第13讲 函数的零点与方程的解（解析版）2027届高考数学一轮精准复习

第13讲函数的零点与方程的解TOC\o"1-2"\h\u题型一函数零点所在区间的判定 2题型二函数零点个数的判定 7题型三根据函数零点求参数 14题型四复合函数零点问题 22课时精练 32【基础回顾】知识点1：函数的零点与方程的解（1）函数零点的概念对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫作函数y＝f(x)的零点。（2）函数零点与方程实数解的关系方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图像与x轴有公共点。（3）函数零点存在定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解。知识点2：二分法对于在区间[a，b]上图像连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫作二分法。【必备知识】若连续不断的函数f（x）是定义域上的单调函数，则f（x）至多有一个零点。题型一函数零点所在区间的判定确定函数零点所在区间的常用方法（1）利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是否连续；再看是否有f(a)·f(b)<0，若有，则函数y＝f(x)在区间（a，b）内必有零点。（2）数形结合法：通过画函数图像，观察图像与x轴在给定区间上是否有交点来判断。【例题精讲】1．（2026·天津·二模）函数fx=logA．7,8 B．8,9 C．9,10 D．10,11【答案】C【分析】求定义域，求导，得到函数单调性，结合零点存在性定理可得结论【详解】fx=log2x−令f′x>0得0<x<3ln所以fx=log2x−f9=log其中103=1000,210=1024，故10由零点存在性定理可得函数fx=log其他选项均错误.2．（2026·山东泰安·一模）函数f(x)=(x−1)2x−26A．(1,2) B．(2,3) C．(3,4) D．(4,5)【答案】C【分析】计算函数在各区间端点的函数值，利用零点存在定理，判断函数值异号的区间，从而确定零点所在的大致区间.【详解】f(1)=(1−1)f(2)=(2−1)f(f(f(5)=(5−1)因为f(3)<0,f(4)>0，且函数f(x)是连续函数，所以零点在区间(3,4)故选：C3．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）函数fx=kx−4+xlog2x在区间1,4A．−4,1 B．−4,1 C．−1,4 D．−1,4【答案】D【分析】令gx=k+log2x−4x，分析可知函数gx=k+【详解】当x∈1,4时，由fx=kx−4+x令gx因为函数y=log2x、y=k−故函数gx=k+log因为函数fx在区间1,4内有零点，则函数gx在区间所以，g1=k−4≤0g因此，实数k的取值范围是−1,4.故选：D.4．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·月考）已知函数f(x)=b+33x+1是定义在R上的奇函数，若函数y=f(x−3n+b)的零点在区间−2,2内，则实数A．−23,13 B．−7【答案】B【分析】根据函数为奇函数求出b的值，继而求出函数y=f(x−3n+b)的零点的表达式，结合题意列出不等式，即可求得答案.【详解】因为函数f(x)=b+33x故f(0)=b+330故f(x)=−3而f(x)+f(−x)=−=−3+3⋅1+3x1+3x故b=−3令f(x)=−32+又函数y=f(x−3n+b)的零点在区间−2,2内，故令x−3n−32=0，则x=3n+32即实数n的取值范围为−7故选：B5．（25-26高二上·湖南长沙·月考）已知函数f(x)=lnx+2x−5的零点x0∈(k,k+1)，则整数A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】由函数单调性和f(3)>0,f(2)<0即可由函数零点存在性定理求解.【详解】y=lnx和所以f(x)=lnx+2x−5在因为f(3)=ln所以函数f(x)的零点在区间2,3上，又函数f(x)的零点在区间k,k+1,k∈所以k=2.故选：C.6．（25-26高一上·山东菏泽·月考）已知函数f(x)=lnx+4x−9，利用二分法求函数f(x)在(2,3)内的零点的近似值，则使用两次二分法后，零点所在的区间为（A．(2,94) B．(94,【答案】A【分析】根据给定条件，利用二分法求函数在区间内零点的方法逐一判断即可.【详解】函数f(x)=lnx+4x−9，f(3)=ln3+4×3−9=ln3+3>0，函数f(52)=ln5f(94)=ln9故选：A7．（25-26高一上·贵州贵阳·月考）函数f(x)=log2(x+1)−A．(−2,−1) B．(−1,0) C．【答案】C【分析】确定函数f(x)的单调性，再利用零点存在性定理判断即得.【详解】函数f(x)=log2(x+1)−函数y=log2(x+1),y=−1x+2在(−1,+而f(0)=−12<0,f(1)=23故选：C（多选）8．（25-26高一上·山东淄博·期中）下列结论中正确的是（

）A．若a>b>0，m<0，则b+mB．函数fx=C．函数fx=3ax−1−2a>0D．函数fx的定义域为3,9，则f3【答案】CD【分析】利用作差法可判断A选项；利用零点存在定理可判断B选项；利用指数函数的基本性质可判断C选项；利用抽象函数求定义域的原则可判断D选项.【详解】对于A选项，因为a>b>0，m<0，则b+ma+m无法判断a+m的符号，故无法判断ma−b对于B选项，因为函数y=lnx、y=−3故函数fx=ln因为f1=−3<0，fe=1−3对于C选项，对于函数fx=3ax−1−2即函数fx的图像恒过定点1,1对于D选项，因为函数fx的定义域为3,9，则对于函数f3x，有3≤故函数f3x的定义域为故选：CD.（多选）9．（25-26高一下·湖南·月考）下列说法正确的是（

）A．若函数f(x)的定义域为(−1,2)，则函数f(x−1)的定义域为(0,3)B．不等式x2+kx+1>0对一切实数xC．函数f(x)=3x+2x−4D．若a>0，b>0，1a+1【答案】ACD【详解】对于A，由函数f(x)的定义域为(−1,2)，令−1<x−1<2，得0<x<3，则函数f(x−1)的定义域为(0,3)，故A正确；对于B，由x2+kx+1>0对一切实数则Δ=k2所以不等式x2+kx+1>0对一切实数x恒成立的充要条件是对于C，因为函数f(x)在(0,1)上连续，且f(0)=−3<0,f(1)=1>0，则f(0)f(1)<0，根据零点存在性定理，函数f(x)=3x+2x−4对于D，由a>0，b>0，1a则a+b=a+b当且仅当ba=a则a+b的最小值为4，故D正确.（多选）10．（25-26高一上·新疆克拉玛依·期末）函数f(x)=lnx+2x−6的零点所在区间为（A．(3,5) B．(2,4) C．(1,3) D．(4,6)【答案】BC【分析】根据函数的性质判断函数fx=lnx+2x−6在0,+∞【详解】∵lnx在0,+∞上单调递增，2所以fx=lnx+2x−6在∵f1=ln1f3因为函数fx=lnx+2x−6在因为函数fx=lnx+2x−6在区间2,3上连续且单调递增，故函数fx在区间2,3又2,3⊆1,3，所以区间1,3，2,4内存在fx=lnx+2x−6的零点，在区间故选：BC.题型二函数零点个数的判定求解函数零点个数的基本方法（1）直接法：令f(x)＝0，方程有多少个不同的实数根，则f（x）有多少个零点。（2）定理法：利用函数零点存在定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等。（3）图像法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图像的交点个数得出函数的零点个数。【例题精讲】1．（2026·北京朝阳·二模）设函数fx=1x−k，x<0，lnA．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】分x<0和x>0两种情况讨论，当x<0时，分k<0且k≠−1，k=−1，k=0，k>0四种情况；当x>0时，分k=0，k<0，k>0三种情况，当k>0时，设gx=lnx−kx−k+2，利用导数求出gx【详解】（i）当x<0时，fx=1kx2+(k−1)x−1=0⟹(kx−1)(x+1)=0，两根为x=−1因此，当k<0且k≠−1时，则当k=−1时，则x<0有1个根；当k=0时，仅存在根x=−1；当k>0时，1k>0，故（ii）当x>0时，f(x)=ln⁡x+1−k，代入方程fx设gx=ln当k=0时，g(x)=lnx+2=0，得x=e若k<0，g′(x)=1x−k>0x→0+时g(x)→−∞，x→+∞时当k>0时，x∈0,1k，g'(x)>0，gx单调递增；故g(x)在x=1k取最大值令ℎ(k)=1−k−lnk，ℎ(k)单调递减且当0<k<1时，ℎk>0，方程当k=1时，ℎk=0，方程当k>1时，ℎk<0，方程综上所述：k=−1，x<0有1个根，x>0有1个根，共2个，符合；k=0时，x<0有1个根，x>0有1个根，共2个，符合；k=1时，x<0有1个根，x>0有1个根，共2个，符合；其余k均不满足条件，共3个符合的k.2．（2026·山西晋中·模拟预测）定义域为R的函数fx满足fx+1=2fx，当x∈0,1时，fx=A．95 B．96 C．97 D．98【答案】B【分析】根据递推关系可得2fx的解析式，将问题转化为函数y=2fx与直线【详解】∵fx+1=2fx，∴fx+2=22fx∴fx=2函数y=2fx−x−1的零点个数等价于函数y=2fx作出y=2fx与y=x+1的图像结合图像可知：当n≥1时，y=x+1与y=2fx在每个区间n,n+1上有且仅有一个交点，则当x∈1,96时，y=x+1与y=2fx当n=0时，y=x+1与y=2fx没有交点，即当x∈0,1时，y=x+1与当n=−1时，y=x+1与y=2fx有且仅有一个交点x=−1，即当x∈−1,0时，y=x+1与y=2fx当n<−1时，y=x+1<0，y=2fx≥0，二者没有交点，即当x∈−4,−1时，y=x+1综上所述：当x∈−4,96时，函数y=2fx−x−13．（2026·陕西西安·模拟预测）已知定义域为R的函数fx满足fx=fx+2，且当−2≤x<0时，fxA．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】将本题转换成两个函数交点数量的问题，利用图像法进行求解.【详解】由fx=fx+2因为方程8fx+x−4=0等价于令gx=−18x+由此作出函数y=fx与y=gx的如图所示．因为f2=f0=f−2所以y=fx和y=gx的函数图像交点个数为4，故方程4．（2026·内蒙古赤峰·一模）已知函数fx=x2+2x−3,A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】根据分段函数的组成，分别求解方程计算即得.【详解】因fx当x≤0时，fx+3=0即x2+2x=0，解得当x>0时，fx+3=0即lnx+3=0故方程fx5．（25-26高一下·河北邢台·开学考试）若幂函数fx的图像经过点66,6，则函数A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】设fx=xaa∈R，由f66=6可求出a的值，由gx【详解】根据题意，设fx=xaa∈所以−12a=12由gx=fx作出函数fx与y=x2由图可知，函数fx与y=故函数gx的零点个数为36．（2026·四川·二模）已知fx是R上的奇函数，fx−2−f6−x=0，若fx在0,2上单调递增，且f0A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据函数奇偶性、对称性以及单调性分析即可.【详解】由fx−2−f6−x所以fx+4所以函数fx关于直线x=2由fx+2即fx因为fx是R所以f−x所以fx+8所以函数fx由fx在0,2上单调递增，根据函数对称性知fx在由f0=0，f2所以当x∈0,+∞时，函数fx与函数y=

所以fx与函数y=7．（2026·重庆·模拟预测）方程ex−2=aA．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】等价于函数y=ex−2【详解】函数ex−2=a的零点个数等价于函数y=则y=e当a<0时，无交点，当0<a<2时，有两个交点，当a=0或a≥2时，有一个交点，故当a<0时，无零点；当0<a<2时，有两个零点；当a=0或a≥2时，有一个零点．故零点的个数不可能是3个．（多选）8．（2026·江西上饶·二模）高斯是德国的著名数学家、物理学家、天文学家和大地测量学家．他被认为是历史上最重要的数学家之一，有“数学王子”的美誉．高斯函数y=x，x表示不超过x的最大整数，如3.5=3，−2.7=−3A．对于x,y∈R，有xB．fxC．方程xy=D．方程lg2x−lg【答案】AC【详解】A选项：设x=a+r1，y=b+r2，其中a，b分别是x，y的整数部分，r1，r则x+y=a+b，x+yB选项：当x∈0,1时，此时fC选项：当x=4047，y=20264047，x=4048，y=2026D选项：由lgx≤lgx，得当lgx=2时，lgx=2当1≤lgx<2时，lgx即lgx=3或lgx=−当0≤lgx<1时，lgx=0，代入原方程，得当−1≤lgx<0时，lgx即lgx=−1或lgx=1（舍去），解得综上，原方程共有3个不同的实根，故D错误．（多选）9．（2026·陕西西安·模拟预测）已知fx是定义在R上的奇函数，且对任意x∈R，有f4−x=fx，当x∈A．fxB．点4,0是函数fxC．fD．函数y=fx【答案】BC【分析】根据函数的性质求函数的周期可判断A的真假；探究f4+x与f4−x的关系判断B的真假；根据函数的周期性求函数值，判断C的真假；分别作出函数y=fx与y=log2【详解】因为fx是定义在R上的奇函数，所以f又因为f4−x=fx，所以函数fx的所以fx+4所以fx+8所以函数fx因为fx+4=−fx，f4−x=f4+−x=−f−x因为函数fx是周期为8的周期函数，所以f2025=f253×8+1=f当x∈0,2时，fx=由f′x<0⇒0<x<1；由f′x所以函数fx在0,1上单调递减，在1,2且f0=0，f1作出函数y=fx与函数y=log2可知两个函数的图像有3个交点，因此函数y=fx故选：BC（多选）10．（25-26高三上·陕西·期末）已知函数fx=xA．∀x∈R，fx≤1 B．fxC．fx+1是偶函数 D．函数g【答案】BD【分析】根据绝对值的性质，结合一次函数的单调性、偶函数的定义、函数零点的定义、数形结合思想逐一判断即可.【详解】依题意，fx对于A，∀x∈R，fx对于B，fx在0,2对于C，设ℎx=fx+1所以ℎx对于D，gx的零点个数即fx与y=ln在同一直角坐标系中分别作出这两个函数的图像，如图，观察可知，两图像有3个交点，则gx故选：BD

题型三根据函数零点求参数根据函数零点的情况求参数的三种常用方法（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式确定参数（范围）。（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域确定参数范围。（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图像，然后利用数形结合法求解。【例题精讲】1．（2026·湖北荆门·模拟预测）设函数fx=x−alog0.5x+b，若A．a=b B．a=−b C．a+b=1 D．b−a=1【答案】C【分析】分别得到函数y=x−a和y=log0.5x+b【详解】由函数fx因为y=x−a在定义域上单调增且零点为x=a，y=log0.5x+b故y=x−a与y=log如图所示，则a=1−b，所以a+b=1．故选：C2．（25-26高三上·上海·期中）已知fx=x2−ax+1xA．−∞,0 B．0,+∞ C．−【答案】A【分析】分析得函数fx为偶函数，结合已知条件得出f0=0，可求出a的值，可得出函数fx的解析式，利用基本不等式可求得函数【详解】对任意的x∈R，x2+1≥1，故函数fxf−x=−x若函数fx存在一个非零的零点x0，则−x由于函数fx有且只有一个零点，则该零点必为0，即f所以fx当且仅当x2+1=1x2+1时，即当因为方程fx=k无解，故k<0，即实数k的取值范围是故选：A.3．（25-26高一上·江苏南京·期中）已知函数fx=x+mx<2x2−2mx+4mA．2,3 B．2,3 C．−2,2 D．1,3【答案】A【分析】先利用二次函数性质并结合题意得到每一部分根的个数，再转化为交点问题求解参数范围即可.【详解】若方程fx当x≥2时，fx则由二次函数性质得此时fx而当x<2时，fx=x+m即fx=x+m与y=b当x≥2时，结合题意得fx此时fx=x且此时fm=−m可得m>2−m2因为仅存在一个整数b，所以−m2+4m≥3而m>2，得到m∈(2,3]，故A正确.故选：A4．（2026·江苏镇江·二模）已知函数f(x)=me2x+(m−2)exA．(−∞,0) B．(−1,0) C．(0,1) 【答案】C【分析】求出函数f(x)的导数，再按m≤0,m>0分类讨论函数单调性，结合有两个零点列出不等式求解.【详解】函数f(x)=me2x+(m−2)e=(2ex+1)(m当m≤0时，f′(x)<0，函数f(x)在R上单调递减，函数当m>0时，由f′(x)<0，得x<ln1m函数f(x)在(−∞,ln1m而当x→−∞时，f(x)→+∞，当x→+∞函数f(x)有两个零点，当且仅当lnm−1m而函数y=lnm,y=−1m+1在(0,+又g(1)=0，因此不等式lnm−1m所以实数m的取值范围是(0,1).5．（2026·广东江门·二模）已知函数fx=2x−3,x≤1x3−3x2,x>1A．−2,−1∪{−4} B．C．−2,−1∪{−4} D．【答案】B【分析】利用导数判断函数的单调性，结合函数性质作函数的图像，条件gx恰有2个零点可转化为直线y=a与fx的图像恰有2个交点，结合【详解】当x>1时，fx=x所以当1<x<2时，f'x<0，函数f当x>2时，f'x>0，函数f所以当x>1时，函数f(x)的取值范围为[−4,+∞)．作出fx的大致图像由gx=0，得由图可知，当a∈−4,−3∪−2,−1时，直线y=a与f即gx所以a的取值范围是−4,−3∪6．（2026·北京顺义·一模）已知函数f(x)=x3,x≥0−x,x<0，若方程f(x)=xA．(−∞,0) C．(−∞,0)∪(0,1【答案】B【分析】根据给定条件，按x<0,x≥0分段，结合一元二次方程实根分布列式求解.【详解】方程f(x)=x当x<0时，方程为−x−x2+kx=0，则x+1−k=0，即k=x+1当x≥0时，方程为x3−x当x>0时，方程化为x2−x+k=0，要使方程当且仅当方程x2−x+k=0有两个不同的正根，则Δ=1−4k>0所以k的取值范围是(0,17．（2026·河南焦作·一模）已知函数fx=2xx2+1，A．0，1 B．1 C．−∞，【答案】B【分析】画出函数图像，数形结合得到答案.【详解】x≥0时，fx=2x令f′x>0得0<x<1，令f故fx=2xx2又f0=0，x>0时，fx当x<0时，fx=−1画出fx的图像方程fx=t恰有2个实根，即y=fx则t=1，则实数t的取值范围是1.（多选）8．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数fx=log3−x,x<02−x,x≥0，若函数y=fA．实数a的取值范围是0,2B．fx的单调递减区间为−∞C．xD．函数y=ff【答案】BCD【分析】作出函数fx的图像，结合图像【详解】作出函数fx=log对于A，因为函数y=fx−a有三个互不相等的零点，则函数y=fx与y=a结合图像可得0<a≤2，故A不正确．对于B，由函数fx的图像可知其单调递减区间为−∞,−1对于C，由函数fx的图像可知0≤x3<2，且即x1x2对于D，设t=fx，则y=f令y=0，由函数fx的图像，得t=−1或t=2当t=−1，即fx=−1时，则2−x=−1，解得当t=2，即fx=2时，所以2−x=2或log3−x=2，解得x=0所以函数y=ff（多选）9．（2026·河北沧州·二模）已知函数fx=x+mx−nA．0<m<1 B．m−n>1 C．2m<n D．m+【答案】ACD【分析】根据函数零点的定义，结合函数单调性的性质、对勾函数的单调性、基本不等式逐一判断即可.【详解】当m≤0时，函数fx在区间0,1上单调递增，因此此时函数f当m>0时，函数fx在区间0,m上单调递减，在区间当m≥1时，函数fx在区间0,1上单调递减，因此此时函数f当0<m<1时，函数fx在区间0,m上单调递减，在区间所以此时fxmin=f要想函数fx=x+m只需fx显然选项A正确；由1+m−n>0⇒m−n>−1，选项B不正确；因为0<m<1，所以m1因为2m所以2m<2m由2m由1+m−n>0⇒1+m>n⇒m>n−1⇒m+1因为n+1n−1≥2n⋅1所以m+1（多选）10．（25-26高三上·甘肃张掖·月考）已知函数fx=log2x,x>0−x2−4x,x≤0，若关于A．fx的单调递增区间为−∞,−2∪1,+C．x1+x2=−4【答案】BCD【分析】分析可得fx在各段上的单调性，根据单调性的写法，可判断A的正误；由题意可得y=fx与y=m图像有4个交点，作出图像，即可判断B的正误；根据二次函数的对称性，可判断C的正误，化简计算，可得x1【详解】当x>1时，fx当0<x≤1时，fx当x≤0时，fx因为函数y=−x2−4x，x∈R图像所以fx在−∞,−2上单调递增，在−2,0选项A：fx的单调递增区间为−∞,−2，1,+选项B：因为关于x的方程f(x)=m恰有4个不同的实数根x1所以y=fx与y=m的图像作出y=fx与y=m的图像由图像可得，当m=0时，y=fx与y=m图像当m=4时，y=fx与y=m图像当0<m<4时，y=fx与y=m图像选项C：根据二次函数的对称性可得，x1,x所以x1+x选项D：由图像可得，log2x4=m，所以log2x3所以x1由图像可得x1∈−4,−2所以x1故选:BCD.题型四复合函数零点问题对于复合函数y＝f（g(x））的零点个数问题，求解思路如下：（1）确定内层函数u＝g(x)和外层函数y＝f(u)；（2）确定外层函数y＝f(u)的零点u＝ui（i＝1,2,3，…，n）；（3）确定直线u＝ui（i＝1,2,3，…，n）与内层函数u＝g(x)图像的交点个数分别为a1，a2，a3，…，an，则函数y＝f（g(x））的零点个数为a1＋a2＋a3＋…＋an.【例题精讲】1．（2026·山西临汾·二模）已知函数fx=2x−1,x≤2,3A．0,1 B．0,2 C．0,3 D．1,3【答案】A【分析】解方程fx2−a+5fx+5a=0得fx=a或fx=5，数形结合得方程f【详解】由fx2−a+5f当x≤0时，fx当0<x≤2时，fx当x>2时，fx作出函数fx、y=5、y=a的图像由图可知，直线y=5与曲线y=fx有0个交点，即方程f所以由题方程fx=a有3个不同的解，即直线y=a与曲线y=fx有32．（25-26高一上·福建福州·期末）已知函数fx=x+1x+2，且函数gA．9 B．12 C．13 D．15【答案】D【分析】分析可知a>0，由gx=0可得fx=a或fx=−a，则直线y=a、y=−【详解】由gx=a−f当a=0时，可得fx=x+1此时函数gx只有一个零点，不符合题意，所以a>0所以gx=a−fx所以直线y=a、y=−a与函数fx的图像由图可知0<a<4，解得0<a<16，故整数a的可能取值有1、2、⋯、15，共故选：D.3．（25-26高一上·安徽合肥·期末）已知函数f(x)=ex+2−1,x≤01+lnx,x>0A．1,e2−1C．1,2 D．1,【答案】B【分析】令t=f(x)，将原方程有4个根转化为y=t1与y=f(x)有1个交点，y=t2与y=f(x)有3个交点；或者y=t1与【详解】由函数f(x)=ex+2−1,x≤01+lnx,x>0当x>0时，f(x)=1+lnx，当0<x<1时，f(x)=1−当x≥1时，f(x)=1+lnx单调递增，值域为[1,+∞).所以当又由(2m−1)fx−m2+m=fx要使原方程有4个不同实根，①y=t1与y=f(x)有1个交点，y=t所以t2=m∈(1,e2−1]②y=t1与y=f(x)有2个交点，y=t当t2=m∈(e2−1,+当t2=m∈(e2−1,+∞)综上所述，1<m<2或e故选：B4．（25-26高二上·湖南衡阳·期末）已知函数fx=3x+1−1，x≤0A．2,+∞ B．C．0,2 D．−【答案】D【分析】由方程fx2−a+1fx+a=0，得fx−1fx−a=0，即f【详解】当x≤0时，x+1≤1，所以0<3x+1≤3所以令3x+1−1<0，得所以当x<−1时，0<3当x=−1时，3x+1当−1<x≤0时，0<3当x>0时，fx=ln其图像如下：由方程fx2−a+1fx+a=0因为方程fx所以若方程fx2−所以a<0或a>2.故选：D.5．（25-26高一上·湖北荆州·期末）设函数fx=3x−2,x≤2A．(3,4) B．(32,73]【答案】D【分析】画出fx草图，根据已知，令t=fx，数形结合判断【详解】由题设，函数fx=3令t=fx，要使原方程有5个不同的实数解，则t2−at−a+3=0有两个不同实根t1，故由图知：0<t1<2≤t2<7，即而gt开口向上，故g0=−a+3>0故答案为：D6．（25-26高三上·湖北黄石·期末）已知函数fx=xlnx且函数gA．e−8eC．0,8e−e【答案】D【分析】通过换元将函数零点问题转化为二次方程根的分布问题，结合fx的图像性质，确定二次方程需有一个根大于e、另一个根小于−e，从而求出【详解】fx定义域为{x|x≠0且x≠±1}，且对定义域内任意x，满足f−x=当x>0且x≠1时，fx=xlnx，f当x∈0,1∪1,e时，f'x<0，fx单调减区间为所以当x=e时，fx取得极小值当x→1+时，fx→+∞，当当x→+∞时，fx→+∞，当x→0由奇函数对称性可知，当x<0时，fx在x=−e处取得极大值据此得到fx大致图像设t=fx，则gx即要使gx恰好有6个零点，则方程t2+at−8=0需有两个根t1,t2由fx图像可知，当t>e时，fx=t有3个解；当t=e当0<t<e时，fx=t有1个解；当−e<t<0当t=−e时，fx=t有2个解；当t<−e时，则若gx恰有6个零点，则方程t2+at−8=0的两个根t应满足t1>e设ℎt=t2+at−8故选：D.7．（25-26高一上·广东广州·月考）已知函数fx=3x+1−1,x≤0lnA．0,1 B．0,2 C．2,+∞ D．【答案】A【分析】设u=fx，结合已知条件得出u2−a+1u+a=0，解得u=1或u=a，则直线u=1、u=a与函数u=f【详解】令u=fx，由fx2即u−au−1=0，解得u=1或当x+1≤0时，即当x≤−1时，fx当−1<x≤0时，0<x+1≤1，fx作出函数u=fx的图像由图可知，直线u=1与函数u=fx的图像又因为原方程有五个不同的实数根，所以直线u=a与函数u=fx的图像由图可得0<a<1，故实数a的取值范围是0,1.故选：A.（多选）8．（25-26高一上·河南·期末）设函数fx=2x−1A．当b=0时，M中有3个元素B．M中不可能恰有1个元素C．若M中恰有2个元素，则b不可能为负数D．若M=x1,x【答案】AD【分析】本题考查分段函数的性质．画出fx的大致图像.对于A，当b=0时，fx2+fx=0，解方程后结合图像可知集合M，从而判断A；对于B，令Δ=1−4b=0，得b=14，此时解方程后结合图像可知集合M，从而判断B；对于C，令fx=t，则有t2+t+b=0，由Δ=1−4b≥0，解得b≤14，则t1+t2=−1【详解】画出fx的大致图像对于A，当b=0时，fx2+f由函数fx的解析式结合图像可知，此时x=0，2或3，故M=对于B，fx2+fx+b=0,b∈R令fx2+fx+14=0，解得对于C，若M中恰有2个元素，令fx=t，则有由Δ=1−4b≥0，解得b≤14，则t当t1=1时，t2此时x1=1，x2对于D，由于t1+t2=−1，故t则方程fx=t方程fx=t1有3个根，由图知则1−2x1=2又−x故−x3+2−则2x故选：AD.（多选）9．（25-26高一上·山西大同·期末）已知函数fx=x+3,x≤0lgx−1,x>0，关于x的方程A．函数fx零点个数为2 B．实数m的取值范围为C．函数fx无最值 D．函数fx在区间【答案】BC【分析】解方程fx=0，可判断A选项；数形结合可判断CD选项；令u=fx，则u2−mu+1=0，令gu=u2【详解】对于A选项，当x≤0时，由fx=x+3=0可得当x>0时，由fx=lgx−1=0，可得lgx=−1或综上所述，函数fx的零点个数为3对于CD选项，作出函数fx的图像由图可知，函数fx函数fx在0,1上递减，在1,+∞上递增，故函数fx对于B选项，令u=fx，则u2−mu+1=0因为关于x的方程fx2−mf所以函数gu必有两个不等的零点，设这两个零点分别为u1、u2则关于x的方程u1=fx、u所以−1<u1<u2所以Δ=m2−4>0−1<m2故选：BC.（多选）10．（25-26高一上·甘肃定西·期末）已知函数fx=2A．f(x)有2个零点B．f(x)的单调递减区间为[2,4]C．若0<m<3，则g(x)有6个零点D．若g(x)有7个零点，则m的取值范围为[3,6)【答案】BCD【分析】易知当0≤x<2时，f(x)≥3；当2≤x≤6时，令|3x−12|=0，可得x=4，所以fx只有一个零点，所以可判断A错误；由3x−12≤0，得x≤4，所以fx=2x+2,0≤x<2−3x+12,2≤x≤43x−12,4<x≤6.由此可求得fx的单调递减区间，判断B；若0<m<3，分析fx的零点，并根据零点的取值，判断【详解】当0≤x<2时，fx=2x+2当2≤x≤6时，由|3x−12|=0，得x=4，所以fx所以函数fx由3x−12≤0，得x≤4，所以fx所以f(x)的单调递减区间为[2,4]，所以B正确．f(x)的图像如图所示．若m=0，由f(f(x))=0，得f(x)=4，由图可知f(x)=4有3个零点；若0<m<3,g(x)=f(f(x))−m=0等价于f(f(x))=m.令f(x)=t，则f(t)=m.因为fx=3时，x=0，或x=3或所以结合图可知f(t)=m有两根t=t1,t=所以f(x)=t1有3个根，f(x)=t若m=3，由图可知f(t)=3有3个根t=0或t=3或t=5.因为f(x)=0有1个根，f(x)=3有3个根，f(x)=5有3个根，所以g(x)有7个零点；若3<m<6，由图可知f(t)=m有3个根t=t且t3而f(x)=t3有2个根，f(x)=t4有2个根，若m=6，由图可知f(t)=6有2个根t=2或t=6，而f(x)=2有2个根，f(x)=6有2个根，所以g(x)有4个零点．综上可知，所以D正确．故选：BCD.课时精练一、单选题1．（25-26高一上·湖北十堰·期末）方程lnx=5−2x的根所在区间是（

A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)【答案】C【分析】设f(x)=lnx+2x−5，由零点存在性定理，即若有f(a)⋅f(b)<0，则(a,b)存在零点，分别代入选项中的端点值并判断f(x)的正负，即可判断方程【详解】设f(x)=lnx+2x−5，因为y=lnf(1)=−3<0,f(2)=ln由零点存在性定理，可得f(x)的零点所在区间是(2,3)，即方程lnx=5−2x的根所在区间是(2,3)故选：C.2．（25-26高一上·全国·单元测试）函数fx=xA．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】求分段函数的零点，令每段等于0解方程，取符合每段范围的x的值即可．【详解】当x<0时，令x2−4x=0，得x=4（舍去）或当x≥0时，令log2x+4=0，得所以零点有1个.故选：B.3．（25-26高二下·安徽·期中）若函数fx=aex−xA．0,1e B．0,1 C．0,+∞【答案】A【详解】函数fx=ae当a=0时，fx=−x，只有一个零点x=0，不符合题意，所以当a≠0时，方程aex−x=0令gx=xex，则问题转化为直线y=a求导得：g′x=ex当x<1时，g′x>0当x>1时，g′x<0所以gx在x=1处取得极大值g1=1e.当x→−∞时，gx→−∞由图像可知，当直线y=a与函数y=gx的图像需满足0<a<1当a=1e时，直线与图像只有一个交点当a≤0时，直线与图像最多一个交点；当a>1e时，直线与故实数a的取值范围为0,14．（2026·陕西延安·一模）设函数fx=x2−4x+3−aa>0,若fx有四个不同的零点A．1,9+427 B．1,2 C．2,3【答案】A【分析】作出函数g(x)=x2−4x+3的图像，结合直线y=a与函数g(x)图像的交点个数可得出a的取值范围，再利用对称轴将所求式子消元处理，再整体换元令t=【详解】令gx由fx则g(x)=x2−4x+3g(x)=令x2−4x+3=0，解得x=1或故当x≤1或x≥3时，g(x)=x2−4x+3；当1≤x≤3且当x=2，gx解方程x2−4x+3=1，得作函数g(x)的图像，对称轴为x=2.

要使gx与y=a有四个不同的交点，如图可得0<a<1又x1,x则2−2<x因为g(x)图像关于x=2对称，所以x1则x3则x2+x4x构造函数ℎ(t)=4+t4−t，由ℎ(t)=4+t4−t=−1−8t−4则0<ℎ(t)<9+427故选：A5．（25-26高一下·浙江衢州·期中）已知函数fx=x−4x,x≤−1log2x+1,A．112,29C．4,818 【答案】C【分析】先画出分段函数图像，然后利用数形结合，结合韦达定理先得出x1x2=4，再由对数函数性质得出【详解】作函数的大致图像，如图，当x≤−1时，x−4x=a，即x所以x12⋅当x>−1时，又log21x则x3=1由图形可知0<a≤3，即0<log2x令t=x4+1,t∈1,8，又y=t+1故x1x26．（25-26高一下·安徽安庆·月考）已知函数f(x)={|2x−1|,x≤1,|log2(x−1)|,x>1,若A．(0,2) B．(0,1) C．(0,2] D．[0,1]【答案】A【分析】作出函数f(x)的图像，由图像可得a<0<b<1<c<2<d，根据对数运算性质可得cd−c−d=0，再由指数函数性质结合二次函数性质计算可解.【详解】作出函数f(x)的图像如图所示，则a<0<b<1<c<2<d，所以f(a)=1−2a，f(b)=2b−1由f(c)=f(d)，得−log2(c−1)=所以(c−1)(d−1)=1，cd−c−d=0，于是2b又0<b<1，1<2b<2即2bf(a)+cd−c−d的取值范围是7．（25-26高一下·湖南衡阳·月考）已知函数fx=4x+1−1,x≤0log4A．0,3 B．3,+∞ C．0,1 D．【答案】B【分析】设u=fx，令gx=0，可得作出函数u=fx的大致图像，结合图像和题意求解【详解】设u=fx，令gx即u−au−1=0，解得u=1或作出函数u=fx的大致由图可知，直线u=1与函数u=fx的所以直线u=a与函数u=fx的图像有2个交点，由图可得a>3，所以实数a的取值范围是3,+8．（25-26高一下·山东德州·月考）已知函数fx=x2+4x+7,x≤0x+4x,x>0A．0,12 B．0,8 C．0,4 D．0,3【答案】A【分析】通过设元将问题转化为两个一元二次方程根的问题，用韦达定理求解.【详解】令fx1=fx2当x≤0时，方程x2+4x+7=k有两个解x1当x>0时，方程x+4x=k有两个解x所以要使f(x)=k有4个解，则4<k≤7，方程x2+4x+7=k，即x2方程x+4x=k，即x所以x1二、多选题（多选）9．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）已知fx是定义域为R的奇函数，当x>0时，fx=A．fB．当x1<C．当0<x≤a时，fx的最小值为4，则D．若关于x的方程fx【答案】ACD【分析】根据奇偶性可求出函数的解析式，进而可判断A；作出fx的图像，根据单调性可判断B；根据0,+∞上的最小值可判断C；根据奇函数【详解】因为fx是定义域为R当x≤−2时，−x≥2，此时f当−2<x<0时，0<−x<2，此时fx当x=0时，fx综上可得fx所以f−1画出函数fx的图像当x<−2时，y=fx单调递增，故当x1<由图像可知f2=4，当0<x≤a时，fx因为函数fx和y=kx均是定义域为R故方程fx所以所有实数根之和为零，故D正确.（多选）10．（25-26高一下·河南商丘·月考）已知函数fx=log2(1−x),x<1xA．a∈0,1 B．C．1x3+1x4【答案】ABD【分析】做出函数图像，即可得a的取值范围，然后求出方程fx【详解】做出函数图像：由图像可知：0<a≤1，故A正确；对于B：log2(1−x即x1所以x1+x所以x1对于C：因为x3,x4满足所以1x3+1x4=对于D：112=当且仅当2a=3【点睛】通过分段函数把方程的根拆分到两段函数中分别求解，再借助换元法求值或均值不等式求最值.（多选）11．（25-26高一上·江苏无锡·期末）已知函数fx=1−2A．y=fx的图像关于yB．若x1+C．y=2xD．若关于x的方程fx−【答案】BCD【分析】判断出函数奇偶性可判断A错误，利用复合函数单调性可知fx单调递增，可判断B正确，利用基本不等式计算可得C正确，根据函数与方程的思想结合图像变换，由图像【详解】对于A，易知函数fx的定义域为R，且满足f所以函数fx为奇函数，其图像对于B，易知函数y=2x+1所以当x1+x2<0即fx对于C，易知y=2当且仅当2x+1=2对于D，因为22x+1>0，所以fx=1−2易知fx−12图像是将fx的图像向下平移12个单位，再将x轴以下的部分作关于由上图可知y=t与函数y=fx−故选：BCD三、填空题12．（25-26高一下·上海·期中）已知函数f(x)=log13(x+1)+a,x>02x+a,x≤0【答案】(−【分析】根据题意，结合指数函数与对数函数的性质，分别求得x>0和x≤0时，fx没有零点的a【详解】当x>0时，则x+1>1，所以log1由fx在x>0上无零点，即log13即a=−log13(x+1)在当x≤0时，可得0<2x≤1，由fx在x≤0上无零点，即即a=−2x在x≤0无解，可得a<−1或所以要使函数fx在R上没有零点，则实数a的取值范围为(−13．（2026·福建厦门·二模）若函数f(x)=x2−ax+1−ax恰有两个零点，则【答案】−【详解】函数fx恰好有两个零点，可转化为函数y=x2−ax+1与函数①当x2−ax+1≥0恒成立，即a2−4≤0问题转化为方程x2−ax+1=ax即由2a2−4>0⇒所以−2≤a<−1或1<a≤2.②当a>2时，方程x2−ax+1=0有两个正根x1，x当x1<x<x2时，ax−x所以此时直线y=ax与曲线y=x③当a<−2时，方程x2−ax+1=0有两个负根x3，x当x3<x<x4时，ax−x所以此时直线y=ax与曲线y=x综上可得：若函数f(x)=x2−ax+1−ax恰有两个零点，则14．（25-26高一下·云南玉溪·期中）已知函数fx=−2x2−4x,x<0log3x【答案】8,【分析】本题可利用数形结合，先画出分段函数的图像，将函数g(x)=f(x)−a有四个不同的零点的问题，转化为函数fx与y=a有四个不同的交点，可得出a【详解】解：令g(x)=f(x)−a=0，则f(x)=a，由函数g(x)=f(x)−a有四个不同的零点，则方程f(x)=a有四个不同的解，即函数fx与y=a当x<0时，fx=−2x2−4x=−2结合图像可知，方程f(x)=a有四个不同解时，0<a<2，因为x1<x当y=2时，由log3x=