解题大招04 基本不等式链和柯西不等式的四大妙用（原卷版及解析）

4/4知识点01基本不等式链对于任意的，都有,当且仅当时,等号成立.其中分别为平方平均数,算术平均数,几何平均数,调和平均数.可利用上述不等式链在各平均数间进行放缩、转化.知识点01基本不等式链对于任意的，都有,当且仅当时,等号成立.其中分别为平方平均数,算术平均数,几何平均数,调和平均数.可利用上述不等式链在各平均数间进行放缩、转化.\l"_Toc25045"知识点02柯西不等式1.二元柯西不等式对于任意的，都有，当且仅当时取等号2.元柯西不等式对于任意的），都有，取等号的条件：或（）．题型01利用不等式链判定不等式熟记平方、算术、几何、调和均值不等式链顺序，对照式子结构匹配对应均值。统一式子形式，合理变形化简，依据均值大小顺序直接比对.严格满足各项为正，核对适用条件，结合放缩技巧推导大小关系，验证逻辑无误即可判定不等式成立与否.【典例1】(多选)(2025·河南南阳模拟)已知正数m，n满足1m＋1n＝23A.mn≥12 B.m2＋nC.m＋n≥32 D.∃m，n∈(0，＋∞)，【答案】AD【详解】对于A，1m＋1n＝232≥21m·1n，则mn≥12，当且仅当m＝n＝22时等号成立，故A正确；对于B，应用重要不等式得m2＋n2≥2mn(m＝n时取得等号)，由A中mn≥12，当m＝n＝22时取得等号，得m2＋n2≥2mn≥2×12＝1当m＝n＝22时能取得等号，即m2＋n2的最小值为1，与m2＋n2≥2矛盾，故B错误；对于C，因为1m＋1n＝232，则1232×1m＋1n＝24×1m＋1n＝1，m＋n＝24×(m＋n)1m＋1n＝24×2+mn＋nm，其中mn＋nm≥2mn×nm＝2，当且仅当m＝n＝22时取得等号，则m＋n≥【跟踪训练】1．（多选）（25-26高三上·四川眉山·期中）对于，，下列不等式中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【详解】选项A：由不等式链得，所以,当且仅当时取等号，故A正确；选项B：因为，，所以，即，当且仅当时取等号，故B错误；选项C：因为，，所以，即，当且仅当时取等号，故C正确；选项D：由不等式链得，当且仅当时取等号，所以，故D正确.故选：ACD2．（多选）（2026·山东烟台·一模）若，则（

）A． B． C． D．【答案】AC【详解】对于A项，因，，且，则有，当且仅当时取“=”，A正确；对于B项，因，，且，则由不等式链得，所以,B错误；对于C项，因，，且，则，得，，设，，得，得函数在上单调递增，得，得，即，得，故C正确；对于D项，，令，得，得函数在上单调递增，得，得，即，故D错误.题型02利用不等式链求最值策略：依据均值不等式链，通过配凑、换元构造和定或积定，遵循和定积最大、积定和最小规律，灵活选用不同均值快速求最值。注意事项：满足一正二定三相等；核验等号可取性；多次连用不等式需取等条件统一；负数先转化为正数，取不到最值改用函数单调性求解。【典例2-1】已知a，b为互不相等的正实数，则下列四个式子中最大的是()A.2a＋b B.C.2ab D.【答案】B【详解】因为a，b为互不相等的正实数，所以1a＋1b＞2ab，2a＋b＜22ab＝1ab＜2ab，2a【典例2-2】(多选)(2025·广西北海模拟)设正实数a，b满足a＋b＝1，则()A.ab有最大值12 B.1a+2C.a2＋b2有最小值12D.a＋b有最大值【答案】ACD【详解】对于A，由均值不等式可得ab≤a＋b2＝12，当且仅当a＝b＝12时，等号成立，故A正确；对于B，由21a+2b＋12a＋b≤(a+2b)＋(2a＋b)2＝3(a＋b)2＝32，得1a+2b＋12a＋b≥43，当且仅当a＋2b【跟踪训练】1.（多选）（24-25高二下·辽宁·阶段练习）已知且，则下列选项正确的是（）A．的最大值是 B．的最大值是C．的最小值是 D．的最小值是【答案】ABD【详解】对于A项，因为且，所以，当且仅当时等号成立，即的最大值是，故A项正确；对于B项，因为且，所以，即，当且仅当时等号成立，故B项正确；对于C项，因为，当且仅当时等号成立，所以的最小值是，故C项错误；对于D项，令所以所以，因为，所以，因为，所以，当且仅当，即时等号成立，故D项正确．故选：ABD．2．设,则的最大值为．【答案】【详解】由不等式链得两边同时开方即得：（且当且仅当时取“=”），从而有（当且仅当,即时，“=”成立）题型03利用柯西不等式判定不等式观察不等式结构，匹配柯西平方和、向量、分式等常用形式。通过拆项、凑系数、分组变形，构造柯西标准结构。保证式子各项有意义、同序适配，利用柯西放缩建立大小关系。再验证等号成立条件，依据放缩结果即可判定不等式是否成立。【典例3】（25-26高一上·江西景德镇·期中）柯西不等式（Cauchy-SchwarzInequality）是一种在数学和物理学中广泛使用的不等式，它是由法国数学家奥古斯丁·路易·柯西提出的，柯西不等式可以用于证明其他不等式，也可以用于解决一些数学问题.以下是柯西不等式的原始形式：①对于所有实数和，有.②等式条件：当且仅当时，等号成立.例：已知，由柯西不等式，可得.运用柯西不等式，判断以下正确的选项有（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】AD【分析】根据柯西不等式，等号成立条件为，对每个选项进行分析计算，判断其正误.【详解】对于A选项，根据柯西不等式.因为，所以，即.所以，则，当且仅当时取等号，A选项正确.对于B选项，令，，则.根据柯西不等式.即.当且仅当取等号，所以，B选项错误.对于C选项，根据柯西不等式.因为，所以.当且仅当取等号.所以，C选项错误.对于D选项，令，，则.根据柯西不等式.因为，所以.当且仅当取等号.所以，D选项正确.故选：AD.【跟踪训练】1．(多选)（2026·河北廊坊·一模）已知a，b，c，d均为实数，则下列说法正确的是（

）A．若，，则B．若，，则C．若，，且，则的最小值为D．若，，且，则【答案】ACD【详解】，，又，，故A正确，令，，故B错误，，即，，又，，，，当且仅当时，即等号成立，故C正确，，又，，则，又，，当且仅当，即时等号成立，故D正确.2．（25-26高一上·湖南长沙·月考）设，为两个正数，定义，的算术平均数为，几何平均数为，则有：，这是我们熟知的基本不等式．上个世纪五十年代，美国数学家D．H．Lehmer提出了“Lehmer均值”，即，其中为有理数．如：．下列关系正确的是（）A． B．C． D．【答案】AC【分析】根据新定义逐个选项代入，化简后根据基本不等式与柯西不等式判断即可.【详解】A：，故A对；B：，故B错；C：，，而，故C对；D：由柯西不等式，，故D错.故选：AC.题型04利用柯西不等式求最值策略：观察代数式结构，凑配成柯西标准形式，通过分组、添项、配系数构造平方和乘积结构；利用柯西不等式放缩，转化为定值从而求出最值。注意事项：保证各项实数有意义；严格验证等号成立条件能否取到；多组连用柯西时，需保证等号条件一致；结构不匹配时先变形、换元再套用。【典例4-1】（25-26高三上·辽宁沈阳·月考）柯西不等式（Caulhy-SchwarzLnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：，当且仅当时等号成立.根据柯西不等式，已知，，且，则的最大值为（）A． B． C． D．【答案】C【详解】由，得，即，由，得，则，由，，得，由柯西不等式得，因此，当，即时取等号，所以的最大值为.故选：C【典例4-2】(多选)（2025高三·全国·竞赛）已知，则取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】因为，则，且，可得，当且仅当时，等号成立；又因为，则，可得．且，设点和标准单位圆面内点，则，又因为，所以，所以，可得，则，当且仅当时，等号成立.综上所述：所求取值范围是．故选：C.【跟踪训练】1.（多选）（2026高三·全国·专题练习）已知，都在区间内，且，则函数的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解法一：因为，所以，且，又因为，所以，所以，，因为，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，所以，所以，所以的最小值为．解法二：因为，所以，且，所以，所以的最小值为．故选：D．2．（25-26高二下·河北·期中）柯西不等式是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用．二维柯西不等式为，当且仅当时等号成立．已知，直线与曲线相切，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】设直线与曲线相切的切点为，由得，则，即，则，得，所以，代入得，因为，所以，因为，所以，当且仅当，即等号成立.故选：B.1．已知正数满足，则的最大值为（）A.1B.C.D.3【答案】B【详解】由基本不等式链得，所以，故选B.2．（25-26高三·全国·二轮复习）柯西不等式的三元形式如下：对实数和，有，当且仅当等号成立，已知，请你用柯西不等式，求出的最大值是（）A．14 B．12 C．10 D．8【答案】A【分析】根据柯西不等式的三元形式，构造求解即可.【详解】因为，根据题目中柯西不等式的三元形式可知，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最大值是，故选：A3．（2026·北京朝阳·模拟预测）函数的最大值为（

）A．1 B． C．2 D．【答案】C【分析】由柯西不等式求解即可.【详解】，由，解得，当时，，当，，当，则，此时且，由柯西不等式可得，当且仅当，即时取等号，此时，即，所以函数的最大值为2.故选：C.4．（多选）若x，y满足，则（）A． B．C． D．【答案】BC【详解】由基本不等式链:,可得（R），对于C，由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确因为（R），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确；故选AC.5．（多选）若x，y满足，则（）A． B．C． D．【答案】BC【详解】由基本不等式链:,可得（R），对于C，由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确因为（R），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确；故选AC.6．（多选）设a＞0，b＞0，则下列不等式中一定成立的是（）A.a＋b＋1ab≥22 B.2abaC.a2＋b2ab≥a＋b D.（a＋b【答案】ACD【详解】因为a＞0，b＞0，所以a＋b＋1ab≥2ab＋1ab≥22，当且仅当a＝b且2ab＝1ab，即a＝b＝22时取等号，故A正确；因为a＋b≥2ab＞0，所以2aba＋b≤2ab2ab＝ab，当且仅当a＝b时取等号，故B错误；因为2aba＋b≤2ab2ab＝ab，当且仅当a＝b时取等号，所以a2＋b2a＋b＝（a＋b）2－2aba＋b＝a＋b－2aba＋b≥2ab故选：ACD7．（2025高三·全国·竞赛）设，则的最小值为_____．【答案】/0.4【详解】由柯西不等式得，等号成立时．所以的最小值为．8．（2025高三·全国·竞赛）设，且，则的最大值为_____．【答案】/【分析】令，则，将已知条件变形为，根据柯西不等式可得的最大值.或者由对称性设，将条件变形为，再根据柯西不等式得，进而得到的最大值．【详解】解法1：令，则.所以已知条件可变形为．于是，当，即，即，即时，取得等号．解法2：由对称性，不妨设，则题设条件变形为．又，当且仅当时，取得等号．所以．故答案为：.9．（25-26高一下·河南郑州·月考）在中，，，对应的边分别，，，(1)求；(2)柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用.①用向量证明二维柯西不等式：②已知三维分式型柯西不等式：，，，，当且仅当时等号成立.若，是内一点，过作，，垂线，垂足分别为，，，求的最小值【答案】(1)(2)①证明见详解；②