第12讲一次、二次函数与幂函数（知识清单+4典例精讲+5方法技巧+分层训练）（原卷版及解析）

第12讲一次、二次函数与幂函数（知识清单+4典例精讲+5方法技巧+分层训练）近3年考查情况题型分值二次函数单调性、最值、不等式综合；幂函数图象与性质辨析单选、多选题5分/6分二次函数区间最值、图象识别；基础幂函数求值、单调性判断单选、填空题5分二次函数基础性质、简单求值，幂函数基础判定，难度偏低单选题5分二次函数与方程、导数、恒成立问题综合，压轴小题高频单选、解答题5分/12分【知识点01】一次函数核心知识点1.定义：形如y=kx+b（k,b为常数，且k≠0）的函数，叫做一次函数；当b=0时，y=kx（k≠0）为正比例函数（特殊的一次函数）。2.定义域与值域：定义域、值域均为R。3.图象与性质：图象：一条直线，与x轴交点为(−bk,0)单调性：由k决定——k>0时，在R上单调递增；k<0时，在R上单调递减；对称性：正比例函数y=kx（k≠0）关于原点中心对称（奇函数）；一次函数y=kx+b（b≠0）既不是奇函数也不是偶函数，无对称轴和对称中心（除特殊情况）。4.图象变换（结合本讲重点）：基于y=kx，平移变换可得到y=k(x−ℎ)+b（左加右减、上加下减）。【例1】已知一次函数y=kx+b（k≠0）的图象过点(1,3)和(−2,−3)，求该一次函数的解析式。【知识点02】幂函数(1)幂函数的定义一般地,函数y＝xα叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数.(2)常见的五种幂函数的图象(3)幂函数的性质①幂函数在(0,＋∞)上都有定义；②当α>0时,幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0),且在(0,＋∞)上单调递增；③当α<0时,幂函数的图象都过点(1,1),且在(0,＋∞)上单调递减；④当α为奇数时,y＝xα为奇函数；当α为偶数时,y＝xα为偶函数.【例2】求幂函数y=x【知识点03】二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0),顶点坐标为(m,n).零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0),x1,x2为f(x)的零点.(2)二次函数的图象和性质函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)y＝ax2＋bx＋c(a<0)图象(抛物线)定义域R值域4−∞,对称轴x＝－b顶点坐标−奇偶性当b＝0时是偶函数,当b≠0时是非奇非偶函数单调性在−∞,−b在−b在−∞,−b在−b【例3】已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）过点(0,3)、(1,0)【题型一】二次函数的概念【例1】（2026·河南濮阳·二模）的最大值是（

）A．9 B．3 C．18 D．6【例2】（2026·宁夏银川·一模）如果点在函数的图象上，都有点在函数的图象上，则（

）A．17 B．5 C．3 D．2【例3】（2026·浙江台州·二模）已知平面向量，，，若，则的最小值为_______.【变式1】（2025·广东·模拟预测）若函数与表示同一个函数，则（

）A．-1 B．0 C．1 D．2【变式2】（2025·山东·模拟预测）设全集，集合，，则（

）A． B． C． D．【变式3】（2025·黑龙江牡丹江·模拟预测）已知函数，若，则实数的取值范围为_______________.【题型二】二次函数的性质与图象【例4】（2026·云南昆明·二模）设．若，则（

）A． B． C． D．【例5】（多选）（2025·陕西榆林·模拟预测）已知函数的定义域为，，则（

）A． B．的值域为C．是偶函数 D．是增函数【例6】（2024·全国·模拟预测）已知中，角，，所对的边分别为.(1)求的值；(2)若为线段上一点且满足平分，求的面积的取值范围.【变式1】（2026·辽宁抚顺·二模）已知是定义在上的奇函数，且当时，，若在上恒成立，则a的取值范围为（

）A． B． C． D．【变式2】（2024·四川遂宁·模拟预测）函数在上的最小值为，最大值为1，则的最大值为______.【变式3】（2024·山西·模拟预测）已知集合，.(1)若，，且是的必要不充分条件，求的取值范围；(2)若函数的定义域为，且，求的取值范围.【题型三】幂函数的定义【例7】（2026·四川广安·模拟预测）“”是“为幂函数”的（

）A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【例8】（2025·江苏盐城·三模）“”是“为幂函数”的（

）条件．A．充要 B．必要不充分 C．既不充分也不必要 D．充分不必要【例9】（2025·贵州遵义·模拟预测）已知幂函数过点，则为__________.【变式1】（2026·河南南阳·模拟预测）“”是“函数为幂函数”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【变式2】（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知幂函数的图象经过点，则的值为（

）A． B． C．3 D．9【变式3】（2025·新疆·模拟预测）幂函数在上单调递减，且经过点，请写出符合条件的一个函数解析式__________．【题型四】幂函数的单调性【例10】（2026·河南新乡·三模）已知集合，则（

）A． B．C． D．【例11】（多选）（2025·新疆喀什·模拟预测）下列关于幂函数的论述正确的是（

）A．若，则幂函数的图象是一条直线B．若两个幂函数的图象至少有三个公共点，则这两个函数一定相同C．若幂函数为奇函数，则图象一定经过点D．幂函数的图象一定经过点，且一定不经过点【例12】（2026·安徽合肥·模拟预测）“”是“函数为幂函数，且在上单调递减”的__________条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”）【变式1】（2026·湖南长沙·一模）已知幂函数在上单调递减，则实数m的值为（

）A．0或1 B．或1 C．1 D．0【变式2】（多选）（2025·河南·二模）已知，则（

）A． B． C． D．【变式3】（2025·安徽·模拟预测）已知幂函数是上的偶函数，将函数的图象先向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到的图象．(1)求函数的解析式；(2)求函数的值域；(3)设，解关于的不等式：．【解题大招01】幂函数的判断与解析式求解紧扣幂函数定义（y=xα，系数为1），判断函数是否为幂函数；求解析式时，利用图象过定点，代入求解【例1】判断下列函数是否为幂函数，并求过点(2,4)的幂函数解析式。（1）y=4x3；（2）y=x【解题大招02】幂函数单调性、奇偶性快速判断由α的符号判断单调性（α>0在定义域内递增，α<0在定义域内递减）；由定义域对称性+f(−x)与f(x)的关系判断奇偶性。【例2】判断幂函数y=x【解题大招03】二次函数解析式求解根据已知条件，灵活选用一般式、顶点式、零点式，减少计算量——已知三点用一般式，已知顶点用顶点式，已知与x轴交点用零点式。【例3】已知二次函数顶点为(2,−3)，且过点(0,1)，求其解析式。【解题大招04】二次函数最值与单调区间求解先求对称轴x=−b2a，结合a的符号判断单调性；求最值时，分“定义域为【例4】求二次函数y=−x2+2x+3【解题大招05】二次函数与一元二次方程结合利用二次函数图象与x轴的交点，转化为一元二次方程根的问题，结合判别式Δ=【例5】已知二次函数y=x2−2x+m【基础过关】（共8题）一、单选题1．（2026·海南海口·模拟预测）下列函数中，图象关于原点对称且在单调递增的是（

）A． B． C． D．2．（2025·河南信阳·模拟预测）已知在区间上不单调，则的取值范围是（

）A． B． C． D．3．（2026·河南信阳·模拟预测）已知集合，则（

）A． B． C． D．二、多选题4．（2026·山西临汾·一模）下列函数中既是偶函数，又在上单调递减的是（

）A． B． C． D．三、填空题5．（2025·江西·一模）已知幂函数在上单调递增，若正数、满足，则的最小值为___________．6．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）点为圆上的动点，则的取值范围为__________.7．（2023·广东珠海·模拟预测）已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是______.四、解答题8．（2024·浙江·二模）在正四面体中，点分别在棱上（不与顶点重合），且(1)若，证明(2)求的取值范围．【拔高选练】（共6题）一、单选题1．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知函数的定义域为，且满足下列性质：①；②则下列说法一定正确的为（

）A．在上无最小值 B．在上单调递减C．在上有最小值 D．在上单调递增2．（2025·江苏·模拟预测）关于对称，则其最小值为（

）A． B． C． D．二、多选题3．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知函数，设，．且关于的函数．则（

）A．B．C．当时，存在关于的函数在区间上的最小值为6，D．当时，存在关于的函数在区间上的最小值为6，三、填空题4．（2025·全国·模拟预测）已知实数，满足，则______.5．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知幂函数为偶函数，则______________．四、解答题6．（2025·四川绵阳·一模）设函数.(1)若，写出函数的单调区间；(2)当时，，求实数的取值范围.【错题复盘】（共5题）一、单选题1．（2026·重庆北碚·模拟预测）设，则（

）A． B．C． D．2．（2026·广东深圳·一模）若实数，，满足，则，，的大小关系不可能是（

）A． B．C． D．二、多选题3．若函数，且，则（

）A． B．C． D．三、填空题4．（2025·广东·模拟预测）已知函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是____．四、解答题5．（2026·河南开封·模拟预测）已知函数为定义在上的偶函数，且满足，．(1)求的解析式；(2)若不等式恒成立，求实数的取值范围；(3)设，若对任意的，存在，使得，求实数的取值范围．

第12讲一次、二次函数与幂函数（知识清单+4典例精讲+5方法技巧+分层训练）近3年考查情况题型分值二次函数单调性、最值、不等式综合；幂函数图象与性质辨析单选、多选题5分/6分二次函数区间最值、图象识别；基础幂函数求值、单调性判断单选、填空题5分二次函数基础性质、简单求值，幂函数基础判定，难度偏低单选题5分二次函数与方程、导数、恒成立问题综合，压轴小题高频单选、解答题5分/12分【知识点01】一次函数核心知识点1.定义：形如y=kx+b（k,b为常数，且k≠0）的函数，叫做一次函数；当b=0时，y=kx（k≠0）为正比例函数（特殊的一次函数）。2.定义域与值域：定义域、值域均为R。3.图象与性质：图象：一条直线，与x轴交点为(−bk,0)单调性：由k决定——k>0时，在R上单调递增；k<0时，在R上单调递减；对称性：正比例函数y=kx（k≠0）关于原点中心对称（奇函数）；一次函数y=kx+b（b≠0）既不是奇函数也不是偶函数，无对称轴和对称中心（除特殊情况）。4.图象变换（结合本讲重点）：基于y=kx，平移变换可得到y=k(x−ℎ)+b（左加右减、上加下减）。【例1】已知一次函数y=kx+b（k≠0）的图象过点(1,3)和(−2,−3)，求该一次函数的解析式。解析：将两点坐标代入解析式，列方程组：{两式相减得3k=6，解得k=2，代入k+b=3，得b=1。故该一次函数解析式为y=2x+1。【知识点02】幂函数(1)幂函数的定义一般地,函数y＝xα叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数.(2)常见的五种幂函数的图象(3)幂函数的性质①幂函数在(0,＋∞)上都有定义；②当α>0时,幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0),且在(0,＋∞)上单调递增；③当α<0时,幂函数的图象都过点(1,1),且在(0,＋∞)上单调递减；④当α为奇数时,y＝xα为奇函数；当α为偶数时,y＝xα为偶函数.【例2】求幂函数y=x解析：①定义域：由x有意义，得x≥0，即定义域为[0,+∞②单调性：由幂函数性质，α=12>0，故y=③对称性：定义域[0,+∞)不关于原点、【知识点03】二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0),顶点坐标为(m,n).零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0),x1,x2为f(x)的零点.(2)二次函数的图象和性质函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)y＝ax2＋bx＋c(a<0)图象(抛物线)定义域R值域4−∞,对称轴x＝－b顶点坐标−奇偶性当b＝0时是偶函数,当b≠0时是非奇非偶函数单调性在−∞,−b在−b在−∞,−b在−b【例3】已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）过点(0,3)、(1,0)解析：将三点坐标代入一般式，列方程组：{代入c=3，得{a+b=−34a+2b=−4，解得故该二次函数解析式为y=x【题型一】二次函数的概念【例1】（2026·河南濮阳·二模）的最大值是（

）A．9 B．3 C．18 D．6【答案】B【分析】根据二次函数的性质计算即可.【详解】令，则，解得，所以函数的定义域为.因为在处取得最大值，最大值为3，所以的最大值为3.【例2】（2026·宁夏银川·一模）如果点在函数的图象上，都有点在函数的图象上，则（

）A．17 B．5 C．3 D．2【答案】D【分析】求出函数的解析式，代入可得.【详解】设点在函数的图象上，则点在函数的图象上，所以，即，所以.【例3】（2026·浙江台州·二模）已知平面向量，，，若，则的最小值为_______.【答案】【分析】利用向量平行坐标表示可得之间的关系，将问题转化为二次函数最小值的求解即可.【详解】，，即，，，当时，取得最小值.【变式1】（2025·广东·模拟预测）若函数与表示同一个函数，则（

）A．-1 B．0 C．1 D．2【答案】A【分析】利用二次函数的两点式得出相应方程的根，再由函数相同计算参数即可.【详解】注意到方程有两个解，方程的其中一个解为0，故只可能，所以，故，故选：A.【变式2】（2025·山东·模拟预测）设全集，集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出二次函数的值域，即集合，再根据集合的交并补运算即可确定选项.【详解】当时，，即，则，又，故.故选：B.【变式3】（2025·黑龙江牡丹江·模拟预测）已知函数，若，则实数的取值范围为_______________.【答案】【分析】化简得，根据题意得在有解，化简计算即可求解.【详解】，令得，化简得，由题意得，使得，即在有解，所以实数的取值范围为.故答案为：【题型二】二次函数的性质与图象【例4】（2026·云南昆明·二模）设．若，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为，而在上单调递增，所以．【例5】（多选）（2025·陕西榆林·模拟预测）已知函数的定义域为，，则（

）A． B．的值域为C．是偶函数 D．是增函数【答案】ABC【分析】根据给定的函数等式可得，再结合求出函数解析式，然后利用二次函数性质逐项判断得解.【详解】由，得，令函数，则，为常函数，令，则，，因此，的值域为是偶函数，函数在上单调递减，在上单调递增，ABC正确，D错误.故选：ABC【例6】（2024·全国·模拟预测）已知中，角，，所对的边分别为.(1)求的值；(2)若为线段上一点且满足平分，求的面积的取值范围.【答案】(1)4(2)【分析】（1）利用三角形面积公式，结合余弦定理，即可求得答案；（2）由题意结合正弦定理推出，设，由余弦定理推出，即可表示出的面积的表达式，化简，结合二次函数知识，即可求得答案.【详解】（1）由题意知，即，故，即，结合，得；（2）由于平分，故，故，而，即得,设，则，即，则，故，当，即时，取到最大值，最大值为3；又，满足，当无限趋近于1或2时，无限趋近于0，故的面积的取值范围为.【变式1】（2026·辽宁抚顺·二模）已知是定义在上的奇函数，且当时，，若在上恒成立，则a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据函数的奇偶性以及二次函数的单调性求解即可.【详解】因为是定义在上的奇函数，所以由在上恒成立，可得在上恒成立.若，即，则在上单调递增，则，得.若，即，则，化简得，得.若，即，则在上单调递减，则f(3)=9+a>0，得.综上所述，a的取值范围为.【变式2】（2024·四川遂宁·模拟预测）函数在上的最小值为，最大值为1，则的最大值为______.【答案】/【分析】分类讨论，画出函数的图象，当时，令，求得；当时，令，解得，结合题意，即可求得的最大值，得到答案.【详解】由函数，当时，；当时，，作出的图象，如图所示，由图象得，当时，令，解得；当时，令，解得，所以在上的最大值为1，最小值为，所以的最大值为.故答案为：.【变式3】（2024·山西·模拟预测）已知集合，.(1)若，，且是的必要不充分条件，求的取值范围；(2)若函数的定义域为，且，求的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）先根据绝对值不等式得出集合A,再根据集合间关系得出不等式组计算即可；（2）先应用对数函数的定义域得出集合C，根据函数有解转化为，最后结合二次函数的值域即可求参.【详解】（1）由题意知，解不等式，解得，所以，因为是的必要不充分条件，所以是的真子集，所以且等号不同时成立，解得，即的取值范围是.（2）因为，所以在上有解，所以，令，则，所以，即的取值范围是.【题型三】幂函数的定义【例7】（2026·四川广安·模拟预测）“”是“为幂函数”的（

）A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由幂函数的定义求出的值，再由充分必要条件判断即可.【详解】因为为幂函数，所以，解得：或,所以“”是“为幂函数”的充分且不必要条件.【例8】（2025·江苏盐城·三模）“”是“为幂函数”的（

）条件．A．充要 B．必要不充分 C．既不充分也不必要 D．充分不必要【答案】D【分析】分别验证其充分性以及必要性，即可得到结果.【详解】当时，，符合幂函数的形式，故充分性满足；当为幂函数可得，解得或，故必要性不满足，所以“”是“为幂函数”的充分不必要条件.故选：D【例9】（2025·贵州遵义·模拟预测）已知幂函数过点，则为__________.【答案】3【分析】直接把点代入函数中即可求解.【详解】由题意.故答案为：3【变式1】（2026·河南南阳·模拟预测）“”是“函数为幂函数”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据幂函数定义及充分必要条件关系可判断.【详解】若函数为幂函数，则，解得，所以“”是“函数为幂函数”的充分不必要条件.故选：A【变式2】（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知幂函数的图象经过点，则的值为（

）A． B． C．3 D．9【答案】B【分析】根据给定条件，求出幂函数的解析式，进而求出函数值.【详解】设，则即，故选：B．【变式3】（2025·新疆·模拟预测）幂函数在上单调递减，且经过点，请写出符合条件的一个函数解析式__________．【答案】或(答案不唯一)【分析】设出幂函数解析式，将代入即可求得结果.【详解】幂函数在上是减函数，设，则，因为有很多解，如、、、等均符合题意.故答案为：或(答案不唯一)．【题型四】幂函数的单调性【例10】（2026·河南新乡·三模）已知集合，则（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】已知,因为，，，所以，故.【例11】（多选）（2025·新疆喀什·模拟预测）下列关于幂函数的论述正确的是（

）A．若，则幂函数的图象是一条直线B．若两个幂函数的图象至少有三个公共点，则这两个函数一定相同C．若幂函数为奇函数，则图象一定经过点D．幂函数的图象一定经过点，且一定不经过点【答案】CD【分析】利用幂函数的图象、性质逐一判断即可.【详解】对于A，当时，幂函数的定义域为，其图象是直线除去点，故A错误；对于B，幂函数的图象有三个公共点，这两个函数不相同，B错误；对于C，幂函数图象一定过点，当该幂函数是奇函数时，其图象关于原点对称，则该幂函数图象必过点，C正确；对于D，幂函数的图象一定经过点，且一定不经过点，D正确.故选：CD【例12】（2026·安徽合肥·模拟预测）“”是“函数为幂函数，且在上单调递减”的__________条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”）【答案】充分不必要【详解】当为幂函数时，解得或，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减.所以“”是“为幂函数，且在上单调递减”的充分不必要条件．【变式1】（2026·湖南长沙·一模）已知幂函数在上单调递减，则实数m的值为（

）A．0或1 B．或1 C．1 D．0【答案】C【分析】根据幂函数的定义及单调性即可求解．【详解】由于为幂函数，所以，解得或，又函数在上单调递减，所以，即故当时符合条件．【变式2】（多选）（2025·河南·二模）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】由指数函数单调性可判断A项，由幂函数单调性可判断B项，运用作差法及对数函数性质可判断C项，运用作差法及不等式性质可判断D项.【详解】对于A项，因为是减函数，而，所以，故A项正确；对于B项，因为在上单调递增，而，所以，故B项正确；对于C项，，因为，，，所以，即，故C项错误；对于D项，，因为，，，所以，即，故D项正确.故选：ABD.【变式3】（2025·安徽·模拟预测）已知幂函数是上的偶函数，将函数的图象先向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到的图象．(1)求函数的解析式；(2)求函数的值域；(3)设，解关于的不等式：．【答案】(1)（或）；(2)；(3)当时，；当时，；当时，.【分析】（1）通过幂函数定义和偶函数性质确定，再利用图象平移规律求；（2）先求的取值范围，结合指数函数单调性求值域；（3）将不等式转化为含参数的二次不等式，通过因式分解后分类讨论求解集.【详解】（1）由幂函数定义，，解得或.当时，，是上的偶函数，符合要求；当时，，定义域不为且非偶函数，舍去.故，经图象平移（右移2个单位，下移1个单位），得.（2）因，且单调递增，故，值域为.（3）不等式整理为.当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为.【解题大招01】幂函数的判断与解析式求解紧扣幂函数定义（y=xα，系数为1），判断函数是否为幂函数；求解析式时，利用图象过定点，代入求解【例1】判断下列函数是否为幂函数，并求过点(2,4)的幂函数解析式。（1）y=4x3；（2）y=x解析：①判断：（1）系数为4≠1，不是幂函数；（2）解析式为y=x②求解析式：设幂函数为y=xα，将点(2,4)代入，得2α=4=2【解题大招02】幂函数单调性、奇偶性快速判断由α的符号判断单调性（α>0在定义域内递增，α<0在定义域内递减）；由定义域对称性+f(−x)与f(x)的关系判断奇偶性。【例2】判断幂函数y=x解析：①定义域：y=x−1②单调性：α=−13<0，故在(−∞,0)③奇偶性：f(−x)=(−x)【解题大招03】二次函数解析式求解根据已知条件，灵活选用一般式、顶点式、零点式，减少计算量——已知三点用一般式，已知顶点用顶点式，已知与x轴交点用零点式。【例3】已知二次函数顶点为(2,−3)，且过点(0,1)，求其解析式。解析：设顶点式为y=a(x−2)2−3（a≠0），将(0,1)代入，得1=a(0−2故解析式为y=(x−2)【解题大招04】二次函数最值与单调区间求解先求对称轴x=−b2a，结合a的符号判断单调性；求最值时，分“定义域为【例4】求二次函数y=−x2+2x+3解析：①化为顶点式：y=−(x−1)2+4，对称轴为x=1②单调区间：在[0,1]上单调递增，在[1,3]上单调递减；③最值：对称轴x=1∈[0,3]，故最大值为f(1)=4；端点值：f(0)=3，f(3)=0，故最小值为0。【解题大招05】二次函数与一元二次方程结合利用二次函数图象与x轴的交点，转化为一元二次方程根的问题，结合判别式Δ=【例5】已知二次函数y=x2−2x+m解析：①图象与x轴有两个不同交点，即方程x2−2x+m=0有两个不等实根，故解得4−4m>0⇒m<1，即m的取值范围为(−∞②由韦达定理，两根之和x1+x【基础过关】（共8题）一、单选题1．（2026·海南海口·模拟预测）下列函数中，图象关于原点对称且在单调递增的是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】A选项，函数图象关于原点对称且在单调递减，A错误；B选项，函数图象不关于原点对称，在单调递增，B错误；C选项，函数图象不关于原点对称，在单调递增，C错误；D选项，函数图象关于原点对称，在单调递增，D正确.2．（2025·河南信阳·模拟预测）已知在区间上不单调，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求函数的对称轴，要使函数在区间上不单调，则必有对称轴在区间内，列出不等式即可.【详解】由已知，函数的对称轴为，又因为函数在区间上不单调，则必有，即.故选：C3．（2026·河南信阳·模拟预测）已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先解一元二次不等式，再求解集合，最后应用交集定义计算求解.【详解】集合，，则.二、多选题4．（2026·山西临汾·一模）下列函数中既是偶函数，又在上单调递减的是（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】根据指、对数函数单调性结合单调性性质判断AD；根据偶函数定义结合幂函数单调性或一次函数单调性判断BC.【详解】对于选项AD：当时，则在上单调递增，故D错误；且在定义域内单调递增，可知在上单调递增，故A错误；对于B：因为的定义域为，且，可知为偶函数，由幂函数性质可知在上单调递减，故B正确；对于C：因为的定义域为，且，可知为偶函数，当时，则在上单调递减，故C正确.三、填空题5．（2025·江西·一模）已知幂函数在上单调递增，若正数、满足，则的最小值为___________．【答案】【分析】由幂函数的定义与单调性可得出关于实数的等式或不等式，解出，可得出，将代数式与代数式相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.【详解】因为幂函数在上单调递增，则，解得，正数、满足，则，当且仅当时，即当时，等号成立，因此，的最小值为.故答案为：.6．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）点为圆上的动点，则的取值范围为__________.【答案】【分析】法一：设，代入方程得到，从而题目实际上就是求的取值范围使得该方程有解，而这直接使用二次方程判别式就可得到结果；法二：利用圆的几何性质，将命题转化为距离问题，再使用距离公式求解.【详解】法一：我们要求的取值范围使得存在满足，，由于满足前一个方程的必不为零，故这等价于，.而这又可以等价转化为，，故我们就是要求的取值范围，使得关于的方程有解.该方程中的系数显然非零，所以命题等价于，解得.法二：由于圆和轴无公共点，故命题等价于求实数的取值范围，使得直线和圆有公共点.该圆的方程可化为，故命题等价于点到直线的距离不超过，即.解得.故答案为：.7．（2023·广东珠海·模拟预测）已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是______.【答案】【分析】利用二次函数的单调性可得出关于实数的不等式，解之即可.【详解】二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，因为函数在区间上是增函数，则，解得.因此，实数的取值范围是.故答案为：.四、解答题8．（2024·浙江·二模）在正四面体中，点分别在棱上（不与顶点重合），且(1)若，证明(2)求的取值范围．【答案】(1)证明见解析(2)．【分析】（1）设．在,中，由余弦定理得，根据，则代入化简即可得；（2）由（1）知，或．设，取中点，则．根据或分别计算取值范围，然后计算取值范围即可.【详解】（1）设．因为四面体为正四面体，所以，在中，由余弦定理得，，在中，由余弦定理得，，又因为，所以．整理得：．又因为，即，代入得，所以.（2）由（1）知，或．设，取中点，则．①若，则，为等边三角形，即，设，则.②若，则，设，则．综上所述，，故．【拔高选练】（共6题）一、单选题1．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知函数的定义域为，且满足下列性质：①；②则下列说法一定正确的为（

）A．在上无最小值 B．在上单调递减C．在上有最小值 D．在上单调递增【答案】C【分析】利用题给条件构造函数，结合二次函数的性质，即可得到在上不一定单调递增或单调递减，在上有最小值.【详解】由于函数的定义域为，且，令，则，得，抛物线对称轴为由可得，解之得，则，故在上不一定单调递增或单调递减，选项不确定，由于表示开口向上的抛物线，故函数在取得最小值，即在上有最小值.故选项C正确，选项A错误．故选：C2．（2025·江苏·模拟预测）关于对称，则其最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先对进行因式分解，利用关于对称，得出的值，最后用换元法将转换为二次函数求最值即可.【详解】，因关于对称，故的根应为和，所以，得，，即.令，则，代入得：，令，，函数开口向上，对称轴为，，因此，函数的最小值为.故选：B二、多选题3．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知函数，设，．且关于的函数．则（

）A．B．C．当时，存在关于的函数在区间上的最小值为6，D．当时，存在关于的函数在区间上的最小值为6，【答案】ABD【分析】根据新定义，归纳推理即可判断A，根据A及求和公式化简即可判断B，根据二次函数的对称轴分别求出函数最小值，建立方程求解正整数可判断CD.【详解】因为，，所以，，依次类推，可得，故A正确；由A选项知，，故B正确；当时，的对称轴，所以在区间上单调递减，故当时，，方程无整数解，故C错误；当时，的对称轴，所以当时，，解得，故D正确.故选：ABD三、填空题4．（2025·全国·模拟预测）已知实数，满足，则______.【答案】4【分析】通过对两个方程进行变形，构造出相同形式的函数，再利用函数的性质来求解x+y的值.【详解】对进行变形，可化为，对进行变形，可化为，设，随增大而增大，，也是随增大而增大，则是单调递增函数.则可得.故答案为：4.5．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知幂函数为偶函数，则______________．【答案】9【分析】由幂函数和偶函数的性质求得，结合对数的运算法则即可求解.【详