初中九年级数学《切线长定理及三角形的内切圆》知识清单

初中九年级数学《切线长定理及三角形的内切圆》知识清单一、核心概念体系：厘清“切线与切线长”、“内切圆与外接圆”（一）【基础】切线长的定义经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。这里必须强调的是，切线是一条直线，无限长且不可度量；而切线长是切线上一条固定线段的长度，是一个数量，可度量。这是两者最本质的区别，也是初学者最容易混淆的地方1。（二）【重要】三角形的内切圆与内心1、三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。这个三角形叫做这个圆的外切三角形。2、三角形的内心：三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心26。3、多边形的内切圆：类似地，与多边形各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形。并非所有多边形都有内切圆，只有存在一个点到各边距离相等的多边形才有内切圆。（三）【难点】易混概念辨析：“接”与“切”为了深刻理解，必须将三角形的内切圆与三角形的外接圆进行对比学习，这在中考的基础题中经常出现26。■三角形的外接圆• 圆心名称：外心• 圆心确定方法：三角形三边垂直平分线的交点• 性质：到三角形三个顶点的距离相等• 位置：锐角三角形在内，直角三角形在斜边中点，钝角三角形在外■三角形的内切圆• 圆心名称：内心• 圆心确定方法：三角形三条角平分线的交点• 性质：到三角形三边的距离相等• 位置：一定在三角形内部记忆技巧：“接”是指顶点在圆上，即圆与多边形顶点相接，所以外接圆过顶点；“切”是指边与圆相切，所以内切圆与边相切。二、切线长定理：圆的核心对称性工具（一）【非常重要】【高频考点】定理内容从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角1。几何语言表述：∵PA、PB分别切⊙O于A、B两点∴PA=PB，∠APO=∠BPO，且OA⊥PA，OB⊥PB。（二）【难点】定理的证明思路与几何思想1、证明基石：连接圆心和切点，构造直角三角形。2、核心思想：切线长定理完美体现了圆的轴对称性。过圆外一点与圆心的直线就是整个图形的一条对称轴。3、证明路径：连接OA、OB、OP。由于OA⊥PA，OB⊥PB，在Rt△OAP和Rt△OBP中，OA=OB，OP=OP，根据“HL”定理，两三角形全等，从而推导出PA=PB，且∠APO=∠BPO1。（三）【重要】切线长定理的基本图形与衍生结论如图（教材P99图24.214），PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，直线OP交⊙O于点D、E，交AB于点C。基于这个基本图形，可以推导出一系列重要的几何关系，这是解决综合题的“宝库”1。1、垂直关系：OP⊥AB（通过等腰三角形PAB三线合一证明）；OA⊥PA，OB⊥PB（切线的性质）。2、全等三角形：△OAP≌△OBP；△OAC≌△OBC；△ACP≌△BCP。3、等腰三角形：△PAB是等腰三角形（PA=PB）；△AOB是等腰三角形（OA=OB）。4、重要的等角：∠AOP=∠BOP=1/2∠AOB；∠APB+∠AOB=180°（在四边形内角和中利用两个直角推导）。5、弧相等：AD弧=BD弧（垂径定理或圆心角相等推导）。（四）【高频考点】切线长定理的四大核心应用题型1、求线段长度：直接运用PA=PB建立方程。2、求角度大小：运用角平分线性质和圆周角、圆心角的关系。3、证明线段相等或角相等：这是几何证明题的常见切入点。4、解决最值问题：结合两点之间线段最短或垂线段最短求解。三、三角形的内切圆：内心的几何特性与计算模型（一）【重要】内心的确定与性质1、作图法：作三角形任意两个内角的平分线，其交点即为圆心；过交点向任意一边作垂线，垂线段长度即为半径26。2、性质一：内心到三角形三边的距离相等（这个距离就是内切圆半径r）。3、性质二：内心与三角形顶点的连线平分三角形内角210。4、【非常重要的结论】性质三：在△ABC中，内心为I，则∠BIC=90°+1/2∠A。同理，∠AIC=90°+1/2∠B，∠AIB=90°+1/2∠C。这是一个高频考点，常出现在选择和填空题中24。（二）【难点】三角形内切圆半径的计算公式（代数与几何的结合）设△ABC的三边分别为a、b、c，面积为S，内切圆半径为r。1、通用公式（面积法）：S=1/2r(a+b+c)。即三角形的面积等于其半周长与内切圆半径的乘积。证明思路：连接内心与三个顶点，将大三角形分割为三个以原三角形边为底、以内切圆半径为高的小三角形，面积相加即得4。2、【特殊三角形公式】直角三角形内切圆半径：在Rt△ABC中，∠C=90°，则r=(a+bc)/2=(两直角边和斜边)/2。或者利用切线长定理，设切点分边，易得此结论。3、【拓展】对于一般三角形，已知三边可用海伦公式先求面积S，再代入通用公式求r。（三）【热点】圆外切四边形的性质1、性质：圆外切四边形的两组对边之和相等1。2、几何语言：四边形ABCD有内切圆⊙O，则AB+CD=AD+BC。3、逆定理：若四边形两组对边之和相等，则该四边形有内切圆。四、解题方法与策略模型（一）【非常重要】“设未知数列方程”的代数解法在解决涉及三角形内切圆或切线长的计算问题时，设出相应的线段长，利用切线长相等的关系，将图形中的线段用含未知数的代数式表示，最后利用勾股定理或周长条件列出方程，是最高效的解题通法13。1、标准模型（已知三角形三边求内切圆与边的切点分割长度）：在△ABC中，内切圆切BC于D，切AC于E，切AB于F。设BD=BF=x，CD=CE=y，AE=AF=z。则有方程组：x+y=a(BC边)x+z=b(AB边?注意对应关系：通常AB=c，则AF+BF=c,即z+x=c)y+z=c(AC边?通常AC=b，则AE+CE=b,即z+y=b)（注意：顶点对应的边要准确标注，通常设AF=AE=x,BF=BD=y,CD=CE=z，则三边为：AB=x+y,BC=y+z,AC=x+z）通过解此方程组，即可求得各切点分边的具体长度13。（二）【难点】常见辅助线的作法1、遇切线，连半径：连接圆心和切点，构造直角三角形，得到垂直关系。2、遇圆外一点引两切线，连这点与圆心：连接圆外一点和圆心，构造角平分线、等腰三角形或全等三角形。3、遇三角形内切圆，连顶点与内心：连接内心和三角形顶点，利用角平分线性质求角度。4、遇两圆相切，作公切线：过切点作两圆的公切线，利用弦切角定理转移角度9。（三）【易错点】思维盲区警示1、误把切线当切线长：切线是直线，不可度量；切线长是数量，可计算。2、内心与外心混淆：尤其是在求角度时，若将内心的90°+1/2∠A错用为外心的2∠A关系，会导致全盘错误。3、忽略直角三角形内切圆半径的第二种形式：有时用r=(a+bc)/2比用面积法更快。4、在复杂图形中识别基本图形：例如两个切线长定理模型共存于一个图形中时，要逐一分析，避免漏解。五、深度拓展与中考考向预测（一）【热点】与相似三角形及锐角三角函数的综合近年来中考压轴题常将切线长定理置于坐标系或动态几何中，与相似、三角函数结合考查。1、考向预测一：给定圆外一点P的坐标和圆的方程（或圆心坐标），求过P点的切线长及两条切线的夹角。2、解题路径：利用两点间距离公式求PO，利用勾股定理求切线长PA，利用三角函数求∠APO，进而求∠APB。3、考向预测二：在动态问题中，探究两切线夹角与圆心角之间的函数关系。（二）【难点】与全等三角形构造的综合通过作辅助线构造全等三角形，证明线段相等或角相等是常规套路。1、经典例题模式：如图，PA、PB切⊙O于A、B，点C是优弧AB上一点，求证：∠APB=2∠ACB。2、分析思路：连接OA、OB，则∠AOB=2∠ACB。由切线长定理的衍生结论知，∠AOB+∠APB=180°，通过等量代换即可得证（或通过四边形内角和与圆周角定理推导）。（三）【综合与实践】数学建模：实际应用中的内切圆1、工程问题：如在一块三角形余料中截取面积最大的圆形零件。这个问题本质上就是求三角形的内切圆，因为面积最大的圆必定与三边相切10。2、生活问题：如在一个四边形地块中修建一个尽可能大的圆形花坛，这需要探讨该四边形是否有内切圆，即是否满足对边之和相等。六、分层达标训练与能力进阶（一）基础巩固（考查概念与简单计算）1、下列说法正确的是（）8A.三角形的内心到三角形的三个顶点的距离相等（错误，到三边距离相等）B.三点确定一个圆（错误，不在同一直线上的三点）C.垂直于半径的直线一定是这个圆的切线（错误，必须过半径外端）D.任何三角形有且只有一个内切圆（正确）2、已知⊙O的半径为3cm，点P到圆心O的距离为6cm，过P作⊙O的两条切线，则切线长为______cm，两切线的夹角为______度1。（答案：3√3；60°）（二）能力提升（考查定理的综合运用）3、如图，PA、PB切⊙O于A、B，∠P=50°，点C是圆上异于A、B的一动点，则∠ACB=______。（答案：65°或115°。注意分两种情况：点C在优弧AB上或劣弧AB上。连接OA、OB，先求∠AOB=130°，再根据圆周角定理求解。）（三）压轴挑战（考查建模与方程思想）4、已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8。求：（1）△ABC的内切圆半径r；（2）若与AC、BC边相切，且圆心在AB边上的圆的半径。（分析：（1）直接利用r=(a+bc)/2或面积法；（2）此为半内切圆问题，需利用相似三角形或面积分割法求解。体现了从“定圆”到“动圆”的思维跨越。）七、总结反思：构建知识网络切线长定理是圆这一章节中承上启下的核心内容。它上承切线的性质与判定，下接圆内接四边形与