第10讲函数的单调性、奇偶性、周期性（知识清单+7典例精讲+5方法技巧+分层训练）（解析版）

第10讲函数的单调性、奇偶性、周期性（知识清单+7典例精讲+5方法技巧+分层训练）近3年考查情况题型分值单调性与奇偶性综合、周期性应用、函数值大小比较单选、多选题5分/6分奇偶性判断、单调性应用、简单周期性计算单选、填空题5分基础单调性、奇偶性判断，难度偏低单选、填空题5分单调性与不等式结合、周期性与奇偶性综合，偶渗透导数应用单选、解答题5分/10分【知识点01】函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地,设函数f(x)的定义域为D,区间I⊆D,如果∀x1,x2∈I当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就称函数f(x)在区间I上单调递增,特别地,当函数f(x)在它的定义域上单调递增时,我们就称它是增函数当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么就称函数f(x)在区间I上单调递减,特别地,当函数f(x)在它的定义域上单调递减时,我们就称它是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减,那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间I叫做y＝f(x)的单调区间.【例1】用定义法证明f(x)=x2+2x证明：任取x1,xf(=(因x1<x2，故x2−x1>0故f(x)=x2+2x【知识点02】函数的最值前提一般地,设函数y＝f(x)的定义域为D,如果存在实数M满足条件(1)∀x∈D,都有f(x)≤M；(2)∃x0∈D,使得f(x0)＝M(1)∀x∈D,都有f(x)≥M；(2)∃x0∈D,使得f(x0)＝M结论M是函数y＝f(x)的最大值M是函数y＝f(x)的最小值【例2】求f(x)=x2−2x+3解析：函数对称轴为x=1，开口向上，在[0,1]单调递减，[1,3]单调递增。最小值：f(1)=12【知识点03】函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果∀x∈D,都有－x∈D,且f(－x)＝f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数关于y轴对称奇函数一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果∀x∈D,都有－x∈D,且f(－x)＝－f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数关于原点对称【例3】判断下列函数的奇偶性：（1）f(x)=x3+2x；（2）f(x)=解析：（1）定义域为R（关于原点对称），f(−x)=(−x)（2）定义域为R（关于原点对称），f(−x)=(−x)（3）定义域为R，f(−x)=−x+1，既不满足f(−x)=f(x)，也不满足f(−x)=−f(x)，故非奇非偶。【知识点04】函数的周期性(1)周期函数：一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果存在一个非零常数T,使得对每一个x∈D都有x＋T∈D,且f(x＋T)＝f(x),那么函数y＝f(x)就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.【例4】已知函数f(x)满足f(x+2)=−f(x)，且f(1)=3，求f(5)的值。解析：由f(x+2)=−f(x)，可得：f(x+4)=f[(x+2)+2]=−f(x+2)=−[−f(x)]=f(x)故f(x)的周期为4，因此f(5)=f(1+4)=f(1)=3。【题型一】定义法判断或证明函数的单调性【例1】（2025·河南·一模）函数的值域为正整数集的子集，，对任意两个不相等的正整数a，b，都有成立，则（

）A．54 B．66 C．81 D．89【答案】B【分析】根据函数单调性结合已知不等式，再应用赋值法计算得出即可求解.【详解】因为，所以，即，设，所以，所以为上的单调增函数.由，令，，则有.又，所以由不等式得，又，所以①.因为，所以，，②.，，，，由于是上的单调增函数，所以.因此.因为已求得，所以上述不等式取等号，这意味着当时，都有.所以.所以③.综合①②③有，.故选:B.【变式1】（2024·江苏苏州·模拟预测）已知定义在区间上，值域为的函数满足：①当时，；②对于定义域内任意的实数a、b均满足：．则（

）A．B．C．函数在区间上单调递减D．函数在区间上单调递增【答案】D【分析】赋值：令代入可得，令代入可得函数为奇函数，再根据函数单调性定义可以证明函数在的单调性.【详解】对A，令，则，，即，故，所以A不正确；对B，取代入：，即，即在上为奇函数，设，所以，且，故：即：，故B错误；对C，由B知函数在上单调递增，故C错误；对D，由C结合函数为奇函数且，所以在上单调递增，故D正确.故选：D.【变式2】（多选）（2026·四川宜宾·一模）定义在上的函数，对都有，且，则下列说法正确的是（

）A． B．数列单调递减C． D．数列的前n项和为，则【答案】ACD【详解】由函数方程可得，又，可推出，可得，对任意正整数数成立.对于选项:正确.对于选项:递增，故单调递减错误.对于选项:是凸函数，满足，正确.对于选项:前项和，正确.【变式3】（2024·山东济南·三模）已知函数，且.(1)求的值;(2)判断函数在上是增函数还是减函数，并证明.【答案】(1)1(2)增函数，证明见解析【分析】（1）将代入函数求值即可；（2）利用单调性的定义判断即可.【详解】（1），（2）函数为增函数，证明如下：设是上的任意两个实数，且，则当时，，，从而，即，∴函数在上为增函数.【题型二】根据函数的单调性解不等式【例2】（2026·广西崇左·二模）已知函数在上单调递增，若，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为函数在上单调递增，，所以，解得，故B正确.【变式1】（多选）（2024·江西·一模）已知函数，若不等式对任意的恒成立，则实数a的取值可能是（

）A． B． C．1 D．2【答案】BCD【分析】先根据函数解析式判断对称性，再结合导数判断单调性，根据对称性和单调性得出答案.【详解】因为，所以，即函数的图象关于直线对称.当时，为增函数；令，则，时，，，所以，所以为增函数，所以当时，为增函数.由对称性可知，当时，为减函数.因为恒成立，所以恒成立，即，解得.故选：BCD.【变式2】（2025·陕西汉中·一模）已知函数，则不等式的解集是_________．【答案】【分析】根据函数的单调性对不等式进行求解，从而确定正确答案.【详解】依题意，函数在上单调递增，所以不等式可化为，即，解得，所以不等式的解集是.故答案为：【变式3】（2025·安徽合肥·一模）已知函数.(1)若函数在区间上是单调函数，求实数的取值范围；(2)若，且，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据复合函数的单调性和定义域求解；（2）先求解函数定义域、单调性和奇偶性，则，即.【详解】（1）令，则函数在函数单调递增，所以在上单调，所以或所以；（2）由，得，其定义域为且单调递增，又，所以是奇函数，所以，所以.【题型三】比较函数值的大小关系【例3】（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】代入得到，再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断.【详解】因为当时，所以，又因为，则，，，，，则依次下去可知，则B正确；且无证据表明ACD一定正确.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用，再利用题目所给的函数性质，代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可.【变式1】（2026·广东深圳·二模）设，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【详解】单调递增，，单调递增，，，即“”是“”的充要条件.【变式2】（多选）（2025·福建福州·模拟预测）已知定义在上的函数满足,且当x>1时，，则（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】应用赋值法得到时，；构造出的等量关系，再结合不等式性质判断即可.【详解】由题意，，.赋值，得；赋值，得，即，当时，，当时，则，所以，即；所以，A正确，取，则，，显然不成立，B错，赋值，得，解得，即；由，，得，其中由，可知，当时，，即；当时，，即；故C错误；，得；又，所以，则，故，且不恒为，故D正确.故选：AD.【变式3】（2024·河北邢台·二模）若，，，则a，b，c的大小关系是______（请用“<”连接）．【答案】【分析】根据给定条件，构造函数，再利用导数比较大小即可.【详解】令函数，，得，即函数在上单调递增，，则，即，令函数，得，即即函数在上单调递减，，则，即所以a，b，c的大小关系是故答案为：【题型四】函数的最值【例4】（2026·陕西西安·三模）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由的值域确定大小关系.【详解】因为，所以．【变式1】（2024·江西鹰潭·三模）若的最小值是4，则实数的值为（

）A．6或 B．或18C．6或18 D．或【答案】A【分析】分，，三种情况，得出每种情况下的最小值，令其为4，解出的值.【详解】当时，，，解得，符合题意；当时，，，解得，符合题意；当时，，，舍掉.故选：A.【变式2】（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数，且在上恒成立，则实数的最小值为___________．【答案】【分析】利用所给定义域构造基本不等式求最值【详解】当时，，当且仅当时等号成立．又，即a≥−3，∴实数的最小值为-3．【变式3】（2025·江西景德镇·模拟预测）已知函数，对于任意，满足时，的取值范围为__________.【答案】【分析】先判断在R上单调递增，再求出区间内的最值，然后由基本不等式可得.【详解】在R上单调递增，不妨设，记所以当时，取得最小值0；当时，取得最大值，当且仅当时取等号，所以的取值范围为.故答案为：.【题型五】函数奇偶性的定义与判断【例5】（多选）（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数的定义域为，，则（

）．A． B．C．是偶函数 D．为的极小值点【答案】ABC【分析】方法一：利用赋值法，结合函数奇偶性的判断方法可判断选项ABC，举反例即可排除选项D.方法二：选项ABC的判断与方法一同，对于D，可构造特殊函数进行判断即可.【详解】方法一：因为，对于A，令，，故正确.对于B，令，，则，故B正确.对于C，令，，则，令，又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确，对于D，不妨令，显然符合题设条件，此时无极值，故错误.方法二：因为，对于A，令，，故正确.对于B，令，，则，故B正确.对于C，令，，则，令，又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确，对于D，当时，对两边同时除以，得到，故可以设，则，当肘，，则，令，得；令，得；故在上单调递减，在上单调递增，因为为偶函数，所以在上单调递增，在上单调递减，

显然，此时是的极大值点，故D错误.故选：.【变式1】（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数的定义域为，，则（

）．A． B．C．是偶函数 D．为的极小值点【答案】ABC【分析】方法一：利用赋值法，结合函数奇偶性的判断方法可判断选项ABC，举反例即可排除选项D.方法二：选项ABC的判断与方法一同，对于D，可构造特殊函数进行判断即可.【详解】方法一：因为，对于A，令，，故正确.对于B，令，，则，故B正确.对于C，令，，则，令，又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确，对于D，不妨令，显然符合题设条件，此时无极值，故错误.方法二：因为，对于A，令，，故正确.对于B，令，，则，故B正确.对于C，令，，则，令，又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确，对于D，当时，对两边同时除以，得到，故可以设，则，当肘，，则，令，得；令，得；故在上单调递减，在上单调递增，因为为偶函数，所以在上单调递增，在上单调递减，

显然，此时是的极大值点，故D错误.故选：.【变式2】（2026·山东济南·三模）已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则的值为________．【答案】/【详解】因为是周期为2的偶函数，所以，因为当时，，所以.【变式3】（2025·内蒙古呼和浩特·二模）请写出一个同时满足以下3个条件的函数______．①、，且，都有；②且，使得；③．【答案】（答案不唯一，符合题意均可得分）【分析】根据三个条件分别得出函数所具有的性质，例如单调性、奇偶性等即可写出结果.【详解】由条件①可得在上单调递增，对于条件②不妨取，可知函数在一定条件下满足可乘性，并简化运算；由条件③可知函数为奇函数；因此可得满足题意.故答案为：【题型六】函数奇偶性的应用【例6】（多选）（2025·全国二卷·高考真题）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（

）A． B．当时，C．当且仅当 D．是的极大值点【答案】ABD【分析】对A，根据奇函数特点即可判断；对B，利用代入求解即可；对C，举反例即可；对D，直接求导，根据极大值点判定方法即可判断.【详解】对A，因为定义在上奇函数，则，故A正确；对B，当时，，则，故B正确；对C，，故C错误；对D，当时，，则，令，解得或（舍去），当时，，此时单调递增，当时，，此时单调递减，则是极大值点，故D正确；故选：ABD.【变式1】（2026·四川绵阳·模拟预测）已知是奇函数，当时，，则（

）A． B．2C． D．【答案】D【分析】根据函数的奇偶性以及对数运算求得正确答案.【详解】依题意，是奇函数，.【变式2】（2026·四川绵阳·模拟预测）已知是奇函数，当时，，则（

）A． B．2C． D．【答案】D【分析】根据函数的奇偶性以及对数运算求得正确答案.【详解】依题意，是奇函数，.【变式3】（2026·辽宁铁岭·模拟预测）已知奇函数满足：当时，，则________．【答案】4052【分析】化简的表达式即可求得答案.【详解】显然，注意到时，于是．【题型七】函数周期性的应用【例7】（2026·辽宁沈阳·三模）已知是定义在上且周期为的奇函数，当时，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意，结合，代入计算，即可求解.【详解】因为函数是定义在上且周期为的奇函数，且当时，，可得.【变式1】（2026·辽宁沈阳·三模）已知是定义在上且周期为的奇函数，当时，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意，结合，代入计算，即可求解.【详解】因为函数是定义在上且周期为的奇函数，且当时，，可得.【变式2】（2026·湖南岳阳·三模）已知的定义域为，周期为4，当时，，则______．【答案】7【详解】f(2027)=f(2027−4×506)=f(3)=2因此f(2027)=7．【变式3】（2026·安徽芜湖·二模）已知是定义在上的奇函数，且为偶函数，则__________.【答案】0【分析】由题设可得，，，进而得到，进而代值求解即可.【详解】由是定义在上的奇函数，得，由为偶函数，得，则，即，则，由，可得，即【解题大招01】单调性判断与证明核心：定义法适用于基础函数，导数法适用于复杂函数，精准判断单调区间。【例1】证明f(x)=x2−4x+3在[2,+解析：任取x1,xf(因x2−x1>0，x1+【解题大招02】奇偶性判断核心：第一步判断定义域是否关于原点对称（前提），第二步求f(−x)，第三步对比f(−x)与f(x)、−f(x)的关系。【例2】判断f(x)=x3x解析：①定义域为ℝ，关于原点对称；②f(−x)=(−x)3(−x)【解题大招03】周期性求解核心：熟记常见周期结论，复杂递推式通过变形推导周期。【例3】已知f(x+2)=−f(x)，证明f(x)的周期为4。解析：f(x+4)=f[(x+2)+2]=−f(x+2)=−[−f(x)]=f(x)，故周期T=4。【解题大招04】单调性与奇偶性综合应用核心：利用奇偶性转化变量范围，结合单调性比较大小、解不等式。【例4】已知f(x)是偶函数，且在[0,+∞)上单调递减，解不等式解析：偶函数满足f(x)=f(|x|)，不等式转化为f(|x−1|)>f(2)；因f(x)在[0,+∞)递减，故|x−1|<2，解得−1<x<3，解集为【解题大招05】单调性与最值综合核心：单调函数在区间端点取最值，非单调函数结合对称轴、极值点求解。【例5】求f(x)=2x+1在[1,5]上的最值。解析：f(x)在[1,5]上单调递增，最小值f(1)=3，最大值f(5)=11。【基础过关】（共8题）一、单选题1．（2026·安徽安庆·三模）定义在上的偶函数，当时，，则满足的的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先利用偶函数性质求出函数在上的分段表达式并明确其在上单调递增，再由单调性将转化为，最后解绝对值不等式得到的取值范围．【详解】当时，，，又是定义在上的偶函数，所以，所以，如图所示，因为，所以，解得，所以满足的的取值范围是．2．（2026·安徽芜湖·二模）已知，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为函数在上均为增函数，则在上为增函数，由，得，即，则不等式的解集为.3．（2026·河南开封·模拟预测）下列函数中是奇函数，且在区间上为减函数的是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】A选项，，定义域为，不满足奇函数定义域关于原点对称的要求，即：函数不是奇函数，所以A选项错误；B选项，，定义域为，定义域关于原点对称，且，所以是奇函数，当，设，则，因为，所以，，所以，即：，所以在上为减函数，所以B选项正确；C选项，，定义域为，定义域关于原点对称，，所以是偶函数，而不是奇函数，所以C选项错误；D选项，，定义域为，定义域关于原点对称，，所以是偶函数，而不是奇函数，所以D选项错误.二、多选题4．（2023·海南·模拟预测）已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，则（

）A．函数的图象关于点对称 B．函数的图象关于直线对称C． D．【答案】BCD【分析】根据题意，利用函数的奇偶性，推得函数的对称性和周期性，结合选项，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，由为奇函数得，因此，所以的图象关于点对称，所以A错误；对于B中，由为偶函数得，于是，即，所以的图象关于直线对称，所以B正确；对于C中，，从而，所以以4为周期，可得，由中，令，得，所以C正确；对于D中，由前面的分析可得，，所以，所以D正确．故选：BCD.5．（2024·河南郑州·模拟预测）若函数的定义域为R，则下列说法正确的是（

）A．若，则B．若对，，则C．若对，且，，则是R上的增函数D．若对，，则【答案】AC【分析】对于A项，直接计算即可判定；对于B项，通过递推关系可判定即可；对于C项，利用函数单调性的定义即可判定；对于D项，举出反例即可判定.【详解】A选项中，因为，所以，所以，故A正确；B选项中，因为，所以，所以，故B错误；C选项中，不妨设，则，所以是R上的增函数，故C正确；D选项中，若，满足，但不成立，故D错误．故选:AC．三、填空题6．（2025·山东烟台·三模）已知函数，若，则实数t的取值范围是__________．【答案】【分析】根据函数性质判断函数单调性，根据定义域及单调性，列出不等式，求出范围【详解】已知，其中和均为单调递增函数，且定义域为，所以在上单调递增，且，可得，可得，解得，故答案为：.7．（2025·陕西安康·模拟预测）已知函数的图象关于中心对称，且在上单调递减，若，则实数a的取值范围为________．【答案】【分析】根据函数图象关于中心对称可得，又因为在上单调递减可推得结合函数关于中心对称进而推得在上单调递减.再利用函数的单调性即可求得的范围.【详解】由函数的图象关于中心对称，则.又因为在上单调递减，所以时，，且在上单调递减，且，可得在上单调递减.又因为，所以可得，则，得.故答案为：.四、解答题8．（2025·山东临沂·模拟预测）已知函数．(1)当时，的最小值为1，求的值；(2)在（1）的条件下，求满足且的的取值集合；(3)函数在区间和上均单调递增，求实数的取值范围．【答案】(1)1(2)(3)【分析】（1）由x的取值范围，进而求出的取值范围，利用余弦函数的单调性即可求得结果.（2）令，得到，表示出解集的通式，再分别令k等于不同的整数，即可求出结果.（3）先求出函数的单调递增区间，再让区间和分别是单调增区间的子区间即可求得结果.【详解】（1）因为，，在上单调递减，在，上单调递增，，，．（2）由（1）知，，，，，解得，或，，因为，当时；当时，或；当时，．故的取值集合为．（3）由，得，即函数的单调递增区间为．当时，函数的单调递增区间为，当时，函数的单调递增区间为．又函数在区间和上均单调递增，，解得．的取值范围为．【拔高选练】（共6题）一、单选题1．（2026·甘肃兰州·模拟预测）函数的大致图象为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】，函数的定义域为，关于原点对称，由，所以为奇函数，排除A；又，排除C和D.2．（2026·福建南平·二模）已知是定义在上且周期为4的奇函数，当时，，则（

）A．-2 B． C． D．2【答案】B【分析】根据函数的周期性和奇偶性即可求解.【详解】已知是定义在上且周期为的奇函数，所以有，令，得，由于是奇函数，有，所以，即，解得，当时，，由于，所以，因此，故B正确.二、多选题3．（2026·河北邯郸·二模）已知函数为奇函数，则下列结论正确的是（

）A． B．在上单调递减C．的值域为 D．的解集为【答案】ACD【分析】利用奇函数定义求出判断A；由指数函数单调性确定单调性判断B；求出值域判断C；利用性质求出解集判断D.【详解】A选项，因为为奇函数，且定义域为，所以，代入解得：，验证：当时，，，即，所以A选项正确；B选项，由A选项解析得：，即，因为在上单调递增，所以在上单调递增，则在上单调递增，所以B选项错误；C选项，令，则，，因为，所以，，，则：，的值域为，所以C选项正确；D选项，因为，所以，又因为是奇函数，所以，原不等式变形为：，由B选项解析得：在上单调递增，所以需满足，解得：，所以D选项正确.三、填空题4．（2026·山东东营·二模）已知奇函数的周期为2，且当时，，则_____．【答案】【详解】由的周期为2，可得，由是奇函数，可得，再由的周期为2，可得，因为当时，，所以，即.5．（2026·广东肇庆·二模）已知函数的定义域为，且，若，则不等式的解集为__________.（结果用区间表示）【答案】【分析】由，可得在R上单调递增，又注意到原不等式等价于，据此可得答案.【详解】因为，构造函数，因为，所以函数是增函数，因为，所以，因为，所以原不等式即，解得，所以不等式的解集为.四、解答题6．（2025·海南儋州·模拟预测）已知函数为定义在上的偶函数，且，.(1)若，求函数解析式；(2)求函数在的最小值；(3)若函数在有两个不同的零点，求m的取值范围.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据偶函数的性质即可求出解析式.（2）根据二次函数的单调性及对称轴，分情况求出最小值.（3）根据已知条件，结合二次函数的性质、根的判别式、对称轴、端点值列出不等式组，求解即可.【详解】（1）当时，，.因为函数在上为偶函数，所以当时，，则.因此函数解析式为：.（2）当时，，这是开口向上的二次函数，对称轴为.当，即时，；当，即时，；当，即时，；综上，函数在的最小值为：.（3）因为函数在有两个不同的零点，所以，解得.所以m的取值范围为.【错题复盘】（共5题）一、单选题1．（2026·湖南湘潭·三模）已知，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由，可判断大小，构造函数，求导确定单调性，可判断大小，即可求解.【详解】因为，所以，则．令，则，当时，单调递增，当时，，单调递减，则，则，即．故．2．（2026·山东东营·模拟预测）若定义在上的奇函数满足，则（

）A．1012 B．1013 C．1014