2025-2026学年山东菏泽市高一下册期中学情检测数学试题 含答案

/数学第I部分（选择题共58分）一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下面命题中，正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若则2.若复数（其中为虚数单位）为纯虚数，则实数的值为（）A. B.1 C. D.03.已知向量，若点不能构成三角形，则实数应满足的条件为（）A. B.C. D.4.在中，角的对边分别为，符合下列条件的三角形有且只有一个的是（）A.B.C.D.5.欧拉公式（其中为虚数单位，）是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的“天桥”.依据欧拉公式，复数的模长等于（）A. B. C.2 D.-26.猫儿山位于广西桂林，是南岭山脉越城岭主峰、广西第一高峰，因峰顶巨石形似卧猫得名，它是漓江发源地，也是国家级自然保护区，生物多样性丰富，有“华南之巅”的美誉．如图，计划在猫儿山的两个山顶间架设一条索道．为测量间的距离，工作人员在同一水平面选取三个观测点，在处测得山顶的仰角分别为和，测得两个山顶的高分别为，且测得，则间的距离为（）A. B. C. D.7.在中，角、、的对边分别为、、，且的面积，，则（）A. B. C. D.8.如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为（）A. B. C. D.二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知i为虚数单位，在复平面内，复数，以下说法正确的是（）A.复数z的虚部是 B.C.复数z的共轭复数是 D.复数z的共轭复数对应的点位于第四象限10.已知向量，下列说法正确的是（）A.若，则B.设函数，则的最大值为2C.的最大值为D.若，则在上的投影向量为11.如图，，点在由射线､线段及的延长线围成的阴影区域内（不含边界）运动，且，则下列对于的取值可能正确的是（）A. B.C. D.第II部分（非选择题共92分）三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，且，则________．13.在△中，若，,,求△的面积__________________14.已知为圆心，点是圆上一点，点是圆内部一点．若，且，则的取值范围是___________．四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知复数（为虚数单位）.（1）若，求复数的共轭复数及；（2）若是关于的方程的一个虚根，求实数的值.16.在中，内角所对的边分别为.（1）若，求和的大小；（2）若，求和的值.17.如图，在等边中，，点在边上，且，过点的直线分别交射线于不同的两点.（1）设，试用表示，并求；（2）设，求的最小值.18.在锐角中，角的对边分别为，已知且.（1）求角的大小；（2）若，求的面积；（3）求的取值范围.19.设平面内两个非零向量的夹角为，定义一种运算“”.试求解下列问题：（1）已知向量满足，求的值；（2）若，用坐标表示；（3）在平面直角坐标系中，锐角三角形满足点，且，求面积的范围.

数学第I部分（选择题共58分）一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下面命题中，正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若则答案：D解析：思路：根据相等向量、零向量、平行向量的概念逐一判断即可.解答过程：对A，，但，不一定同向，所以，不一定相等，错误；对B，向量不能比较大小，错误；对C，若，则，错误；对D，若，则，长度相等，且方向相同，所以，正确.故选：D2.若复数（其中为虚数单位）为纯虚数，则实数的值为（）A. B.1 C. D.0答案：A解析：思路：根据纯虚数的概念列式求解即可.解答过程：若复数(是虚数单位)是纯虚数，则，解得.故选：A3.已知向量，若点不能构成三角形，则实数应满足的条件为（）A. B.C. D.答案：A解析：解答过程：点不能构成三角形，故共线，故，解得.4.在中，角的对边分别为，符合下列条件的三角形有且只有一个的是（）A.B.C.D.答案：B解析：思路：借助大边对大角可得A；借助三角形内角和计算可得B；借助三角形三边关系可得C；计算可得，即可得D.解答过程：对A：由，则，则，由、，与矛盾，故不存在这样的三角形，故A错误；对B：，则三角形各角度固定且有一边长固定，故该三角形有且只有一个，故B正确；对C：由，故不存在这样的三角形，故C错误；对D：，则，故满足题意的三角形有两个，故D错误.5.欧拉公式（其中为虚数单位，）是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的“天桥”.依据欧拉公式，复数的模长等于（）A. B. C.2 D.-2答案：A解析：解答过程：

，​因此结果为​，选A6.猫儿山位于广西桂林，是南岭山脉越城岭主峰、广西第一高峰，因峰顶巨石形似卧猫得名，它是漓江发源地，也是国家级自然保护区，生物多样性丰富，有“华南之巅”的美誉．如图，计划在猫儿山的两个山顶间架设一条索道．为测量间的距离，工作人员在同一水平面选取三个观测点，在处测得山顶的仰角分别为和，测得两个山顶的高分别为，且测得，则间的距离为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据已知条件先求出中的两边，再利用余弦定理求即可.解答过程：由题意，可得，且，在中，可得，在中，可得，在中，由余弦定理得：所以．故选：D．7.在中，角、、的对边分别为、、，且的面积，，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据已知条件，结合余弦定理，以及三角形的面积公式，即可求解．解答过程：解：的面积，，，则，，，，，，，，．故选：D．8.如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：建立平面直角坐标系，因为点在上，则，又，利用平面向量的基本定理求出的值，然后利用平面向量数量积的坐标运算可求得的值.解答过程：建立如图所示平面直角坐标系．已知，，，得，，，，，，，，，因为点在上，则，又，且、不共线，可得，且，解得．，．故选：D．二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知i为虚数单位，在复平面内，复数，以下说法正确的是（）A.复数z的虚部是 B.C.复数z的共轭复数是 D.复数z的共轭复数对应的点位于第四象限答案：CD解析：思路：根据复数的四则运算可得，再利用复数的概念、复数的模、共轭复数的概念以及复数的几何意义逐一判断即可.解答过程：，对于A，复数z的虚部是，故A错误；对于B，，故B错误；对于C，复数z的共轭复数是，故C正确；对于D，，在复平面内，对应点的坐标为，复数z的共轭复数对应的点位于第四象限，故D正确.故选：CD10.已知向量，下列说法正确的是（）A.若，则B.设函数，则的最大值为2C.的最大值为D.若，则在上的投影向量为答案：ABD解析：思路：借助向量垂直性质结合数量积公式计算可得A；借助数量积公式与辅助角公式计算可得B；借助数量积与模长的关系，结合辅助角公式计算即可得C；借助投影向量定义计算可得D.解答过程：对A：若，则，即，故A正确；对B：，由，则当且仅当时，等号成立，故的最大值为，故B正确；对C：因，则，当且仅当时，等号成立，故C错误；对D：若，则，则在上的投影向量为，故D正确.11.如图，，点在由射线､线段及的延长线围成的阴影区域内（不含边界）运动，且，则下列对于的取值可能正确的是（）A. B.C. D.答案：BD解析：解答过程：因为，所以由待定系数法得：，所以，根据平行四边形法则可知：，所以，若点在的延长线上，根据三点共线的向量定理得，所以，则需要满足的条件为：A选项，，不满足条件，所以A选项错误；B选项，满足，所以B选项正确；C选项，，不满足条件，所以C选项错误；D选项，满足，所以D选项正确.第II部分（非选择题共92分）三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，且，则________．答案：1解析：思路：根据复数的乘、除法运算和相等复数建立关于a的方程，解之即可.解答过程：，所以，解得.故113.在△中，若，,,求△的面积__________________答案：或解析：思路：由题意首先由余弦定理求得BC的值，然后利用面积公式求解△ABC的面积即可.解答过程：在中，设，由余弦定理可得，，，或．当时，的面积为，当时，的面积为，故答案为或．方法提示：本题主要考查余弦定理解三角形，三角形面积公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14.已知为圆心，点是圆上一点，点是圆内部一点．若，且，则的取值范围是___________．答案：解析：思路：根据点是圆内部一点及，结合向量数量积公式求出的范围，再根据模长公式求出的表达式，进而求解即可.解答过程：因为点是圆上一点，，所以，因为，所以，设与的夹角为，，则，所以，又，所以，又点是圆内部一点，所以，综上；，因为，所以，则，所以.故答案为.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知复数（为虚数单位）.（1）若，求复数的共轭复数及；（2）若是关于的方程的一个虚根，求实数的值.答案：（1），（2），解析：思路：（1）设，借助复数运算法则计算即可得，再利用共轭复数定义与模长公式计算即可得解；（2）将代入方程计算即可得解.（1）设，则，，则，解得，即，则复数的共轭复数为，；（2）由题意可得，化简得，即有，解得.16.在中，内角所对的边分别为.（1）若，求和的大小；（2）若，求和的值.答案：（1），（2），解析：思路：（1）借助正弦定理将角化为边后，利用余弦定理计算可得；（2）借助余弦定理计算可得，再利用正弦定理计算即可得.（1）由，可得，由余弦定理，可得，即，则；（2）由余弦定理，可得，即，解得，则由正弦定理可得.17.如图，在等边中，，点在边上，且，过点的直线分别交射线于不同的两点.（1）设，试用表示，并求；（2）设，求的最小值.答案：（1），（2）解析：思路：（1）借助平面向量线性运算法则计算可用表示出，再利用模长与数量积关系计算即可得；（2）结合（1）中所得，可用、表示，再利用平面向量三点共线定理可得，最后由基本不等式中“1”的活用计算即可得的最小值.（1）因为，所以，所以，；（2）由（1）知，由，则，由、、三点共线，故，则，当且仅当，即，时，等号成立，故的最小值为.18.在锐角中，角的对边分别为，已知且.（1）求角的大小；（2）若，求的面积；（3）求的取值范围.答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）借助两角和的余弦公式计算即可得；（2）借助余弦定理计算可得，再利用面积公式计算即可得的面积；（3）利用正弦定理可用角表示边，再利用三角函数性质计算即可得解.（1），则，即，又，故，则，即，又，故；（2）由余弦定理，可得，即，解得（负值舍去），故；（3）由正弦定理可得，则，，故，由，可得，则，则，即.19.设平面内两个非零向量的夹角为，定义一种运算“”.试求解下列问题：（1）已知向量满足，求的值；（2）若，用坐标表示；（3）在平面直角坐标系中，锐角三角形满足点，且，求面积的范围.答案：