2025-2026学年山东省济南市历城第一中学高一下册4月份质量检测数学试题 含答案

/数学一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数是纯虚数，则z的共轭复数（）A.－1 B.－i C.i D.12.已知向量，，则在上的投影向量为（）A. B. C. D.3.已知在△ABC中，，若三角形有两解，则x的取值范围是()A. B.C. D.4.设m，n是不同的直线，是不同的平面，则下列命题正确的是（）A.，则 B.，则C.，则 D.，则5.已知为虚数单位，如果复数满足，那么的最小值是（）A.1 B. C.2 D.6.是所在平面内一定点，是平面内一动点，若，，则点为的（

）.A.重心 B.内心 C.垂心 D.外心7.在中，点为线段的中点，点满足，若，则的值为（）A. B. C. D.8.在中，角所对的边分别为，，，且，，则的最小值为（

）.A. B. C. D.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设，是复数，则下列说法正确的是（）A.若是纯虚数，则 B.若，则C.若，则 D.若，则10.如图，已知圆台上，下底面的圆心分别为，，半径分别为2和4，高为，四边形为圆台的轴截面，则（）A.圆台的母线长为6 B.圆台的体积为C.圆台的侧面积为24π D.圆台外接球的半径为411.如图，在棱长为2的正方体中，O为正方体的中心，M为的中点，F为侧面正方形内一动点，且满足平面，则（）A.动点F的轨迹是一条线段，线段长度为B.直线与的夹角的余弦值为C.三棱锥的体积为定值D.若过A，M，三点作正方体的截面，Q为截面上一点，则线段长度最小值为三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形.已知，，则四边形的面积是__________.13.已知一轴截面为正方形的圆柱体和一个小球的表面积相同，则此圆柱体与小球的体积之比为_____________.14.在复平面内，复数对应向量（为坐标原点），设，以射线为始边，为终边旋转的角为，则，法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：，，则，由棣莫弗定理可以推导出复数乘方公式：，已知，则______；若复数满足，则称复数为n次单位根，若复数是6次单位根，且，请写出一个满足条件的______．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知向量，，，．（1）当时，求实数的值；（2）当时，求向量与的夹角的余弦值．16.如图，在中，，，D是BC边上一点，且，（1）求的长；（2）若，求.17.如图，在四棱锥中，平面平面，底面是直角梯形，，，且，，，为的中点.（1）证明：平面；（2）求三棱锥的体积；（3）求二面角的余弦值.18.如图，在等腰梯形中，，，是边上一点（含端点），与交于点，设．（1）若，证明：；（2）若，，求的值；（3）求的取值范围．19.如图，设中角所对的边分别为为边上的中线，（1）求边的长度；（2）求的面积；（3）设点分别为边上的动点（含端点），线段交于，且的面积为面积的，求的取值范围.

数学一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数是纯虚数，则z的共轭复数（）A.－1 B.－i C.i D.1答案：C解析：思路：由复数的乘、除法运算化简复数z，再由共轭复数的定义即可得出答案.解答过程：，因为复数是纯虚数，所以，则，所以.故选：C.2.已知向量，，则在上的投影向量为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：由已知可得，，然后根据投影向量的计算公式求解即可.解答过程：因为，，所以，，所以在上的投影向量为.故选.3.已知在△ABC中，，若三角形有两解，则x的取值范围是()A. B.C. D.答案：C解析：思路：由题意判断出三角形有两解时，满足的不等关系求解即可．解答过程：因为，要使三角形有两解，就是要使以C为圆心，半径为2的圆与BA有两个交点，所以只需满足，即，解得.故选：C4.设m，n是不同的直线，是不同的平面，则下列命题正确的是（）A.，则 B.，则C.，则 D.，则答案：D解析：思路：举例说明判断ABC；利用线面垂直的性质判断D作答.解答过程：对于A，在长方体中，平面为平面，分别为直线，显然满足，而，此时不成立，A错误；对于B，在长方体中，平面，平面分别为平面，为直线，显然满足，而，此时不成立，B错误；对于C，在长方体中，平面，平面分别为平面，为直线，显然满足，而，此时不成立，C错误；对于D，因为，由线面垂直的性质知，，D正确.故选：D5.已知为虚数单位，如果复数满足，那么的最小值是（）A.1 B. C.2 D.答案：A解析：思路：直接利用复数模的几何意义求出点的轨迹．然后作图求解即可．解答过程：设在复平面内对应的点分别为，因，且，则复数对应的点的轨迹为线段，如图所示.故的最小值问题可理解为：动点在线段上移动，求的最小值，故只需作，交线段于点，则即为所求的最小值1，故的最小值是1.故选：A.6.是所在平面内一定点，是平面内一动点，若，，则点为的（

）.A.重心 B.内心 C.垂心 D.外心答案：C解析：思路：根据向量的四则运算结合垂直关系可知，，即可得结果.解答过程：因为，可知，又因为，可知，所以点为的垂心.故选：C.7.在中，点为线段的中点，点满足，若，则的值为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：利用平面向量基本定理根据题意将用表示出来，从而可求出，进而可求得结果.解答过程：因为点D为线段BC的中点，点E满足，所以，所以，消去，得，所以，所以，，所以．故选：D．8.在中，角所对的边分别为，，，且，，则的最小值为（

）.A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据向量垂直结合正、余弦定理可得，分析可知点在优弧上运动（不包括端点），结合数量积的几何意义运算求解.解答过程：因为，，且，则，利用正弦定理可得，整理可得，由余弦定理可得，且，则，又因为，可得的外接圆半径为，可知点在优弧上运动（不包括端点），过外接圆圆心作，当点与点重合时，在方向上的投影最小，此时根据数量积的几何意义可知：的最小值为.故选：D.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设，是复数，则下列说法正确的是（）A.若是纯虚数，则 B.若，则C.若，则 D.若，则答案：ACD解析：思路：对于A代入即可判断正误，对于B取特殊值验证即可，对于C设，求得即可判断正误，对于D设，代入验证即可求得.解答过程：对于A选项，，则，故A正确；对于B选项，取，，则，但且，所以B错误；对于C选项，设，则，所以，C正确；对于D选项，设，则由得，又，，故成立，D正确．故选：ACD．10.如图，已知圆台上，下底面的圆心分别为，，半径分别为2和4，高为，四边形为圆台的轴截面，则（）A.圆台的母线长为6 B.圆台的体积为C.圆台的侧面积为24π D.圆台外接球的半径为4答案：BCD解析：思路：根据题意，利用圆台的几何结构特征，求得圆台的母线长，可得判定A错误；利用圆台的体积公式，求得圆台的体积，可判定B正确；利用圆台的侧面积公式，求得圆台的侧面积，可判定C正确；设圆台的外接球的球心到上底面的距离为，利用球的截面圆的性质，求得，进而的球的半径，可判定D正确.解答过程：由题意知，圆台的上、下底面圆的半径分别为和，高，则圆台的母线长为，所以A错误；圆台的体积为，所以B正确；圆台的侧面积为，所以C正确；设圆台的外接球的球心到上底面的距离为，由球的截面圆的性质，可得，解得，所以球的半径为，所以D正确.故选：BCD.11.如图，在棱长为2的正方体中，O为正方体的中心，M为的中点，F为侧面正方形内一动点，且满足平面，则（）A.动点F的轨迹是一条线段，线段长度为B.直线与的夹角的余弦值为C.三棱锥的体积为定值D.若过A，M，三点作正方体的截面，Q为截面上一点，则线段长度最小值为答案：ACD解析：思路：取的中点H，G，连接，证明平面，，从而得到点F的轨迹长度判断A；由正方体的结构特征易知且为等边三角形，即可判断B；根据A得出平面，从而得到点F到平面的距离为定值，再结合的面积也为定值，即可判断C；设N为的中点，从而根据面面平行的性质定理得到截面即为面，利用等体积法可求线段长度最小值为.解答过程：对于A：如图分别取的中点H，G，连接，由正方体的性质可得，平面，平面，所以平面，同理可得平面，且，平面，所以平面，而平面，所以平面，所以点F的轨迹为线段GH，又，故A正确；对于B：由正方体的结构特征易知且为等边三角形，所以直线与的夹角为，即直线与的夹角的为，所以直线与的夹角的余弦值为，故B错误；对于C：由A知，点F的轨迹为线段GH，因为平面，则点F到平面的距离为定值，同时的面积也为定值，则三棱锥的体积为定值，故C正确；对于D：如图，设平面与平面交于AN，N在上．因为截面平面，截面平面，平面平面，所以，同理，所以截面为平行四边形，则点N为的中点．因为Q为截面上一点，则线段长度最小值即为到平面的距离，因为，，所以，，设到平面的距离为，因为，所以，所以，解得，所以线段长度最小值为，故D正确.故选：ACD.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形.已知，，则四边形的面积是__________.答案：解析：思路：根据题意和斜二测画法可知四边形为直角梯形，且，从而可求出原图形的面积.解答过程：过点作，则，在等腰中，.所以原图形中，所以.13.已知一轴截面为正方形的圆柱体和一个小球的表面积相同，则此圆柱体与小球的体积之比为_____________.答案：解析：思路：设小球的半径为，圆柱的底面半径为，高为，依题意可得且，即可得到，再根据球及圆柱的体积公式计算可得；解答过程：解：设小球的半径为，圆柱的底面半径为，高为，则且，即，所以，所以；故14.在复平面内，复数对应向量（为坐标原点），设，以射线为始边，为终边旋转的角为，则，法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：，，则，由棣莫弗定理可以推导出复数乘方公式：，已知，则______；若复数满足，则称复数为n次单位根，若复数是6次单位根，且，请写出一个满足条件的______．答案：①.16②.解析：思路：由已知可得，则，再由求解，由题意知，设，即可取一个符合题意的，即可得解．解答过程：解：，，则．由题意知，设，则，所以，又，所以，故可取，则故，（答案不唯一）．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知向量，，，．（1）当时，求实数的值；（2）当时，求向量与的夹角的余弦值．答案：（1）；（2）解析：思路：（1）由垂直关系的向量坐标表示可解；（2）由向量平行的坐标表示求出，再代入向量夹角公式可得.（1）由题意可得，因为，所以.（2），因为，所以，所以，所以，即向量与的夹角的余弦值为.16.如图，在中，，，D是BC边上一点，且，（1）求的长；（2）若，求.答案：（1）（2）解析：思路：（1）在中，利用正弦定理即可得解；（2）在中，先利用余弦定理求得，再利用正弦定理即可得解.（1）在中，，则，在中，，即，得.（2）因为在中，，所以，则，又，即，解得，所以.17.如图，在四棱锥中，平面平面，底面是直角梯形，，，且，，，为的中点.（1）证明：平面；（2）求三棱锥的体积；（3）求二面角的余弦值.答案：（1）证明见解析（2）（3）解析：思路：（1）取中点，通过证明四边形为平行四边形，从而得到，再由线面平行的判定即可证明；（2）由题知，根据面面垂直的性质可证平面，然后利用体积计算公式求解；（3）取的中点，连接，过作于，则为二面角的平面角，在中，可求，再得到即可.（1）取中点，连接，为的中点，为中点，所以，且，又，，，，所以有，且，所以四边形为平行四边形，则，又平面，平面，所以//平面．（2）底面是直角梯形，，平面，平面，所以//平面，则点到平面的距离等于点到平面的距离，所以三棱锥的体积，又为的中点，则点到平面的距离等于点到平面的距离的一半，所以，又，，，所以，故，又，，所以，平面平面，且平面平面，又平面，所以平面，故.（3）因为平面平面，且其交线为，又平面，，所以平面，取的中点，连接，在中，，分别为，的中点，所以，则平面，过作于，连接，则有，所以为二面角的平面角，在直角梯形中，，，所以，所以，又，所以，在中，，所以，又，解得：，即二面角的余弦值为．18.如图，在等腰梯形中，，，是边上一点（含