2025-2026学年山东省聊城市莘县实验高级中学高三下册5月考前模拟数学试题 含答案

/数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，，则（）A. B. C. D.2.复数的虚部为（）A.2 B. C.3 D.3.某品牌汽车过去6个月的销量（单位：万辆）分别为3.2，2.8，1.5，1.8，2.4，1.7，则这组数据的中位数为（）A.1.8 B.2 C.2.1 D.2.44.已知等差数列的前项和为，若，，则的公差（）A.1 B.2 C.3 D.45.函数是（）A.最小正周期为的奇函数 B.最小正周期为的奇函数C.最小正周期为的偶函数 D.最小正周期为的偶函数6.已知三棱锥的顶点均在球的球面上，且球心在棱上，若球的表面积为，则三棱锥的体积最大值为（）A. B.2 C. D.7.已知定义在上的函数，的图象分别关于点，对称，则下列点一定是函数的图象的对称中心是（）A. B. C. D.8.在中，是边的中点，为边上一点，连接，交于点，若，，，则（）A. B. C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知正数满足，则（）A. B.的最小值为2C.的最小值为9 D.的最小值为110.已知数列满足，其前项和记为，则下列说法正确的是（）A.若，则是等差数列 B.若，则为等比数列C.若，则，，成等差数列 D.若，则为等比数列11.已知抛物线的焦点为，，是上两动点，线段的中点为，则下列说法正确的是（）A.若直线的方程为，则的最小值为4B.若点的横坐标为3，则线段的垂直平分线恒过点C.若，则点的横坐标的最小值为D.若，则点的横坐标的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若，则实数的取值范围是__________.13.已知函数的图象经过点，若在内没有零点，则的最大值为__________.14.已知椭圆的下顶点为，右焦点为，直线的斜率存在，且与交于，两点.若，则的斜率的取值范围是__________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在锐角中，内角，，的对边分别为，，，已知.（1）求；（2）若，求的取值范围.16.心理学研究表明，人类学习新知识后，记忆留存会随时间先快后慢逐渐下降.同学甲为了解自己的记忆能力，他先练习背诵一首古诗，然后分别在练习结束后20分钟、1小时、1天这三个时间节点进行测试，假设他在这三个时间节点完成背诵的概率依次为，，，且每次是否完成互不影响.（1）若已知甲在3次测试中恰好完成背诵2次，求他在1小时这个时间节点没有完成背诵的概率；（2）设表示甲在3次测试中完成背诵的次数，求的分布列及数学期望.17.如图，在多面体中，四边形为矩形，平面，，，，为的中点.（1）证明：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值.18.已知函数，.（1）若曲线在点与处的切线互相平行，求的值.（2）若有两个极值点，其中.（i）求的取值范围；（ii）当取得最小值时，求的值.19.已知是双曲线上任意一点.（1）证明：点到的两条渐近线的距离之积为定值.（2）若在第一象限，过点作倾斜角为的直线与轴交于点，按照如下方式依次作直线：过点作倾斜角为的直线与轴交于点，且使得，直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，，记.（i）求数列的通项公式；（用表示）（ii）若正项数列满足，则当时，求的前项和.

数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，，则（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：由题意得，集合，再根据并集的定义可得.2.复数的虚部为（）A.2 B. C.3 D.答案：B解析：解答过程：，则复数的虚部为3.某品牌汽车过去6个月的销量（单位：万辆）分别为3.2，2.8，1.5，1.8，2.4，1.7，则这组数据的中位数为（）A.1.8 B.2 C.2.1 D.2.4答案：C解析：解答过程：从小到大排列得，再根据中位数的定义可知这组数据的中位数为.4.已知等差数列的前项和为，若，，则的公差（）A.1 B.2 C.3 D.4答案：B解析：思路：利用等差数列的通项公式和前n项和公式，联立关于首项和公差的方程求解即可.解答过程：设等差数列的首项为，公差为，.根据等差数列通项公式得，变形为

①；根据等差数列前项和公式得：

，化简得

②；将①代入②得：，解得.5.函数是（）A.最小正周期为的奇函数 B.最小正周期为的奇函数C.最小正周期为的偶函数 D.最小正周期为的偶函数答案：A解析：思路：先判断函数奇偶性排除偶函数选项，再化简函数求解最小正周期.解答过程：函数的定义域是关于原点对称，，所以是奇函数，所以选项C,D错误，，其中的最小正周期为π，的最小正周期为π，经验证，不存在更小的正周期，故的最小正周期为π，选项B错误；选项A正确.6.已知三棱锥的顶点均在球的球面上，且球心在棱上，若球的表面积为，则三棱锥的体积最大值为（）A. B.2 C. D.答案：C解析：思路：先由球的表面积求出半径，结合球心在上可知为直径、为直角三角形，分别求出的最大面积和点到平面的最大距离，代入三棱锥体积公式即可得最大值.解答过程：设球的半径为，则有，解得，又因为球心在棱上，所以为直径且，所以为直角三角形，且,要使棱锥的体积最大，则的面积最大，且点到平面的距离也要最大，当平面时，最大，此时,又,当且仅当时，等号成立；设三棱锥的体积为，所以，所以.7.已知定义在上的函数，的图象分别关于点，对称，则下列点一定是函数的图象的对称中心是（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：由题意得，，，则，则的图象的对称中心是8.在中，是边的中点，为边上一点，连接，交于点，若，，，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据余弦定理、平面向量加法的几何意义，结合锐角三角函数定义、正弦定理进行求解即可.解答过程：设，，因为，所以，因为是边的中点，且，所以，在中，由余弦定理，得，所以有，解得，，或舍去，所以，是边的中点，因此，所以，，所以，，，由正弦定理，得.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知正数满足，则（）A. B.的最小值为2C.的最小值为9 D.的最小值为1答案：AC解析：思路：先根据对数的运算法则对已知等式进行化简，得到的关系，然后根据基本不等式逐一验证.解答过程：，解得，即，选项A正确；，即，则，所以的最小值为4，选项B错误；，则，，当且仅当，时等号成立，即，选项C正确；，当且仅当时成立，而，则，所以取不到，选项D错误.10.已知数列满足，其前项和记为，则下列说法正确的是（）A.若，则是等差数列 B.若，则为等比数列C.若，则，，成等差数列 D.若，则为等比数列答案：ABC解析：思路：将代入，可得，从而得，即可判断Ａ；将代入，得，由等比数列的定义即可判断B，结合B，可得，分别求出，，的值，根据等差数列的定义判断C；将代入，求得，进而得，再根据等比数列的定义判断D．解答过程：对于A，当时，则，所以，所以数列是每项均为0的等差数列，故A正确；对于B，当时，则，所以，所以是以为首项，为公比的等比数列，故B正确；对于C，由B可知当时，，所以，所以，，，所以，所以，，成等差数列，故C正确；对于D，当时，则，所以，所以数列是等比数列，其首项为，公比为，所以，所以，所以，所以，所以，此结果与有关，不是常数，所以不是等比数列，故D错误．11.已知抛物线的焦点为，，是上两动点，线段的中点为，则下列说法正确的是（）A.若直线的方程为，则的最小值为4B.若点的横坐标为3，则线段的垂直平分线恒过点C.若，则点的横坐标的最小值为D.若，则点的横坐标的最小值为答案：ABD解析：思路：根据题意，得到恒过焦点，结合抛物线的性质，可判定A正确；利用点差法，求得的，得出垂直平分线的方程，可判定B正确；利用抛物线的焦点弦的性质，结合三角不等式，可判定C错误；设直线，联立方程组，由，化简得到，令，求得，结合对勾函数的性质，可判定D正确.解答过程：对于A，由抛物线，其焦点为，准线方程为，直线的方程为，即，此时直线恒过定点即直线恒过焦点，根据抛物线的性质得，当直线垂直于轴时，即通径时，弦长最短，此时的最小值，所以A正确；对于B，设，因为点的横坐标为，即，可得，因为在抛物线，可得，两式相减，可得，则，即，即线段垂直平分线的斜率为，此时垂直平分线的方程为，整理得，当时，可得，所以垂直平分线的方程恒过点，所以B正确；对于C，由抛物线的定义，可得，则，根据三角不等式，可得，当且仅当三点共线时，等号成立，因为，所以，即，解得，所以点的横坐标的最小值为，所以C不正确；对于D，由选项A知：当直线过焦点时，，因为，所以直线一定不过焦点，设直线，联立方程组，整理得，则，且，则，又由，即，可得，即，令，则，整理得，设，则，可得，令，可得函数在上为单调递增函数，所以，即的最小值为，所以D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若，则实数的取值范围是__________.答案：解析：解答过程：满足底数且，由，可得或，结合且，可得，故由，可得，即，解得或，故实数的取值范围是.13.已知函数的图象经过点，若在内没有零点，则的最大值为__________.答案：解析：思路：根据题意，求得或，取或，结合三角函数的图象与性质，即可求解.解答过程：因为函数的图象经过点，可得，解得或，取，可得或，当时，因为，可得，因为函数在内没有零点且，则满足，解得，若的最大值为，则，由，可得，此时在内没有零点，符合题意；当时，因为，可得，因为函数在内没有零点且，则满足，解得，若的最大值为，则，由，可得，此时在内没有零点，符合题意，综上可得，实数的最大值为.14.已知椭圆的下顶点为，右焦点为，直线的斜率存在，且与交于，两点.若，则的斜率的取值范围是__________.答案：解析：思路：首先根据向量关系得到两点的坐标和，利用点差法求直线的斜率表达式，然后利用中点在椭圆内推导参数关系，进而得到斜率的取值范围.解答过程：设点，，点，，，，，的中点为，，相减得，，的中点在椭圆内，所以，化简得，则，令，因为，函数单调递增，所以，.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在锐角中，内角，，的对边分别为，，，已知.（1）求；（2）若，求的取值范围.答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用正弦定理，结合三角形内角和定理与三角恒等变换化简等式可得答案；（2）利用余弦定理结合三角形是锐角三角形可得答案.（1）由题意得，，化简得，由是锐角三角形，所以，可得，再由是锐角三角形，可知，故；（2）由（1）知，由余弦定理得，即，因为是锐角三角形，所以，即，代入得，解得.16.心理学研究表明，人类学习新知识后，记忆留存会随时间先快后慢逐渐下降.同学甲为了解自己的记忆能力，他先练习背诵一首古诗，然后分别在练习结束后20分钟、1小时、1天这三个时间节点进行测试，假设他在这三个时间节点完成背诵的概率依次为，，，且每次是否完成互不影响.（1）若已知甲在3次测试中恰好完成背诵2次，求他在1小时这个时间节点没有完成背诵的概率；（2）设表示甲在3次测试中完成背诵的次数，求的分布列及数学期望.答案：（1）（2）数学期望0123解析：思路：（1）根据互斥事件概率加法公式及独立事件概率乘法公式求得甲在3次测试中恰好完成背诵2次的概率，再根据条件概率公式求得在此条件下，他在1小时这个时间节点没有完成背诵的概率；（2）易知的可能情况为，分别求得各种情况发生的概率，即可得的分布列，并求得其数学期望.（1）记甲在第次完成背诵为事件.甲在3次测试中恰好完成背诵2次为事件.则；，所以.（2）易知的可能情况为，，，，.所以的分布列为所以的数学期望为.17.如图，在多面体中，四边形为矩形，平面，，，，为的中点.（1）证明：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值.答案：（1）证明见解析（2）解析：思路：（1）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，通过证明与该法向量垂直可证得平面；（2）利用两个平面的夹角的向量求法可求得平面与平面夹角的余弦值.（1）因为四边形为矩形，平面，所以两两垂直，如图所示，以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系.因为，所以平面.又，，为的中点，所以，所以，设平面的法向量为，则.令，则，所以平面的一个法向量为.因为，所以，因为平面，所以平面.（2）在（1）的坐标系中，.设平面的一个法向量为，则，令，则平面的一个法向量为.设平面的一个法向量为，则，令，则平面的一个法向量为.，所以平面与平面夹角的余弦值为.18.已知函数，.（1）若曲线在点与处的切线互相平行，求的值.（2）若有两个极值点，其中.（i）求的取值范围；（ii）当取得最小值时，求的值.答案：（1）0；（2）（i）；（ii）1解析：思路：（1）根据导数的几何意义计算求解；（2）（i）通过导数分析辅助函数的单调性与极值，利用其最大值恒正、两端趋向负无穷的趋势，即可确定的取值范围；（ii）设，通过极值点条件联立消参，构造函数与分析单调性，找到取到最大时对应的，进而求得的值.（1）因为，由题意知：，代入得，解得所以的值为0.（2）（i）由题意知有两个不同的正数解,令，即在上有两个不同的变号零点，因为，当时，，在上单调递增，不可能有两个零点；当时，令，得，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以在处取得最大值，最大值为，令，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以在取到最小值为，所以恒成立，所以，而当时，，时，，故当时，在上总有两个不同的零点，即有两个极值点.因此的取