2026年福建省福州市福九联盟高三下册5月适应性练习数学试题 含答案

/数学考试时间：5月27日完卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若，则（）A. B. C. D.2.，，则（）A. B. C. D.3.在中，点满足，为的中点，则（）A. B. C. D.4.记为数列的前项和，则最小时，的值为（）A.8 B.9 C.10 D.115.已知，则（）A. B. C. D.6.已知，若，则（）A.0 B.1 C.2 D.37.已知：与交于A，B两点，且四边形的面积为，则的方程不可能是（）A. B.C. D.8.中，，设为的内心，，则（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数的部分图象如图所示，，分别为图象与轴，轴的交点，则（）A.B.在上不单调C.点为的对称中心D.将图象上各点的横坐标缩短到原来的，得到函数的图象10.在棱长为2的正方体中，为的中点，点在线段上，则（）A.当点为的中点时，在上的投影向量的模为1B.三棱锥体积的最大值为C.对于任意点，都有D.点到直线的距离的最小值为11.定义在R上函数与满足：，，，为偶函数，且恒成立，已知，则（）A. B.为偶函数 C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若函数为奇函数，则____．13.已知五个整数的平均数为10，方差为，按从小到大的顺序写出一组满足条件的五个整数____．14.已知椭圆：（）的右焦点与抛物线的焦点重合，的中心与的顶点重合，是椭圆的左焦点，是与的公共点，若，则椭圆的离心率的取值范围为_______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知，在处的切线方程为．（1）求、的值；（2）判断的零点个数．16.以下是面点师拉面中“对折拉伸”过程的简化数学模型：如图，在数轴上截取与闭区间对应的线段，对折后（坐标4所对应的点与原点重合）再均匀的拉成4个单位长度的线段，这一过程称为一次操作（如图2所示：在第一次操作完成后，恰好拉到与4重合的原闭区间上的点的坐标为2、与2重合的原闭区间上的点的坐标为1、3），不断重复这样的操作．（1）求在第3次操作完成后，恰好拉到与4重合的原闭区间上（除两个端点外）的点的坐标；（2）用集合表示在第次操作完成后（），恰好被拉到与4重合的原闭区间上（除两个端点外）的点的坐标（此步无需给出严格的推理论证），并记该集合中所有的元素的和为，求使得成立的的最小值．17.在平面直角坐标系中，点与的距离和到：的距离之比是2，点构成的轨迹为．（1）求的方程；（2）设点在直线上，过的两条直线和与轨迹都只有一个交点，分别为与，是否存在点使得．若存在，求出点坐标，若不存在，说明理由．18.蜂巢（图1）是由许多正六边形的中空柱状体（蜂房）连接而成，其设计有着深刻的数学原理，我国著名数学家华罗庚曾专门研究蜂房的结构，著有《谈谈与蜂房结构有关的数学问题》．用数学的眼光去看蜂房的结构，如图2在正六棱柱的三个顶点A、C、E处分别用平面，平面，平面截掉三个相等的棱锥，，，平面，平面，平面交于一点，则这三个平面与正六棱柱的侧面与底面围成了封闭的几何体，就形成了蜂房结构．已知，．（1）求该正六棱柱内半径最大的球的体积；（2）判断四边形是否为菱形，并证明你的结论；（3）求当蜂房结构的表面积最小时，求平面与平面所成的锐二面角的正切值．19.设为不小于3的正整数，记有限集，若存在U的两个非空真子集A，B，满足：①；②；③A中所有元素的和与B中所有元素的和相等，则称A，B为一对平衡互补子集，并称A，B中任意一个为平衡子集．约定：不计顺序互换视为同一对，空集、全集不纳入统计，记满足条件的平衡互补子集的总对数为．（1）当时，从集合的所有非空真子集中随机抽取一个，求该子集是平衡子集的概率；（2）设，记，求证：；（3）设，从集合的所有非空真子集中，每次等可能抽取一个．独立重复抽取次，记至少一次抽到平衡子集的概率为，证明：．

数学考试时间：5月27日完卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若，则（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：，则．2.，，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：将全集利用列举法表示出来，利用集合的运算法则直接求解．解答过程：因为，，故在中不在中的元素为；故．3.在中，点满足，为的中点，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据向量的线性运算计算即可.解答过程：如图，.4.记为数列的前项和，则最小时，的值为（）A.8 B.9 C.10 D.11答案：B解析：思路：根据数列的通项可知，数列中先从负数变为正数，故前n项和先减后增，在最后一项负数处取最小值．解答过程：令，；故时，，越来越小；故时，，从第10项开始，各项为正，开始变大；故最小．5.已知，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据二倍角的正、余弦公式，两角和的正切公式求解.解答过程：因为，所以，.6.已知，若，则（）A.0 B.1 C.2 D.3答案：C解析：解答过程：由，得，，.令（且），则，，；；且，.，即；，即，解得.7.已知：与交于A，B两点，且四边形的面积为，则的方程不可能是（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：根据选项分析得两圆半径相等，四边形为菱形，相交弦与圆心连线垂直平分，由面积公式和几何关系解得圆心距只能为2或，计算各选项圆心到原点的距离，只有D不满足，故D不可能.解答过程：所有选项中的半径均为2，已知半径也为2，因此四边形

是边长为2的菱形，如图所示，四边形

面积为，其中，设，代入

得方程解得

或

.选项A：圆心

，，符合条件；选项B：圆心

，，符合条件；选项C：圆心

，，符合条件；选项D：圆心

，，不符合条件，因此，的方程不可能是D.8.中，，设为的内心，，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：在和中同时使用正弦定理，得到和的关系，再利用，得到，最后再次运用正弦定理得到.解答过程：因为是的内心，所以，可设，则有，，在中，由正弦定理得①，同理在中，由正弦定理得②，①②相比得，即，得，因为，所以，由①可得.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数的部分图象如图所示，，分别为图象与轴，轴的交点，则（）A.B.在上不单调C.点为的对称中心D.将图象上各点的横坐标缩短到原来的，得到函数的图象答案：ABD解析：思路：A：代入点坐标求，结合点对应相位，得到​，选项正确；B：换元求出时内层角的范围，依据正弦函数单调性，判定区间内先增后减、不单调，选项正确；C：代入横坐标算函数值不等于0，不满足对称中心特征，选项错误；D：横坐标伸缩变换后用诱导公式化简，和目标余弦式一致，选项正确.解答过程：已知，，，代入得，结合，得.由图像，是下降沿的零点，对应相位，即，解得​，因此.故A正确；当时，令，则.

在递增，在递减，因此在先增后减，不单调，故B正确；计算，正弦函数对称中心的函数值为0，因此该点不是对称中心，C错误；将横坐标缩短到原来的，得新函数，由诱导公式化简：得符合描述，D正确.10.在棱长为2的正方体中，为的中点，点在线段上，则（）A.当点为的中点时，在上的投影向量的模为1B.三棱锥体积的最大值为C.对于任意点，都有D.点到直线的距离的最小值为答案：BC解析：思路：建立空间直角坐标系，由相关公式判断AD；B选项，等体积法得到三棱锥体积最大值；C选项，证明线面垂直，由线面垂直得到线线垂直解答过程：A选项，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，故，则，所以，在的投影向量的模为，A错误；B选项，，当点与点重合时，点到平面的距离最大，最大值为，三棱锥体积的最大值为，B正确；C选项，因为⊥平面，平面，所以⊥，因为，，平面，所以⊥平面，又平面，所以，对于任意点，都有，C正确；D选项，设，，，则，故，所以，所以，，故，点到直线的距离，故当时，取得最小值，最小值为，D错误.11.定义在R上函数与满足：，，，为偶函数，且恒成立，已知，则（）A. B.为偶函数 C. D.答案：AC解析：思路：A.令，由得；代入及得；B.由是偶函数及式令，得，因得，应为奇函数；C.令推得恒等式，代入已知得，故；D.令，则，得，再由得，故，而非.解答过程：令，代入式得，整理得，由题，故，代入式得，代入得，又恒成立，故.选项A正确；已知为偶函数，即，令，代入式得，代入和得，又，故，即是奇函数，不是偶函数.选项B错误；对任意，令，得，而，因此对任意恒有，即.已知，代入得，整理得.选项C正确；由满足，得，即.再代入得，即.选项D错误.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若函数为奇函数，则____．答案：1解析：解答过程：函数定义域为，关于原点对称，因为函数为奇函数，所以，，，所以，即，整理得对定义域内的恒成立，解得.13.已知五个整数的平均数为10，方差为，按从小到大的顺序写出一组满足条件的五个整数____．答案：9，9，10，10，12或8，10，10，11，11解析：思路：设这5个数分别为，且，由题意可得且，对6进行分解后求解即可.解答过程：设这5个数分别为，且，则有，且，所以，又因为是整数，平均数为10，所以，又因为或，当时，即有两个数与10的差的平方为1，有两个数与10的差的平方为0，有一个数与10的差的平方为4；又因为，所以，此时这组数为；当时，即有一个数与10的差的平方为4，有两个数与10的差的平方为0，有两个数与10的差的平方为1；又因为，所以，此时这组数为；综上，这组数据为或.14.已知椭圆：（）的右焦点与抛物线的焦点重合，的中心与的顶点重合，是椭圆的左焦点，是与的公共点，若，则椭圆的离心率的取值范围为_______．答案：解析：思路：根据抛物线和椭圆的性质求出抛物线方程，利用大角对大边，结合椭圆的定义和抛物线焦半径公式构造不等式，联立椭圆与抛物线方程求出，进而解关于的不等式求出离心率的取值范围．解答过程：椭圆右焦点与抛物线的焦点重合且的中心与的顶点重合，则抛物线的方程为，在中，的对边，的对边，由可得，由椭圆的定义可得，则，解得，由抛物线焦半径公式：，则，则，联立椭圆与抛物线方程可得：，由求根公式得，由得，，故，则，故，，．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知，在处的切线方程为．（1）求、的值；（2）判断的零点个数．答案：（1），（2）只有一个零点解析：（1）由，求导得.，切线斜率为，则.，切点代入切线得.故，.（2），.设，.当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，所以恒成立，在上单调递增.又，，所以使得故只有一个零点．16.以下是面点师拉面中“对折拉伸”过程的简化数学模型：如图，在数轴上截取与闭区间对应的线段，对折后（坐标4所对应的点与原点重合）再均匀的拉成4个单位长度的线段，这一过程称为一次操作（如图2所示：在第一次操作完成后，恰好拉到与4重合的原闭区间上的点的坐标为2、与2重合的原闭区间上的点的坐标为1、3），不断重复这样的操作．（1）求在第3次操作完成后，恰好拉到与4重合的原闭区间上（除两个端点外）的点的坐标；（2）用集合表示在第次操作完成后（），恰好被拉到与4重合的原闭区间上（除两个端点外）的点的坐标（此步无需给出严格的推理论证），并记该集合中所有的元素的和为，求使得成立的的最小值．答案：（1），，，；（2）集合为，的最小值为11解析：思路：（1）找规律，得到第3次操作完成后，恰好拉到与4重合的点的坐标；（2）在（1）基础上，得到点的坐标，并由等差数列求和公式得到，解不等式，得到答案.（1）第一次操作，原来坐标2，即0，4的中点变为4，只有1个；第二次操作，原来坐标1，3，即0，2的中点以及2，4的中点变为4，有2个；第三次操作，原来坐标0，1的中点，1，2的中点，2，3的中点以及3，4的中点变为4，共4个；（2）根据前三次推导，可得第次操作后，1，2和2，3和3，4，……，的中点变为4，故点的集合为；则，故，解得，又为正整数，故的最小值为11．17.在平面直角坐标系中，点与的距离和到：的距离之比是2，点构成的轨迹为．（1）求的方程；（2）设点在直线上，过的两条直线和与轨迹都只有一个交点，分别为与，是否存在点使得．若存在，求出点坐标，若不存在，说明理由．答案：（1）（2）不存在；理由如下:由题可知直线和斜率必然存在.故设与相切的直线方程为，不妨记为，其中，联立可得，，即，代入可得，化简可得，，其两个根恰为直线，的斜率，，故有，，如图,设直线倾斜角为,直线倾斜角为,则.则,其中所以.所以故不存在点使得．解析：思路：（1）设动点,根据点距与线距的比值为2列等式,通过平方化简整理,求得点的轨迹方程为双曲线.（2）设上的点,设过的切线方程并联立双曲线方程,利用直线与双曲线相切的判别式为0,整理得到关于切线斜率的一元二次方程.利用韦达定理得出两切线斜率的和与积,代入两直线夹角公式化简,得到.由代数式取值范围得该正切值最大值为,小于,因此不存在满足条件的点.（1）设，由题意，，到距离.，代入比例：两边平方.展开.整理得，即.故轨迹.（2）略18.蜂巢（图1）是由许多正六边形的中空柱状体（蜂房）连接而成，其设计有着深刻的数学原理，我国著名数学家华罗庚曾专门研究蜂房的结构，著有《谈谈与蜂房结构有关的数学问题》．用数学的眼光去看蜂房的结构，如图2在正六棱柱的三个顶点A、C、E处分别用平面，平面，平面截掉三个相等的棱锥，，，平面，平面，平面交于一点，则这三个平面与正六棱柱的侧面与底面围成了封闭的几何体，就形成了蜂房结构．已知，．（1）求该正六棱柱内半径最大的球的体积；（2）判断四边形是否为菱形，并证明你的结论；（3）求当蜂房结构的表面积最小时，求平面与平面所成的锐二面角的正切值．答案：（1）（2）四边形是菱形，证明如下：连接，，，，，为平行四边形，，同理可得，又，，为平行四边形，故，又平面，平面平面，又平面，平面平面，故，同理可得，又，故四边形为菱形．（3）解析：思路：（1）分别计算出球与棱柱的六个侧切和球与棱柱的上下底切时的半径，即可得答案；（2）由题意可证四边形、为平行四边形，由线面平行的性质定理可得，，再由，即可得结论；（3）由二面角的定义可得为平面与平面所成的锐二面角的平面角，进行可得，：法1：利用换元思想及基本不等式求解即可；法2：令，可视为与两点连线的斜率，利用直线与圆的位置关系进行求解即可.（1）当球与棱柱的六个侧切时，其底面正六边形的内切圆半径为边长的，所以球的半径为，而当球与棱柱的上下底切时，半径为10，，故该六棱柱内体积最大的球的半径为，故其体积为；（2）略.（3）取中点K，连接、，由，为等腰三角形，可得，，为平面与平面所成的锐二面角的平面角,设，，，，,，，法1：，令，，其中，又，，故当时即时即故当蜂房结构的表面积最小时，平面与平面所成的锐二面角的平面角的正切值为．法2：令，可视为与两点连线的斜率，即圆在第一象限内的一点与两点连线的斜率，由图形可知，当直线与圆相切时，斜率取得最大值，函数取得最小值，由图可知，此时，故当蜂房结构的表面积最小时，平面与平面所成的锐二面角的平面角的正切值为．19.设为不小于3的正整数，记有限集，若存在U的两个非空真子集A，B，满足：①；②；③A中所有元素的和与B中所有元素的和相等，则称A，B为一对平衡互补子集，并称A，B中