第13讲 函数的零点与方程的解（原卷版及参考答案）

第13讲函数的零点与方程的解TOC\o"1-2"\h\u题型一函数零点所在区间的判定 2题型二函数零点个数的判定 3题型三根据函数零点求参数 4题型四复合函数零点问题 6课时精练 8【基础回顾】知识点1：函数的零点与方程的解（1）函数零点的概念对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫作函数y＝f(x)的零点。（2）函数零点与方程实数解的关系方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图像与x轴有公共点。（3）函数零点存在定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解。知识点2：二分法对于在区间[a，b]上图像连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫作二分法。【必备知识】若连续不断的函数f（x）是定义域上的单调函数，则f（x）至多有一个零点。题型一函数零点所在区间的判定确定函数零点所在区间的常用方法（1）利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是否连续；再看是否有f(a)·f(b)<0，若有，则函数y＝f(x)在区间（a，b）内必有零点。（2）数形结合法：通过画函数图像，观察图像与x轴在给定区间上是否有交点来判断。【例题精讲】1．（2026·天津·二模）函数fx=logA．7,8 B．8,9 C．9,10 D．10,112．（2026·山东泰安·一模）函数f(x)=(x−1)2x−26A．(1,2) B．(2,3) C．(3,4) D．(4,5)3．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）函数fx=kx−4+xlog2x在区间1,4A．−4,1 B．−4,1 C．−1,4 D．−1,44．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·月考）已知函数f(x)=b+33x+1是定义在R上的奇函数，若函数y=f(x−3n+b)的零点在区间−2,2内，则实数A．−23,13 B．−75．（25-26高二上·湖南长沙·月考）已知函数f(x)=lnx+2x−5的零点x0∈(k,k+1)，则整数A．0 B．1 C．2 D．36．（25-26高一上·山东菏泽·月考）已知函数f(x)=lnx+4x−9，利用二分法求函数f(x)在(2,3)内的零点的近似值，则使用两次二分法后，零点所在的区间为（A．(2,94) B．(94,7．（25-26高一上·贵州贵阳·月考）函数f(x)=log2(x+1)−A．(−2,−1) B．(−1,0) C．（多选）8．（25-26高一上·山东淄博·期中）下列结论中正确的是（

）A．若a>b>0，m<0，则b+mB．函数fx=C．函数fx=3ax−1−2a>0D．函数fx的定义域为3,9，则f3（多选）9．（25-26高一下·湖南·月考）下列说法正确的是（

）A．若函数f(x)的定义域为(−1,2)，则函数f(x−1)的定义域为(0,3)B．不等式x2+kx+1>0对一切实数xC．函数f(x)=3x+2x−4D．若a>0，b>0，1a+1（多选）10．（25-26高一上·新疆克拉玛依·期末）函数f(x)=lnx+2x−6的零点所在区间为（A．(3,5) B．(2,4) C．(1,3) D．(4,6)题型二函数零点个数的判定求解函数零点个数的基本方法（1）直接法：令f(x)＝0，方程有多少个不同的实数根，则f（x）有多少个零点。（2）定理法：利用函数零点存在定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等。（3）图像法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图像的交点个数得出函数的零点个数。【例题精讲】1．（2026·北京朝阳·二模）设函数fx=1x−k，x<0，lnA．0 B．1 C．2 D．32．（2026·山西晋中·模拟预测）定义域为R的函数fx满足fx+1=2fx，当x∈0,1时，fx=A．95 B．96 C．97 D．983．（2026·陕西西安·模拟预测）已知定义域为R的函数fx满足fx=fx+2，且当−2≤x<0时，fxA．3 B．4 C．5 D．64．（2026·内蒙古赤峰·一模）已知函数fx=x2+2x−3,A．0 B．1 C．2 D．35．（25-26高一下·河北邢台·开学考试）若幂函数fx的图像经过点66,6，则函数A．1 B．2 C．3 D．46．（2026·四川·二模）已知fx是R上的奇函数，fx−2−f6−x=0，若fx在0,2上单调递增，且f0A．1 B．2 C．3 D．47．（2026·重庆·模拟预测）方程ex−2=aA．0 B．1 C．2 D．3（多选）8．（2026·江西上饶·二模）高斯是德国的著名数学家、物理学家、天文学家和大地测量学家．他被认为是历史上最重要的数学家之一，有“数学王子”的美誉．高斯函数y=x，x表示不超过x的最大整数，如3.5=3，−2.7=−3A．对于x,y∈R，有xB．fxC．方程xy=D．方程lg2x−lg（多选）9．（2026·陕西西安·模拟预测）已知fx是定义在R上的奇函数，且对任意x∈R，有f4−x=fx，当x∈A．fxB．点4,0是函数fxC．fD．函数y=fx（多选）10．（25-26高三上·陕西·期末）已知函数fx=xA．∀x∈R，fx≤1 B．fxC．fx+1是偶函数 D．函数g题型三根据函数零点求参数根据函数零点的情况求参数的三种常用方法（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式确定参数（范围）。（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域确定参数范围。（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图像，然后利用数形结合法求解。【例题精讲】1．（2026·湖北荆门·模拟预测）设函数fx=x−alog0.5x+b，若A．a=b B．a=−b C．a+b=1 D．b−a=12．（25-26高三上·上海·期中）已知fx=x2−ax+1xA．−∞,0 B．0,+∞ C．−3．（25-26高一上·江苏南京·期中）已知函数fx=x+mx<2x2−2mx+4mA．2,3 B．2,3 C．−2,2 D．1,34．（2026·江苏镇江·二模）已知函数f(x)=me2x+(m−2)exA．(−∞,0) B．(−1,0) C．(0,1) 5．（2026·广东江门·二模）已知函数fx=2x−3,x≤1x3−3x2,x>1A．−2,−1∪{−4} B．C．−2,−1∪{−4} D．6．（2026·北京顺义·一模）已知函数f(x)=x3,x≥0−x,x<0，若方程f(x)=xA．(−∞,0) C．(−∞,0)∪(0,17．（2026·河南焦作·一模）已知函数fx=2xx2+1，A．0，1 B．1 C．−∞，（多选）8．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数fx=log3−x,x<02−x,x≥0，若函数y=fA．实数a的取值范围是0,2B．fx的单调递减区间为−∞C．xD．函数y=ff（多选）9．（2026·河北沧州·二模）已知函数fx=x+mx−nA．0<m<1 B．m−n>1 C．2m<n D．m+（多选）10．（25-26高三上·甘肃张掖·月考）已知函数fx=log2x,x>0−x2−4x,x≤0，若关于A．fx的单调递增区间为−∞,−2∪1,+C．x1+x2=−4题型四复合函数零点问题对于复合函数y＝f（g(x））的零点个数问题，求解思路如下：（1）确定内层函数u＝g(x)和外层函数y＝f(u)；（2）确定外层函数y＝f(u)的零点u＝ui（i＝1,2,3，…，n）；（3）确定直线u＝ui（i＝1,2,3，…，n）与内层函数u＝g(x)图像的交点个数分别为a1，a2，a3，…，an，则函数y＝f（g(x））的零点个数为a1＋a2＋a3＋…＋an.【例题精讲】1．（2026·山西临汾·二模）已知函数fx=2x−1,x≤2,3A．0,1 B．0,2 C．0,3 D．1,32．（25-26高一上·福建福州·期末）已知函数fx=x+1x+2，且函数gA．9 B．12 C．13 D．153．（25-26高一上·安徽合肥·期末）已知函数f(x)=ex+2−1,x≤01+lnx,x>0A．1,e2−1C．1,2 D．1,4．（25-26高二上·湖南衡阳·期末）已知函数fx=3x+1−1，x≤0A．2,+∞ B．C．0,2 D．−5．（25-26高一上·湖北荆州·期末）设函数fx=3x−2,x≤2A．(3,4) B．(32,73]6．（25-26高三上·湖北黄石·期末）已知函数fx=xlnx且函数gA．e−8eC．0,8e−e7．（25-26高一上·广东广州·月考）已知函数fx=3x+1−1,x≤0lnA．0,1 B．0,2 C．2,+∞ D．（多选）8．（25-26高一上·河南·期末）设函数fx=2x−1A．当b=0时，M中有3个元素B．M中不可能恰有1个元素C．若M中恰有2个元素，则b不可能为负数D．若M=x1,x（多选）9．（25-26高一上·山西大同·期末）已知函数fx=x+3,x≤0lgx−1,x>0，关于x的方程A．函数fx零点个数为2 B．实数m的取值范围为C．函数fx无最值 D．函数fx在区间（多选）10．（25-26高一上·甘肃定西·期末）已知函数fx=2A．f(x)有2个零点B．f(x)的单调递减区间为[2,4]C．若0<m<3，则g(x)有6个零点D．若g(x)有7个零点，则m的取值范围为[3,6)课时精练一、单选题1．（25-26高一上·湖北十堰·期末）方程lnx=5−2x的根所在区间是（

A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)2．（25-26高一上·全国·单元测试）函数fx=xA．0 B．1 C．2 D．33．（25-26高二下·安徽·期中）若函数fx=aex−xA．0,1e B．0,1 C．0,+∞4．（2026·陕西延安·一模）设函数fx=x2−4x+3−aa>0,若fx有四个不同的零点A．1,9+427 B．1,2 C．2,35．（25-26高一下·浙江衢州·期中）已知函数fx=x−4x,x≤−1log2x+1,A．112,29C．4,818 6．（25-26高一下·安徽安庆·月考）已知函数f(x)={|2x−1|,x≤1,|log2(x−1)|,x>1,若A．(0,2) B．(0,1) C．(0,2] D．[0,1]7．（25-26高一下·湖南衡阳·月考）已知函数fx=4x+1−1,x≤0log4A．0,3 B．3,+∞ C．0,1 D．8．（25-26高一下·山东德州·月考）已知函数fx=x2+4x+7,x≤0x+4x,x>0A．0,12 B．0,8 C．0,4 D．0,3二、多选题（多选）9．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）已知fx是定义域为R的奇函数，当x>0时，fx=A．fB．当x1<C．当0<x≤a时，fx的最小值为4，则D．若关于x的方程fx（多选）10．（25-26高一下·河南商丘·月考）已知函数fx=log2(1−x),x<1xA．a∈0,1 B．C．1x3+1x4（多选）11．（25-26高一上·江苏无锡·期末）已知函数fx=1−2A．y=fx的图像关于yB．若x1+C．y=2xD．若关于x的方程fx−三、填空题12．（25-26高一下·上海·期中）已知函数f(x)=log13(x+1)+a,x>02x+a,x≤013．（2026·福建厦门·二模）若函数f(x)=x2−ax+1−ax恰有两个零点，则14．（25-26高一下·云南玉溪·期中）已知函数fx=−2x2−4x,x<0log3x四、解答题15．（25-26高二下·陕西商洛·阶段检测）已知fx(1)当a=1时，求不等式f4x−2(2)若函数gx=f2x16．（25-26高一下·湖北黄石·月考）已知函数fx=e(1)若fx是奇函数，求a(2)在（1）的前提下，证明：gx在0,+∞上仅一个零点x0(3)设函数ℎx=gx−x，px=x2−ax+117．（25-26高一下·辽宁铁岭·月考）已知函数fx满足flnx=x−1x，gx(1)求函数fx(2)若不等式f2x2−3+f(3)若关于x的方程g2x−tfx−t=0在18．（25-26高一上·河北·期末）已知函数fx满足∀x∈(1)求fx(2)若a是fx的零点，证明：219．（25-26高一上·湖南长沙·阶段检测）已知关于x的函数fx=(1)当m=−1时，求函数gx(2)若函数fx有零点，求m

第13讲函数的零点与方程的解题型一函数零点所在区间的判定1．【答案】C2．【答案】C3．【答案】D4．【答案】B5．【答案】C6．【答案】A7．【答案】C8．【答案】CD9．【答案】ACD10．【答案】BC题型二函数零点个数的判定1．【答案】D2．【答案】B3．【答案】B4．【答案】D5．【答案】C6．【答案】B7．【答案】D8．【答案】AC9．【答案】BC10．【答案】BD题型三根据函数零点求参数1．【答案】C2．【答案】A3．【答案】A4．【答案】C5．【答案】B6．【答案】B7．【答案】B8．【答案】BCD9．【答案】ACD10．【答案】BCD题型四复合函数零点问题1．【答案】A2．【答案】D3．【答案】B4．【答案】D5．【答案】D6．【答案】D7．【答案】A8．【答案】AD9．【答案】BC10．【答案】BCD课时精练1．【答案】C2．【答案】B3．【答案】A4．【答案】A5．【答案】C6．【答案】A7．【答案】B8．【答案】A9．【答案】ACD10．【答案】ABD11．【答案】BCD12．【答案】(−【分析】根据题意，结合指数函数与对数函数的性质，分别求得x>0和x≤0时，fx没有零点的a【详解】当x>0时，则x+1>1，所以log1由fx在x>0上无零点，即log13即a=−log13(x+1)在当x≤0时，可得0<2x≤1，由fx在x≤0上无零点，即即a=−2x在x≤0无解，可得a<−1或所以要使函数fx在R上没有零点，则实数a的取值范围为(−13．【答案】−【详解】函数fx恰好有两个零点，可转化为函数y=x2−ax+1与函数①当x2−ax+1≥0恒成立，即a2−4≤0问题转化为方程x2−ax+1=ax即由2a2−4>0⇒所以−2≤a<−1或1<a≤2.②当a>2时，方程x2−ax+1=0有两个正根x1，x当x1<x<x2时，ax−x所以此时直线y=ax与曲线y=x③当a<−2时，方程x2−ax+1=0有两个负根x3，x当x3<x<x4时，ax−x所以此时直线y=ax与曲线y=x综上可得：若函数f(x)=x2−ax+1−ax恰有两个零点，则14．【答案】8,【分析】本题可利用数形结合，先画出分段函数的图像，将函数g(x)=f(x)−a有四个不同的零点的问题，转化为函数fx与y=a有四个不同的交点，可得出a【详解】解：令g(x)=f(x)−a=0，则f(x)=a，由函数g(x)=f(x)−a有四个不同的零点，则方程f(x)=a有四个不同的解，即函数fx与y=a当x<0时，fx=−2x2−4x=−2结合图像可知，方程f(x)=a有四个不同解时，0<a<2，因为x1<x当y=2时，由log3x=2时，x=由函数图像可知，19<x3<1则−log3x3=log3所以x4x1即x4=2时等号成立，此时2x4+8x4取最小值为当x=1时，2x+8x=10；当x=9所以x4x115．【答案】(1)x∈14,【分析】（1）根据对数函数的单调性可求不等式的解；（2）将对数型方程转化为2ax2+x−1=0只有一个正根，就a<0,a=0,a>0【详解】（1）当a=1时，fx=log所以log24x−1<解得14<x<1（2）因为gx由gx=0，得若a=0，满足题意；当a≠0时，若Δ=1+8a=0，解是a=−此时方程仅有一个实根为x=2，满足题意；若Δ>0，即a>−18所以−12a<0综上，a≥0或a=−1所以实数a的取值范围是：−116．【答案】(1)1(2)证明见解析(3)a≤−2或a>5【分析】（1）由奇函数定义f(−x)=−f(x)，代入化简得(1−a)(ex−1)=0对任意x（2）先由单调性和零点定理得唯一零点x0∈(12,1),再由lnx0（3）ℎ(x1)=lnx1∈[0,4]，问题转化为p(x)=x2−ax+1在【详解】（1）由题意：ex−1≠0⇒x≠0，且所以e−x所以a=1．（2）y=lnx和y=x在0,+∞上均为增函数，故g又g12=由零点的存在性定理可知，∃x0∈即lnx则fx又x0∈1（3）由题意ℎx1=lnx所以y=px2的值域包含0,4总存在唯一x2∈−1,2若a2≤−1即a≤−2时,p−1若a2≥2即a≥4时,p−1若−1<a2<2即−2<a<4时p解得52综上所述:a的取值范围为a≤−2或a>517．【答案