，原不等式可化为，所以，因为在上单调递增，所以，所以．综上所述，．（2）由题意知，方程有唯一解．依题意，，原