高中数学选择性必修第一册《抛物线》专题复习教学设计

高中数学选择性必修第一册《抛物线》专题复习教学设计一、教材分析与学情研判（一）教材地位与作用【重要】本节内容位于苏教版高中数学选择性必修第一册第三章第三节，是“圆锥曲线”这一核心模块的收官之作。从知识脉络上看，学生此前已系统学习了椭圆与双曲线的定义、方程及几何性质，掌握了利用坐标法研究曲线的基本范式。抛物线既是圆锥曲线统一定义（离心率e=1）的具体体现，又与初中所学的二次函数图象紧密相连，起到了承前启后、融会贯通的关键作用。它不仅是前面所学知识和方法的应用与延伸，更为后续学习极坐标、参数方程以及解决物理中的抛体运动、光学中的聚焦问题等跨学科内容奠定了坚实基础1。（二）学情分析1.认知基础：高二学生已具备较强的逻辑思维能力和数形结合意识。他们熟悉求曲线方程的基本步骤（建系、设点、列式、化简），并对椭圆、双曲线的研究路径有了清晰认识，具备类比迁移的学习能力。此外，学生对二次函数y=ax²的图象和性质有直观印象，这为理解抛物线的几何特征提供了生活经验19。2.可能面临的挑战：【难点】（1）定义理解的深刻性：将抛物线从“二次函数的图象”上升为“到定点与定直线距离相等的点的轨迹”，需要完成认知上的跃升。（2）四种形式的易混性：抛物线因开口方向不同而有四种标准方程，焦点坐标与准线方程随之变化，学生极易混淆。（3）参数p的几何意义：对参数p（焦准距）的理解若浮于表面，将直接影响后续对抛物线几何性质的掌握。（4）综合应用的灵活性：将抛物线定义运用于最值问题、焦点弦问题时，需要较高的转化与化归能力。（三）核心素养聚焦本专题教学着力培养：数学抽象（抛物线的定义生成）、逻辑推理（标准方程的推导）、数学运算（方程化简与求解）、直观想象（图形与方程的对应）、数学建模（抛物线在实际问题中的应用）。二、教学目标设定（一）知识与技能1.理解抛物线的定义，能说出焦点和准线的含义，明确参数p的几何意义。2.掌握抛物线四种形式的标准方程，能根据条件熟练写出抛物线的标准方程，并准确求出焦点坐标和准线方程。3.掌握抛物线的简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率），并能运用性质解决相关问题47。（二）过程与方法1.经历类比椭圆、双曲线的研究方法，通过“观察—实验—抽象—推导”的过程，独立探索并建立抛物线的标准方程，进一步体会坐标法的思想。2.通过对比四种形式的抛物线方程与图形，培养归纳、类比的能力及数形结合的思想。3.在解决最值、焦点弦等问题中，领悟定义优先的原则，学会转化与化归的数学策略。（三）情感、态度与价值观1.通过展示抛物线在卫星天线、汽车前照灯、桥梁建筑等领域的应用，感受数学的对称美与实用价值，激发科学探究精神18。2.在小组合作推导四种方程的过程中，培养严谨求实的科学态度和协作交流的意识。三、教学重难点（一）教学重点：【高频考点】1.抛物线的定义及其标准方程。2.根据方程求焦点、准线；根据条件求抛物线标准方程。（二）教学难点：【难点】1.抛物线定义的形成与深化，特别是对“距离相等”的深刻理解。2.四种形式标准方程的辨析与灵活应用。3.与抛物线有关的最值问题及焦点弦性质的应用。四、教学方法与准备（一）教学方法：探究式教学法、类比迁移法、直观演示法、讲练结合法。贯彻“教师为主导，学生为主体”原则，引导学生在问题驱动下主动建构知识29。（二）教学准备：多媒体课件（含几何画板或GeoGebra动态演示）、直尺、细绳、三角板（用于实物演示）、学历案。五、教学过程设计（9大知识模块11类题型）第一课时：抛物线的定义与标准方程（一）情境创设，引入定义【基础】1.实验感知：教师利用直尺和细绳进行实物演示：将一根直尺固定在黑板上作为定直线l，取一个三角板，让三角板的一条直角边紧贴直尺，取一根长度等于另一直角边的绳子，一端固定在黑板上的定点F（焦点），另一端固定在三角板非直角顶点处。用粉笔绷紧绳子，移动三角板，粉笔会画出什么图形？学生观察并初步感知轨迹形状1。2.动态强化：利用GeoGebra动态演示：动点P满足到定点F的距离等于到定直线l的距离，追踪点P的轨迹，形成一条抛物线。改变F到l的距离，观察抛物线开口宽度的变化12。3.抽象定义：引导学生用数学语言描述：平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线。强调“点F不在直线l上”的条件，若在则轨迹为过F与l垂直的直线。（二）师生互动，推导方程【重要】1.问题驱动：我们已获得轨迹，如何用方程表示它？类比椭圆、双曲线，求曲线方程的一般步骤是什么？（建系、设点、列式、化简）2.优化建系：关键提问——如何建立平面直角坐标系，能使得到的方程最简洁？引导学生思考：为使方程对称且简洁，应充分利用图形的对称性。抛物线有一条对称轴（过焦点F且垂直于准线l的直线）。我们以这条直线为x轴，并取焦点F到准线l的垂线段的中点为原点O建立坐标系。3.定量设参：设焦点到准线的距离为p（p>0），则焦点F的坐标为(p2,0)\left(\frac{p}{2},0\right)(2p​,0)，准线l的方程为x=−p2x=\frac{p}{2}x=−2p​。4.推导化简：设抛物线上任意一点P的坐标为(x，y)。由定义，点P满足∣PF∣=|PF|=∣PF∣=点P到直线l的距离。代入坐标：(x−p2)2+y2=∣x+p2∣\sqrt{\left(x\frac{p}{2}\right)^2+y^2}=\left|x+\frac{p}{2}\right|(x−2p​)2+y2<pathd="M98390l00c4,6.7,10,10,18,10Hv40H1013.1s83.4,268,264.1,840c180.7,572,277,876.3,289,913c4.7,4.7,12.7,7,24,7s12,0,12,0c1.3,3.3,3.7,11.7,7,25c35.3,125.3,106.7,373.3,214,744c10,12,21,25,33,39s32,39,32,39c6,5.3,15,14,27,26s25,30,25,30c26.7,32.7,52,63,76,91s52,60,52,60s208,722,208,722c56,175.3,126.3,397.3,211,666c84.7,268.7,153.8,488.2,207.5,658.5c53.7,170.3,84.5,266.8,92.5,289.5zMhv40hz">​=<pathd="M14515v585v0v585c2.667,10,9.667,15,21,15c10,0,16.667,5,20,15v585v0v585c2.667,10,9.667,15,21,15c10,0,16.667,5,20,15zM18815H145v585v0v585h43z">​x+2p​<pathd="M14515v585v0v585c2.667,10,9.667,15,21,15c10,0,16.667,5,20,15v585v0v585c2.667,10,9.667,15,21,15c10,0,16.667,5,20,15zM18815H145v585v0v585h43z">​。化简技巧：两边平方（由于p>0，且由定义知点P位于准线右侧或左侧，但在此建系下，x≥0，故x+p/2>0，绝对值可直接去掉），得：(x−p2)2+y2=(x+p2)2\left(x\frac{p}{2}\right)^2+y^2=\left(x+\frac{p}{2}\right)^2(x−2p​)2+y2=(x+2p​)2展开得：x2−px+p24+y2=x2+px+p24x^2px+\frac{p^2}{4}+y^2=x^2+px+\frac{p^2}{4}x2−px+4p2​+y2=x2+px+4p2​整理即得：y2=2px(p>0)y^2=2px\quad(p>0)y2=2px(p>0)。5.辨析理解：强调方程y2=2px(p>0)y^2=2px(p>0)y2=2px(p>0)叫做抛物线的标准方程，焦点在x轴正半轴上。参数p的几何意义是焦点到准线的距离，它控制着抛物线的开口大小：p越大，开口越开阔；p越小，开口越狭窄。（三）初步应用，巩固新知1.例题1（由方程求焦点、准线）：【基础】求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：（1）y2=12xy^2=12xy2=12x；（2）y2=2xy^2=2xy2=2x。解析：（1）2p=12⇒p=62p=12\Rightarrowp=62p=12⇒p=6，焦点(p2,0)=(3,0)\left(\frac{p}{2},0\right)=(3,0)(2p​,0)=(3,0)，准线x=−p2=−3x=\frac{p}{2}=3x=−2p​=−3。2）2p=2⇒p=12p=2\Rightarrowp=12p=2⇒p=1，焦点(12,0)\left(\frac{1}{2},0\right)(21​,0)，准线x=−12x=\frac{1}{2}x=−21​。2.例题2（由焦点或准线求方程）：【基础】求满足下列条件的抛物线的标准方程：（1）焦点为F(4,0)F(4,0)F(4,0)；（2）准线方程为x=−1x=1x=−1。解析：（1）p2=4⇒p=8\frac{p}{2}=4\Rightarrowp=82p​=4⇒p=8，方程为y2=16xy^2=16xy2=16x。2）−p2=−1⇒p=2\frac{p}{2}=1\Rightarrowp=2−2p​=−1⇒p=2，方程为y2=4xy^2=4xy2=4x。第二课时：四种标准方程及几何性质（四）类比迁移，完善知识体系【核心】1.小组探究：我们已经得到了开口向右的抛物线方程。如果焦点在x轴负半轴、y轴正半轴、y轴负半轴上，抛物线的标准方程又该如何？请同学们类比刚才的推导方法，分组完成探究。引导学生思考：建立坐标系时，依然遵循“使顶点在原点，对称轴为坐标轴”的原则。例如对于开口向上的抛物线，应以过焦点垂直于准线的直线为y轴，以焦点到准线的垂线段中点为原点。2.成果汇报与汇总：各小组汇报推导结果，师生共同完善表格。【非常重要】图形开口方向标准方程焦点坐标准线方程对称轴向右y2=2px

(p>0)y^2=2px\(p>0)y2=2px

(p>0)(p2,0)\left(\frac{p}{2},0\right)(2p​,0)x=−p2x=\frac{p}{2}x=−2p​x轴向左y2=−2px

(p>0)y^2=2px\(p>0)y2=−2px

(p>0)(−p2,0)\left(\frac{p}{2},0\right)(−2p​,0)x=p2x=\frac{p}{2}x=2p​x轴向上x2=2py

(p>0)x^2=2py\(p>0)x2=2py

(p>0)(0,p2)\left(0,\frac{p}{2}\right)(0,2p​)y=−p2y=\frac{p}{2}y=−2p​y轴向下x2=−2py

(p>0)x^2=2py\(p>0)x2=−2py

(p>0)(0,−p2)\left(0,\frac{p}{2}\right)(0,−2p​)y=p2y=\frac{p}{2}y=2p​y轴1.记忆规律点拨：【重要】教师们总结的口诀非常实用：（1）“一次项定轴，系数符号定方向”或“一次对焦点，符号看开口”。即方程中一次项变量对应对称轴（x为一次项则对称轴为x轴），系数为正则开口向坐标轴正方向，系数为负则开口向负方向18。（2）焦点坐标中非零坐标的绝对值为p2\frac{p}{2}2p​，准线方程与焦点坐标非零项互为相反数。（五）抛物线的几何性质【基础】1.自主探究：以y2=2px(p>0)y^2=2px(p>0)y2=2px(p>0)为例，引导学生类比椭圆、双曲线，从方程出发研究其几何性质4：（1）范围：由方程知y2≥0⇒x≥0y^2\geq0\Rightarrowx\geq0y2≥0⇒x≥0，y∈R。即抛物线在y轴的右侧，向右上方和右下方无限延伸。（2）对称性：以y代替y，方程不变，所以抛物线关于x轴对称。x轴是抛物线的对称轴。（3）顶点：抛物线与对称轴的交点。令y=0y=0y=0，得x=0x=0x=0，顶点为原点(0，0)。（4）离心率：抛物线上一点到焦点距离与到准线距离的比。由定义可知，离心率e=1e=1e=1。这是圆锥曲线的统一定义中的重要特例。2.列表对比：请学生仿照上表，总结四种形式抛物线的范围、对称性、顶点、离心率，完成表格。（六）题型精讲与变式训练【11大题型全覆盖】第一类：求抛物线标准方程【高频考点】例3：求满足下列条件的抛物线标准方程。（1）准线方程为y=2y=2y=2。解析：准线平行于x轴，方程为y=2>0y=2>0y=2>0，故抛物线开口向下，设方程为x2=−2pyx^2=2pyx2=−2py。由p2=2⇒p=4\frac{p}{2}=2\Rightarrowp=42p​=2⇒p=4，方程为x2=−8yx^2=8yx2=−8y。（2）焦点在直线x−2y−4=0x2y4=0x−2y−4=0上。解析：焦点在坐标轴上，故焦点可能为(4，0)或(0，2)。若焦点为(4，0)，则p/2=4,p=8p/2=4,p=8p/2=4,p=8，方程为y2=16xy^2=16xy2=16x；若焦点为(0，2)，则p/2=2,p=4p/2=2,p=4p/2=2,p=4，抛物线开口向下，方程为x2=−8yx^2=8yx2=−8y。（3）过点A(−3,2)A(3,2)A(−3,2)。【易错提醒，需讨论】解析：点A在第二象限，抛物线可能开口向左或向上。若开口向左，设y2=−2px(p>0)y^2=2px(p>0)y2=−2px(p>0)，代入得4=−2p⋅(−3)⇒4=6p⇒p=234=2p\cdot(3)\Rightarrow4=6p\Rightarrowp=\frac{2}{3}4=−2p⋅(−3)⇒4=6p⇒p=32​，方程为y2=−43xy^2=\frac{4}{3}xy2=−34​x。若开口向上，设x2=2py(p>0)x^2=2py(p>0)x2=2py(p>0)，代入得9=2p⋅2⇒9=4p⇒p=949=2p\cdot2\Rightarrow9=4p\Rightarrowp=\frac{9}{4}9=2p⋅2⇒9=4p⇒p=49​，方程为x2=92yx^2=\frac{9}{2}yx2=29​y。故所求方程为y2=−43xy^2=\frac{4}{3}xy2=−34​x或x2=92yx^2=\frac{9}{2}yx2=29​y。第二类：抛物线定义的应用——距离转化【热点】例4：已知抛物线y2=4xy^2=4xy2=4x的焦点为F，点P是抛物线上的动点，点A坐标为(2，1)。求∣PA∣+∣PF∣|PA|+|PF|∣PA∣+∣PF∣的最小值，并求此时点P的坐标。解析：【非常重要】将点A代入抛物线方程检验：12<4×21^2<4\times212<4×2，点A在抛物线内部。由定义，∣PF∣|PF|∣PF∣等于点P到准线l:x=−1l:x=1l:x=−1的距离d。故∣PA∣+∣PF∣=∣PA∣+d|PA|+|PF|=|PA|+d∣PA∣+∣PF∣=∣PA∣+d。问题转化为在抛物线上求一点P，使其到点A和到准线l的距离之和最小。当PA⊥l时，即AP垂直于准线时，距离和最小。过A作准线的垂线，垂足为A‘(−1，1)A‘(1，1)A‘(−1，1)，与抛物线的交点即为所求。令y=1y=1y=1代入y2=4xy^2=4xy2=4x得x=14x=\frac{1}{4}x=41​。所以P(14，1)P(\frac{1}{4}，1)P(41​，1)，最小值为∣AA’∣=2−(−1)=3|AA’|=2(1)=3∣AA’∣=2−(−1)=3。变式训练：将点A改为(3，4)(3，4)(3，4)，求最小值。（点A在抛物线外部，需连接AF与抛物线相交，最小值为|AF|）。第三类：抛物线的焦半径与焦点弦【难点、高频考点】例5：过抛物线y2=4xy^2=4xy2=4x的焦点F作倾斜角为π3\frac{\pi}{3}3π​的直线交抛物线于A，B两点，求弦AB的长。解析：法一（焦半径公式）：抛物线y2=4xy^2=4xy2=4x，p=2，焦点F(1，0)。直线斜率k=tan⁡π3=3k=\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt{3}k=tan3π​=3<pathd="M95,702c2.7,0,7.17,2.7,13.5,8c5.8,5.3,9.5,10,9.5,14c0,2,0.3,3.3,1,4c1.3,2.7,23.83,20.7,67.5,54c44.2,33.3,65.8,50.3,66.5,51c1.3,1.3,3,2,5,2c4.7,0,8.7,3.3,12,10s173,378,173,378c0.7,0,35.3,71,104,213c68.7,142,137.5,285,206.5,429c69,144,104.5,217.7,106.5,221l00c5.3,9.3,12,14,20,14Hv40H845.2724s225.272,467,225.272,467s235,486,235,486c2.7,4.7,9,7,19,7c6,0,10,1,12,3s194,422,194,422s65,47,65,47zM83480Hv40hz">​，方程y=3(x−1)y=\sqrt{3}(x1)y=3<pathd="M95,702c2.7,0,7.17,2.7,13.5,8c5.8,5.3,9.5,10,9.5,14c0,2,0.3,3.3,1,4c1.3,2.7,23.83,20.7,67.5,54c44.2,33.3,65.8,50.3,66.5,51c1.3,1.3,3,2,5,2c4.7,0,8.7,3.3,12,10s173,378,173,378c0.7,0,35.3,71,104,213c68.7,142,137.5,285,206.5,429c69,144,104.5,217.7,106.5,221l00c5.3,9.3,12,14,20,14Hv40H845.2724s225.272,467,225.272,467s235,486,235,486c2.7,4.7,9,7,19,7c6,0,10,1,12,3s194,422,194,422s65,47,65,47zM83480Hv40hz">​(x−1)。联立消去y得3(x−1)2=4x⇒3x2−10x+3=03(x1)^2=4x\Rightarrow3x^210x+3=03(x−1)2=4x⇒3x2−10x+3=0。设A(x1,y1),B(x2,y2)A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)A(x1​,y1​),B(x2​,y2​)，则x1+x2=103x_1+x_2=\frac{10}{3}x1​+x2​=310​。由焦半径公式∣AF∣=x1+p2=x1+1|AF|=x_1+\frac{p}{2}=x_1+1∣AF∣=x1​+2p​=x1​+1，∣BF∣=x2+1|BF|=x_2+1∣BF∣=x2​+1，所以∣AB∣=x1+x2+p=103+2=163|AB|=x_1+x_2+p=\frac{10}{3}+2=\frac{16}{3}∣AB∣=x1​+x2​+p=310​+2=316​。法二（焦点弦长公式）：∣AB∣=2psin⁡2θ=4sin⁡2π3=4(32)2=434=163|AB|=\frac{2p}{\sin^2\theta}=\frac{4}{\sin^2\frac{\pi}{3}}=\frac{4}{(\frac{\sqrt{3}}{2})^2}=\frac{4}{\frac{3}{4}}=\frac{16}{3}∣AB∣=sin2θ2p​=sin23π​4​=(23<pathd="M95,702c2.7,0,7.17,2.7,13.5,8c5.8,5.3,9.5,10,9.5,14c0,2,0.3,3.3,1,4c1.3,2.7,23.83,20.7,67.5,54c44.2,33.3,65.8,50.3,66.5,51c1.3,1.3,3,2,5,2c4.7,0,8.7,3.3,12,10s173,378,173,378c0.7,0,35.3,71,104,213c68.7,142,137.5,285,206.5,429c69,144,104.5,217.7,106.5,221l00c5.3,9.3,12,14,20,14Hv40H845.2724s225.272,467,225.272,467s235,486,235,486c2.7,4.7,9,7,19,7c6,0,10,1,12,3s194,422,194,422s65,47,65,47zM83480Hv40hz">​​)24​=43​4​=316​。（注：θ为直线倾斜角）例6（焦点弦性质探究）：【难点】已知抛物线y2=2px(p>0)y^2=2px(p>0)y2=2px(p>0)的焦点弦AB，A(x1，y1)，B(x2，y2)。求证：（1）y1y2=−p2y_1y_2=p^2y1​y2​=−p2，x1x2=p24x_1x_2=\frac{p^2}{4}x1​x2​=4p2​；（2）1∣AF∣+1∣BF∣=2p\frac{1}{|AF|}+\frac{1}{|BF|}=\frac{2}{p}∣AF∣1​+∣BF∣1​=p2​（定值）。证明：设焦点弦AB方程为x=my+p2x=my+\frac{p}{2}x=my+2p​（m不存在时单独验证），代入抛物线消去x得y2−2pmy−p2=0y^22pmyp^2=0y2−2pmy−p2=0。由韦达定理即得y1y2=−p2y_1y_2=p^2y1​y2​=−p2。代入抛物线方程得x1x2=y122p⋅y222p=(y1y2)24p2=p44p2=p24x_1x_2=\frac{y_1^2}{2p}\cdot\frac{y_2^2}{2p}=\frac{(y_1y_2)^2}{4p^2}=\frac{p^4}{4p^2}=\frac{p^2}{4}x1​x2​=2py12​​⋅2py22​​=4p2(y1​y2​)2​=4p2p4​=4p2​。第二问由焦半径公式∣AF∣=x1+p2，∣BF∣=x2+p2|AF|=x_1+\frac{p}{2}，|BF|=x_2+\frac{p}{2}∣AF∣=x1​+2p​，∣BF∣=x2​+2p​，结合x1+x2x_1+x_2x1​+x2​与x1x2x_1x_2x1​x2​关系可证。第四类：与抛物线有关的最值问题【热点】例7：求抛物线y=x2y=x^2y=x2上的点到直线x−y−2=0xy2=0x−y−2=0的最短距离。解析：设抛物线上的动点P(t,t2)P(t,t^2)P(t,t2)，距离d=∣t−t2−2∣2=∣−t2+t−2∣2=∣t2−t+2∣2d=\frac{|tt^22|}{\sqrt{2}}=\frac{|t^2+t2|}{\sqrt{2}}=\frac{|t^2t+2|}{\sqrt{2}}d=2<pathd="M95,702c2.7,0,7.17,2.7,13.5,8c5.8,5.3,9.5,10,9.5,14c0,2,0.3,3.3,1,4c1.3,2.7,23.83,20.7,67.5,54c44.2,33.3,65.8,50.3,66.5,51c1.3,1.3,3,2,5,2c4.7,0,8.7,3.3,12,10s173,378,173,378c0.7,0,35.3,71,104,213c68.7,142,137.5,285,206.5,429c69,144,104.5,217.7,106.5,221l00c5.3,9.3,12,14,20,14Hv40H845.2724s225.272,467,225.272,467s235,486,235,486c2.7,4.7,9,7,19,7c6,0,10,1,12,3s194,422,194,422s65,47,65,47zM83480Hv40hz">​∣t−t2−2∣​=2<pathd="M95,702c2.7,0,7.17,2.7,13.5,8c5.8,5.3,9.5,10,9.5,14c0,2,0.3,3.3,1,4c1.3,2.7,23.83,20.7,67.5,54c44.2,33.3,65.8,50.3,66.5,51c1.3,1.3,3,2,5,2c4.7,0,8.7,3.3,12,10s173,378,173,378c0.7,0,35.3,71,104,213c68.7,142,137.5,285,206.5,429c69,144,104.5,217.7,106.5,221l00c5.3,9.3,12,14,20,14Hv40H845.2724s225.272,467,225.272,467s235,486,235,486c2.7,4.7,9,7,19,7c6,0,10,1,12,3s194,422,194,422s65,47,65,47zM83480Hv40hz">​∣−t2+t−2∣​=2<pathd="M95,702c2.7,0,7.17,2.7,13.5,8c5.8,5.3,9.5,10,9.5,14c0,2,0.3,3.3,1,4c1.3,2.7,23.83,20.7,67.5,54c44.2,33.3,65.8,50.3,66.5,51c1.3,1.3,3,2,5,2c4.7,0,8.7,3.3,12,10s173,378,173,378c0.7,0,35.3,71,104,213c68.7,142,137.5,285,206.5,429c69,144,104.5,217.7,106.5,221l00c5.3,9.3,12,14,20,14Hv40H845.2724s225.272,467,225.272,467s235,486,235,486c2.7,4.7,9,7,19,7c6,0,10,1,12,3s194,422,194,422s65,47,65,47zM83480Hv40hz">​∣t2−t+2∣​。由于t2−t+2=(t−12)2+74>0t^2t+2=(t\frac{1}{2})^2+\frac{7}{4}>0t2−t+2=(t−21​)2+47​>0，故d=(t−12)2+742d=\frac{(t\frac{1}{2})^2+\frac{7}{4}}{\sqrt{2}}d=2<pathd="M95,702c2.7,0,7.17,2.7,13.5,8c5.8,5.3,9.5,10,9.5,14c0,2,0.3,3.3,1,4c1.3,2.7,23.83,20.7,67.5,54c44.2,33.3,65.8,50.3,66.5,51c1.3,1.3,3,2,5,2c4.7,0,8.7,3.3,12,10s173,378,173,378c0.7,0,35.3,71,104,213c68.7,142,137.5,285,206.5,429c69,144,104.5,217.7,106.5,221l00c5.3,9.3,12,14,20,14Hv40H845.2724s225.272,467,225.272,467s235,486,235,486c2.7,4.7,9,7,19,7c6,0,10,1,12,3s194,422,194,422s65,47,65,47zM83480Hv40hz">​(t−21​)2+47​​。当t=12t=\frac{1}{2}t=21​时，dmin⁡=7/42=728d_{\min}=\frac{7/4}{\sqrt{2}}=\frac{7\sqrt{2}}{8}dmin​=2<pathd="M95,702c2.7,0,7.17,2.7,13.5,8c5.8,5.3,9.5,10,9.5,14c0,2,0.3,3.3,1,4c1.3,2.7,23.83,20.7,67.5,54c44.2,33.3,65.8,50.3,66.5,51c1.3,1.3,3,2,5,2c4.7,0,8.7,3.3,12,10s173,378,173,378c0.7,0,35.3,71,104,213c68.7,142,137.5,285,206.5,429c69,144,104.5,217.7,106.5,221l00c5.3,9.3,12,14,20,14Hv40H845.2724s225.272,467,225.272,467s235,486,235,486c2.7,4.7,9,7,19,7c6,0,10,1,12,3s194,422,194,422s65,47,65,47zM83480Hv40hz">​7/4​=872<pathd="M95,702c2.7,0,7.17,2.7,13.5,8c5.8,5.3,9.5,10,9.5,14c0,2,0.3,3.3,1,4c1.3,2.7,23.83,20.7,67.5,54c44.2,33.3,65.8,50.3,66.5,51c1.3,1.3,3,2,5,2c4.7,0,8.7,3.3,12,10s173,378,173,378c0.7,0,35.3,71,104,213c68.7,142,137.5,285,206.5,429c69,144,104.5,217.7,106.5,221l00c5.3,9.3,12,14,20,14Hv40H845.2724s225.272,467,225.272,467s235