第10讲 对数运算及对数函数的图像与性质【原卷版】2027届高考数学一轮复习题型全归纳

2027届高考数学一轮复习题型全归纳2/45第10讲对数运算及对数函数的图像与性质题型总览题型总览总览核心题型归纳（目录）模块一模块一核心题型·举一反三【题型1】指对互化及其运算核心知识1指对互化定义若（）则2对数的基本性质 3对数运算律（） （）方法技巧 互化优先看到指数式或对数式优先考虑互化统一形式 运算顺序先处理幂运算再进行加减运算 整体代换复杂对数式可设转化为指数式求解【经典例题1】（25-26高一下·湖南衡阳·期中）已知3a=2，log92=b，则A．4 B．42 C．8 【经典例题2】（2026·山东泰安·模拟预测）已知3m=2，n=log【巩固练习1】（2026·浙江绍兴·模拟预测）已知alog32=1，则【巩固练习2】（25-26高三下·浙江杭州·阶段检测）已知3x=12,log39A．2 B．3 C．4 D．5【巩固练习3】（2026·天津·一模）若4a=9，3b=4，则A．32log23 B．32log【题型2】对数的换底公式核心知识1换底公式（）2常用推论 方法技巧 底数统一当底数不同时优先换为相同底数（常用或） 推论速用遇到底数或真数带幂次直接用简化 倒数关系利用处理互为倒数的底数【经典例题1】（2026·内蒙古鄂尔多斯·二模）已知a=log0.13，b=A．a+b<ab<0 B．ab<a+b<0 C．a+b<0<ab D．ab<0<a+b【经典例题2】（2026·内蒙古鄂尔多斯·二模）已知a=log0.13，b=A．a+b<ab<0 B．ab<a+b<0 C．a+b<0<ab D．ab<0<a+b【巩固练习1】（25-26高一上·上海·期中）已知实数a>1，且log2a−2loga【巩固练习2】（25-26高一下·上海·阶段检测）已知logab+logba=5【巩固练习3】（25-26高一上·山西太原·期末）（1）求log3（2）已知ea=3,eb=5【题型3】对数运算的实际应用【经典例题1】（25-26高三下·贵州遵义·阶段检测）某放射性物质在衰变过程中，剩余质量与时间的关系式为mt=m0⋅12tT参考数据：lgA．25 B．27 C．29 D．31【经典例题2】（25-26高三上·安徽淮北·期中）某一物质在特殊环境下的温度变化满足：T=20lnω1−ω0ω−ω0（T为时间，单位为min，ω0为特殊环境温度，ω1为该物质在特殊环境下的初始温度，ωA．48℃ B．50℃ C．52℃ D．54℃【巩固练习1】（2026·云南·模拟预测）大气压强P（单位：kPa）与海拔高度h（单位：m）之间的关系可由公式P=P0⋅e−kℎ近似描述，其中P0为海平面标准大气压强，k为常数．已知在某地区，海拔4000米处的大气压强为60kPa，海拔8000米处的大气压强为40kPa．若在该地区测得某地的大气压强为45kPa，则该地的海拔高度约为（A．5400米 B．6100米 C．6800米 D．7500米【巩固练习2】（25-26高一上·广东深圳·期末）物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度是T0,tmin后的温度是T，则T−Ta=T0−Ta⋅12t（参考数据：lg2≈0.30,A．14min B．15min C．16min D．17min【巩固练习3】（25-26高一上·安徽芜湖·期末）酒驾是严重危害交通安全的违法行为，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达到20∼79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了0.9mg/（结果取整数，参考数据：lg2≈0.30,A．5 B．6 C．7 D．8【题型4】对数函数的定义核心知识1对数函数标准形式（）2判定条件底数且真数为自变量系数为13常见非对数函数方法技巧 三步判定一看底数范围二看真数是否为纯三看系数是否为1 易错提醒注意区分对数函数与对数型复合函数对数函数的真数必须是【经典例题1】（25-26高一上·江苏无锡·期中）已知定义在(0,+∞)上的函数fx满足fxy=fx+f【经典例题2】（2025高二上·山东枣庄·学业考试）已知定义在0,+∞上的函数y=fx满足：∀s,t∈0,+∞,fs=f【巩固练习1】（25-26高三上·北京·阶段检测）已知对数函数fx过点14，−2，则fx的解析式为___________，f【巩固练习2】（2025高一上·全国·专题练习）若函数f(x)=a2−3a+3logaA．1或2 B．1 C．2 D．a>0且a≠1【巩固练习3】（24-25高一上·江苏无锡·阶段检测）已知对数函数y=logax（a>0且a≠1）的图象过点4,12A．14 B．12 C．2【题型5】对数函数的定义域核心知识1标准对数函数（）定义域为2复合型对数函数定义域限制真数大于0底数大于0且不等于1分母不为0等3典型限制形式要求要求方法技巧 分层分析先列全所有限制条件再分别求解不等式最后取交集 易错点底数为参数时需同时满足底数底数真数 复合函数若对数函数为外层需先保证内层函数的值域在内【经典例题1】（25-26高二下·北京延庆·期中）函数y=lg−【经典例题2】（25-26高二下·北京海淀·期中）函数f(x)=ln1−xx【巩固练习1】（24-25高一上·安徽淮北·期末）（多选）已知函数fx=log2ax2A．5 B．0 C．8 D．6【巩固练习2】（25-26高一下·河南·阶段检测）已知函数fx=lnlnx的定义域为A，函数gA．“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件B．“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件C．“x∈A”是“x∈B”的充要条件D．“x∈A”是“x∈B”的既不充分也不必要条件【巩固练习3】（25-26高一上·湖南娄底·期末）已知函数fx=log4ax2+2x+3，若当fx的定义域为R时实数a的取值范围为集合A，当fA．A=13,+∞ B．B=0,1【题型6】对数型函数的奇偶性核心知识1奇偶性定义定义域关于原点对称且为偶函数为奇函数2对数型奇偶函数常见形式 奇函数典型形式 偶函数典型形式3关键性质奇函数在处有定义时偶函数满足方法技巧 判定步骤 1先求定义域验证是否关于原点对称不对称则直接非奇非偶 2计算利用对数运算律化简 3对比与的关系得出奇偶性结论 化简技巧 利用处理分式形式的真数 利用转化符号 对利用有理化证明奇偶性 特殊结论 （）是奇函数 是奇函数 是偶函数【经典例题1】（25-26高三下·河南周口·开学考试）若函数fx=ln1+ax+3A．−6 B．−2 C．2 D．6【经典例题2】（24-25高一上·上海·期末）已知函数f(x)=log411−x【巩固练习1】（24-25高三上·云南·阶段检测）若函数fx=2x+aln【巩固练习2】（2024·宁夏银川·二模）若fx=lna+【巩固练习3】（25-26高三上·浙江温州·期末）已知fx=lnx+1x−1A．−2 B．−1 C．0 D．1【题型7】对数函数的图像及其变换核心知识1标准对数函数图像特征 图像过单调递增上凸过 图像过单调递减下凸过2图像变换规律 平移变换左加右减上加下减 对称变换与关于轴对称与关于轴对称 伸缩变换水平伸缩垂直伸缩方法技巧 定点追踪对数函数恒过定点可通过追踪定点判断变换结果 变换顺序平移变换优先于伸缩变换或先伸缩再平移时注意平移量调整 图像对比利用“底大图低”规律比较不同底数对数函数的图像高低【经典例题1】（25-26高一上·甘肃兰州·期中）若函数f(x)=ax+b(a>0且a≠1)的图象如图，其中a，b为常数，则函数g(x)=log

A．

B．

C．

D．

【经典例题2】（2026·贵州毕节·二模）已知函数f(x)=log2(ax+b),(a+b>1)的图象过点(1,1)，且无限接近直线x=3，但又不与该直线相交，则A．−4 B．4 C．−4或−1 D．−1【巩固练习1】（25-26高三下·辽宁抚顺·阶段检测）已知函数fx=logax−b（a>0A．0<a<1，−1<b<0 B．0<a<1，b<−1C．a>1，−1<b<0 D．a>1，b<−1【巩固练习2】（25-26高一上·云南昭通·期末）函数y=logax(a>0，且a≠1)

A．

B．

C．

D．

【巩固练习3】（25-26高一上·广东江门·期末）已知函数f(x)=−a12|x|+b(a>0且a≠1)的图像经过坐标原点.则函数y=f(x)与函数A． B．C． D．【题型8】对数型函数的单调性核心知识1标准对数函数单调性时在上单调递增时在上单调递减2复合型对数函数单调性遵循同增异减原则结合内层函数单调性判断3典型复合形式外层为对数函数内层为定义域需满足方法技巧 分层分析步骤 1先求函数定义域 2分析内层函数的单调区间 3结合外层对数函数的底数范围（或）利用同增异减判断整体单调性 易错点忽略定义域单调区间必须在定义域内 含参数讨论底数含参数时需分和两种情况讨论【经典例题1】（25-26高三下·山东日照·阶段检测）函数fx=logaA．−∞,−1 B．−1,12 C．【经典例题2】（2026·云南昆明·二模）已知函数fx=lnA．fx是奇函数，且在0,+B．fx是奇函数，且在0,+C．fx是偶函数，且在0,+D．fx是偶函数，且在0,+【巩固练习1】（25-26高二下·宁夏银川·期中）函数f(x)=loga(5−ax)(a>0,a≠1)在1,3上是减函数，则aA．53,+∞ B．15,1 【巩固练习2】（2026·河北张家口·二模）已知a>0,a≠1，若函数fx=logax+3,x>11−axA．32,2 B．1,2 C．52【巩固练习3】（25-26高三下·江苏连云港·阶段检测）已知实数a>0，函数fx=lnx⋅lneaA．0<a≤2ln2 B．a≤2ln3 C．【题型9】对数型函数的值域与最值核心知识1标准对数函数（）值域为2复合型对数函数值域换元法令先求的范围再求的范围最后结合对数函数单调性求值域3常见最值形式换元后转化为二次函数求最值方法技巧 换元三步法换元求的范围求外层函数的值域 二次型对数函数设转化为结合的范围求最值 边界注意对数函数的值域需结合定义域和单调性判断端点处的取值【经典例题1】（25-26高一上·湖南邵阳·期末）已知函数f(x)=lne2x−texA．0,42 B．1,42 C．(0,8) 【经典例题2】（25-26高一上·山东聊城·阶段检测）已知a>0且a≠1，函数f(x)=loga(2+x)+loga(2−x),x∈[0,2A．2 B．22 C．2或12 D．2【巩固练习1】（24-25高二下·浙江·期中）已知函数f(x)=log2x，正实数m，n满足m<n，且f(m)=f(n)，若m+n=52，则f(x)A．2 B．52 C．1 D．【巩固练习2】（24-25高三下·重庆荣昌·开学考试）已知函数fx=4x,x≥a−2log2x,0<x<aA．12,1 B．12,+∞ 【巩固练习3】（24-25高一上·河北石家庄·阶段检测）已知函数fx=x+4−2a,x<11+alog2x,x≥1，若fA．2 B．−∞,2 C．−∞【题型10】换元法求对数型函数的值域核心知识1适用场景形如等复合对数函数2换元原则令或将对数函数转化为熟悉的二次函数或一次函数3关键步骤确定换元后新元的取值范围再求外层函数的值域方法技巧 换元法步骤 1观察函数结构确定合适的换元对象 2求出的取值范围（由对数函数定义域和单调性决定） 3分析外层函数的单调性或最值结合的范围求值域 易错点换元后必须标注的取值范围避免扩大或缩小值域 常见形式处理 二次型对数函数用配方法或顶点式求最值 分式型对数函数分离常数或利用反比例函数性质【经典例题1】（24-25高一上·四川绵阳·阶段检测）若关于x的不等式k<log3x2−log33x【经典例题2】（23-24高一上·安徽宣城·期末）已知实数x满足不等式2log2x2−5【巩固练习1】（2023·云南·模拟预测）已知fx=log2x1≤x≤16，设【巩固练习2】（25-26高一下·河南商丘·阶段检测）已知函数fx=logax（a>0，且a≠1(1)求函数fx(2)当x∈1,9，求函数gx=f【巩固练习3】（25-26高一上·安徽芜湖·期末）已知函数fx(1)当x∈1,8(2)若fx≤mlog2x【题型11】比较对数式的大小核心知识1同底不同真数利用对数函数单调性比较2同真数不同底利用换底公式转化为同底或利用图像判断3不同底不同真数引入中间量（如01）比较4常用中间量0（对应真数为1）1（对应真数为底数）方法技巧 分类比较法 1同底：底数时真数大的对数大；时真数大的对数小 2同真数：真数大于1时底数大的对数小；真数在时底数大的对数大 3不同底不同真数：先判断与01的大小关系再排序 作差/作商法利用对数运算律化简再判断符号 图像法在同一坐标系中画出对数函数图像直观比较函数值大小【经典例题1】（25-26高一下·贵州毕节·期中）已知a=ln43，b=314，c=12，则a【经典例题2】（2026高一·全国·专题练习）若a=log0.20.3,b=log2【巩固练习1】（2026·湖北武汉·三模）已知a=log32，b=log511，c=log23A．a<c<b B．b<c<a C．b<a<c D．a<b<c【巩固练习2】（2026·天津滨海新区·三模）设a=log45，b=A．a>b>c B．b>a>c C．c>a>b D．c>b>a【巩固练习3】（25-26高一下·贵州毕节·阶段检测）已知a=log45，b=log3A．a<c<b B．a<b<c C．b<c<a D．c<a<b【题型12】对数函数图像的复杂计算【经典例题1】（2025·贵州铜仁·模拟预测）已知两条水平直线l1:y=a和l2:y=16a+1a∈0,72,l1与函数y=lnx的图形从左到右相交于A,B两点；l2与函数y=lnx的图形从左到右相交于【经典例题2】（24-25高一上·浙江金华·期末）如图，平行于y轴的直线分别与函数fx=log2x及gx=log2x+2的图象交于点B，C，点A

【巩固练习1】（24-25高一上·广西南宁·期末）如图，平行于y轴的直线分别与函数y1=log2x及y2=log2x+2的图像交于点B和C【巩固练习2】（24-25高一上·江苏南通·阶段检测）若直线y=t与函数y=log2x,y=log5x,y=logax(a>0且a≠1)的图象分别交于A,B,C三点，若

【巩固练习3】（23-24高一上·山东日照·期末）如图所示，直线OB与对数函数y=logaxa>1的图象交于E，B两点，经过E的线段AC垂直于y轴，垂足为C．若四边形OABC是平行四边形，且周长为16，则实数【题型13】对数函数函数的图像与性质综合题型【经典例题1】（25-26高一下·重庆·阶段检测）已知函数fx(1)若f2<0，求(2)若x1, x2①求t的取值范围；②设函数gx=fx【经典例题2】（25-26高一上·上海·期末）设常数a>0，a≠1，fx(1)已知y=fx的图象过点2,2，求实数a(2)若f2>f16(3)当a=2时，求函数y=fx−m⋅log2x【巩固练习1】（25-26高一下·湖南衡阳·阶段检测）已知函数fx(1)若fx的定义域为R，求实数m(2)当m=3时，若fx在a,+∞上单调递增，求实数(3)设函数gx=2x+12x【巩固练习2】（25-26高一上·广东汕头·期末）已知定义在R上的函数f(x)=3(1)求a的值；(2)用定义证明：f(x)为增函数(3)设函数g(x)=log3x3⋅log3x9【巩固练习3】（25-26高一下·河北衡水·开学考试）已知函数f(x)=log(1)求函数f(x)的零点；(2)判断函数f(x)的奇偶性与单调性；(3)对∀x1∈[−1,1],∃x2【题型14】反函数及其应用核心知识1反函数定义若函数的定义域为值域为且对任意存在唯一使得则称为的反函数2对数函数与指数函数互为反函数与互为反函数3反函数的性质 定义域与值域互换 图像关于直线对称 方法技巧 求反函数步骤 1由解出关于的表达式 2交换和写出反函数 3标注反函数的定义域（原函数的值域） 利用反函数性质解题 利用图像对称性已知一个函数图像求另一个【经典例题1】（2026·广东广州·二模）若函数y=f(x)的图象与y=log3x+a的图象关于直线y=x对称，且f(2)=18，则a=（A．−9 B．−log32 C．【经典例题2】（25-26高一上·贵州毕节·阶段检测）已知函数fx=xex−2，g【巩固练习1】（25-26高一下·安徽安庆·开学考试）已知函数f(x)=ex+x−2的零点为a、函数g(x)=lnx+x−2A．a2+b2<3 B．a2【巩固练习2】（25-26高一上·重庆·期末）已知a>1，x1，x2分别是函数fx=ex+x−a与g【巩固练习3】（25-26高三上·辽宁锦州·期末）设函数y=fx的图象与y=2x+a的图象关于直线y=−x对称，且f−2+fA．3 B．2 C．1 D．0.课后过关检测课后过关检测一、单选题1．（2026·河北廊坊·一模）函数fx=lnA． B． C． D．2．（24-25高一上·湖北黄冈·阶段检测）设a=log32，b=A．c<b<a B．a<b<c C．b<a<c D．a<c<b3．（2026·福建·模拟预测）已知fx是定义在R上的奇函数，且当x>0时，fx=2xA．−289 B．−269 C．4．（2026·河南·模拟预测）风电是我国新能源战略的核心支柱，某型号海上风电机组的安全运行标准中，风力等级与轮毂高度风速的关系满足方程：lgn=23lgv+120（其中v为轮毂高度风速，单位：ms，A．9级 B．11级 C．13级 D．15级5．（2026·陕西榆林·三模）已知定义域为R的偶函数fx在−∞,0上单调递减，若a=f−13log32A．c>a>b B．c>b>a C．b>a>c D．b>c>a6．（25-26高一下·浙江·开学考试）函数f(x)=loga(2x−1)+1（a>0且a≠1）的图象过定点A(m,n)，若正数x，y，满足mx+ny=3，则3A．1 B．2 C．115 7．（2026·西藏日喀则·模拟预测）若曲线y=x−alog21−2x关于直线A．−2 B．2 C．0 D．1二、多选题8．（25-26高一下·河南·阶段检测）已知函数fx=lnx2A．fxB．当m2−4n≥0时，若fC．fx在定义域内的区间−D．当m2−4n<0时，f9．（25-26高一上·贵州遵义·期末）函数fx=lnA．fx的定义域为R B．fxC．fx是奇函数 D．fx在区间10．（25-26高一下·河北