极限存在准则两个重要极限公式

极限存在准则两个重要极限公式第1页，共33页。极限存在准则两个重要极限公式第2页，共33页。例1解7/4/20263第3页，共33页。1.夹逼准则准则I证:由条件(2),当时,当时,令则当时,有由条件(1)即故7/4/20264第4页，共33页。我们可将准则I推广到函数的情形：准则I′且注意:准则I和准则I′统称为夹逼准则..,的极限是容易求的与并且与关键是构造出利用夹逼准则求极限7/4/20265第5页，共33页。例27/4/2026第6页，共33页。例2解：由夹逼准则得7/4/20267第7页，共33页。解:利用夹逼准则.且由？1211lim222=øöçèæ++++++¥®pppnnnnnnL7/4/20268第8页，共33页。夹逼准则不仅说明了极限存在，而且给出了求极限的方法．下面利用它圆扇形AOB的面积证:当即亦即时，显然有△AOB

的面积＜＜△AOD的面积故有注证明一个重要的极限公式：

第9页，共33页。7/4/2026第10页，共33页。例3求解:例4求（课本例）解:令则因此原式注:利用变量代换，可得更一般的形式7/4/202611第11页，共33页。例5求（补充题）解:例6求（课本）解:7/4/202612第12页，共33页。2.单调有界准则数列单调增加单调减少准则II单调有界数列必有极限单调上升有上界数列必有极限单调下降有下界数列必有极限说明:(1)在收敛数列的性质中曾证明：收敛的数列一定有界，但有界的数列不一定收敛．(2)利用准则II来判定数列收敛必须同时满足数列单调和有界这两个条件．7/4/202613第13页，共33页。(3)准则II只能判定数列极限的存在性，而未给出求极限的方法．例如，数列，虽然有界但不单调；，虽然是单调的，但其无界，易知，这两数列均发散．数列(4)对于准则II，函数极限根据自变量的不同变化过程也有类似的准则，只是准则形式上略有不同.例如，准则II′

设函数在点的某个左邻域内单调在的左极限必存在．并且有界，则7/4/202614第14页，共33页。作为准则II的应用，我们讨论一个重要极限：首先，证是单调的．证7/4/202615第15页，共33页。类似地,7/4/2026第16页，共33页。其次，证有界．7/4/2026第17页，共33页。通常用字母来表示这个极限，即也可以证明，当取实数而趋于或时，函数的极限都存在且都等于，即利用变量代换，可得更一般的形式7/4/202618第18页，共33页。

三.两个重要极限7/4/202619第19页，共33页。例1求下列极限7/4/2026第20页，共33页。例1求下列极限7/4/202621第21页，共33页。7/4/202622第22页，共33页。7/4/202623第23页，共33页。证证毕第24页，共33页。例2求例3例4例5例6第25页，共33页。例1解:例2求解:7/4/202626第26页，共33页。例4解例3解令,则当时,,因此第27页，共33页。例5例6第28页，共33页。

课堂练习题一、求下列极限：1、4、2、5、3、二、已知7/4/2026第29页，共33页。内容小结1.极限存在的两个准则夹逼准则;单调有界准则.2.两个重要极限或注:代表相同的表达式7/4/202630第30页，共33页。思考与练习