2025-2026学年山东济南第一中学高二下册期中学情检测数学试题 含答案

/数学满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（共58分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.函数的导函数为（）A. B. C. D.2.已知，则不等式的解集是（）A. B. C. D.3.已知随机变量服从两点分布，且，设，那么的值是（

）A.0.84 B.0.7 C.0.4 D.0.34.设函数在上可导，其导函数为，且函数在处取得极小值，则函数的图象可能是（）A. B.C. D.5.甲、乙、丙、丁、戊五名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次．甲和乙去询问成绩，回答者对甲说“很遗憾，你和乙都没有得到冠军．”对乙说“你当然不会是最差．”从这两个回答分析，5人的名次排列可能有多少种不同情况？（）A.27种 B.36种 C.54种 D.72种6.展开式中含项的系数为（）A. B. C.220 D.3807.某权威机构推荐，当前中国五大旅游城市为北京、上海、成都、杭州、西安，甲、乙、丙三人准备去这五座城市旅游，若每座城市只能去一人，且每座城市均有人选择去旅游．记事件“乙至少选择了两座城市旅游”，“甲只选择了北京旅游”，则（）A. B. C. D.8.已知函数，，若对，，使成立，则的取值范围是（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.在二项式的展开式中，下列说法正确的是（）A.二项式系数和为512 B.不存在常数项C.含项的系数为45 D.第6项的系数最大10.甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有2个红球，8个白球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球．表示事件“从甲罐取出的球是红球”，表示事件“从甲罐取出的球是白球”，表示事件“从乙罐取出的球是红球”．则下列结论正确的是（）A.为对立事件B.C.D.11.已知函数，则下列结论正确的是（）A.函数存在三个不同的零点B.函数既存在极大值又存在极小值C.若时，，则的最小值为D.若方程有两个实根，则第Ⅱ卷（共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若，则______.13.有5名学生做志愿者服务，将他们分配到图书馆、科技馆、养老院这三个地方去服务，每个地方至少有1名学生，则不同的分配方案有____种（用数字作答）.14.已知定义在上的偶函数的导函数为，且当时，恒有若有，则实数的取值范围为____四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知展开式中只有第5项的二项式系数最大.（1）求展开式中含的项；（2）设，求的值.16.已知函数，曲线在点处的切线与直线垂直．（1）求函数的单调区间和极值；（2）求证：当时，．17.某班级联欢会设置抽奖环节，在一个不透明的盒子中装有9个大小相同的小球，其中6个红球，3个白球.规定：每位同学从中一次性随机摸出3个球.（1）求某位同学摸出的红球个数多于白球个数的概率；（2）设随机变量表示该同学摸出的3个球中白球的个数，求的分布列并求其期望.18.甲，乙两人参加投篮比赛，比赛规则如下：首次投篮者由抽签决定，后续两人轮流投篮，每人每次投一个球，投进得1分，投不进不得分，两人投进与否相互独立，甲乙两人各完成一次投篮记为一轮比赛.比赛过程中，只要有选手领先对方2分，则该选手获胜且比赛结束（不管该轮比赛有没有完成）.已知甲每次投进的概率为，乙每次投进的概率为.第一轮投篮后甲乙两人各积1分的概率为.记比赛结束时甲乙两人的投篮总次数为.（1）求；（2）求在的情况下，乙获胜的概率；（3）求甲在3轮比赛之内获胜的概率.19.已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）对于函数，，若存在，使，则称函数与为“互补函数”，，为“互补数”.已知当时，函数与为“互补函数”且互补数为.（ⅰ）是否存在，使？并说明理由；（ⅱ）若，，请用含有的代数式表示的最小值.

数学满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（共58分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.函数的导函数为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据函数直接求解即可.解答过程.故选：D.2.已知，则不等式的解集是（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：因为，且等号仅在

时成立，所以在上严格单调递增，由可得，解得或，所以不等式的解集为.3.已知随机变量服从两点分布，且，设，那么的值是（

）A.0.84 B.0.7 C.0.4 D.0.3答案：A解析：思路：由已知结合两点分布的方差公式和方差性质即可求解.解答过程：因为随机变量服从两点分布，所以由题，又，所以.故选：A.4.设函数在上可导，其导函数为，且函数在处取得极小值，则函数的图象可能是（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：利用导数与函数极值点的关系判断可得出合适的选项.解答过程：因为函数在处取得极小值，在左侧附近，，此时，，在右侧附近，即存在，使得当，使得，此时，，C选项合乎题意.故选：C.5.甲、乙、丙、丁、戊五名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次．甲和乙去询问成绩，回答者对甲说“很遗憾，你和乙都没有得到冠军．”对乙说“你当然不会是最差．”从这两个回答分析，5人的名次排列可能有多少种不同情况？（）A.27种 B.36种 C.54种 D.72种答案：C解析：思路：甲、乙不是第一名且乙不是最后一名．乙的限制最多，故先排乙，有3种情况；再排甲，也有3种情况；余下的问题是三个元素在三个位置全排列，根据分步计数原理即可得到结果．解答过程：解：由题意得：甲、乙都不是第一名且乙不是最后一名．乙的限制最多，故先排乙，有3种情况；再排甲，也有3种情况；余下3人有种排法．故共有种不同的情况．故选：C.6.展开式中含项的系数为（）A. B. C.220 D.380答案：A解析：解答过程：的展开式的通项公式为Tk+1所以x+22x−167.某权威机构推荐，当前中国五大旅游城市为北京、上海、成都、杭州、西安，甲、乙、丙三人准备去这五座城市旅游，若每座城市只能去一人，且每座城市均有人选择去旅游．记事件“乙至少选择了两座城市旅游”，“甲只选择了北京旅游”，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：求出和，利用条件概率公式即可求解.解答过程：将这五座城市按1，1，3或1，2，2分成三组的方法数为，再安排给3人，总方法数为，其中乙至少选择了两座城市旅游的方法数为，所以，而事件与都发生的所有可能结果有，即，所以所求概率为．故选：C．8.已知函数，，若对，，使成立，则的取值范围是（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据二次函数的性质得到的值域，利用导数求出的值域，结合恒成立及存在性问题得到值域的关系，再列不等式求解．解答过程：解：函数，开口向下，对称轴为，时，，，，令，解得，则时，，单调递减，时，，单调递增，，又，则时，，对，，使成立，，，解得．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.在二项式的展开式中，下列说法正确的是（）A.二项式系数和为512 B.不存在常数项C.含项的系数为45 D.第6项的系数最大答案：BC解析：思路：求出展开式的通项，根据二项式系数的定义即可判断A；令的指数等于即可判断B；令的指数等于即可判断C；根据系数性质即可判断D.解答过程：的展开式通项为，，1，…，10，的二项式系数和为，故A不正确；令，解得，故展开式不存在常数，B正确；令，解得，故含项的系数为，C正确；当时，的展开式的第6项的系数为，当为奇数时系数小于0，当为偶数时，的展开式第5项与第7项的二项式系数分别为与相等且最大，D不正确；故选：BC.10.甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有2个红球，8个白球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球．表示事件“从甲罐取出的球是红球”，表示事件“从甲罐取出的球是白球”，表示事件“从乙罐取出的球是红球”．则下列结论正确的是（）A.为对立事件B.C.D.答案：ABD解析：思路：根据对立事件定义可判断A；根据条件概率及全概率公式计算可判断BCD.解答过程：对于A，因为甲罐中只有红球和白球，即，所以为对立事件，故A正确；对于B，当发生时，乙罐中有3个红球，8个白球，此时，故B正确；对于C，当发生时，乙罐中有2个红球，9个白球，此时，所以，故C不正确；对于D，，故D正确，故选：ABD．11.已知函数，则下列结论正确的是（）A.函数存在三个不同的零点B.函数既存在极大值又存在极小值C.若时，，则的最小值为D.若方程有两个实根，则答案：BD解析：思路：求导后，结合正负可得单调性；利用零点存在定理可说明零点个数，知A错误；根据极值定义可知B正确；采用数形结合的方式可求得CD正误.解答过程：定义域为，，当时，；当时，；在，上单调递减，在上单调递增；对于A，，，，在区间和内各存在一个零点；当时，，，恒成立；有且仅有两个不同的零点，A错误；对于B，由单调性可知：的极小值为，极大值为，B正确；对于C，，作出图象如下图所示，可知方程存在另一个解，若当时，，则，C错误；对于D，方程有两个实根等价于与有两个不同交点，作出图象如下图所示，结合图象可知：，D正确.故选：BD.第Ⅱ卷（共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若，则______.答案：4或7解析：思路：根据组合数的性质，列式计算可得答案.解答过程：由可得或，解得或，故4或713.有5名学生做志愿者服务，将他们分配到图书馆、科技馆、养老院这三个地方去服务，每个地方至少有1名学生，则不同的分配方案有____种（用数字作答）.答案：150解析：思路：由题意可知，由两种分配方案分别为2，2，1型或3,1,1型，每一种分配全排即可.解答过程：解：将5名志愿者分配到这三个地方服务，每个地方至少1人，其方案为2，2，1型或3,1,1型．其选法有或，而每一种选法可有安排方法，故不同的分配方案有150种．故答案为150．方法提示：本题考查了排列与组合的计算公式、“乘法原理”等基础知识与基本方法，属于中档题．14.已知定义在上的偶函数的导函数为，且当时，恒有若有，则实数的取值范围为____答案：解析：思路：构造函数，求导得到其单调性，判断奇偶性，可得，进而可解．解答过程：因为，

所以，

即，

设，

，

当时，恒有，

故时，，单调递减，，

则是偶函数，

则，

解得，即．

故．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知展开式中只有第5项的二项式系数最大.（1）求展开式中含的项；（2）设，求的值.答案：（1）；（2）0.解析：思路：（1）根据二项式系数的最大项求得，再利用二项式展开式的通项公式即可求得的项；（2）利用赋值法，即可容易求得结果.解答过程：（1）因为展开式中只有第5项的二项式系数最大，所以，，所以当时，.（2）令，得，又，所以方法提示：本题考查二项式系数的单调性，以及用二项式展开式通项公式求指定项系数，以及用赋值法求系数和，属综合基础题.16.已知函数，曲线在点处的切线与直线垂直．（1）求函数的单调区间和极值；（2）求证：当时，．答案：（1）在上单调递减，在上单调递增；，无极大值；（2）证明见解析.解析：思路：（1）由题意可得，从而可求出的值，然后由导函数的正负可求出函数的单调区间，从而可求出函数的极值，（2）由，令，求导后利用导数求出函数的最大值小于等于零即可解答过程：（1）解：定义域：，∵，∴，当时，；当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增；，无极大值．（2）证明：由（1）知，令，则，，，，∴，即在上单调递减，，∴当时，．17.某班级联欢会设置抽奖环节，在一个不透明的盒子中装有9个大小相同的小球，其中6个红球，3个白球.规定：每位同学从中一次性随机摸出3个球.（1）求某位同学摸出的红球个数多于白球个数的概率；（2）设随机变量表示该同学摸出的3个球中白球的个数，求的分布列并求其期望.答案：（1）（2）解析：0123思路：（1）利用古典概型的概率公式求解即可；（2）随机变量的可能取值并求出每个值的概率即可求解（1）从9个球中摸出3个球，共有种，其中红球个数多于白球个数的情况有：3红0白，2红1白两种情况，所以一共有种可能，所以摸出的红球个数多于白球个数的概率为.（2）由题意可得，且PX=0=PX=2=所以的分布列如下：0123.18.甲，乙两人参加投篮比赛，比赛规则如下：首次投篮者由抽签决定，后续两人轮流投篮，每人每次投一个球，投进得1分，投不进不得分，两人投进与否相互独立，甲乙两人各完成一次投篮记为一轮比赛.比赛过程中，只要有选手领先对方2分，则该选手获胜且比赛结束（不管该轮比赛有没有完成）.已知甲每次投进的概率为，乙每次投进的概率为.第一轮投篮后甲乙两人各积1分的概率为.记比赛结束时甲乙两人的投篮总次数为.（1）求；（2）求在的情况下，乙获胜的概率；（3）求甲在3轮比赛之内获胜的概率.答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）借助概率乘法公式计算即可得；（2）分析题意，分别计算出时的概率及时甲晋级的概率，再借助条件概率公式计算即可得；（3）可能为3、4、5、6，分类讨论，列出符合要求的所有情况并计算其概率后求和即可得.（1）由题意可知：∴（2）当时，甲，乙两人共投篮3次由于比赛结束，故有一人投篮2次全进，另一人投篮1次未进设“时，比赛结束”，“乙获胜”；（3）若甲在3轮比赛之内获胜，则两人可能的投篮总次数为3，4，5，6设“甲获胜”，“时比赛结束”当时，若甲胜，两人的投篮情况一定为：甲进，乙不进，甲进，∴当时，若甲胜，两人的投篮情况一定为：乙不进，甲进，