第15讲 导数与函数的单调性（解析版）2027届高考数学一轮精准复习

第15讲导数与函数的单调性TOC\o"1-2"\h\u题型一导函数为含参一次函数的单调性分析 5题型二导函数为含参准一次函数的单调性分析 12题型三导函数为含参可因式分解的二次函数单调性分析 18题型四导函数为含参不可因式分解的二次函数单调性分析 29题型五导函数为含参准二次函数型的单调性分析 42课时精练 66【基础回顾】知识点1．函数的单调性与导数的关系条件恒有结论函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导f′(x)>0f(x)在区间(a，b)上单调递增f′(x)<0f(x)在区间(a，b)上单调递减f′(x)＝0f(x)在区间(a，b)上是常数函数知识点2.利用导数判断函数单调性的步骤第1步，确定函数f(x)的定义域；第2步，求出导数f′(x)的零点；第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性．【特别强调】1．若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则当x∈(a，b)时，f′(x)≥0恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则当x∈(a，b)时，f′(x)≤0恒成立．2．若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则当x∈(a，b)时，f′(x)>0有解；若函数f(x)在(a，b)上存在单调递减区间，则当x∈(a，b)时，f′(x)<0有解．►考点01不含参函数的单调性确定不含参数的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意两点，一是不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开．1．讨论函数f(x)=2x【答案】函数在(−∞,−2)和(3,+∞【分析】求导，根据导数判断即可.【详解】求导可得f′当x∈(−2,3)时，f′(x)<0，当x∈(−∞所以函数f(x)在(−∞,−2)和(3,+∞2．求函数f(x)=(x−k)e【答案】f(x)的单调递减区间是(−∞,k−1)【分析】由导数判断单调性，从而得出单调区间.【详解】f′(x)=(x−k+1)ex．令f′(x)=0，得x=k−1．当x(−k−1(k−1,+f−0+f(x)↘−↗所以f(x)的单调递减区间是(−∞,k−1)，单调递增区间是3．函数f(x)=(1)求y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程.(2)求f(x)的单调区间.【答案】(1)x+y+1=0(2)单调递增区间是(0,12【分析】（1）利用导数的几何意义求得切线斜率，继而由点斜式求得切线方程；（2）利用导函数的符号确定原函数的单调区间即可.【详解】（1）因f′则k切=f′1故y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y+2=−x−1，即x+y+1=0（2）因f(x)=lnx−2x的定义域为(0,+∞令f′x>0得0<x<12

故得f(x)的单调递增区间是(0,12)4．已知函数fx=xa+x2，曲线y=f(1)求a的值；(2)求函数fx【答案】(1)−6(2)单调递增区间为(−∞,−2)和【分析】（1）对函数求导，由导数的几何意义得切线的斜率，利用两直线平行，斜率相等即可求得a的值；（2）对函数求导，利用导数研究函数的单调性即可求解.【详解】（1）函数fx=xa+则f′(1)=a+3×12=a+3因为曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线3x+y+1=0平行，则a+3=−3，解得a=−6，（2）由（1）可知a=−6，所以f(x)=−6x+x3，定义域为f′令f′(x)=0，即−6+3x2=0当f′(x)>0时，函数f(x)单调递增。由−6+3x2>0，即x所以f(x)的单调递增区间为(−∞,−2当f′(x)<0时，函数f(x)单调递减，由−6+3x2<0所以f(x)的单调递减区间为(−2综上，f(x)的单调递增区间为(−∞,−2)和5．求函数f(x)=x【答案】单调递增区间为22,+∞【分析】先根据函数解析式求出函数的定义域，根据导数的运算法则对函数进行求导得f′(x)=2x−1【详解】函数f(x)的定义域为(0,+∞f′(x)=2x−1因为x>0，所以2x+1>0由f′(x)>0，解得x>22；由f′(x)<0所以函数f(x)的单调递增区间为22,+∞6．求函数f(x)=x【答案】f(x)的单调递增区间是(−∞,−2)和(0,+【分析】根据导数的正负性与原函数的单调性的关系进行求解即可.【详解】f'(x)=e当x∈(−∞,−2)或x∈(0,+∞当x∈(−2,0)时，f′(x)<0.所以，f(x)的单调递增区间是(−∞,−2)和(0,+∞7．利用导数求下列函数的单调区间.(1)fx(2)fx=sin【答案】(1)fx的递增区间为−∞,+∞(2)fx的递减区间为(0,【分析】（1）（2）对函数求导，根据定义域或区间内导数的符号判断单调区间即可.【详解】（1）由f′x=3x2（2）由f′x=cosx−1<0在x∈(0,8．求函数f(x)=e【答案】f(x)的单调递减区间为(−∞,0)【分析】先求导数，由f′(x)<0可得减区间，由【详解】f(x)=e当x<0时，f′(x)<0，当x>0时，f(x)的单调递减区间为(−∞,0)，单调递增区间为9．已知函数fx=1【答案】在0,1上单调递减，在1,+∞上单调递增.【分析】求导函数f′x，由f′【详解】fx的定义域为0,+∞，f令f′(x)<0，得0<x<1；令f′所以fx在0,1上单调递减，在1,+∞10．已知函数fx(1)求函数fx在点2,f(2)(2)求函数fx【答案】(1)y=−9x+16；(2)递减区间为(−∞,−1)和(1,+∞【分析】（1）根据导数的几何意义结合条件即得；（2）根据导数与函数的单调性的关系即得.【详解】（1）因为fx=3x−x∵f2∴切点为(2,−2)，∵∴所求切线的斜率为−9，∴所求切线的点斜式方程是y−(−2)=−9(x−2)，即：y=−9x+16；（2）因为f当f'x=0时，解得x=1当f'x>0当f'x<0所以函数fx的单调递减区间为(−∞,−1)和(1,+►考点02含参数的函数的单调性(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点．题型一导函数为含参一次函数的单调性分析【方法技巧】导函数的形式为含参一次函数，首先讨论一次项系数为0的情形，易于判断；当一次项系数不为零时，讨论导函数的零点与区间端点的大小关系，结合导函数的图像判定导函数的符号，从而写出函数的单调区间．【例题精讲】1．已知函数fx=lnx−mx+m，m∈【答案】答案见解析【分析】利用导数的正负与函数单调性的关系及对参数进行讨论即可求解；【详解】因为fx=lnx−mx+m若m≤0，则当x∈0,+∞时，f若m>0，则当x∈0,1m时，f当x∈1m,+∞时，综上所述，当m≤0时，函数fx的单调递增区间为当m>0时，函数fx的单调递增区间为0,1m2．已知函数fx=aln【答案】当a≥0时，函数fx在0,+∞上单调递增；当a<0时，函数fx在0,−【分析】求导后，分类讨论a，利用导数的符号可得结果.【详解】f′x=①当a≥0时，f′x>0，函数f②当a<0时，令f′x<0，得0<x<−a2所以函数fx在0,−a2上单调递减；f综上所述，当a≥0时，函数fx在0,+当a<0时，函数fx在0,−a23．已知函数f(1)当a=1时，求曲线y=fx在点1,f(2)求函数fx【答案】(1)y=2x−1(2)答案见解析.【分析】(1)利用导数的几何意义求解;(2)利用导函数研究函数的单调性.【详解】（1）当a=1时，fx=x+lnf1=1+ln又因为f′x=1+根据点斜式得y−1=2(x−1)，整理得y=2x−1.（2）f′x当a≥0时，f′x>0恒成立，所以f当a<0时，令f′x>0即ax+1>0令f′x<0即ax+1<0所以f(x)在0,−1a单调递增，4．已知函数fx=alnx+b+cx（a>0，b，c∈R(1)求a+b+c的值；(2)分析函数fx【答案】(1)2(2)答案见解析【分析】（1）根据导数的几何意义结合切线方程建立关于a,b,c的方程求解即可；（2）求出函数的导数，分类讨论，判断导数正负，即可求得答案.【详解】（1）函数fx的定义域为0,+∞，由题意得：f1=ab+c=1f′1（2）由（1）得：f′①当1−a≥0时，即0<a≤1，f′x>0函数fx在区间0,+②当a>1时，若x∈0,aa−1，f′x若x∈aa−1,+∞，f′5．已知函数f(x)=(1)讨论f(x)的单调性.(2)若对任意x∈(0,+∞)都有f(x)>0恒成立，求【答案】(1)答案见解析(2)a>【分析】（1）求得f′x=x−ax（2）由参变分离法可得a>2x−xlnx，设gx=2x−xln【详解】（1）由题意可得x∈0,+∞，当a≤0时，f′x>0在x∈0,+∞当a>0时，x∈0,a时f′x<0，x∈a,+∞时f′综上所述，当a≤0，函数fx在0,+当a>0时，函数fx在0,a单调递减,在a,+（2）因为对任意x∈0,+∞都有fx>0，所以令gx=2x−xlnx，当x∈0,e时，g′x>0，gx单调递增；当所以gx故a>e6．已知函数fx(1)若a=2，求fx在1,f(2)讨论fx(3)若fx在区间13,1上存在极值，且此极值小于ln【答案】(1)y=x(2)答案见解析(3)2,3【分析】（1）根据导数的几何意义求函数在点1,f1（2）求导，分a≤0，a>0讨论导函数的单调性.（3）结合（2）的结论，确定函数的极小值，再根据极小值的取值范围求a的取值范围.【详解】（1）当a=2时，fx=2x−ln所以f1=2−ln所以fx在1,f1处的切线方程为：y−1=1×x−1（2）因为fx=ax−ln所以f′若a≤0，则f′x<0在0,+∞上恒成立，所以若a>0，由f′x=a−1x>0⇒x>1所以fx在0,1a综上，a≤0时，fx在0,+a>0时，fx在0,1a（3）由（2）知：13<1a<1，即1<a<3由f1由1+lna−a24结合1<a<3，得2<a<3.故a的取值范围为2,3.7．设函数fx=aln(1)当a=1时，求曲线y=fx在1,(2)讨论fx【答案】(1)2x−y−1=0(2)当a≥0时，f(x)在区间(0,+∞当a<0时，f(x)在区间(0,−a]上单调递减，在区间[−a,+∞【分析】（1）先求出f1=1，得出切点坐标，再求出（2）先求出f′x，对【详解】（1）函数fx=a当a=1时，函数fx=lnx+x, 曲线y=fx在1, f1处切线方程为：（2）因为f′x=ax+1，令当−a≤0，即a≥0时，f′x>0恒成立，此时f当−a>0，即a<0时，f′x>0的解为x>−a，此时fx在区间综上所述，当a≥0时，f(x)在区间(0,+∞当a<0时，f(x)在区间(0,−a]上单调递减，在区间[−a,+∞8．设函数fx(1)若fx在点e,fe处的切线为x−ey+b=0(2)求f′【答案】(1)a=2e，(2)答案见解析【分析】（1）利用导数的几何意义计算即可；（2）含参讨论a的正负解不等式即可.【详解】（1）易知fx=ax−2−lnx因为f′(x)=a−因为f(x)在点(e,f(e所以f′(e)=a−1把点(e,−1)代入x−ey+b=0即a，b的值为：a=2e，（2）f′(x)=a−①当a≤0时，f′(x)<0在(0,+∞)上恒成立，所以f②当a>0时，令f′(x)<0，解得：0<x<综上所述：当a≤0时，f′(x)<0的解集为当a>0时，f′(x)<0的解集为9．已知函数fx=ln(1)讨论fx(2)若函数fx在1,e上的最小值是32【答案】(1)答案见解析；(2)a=【分析】（1）对函数求导并对参数a的取值进行分类讨论，再由导函数的符号即可判断单调性；（2）根据（1）中的单调性结合a的取值求得最小值的表达式，解方程可求出a=e【详解】（1）易知fx的定义域为0,+可得f′若a≤0，可得f′x>0，此时f若a>0，令f′x=0当x∈0,a时，f′x<0，即可得当x∈a,+∞时，f′x>0综上可得，a≤0时，fx在0,+a>0时，fx在0,a上单调递减，在a,+（2）由（1）可知，当a≤1时，fx在1,此时fx当1<a<e时，可知fx在1,a上单调递减，在此时fx在x=a因此fa=ln当a≥e时，fx在1,e综上可知，a=10．已知函数fx=ax+ln(1)当a=2时，求函数fx在点1,f(2)讨论函数fx【答案】(1)3x−y−2=0(2)答案见解析【分析】（1）求出函数的导函数，利用导数的几何意义求出切线方程；（2）求出函数的定义域与导函数，分a≥0、a<0两种情况讨论，分别求出函数的单调区间.【详解】（1）当a=2时fx=2x+lnx−1，则所以f′所以函数fx在点1,f1处的切线方程为y−1=3x−1（2）函数fx=ax+ln又f′当a≥0时f′x>0恒成立，所以f当a<0时，由f′x>0，解得0<x<−1a所以fx的单调递增区间为0,−1a综上可得：当a≥0时，单调递增区间为0,+∞当a<0时单调递增区间为0,−1a，单调递减区间为题型二导函数为含参准一次函数的单调性分析【方法技巧】导函数的形式为含参准一次函数，首先对定号，然后讨论导函数的零点与区间端点的大小关系，结合导函数的图像判定导函数的符号，从而写出函数的单调区间．【例题精讲】1．已知函数fx=(1)讨论函数y=fx(2)设函数gx=fx−sinx，若函数【答案】(1)答案见解析(2)1,+【分析】（1）对函数进行求导，参数a进行分类讨论，再利用函数的单调性与导数的关系即得；（2）由题可得函数y=gx在0,+∞上为增函数，g'【详解】（1）由题意得，f'①当a≥1时，f'x=a−1+ex②当a<1时，令f'x=a−1+f'x=a−1+所以函数fx在ln1−a,+综上，当a≥1时，函数fx在R当a<1时，函数fx在−在ln1−a（2）因为函数y=gx在0,+所以，g'x=a−1+即1−a≤ex−令ℎx=ex−所以，ℎx=ex−所以，1−a≤0，解得a≥1，所以，实数a的取值范围为1,+∞2．设函数fx=e【答案】答案见解析【分析】利用导数判断单调性，分成a≤0和a>0两种情况讨论.【详解】fx的定义域为−∞,+若a≤0，则f′x>0，所以f若a>0，则当x∈−∞,lna时，f所以fx在−∞,综上所述，当a≤0时，函数fx在−当a>0时，fx在−∞,3．已知函数fx(1)当a=1时，求曲线y=fx在点0,f(2)求fx【答案】(1)2x−y+1=0(2)当a≥0时，f(x)的单调递增区间为(−∞当a<0时，f(x)的单调递增区间为(ln(−a),+【分析】（1）先代入a确定函数，再求导确定切线斜率，最后结合点斜式方程即可写出切线方程；（2）先对函数求导，再根据a的范围讨论导数的正负，从而确定单调区间.【详解】（1）当a=1时，f(x)=ex+x，所以f(0)=又因为f′(x)=e所以切线方程为y−1=2(x−0)，即2x−y+1=0.（2）因为f′所以当a≥0时，因为ex>0，所以所以f(x)在(−∞当a<0时，由f′(x)>0，得由f′(x)<0，得综上，当a≥0时，f(x)的单调递增区间为(−∞当a<0时，f(x)的单调递增区间为(ln(−a),+∞4．已知函数fx(1)讨论fx(2)证明：fx【答案】(1)当x∈0,ae时，fx单调递增；当x∈(2)证明见解析【分析】（1）求导后，令导数等于0即可得出函数的单调区间；（2）只需证明函数的最大值fae=a【详解】（1）x∈0,+∞，f′x=1−当x∈0,ae时，f′x>0当x∈ae,+∞时，f′（2）fa设ga=ae令g′a当a∈0,1时，g′a当a∈1,+∞时，g′所以ga≤g1由（1）知，fx5．已知函数fx=x−1+aex(1)若曲线y=fx在点1,f1处的切线平行于x轴，求(2)讨论函数fx【答案】(1)a=(2)答案见解析【分析】（1）求出f′x，由导数的几何意义，解方程（2）解方程f′x=0，注意分类讨论，以确定f【详解】（1）由fx=x−1+a又曲线y=fx在点1,f1处的切线平行于得f′1=0,即1−（2）f′①当a≤0时,f′x>0,f②当a>0时,令f′x=0,得ex∈−∞,lna,f所以fx在−∞,综上,当a≤0时,fx为−当a>0,fx在−∞,6．已知函数fx=e(1)讨论fx(2)若fx≥0恒成立，求实数【答案】(1)当m<0时，fx在R上单调递增；当m>0时，fx在−∞(2)0,【分析】（1）先对函数fx求导，分m<0和m>0两种情况讨论可求得f（2）利用（1）可知fx的单调性与m的关系，分情况讨论，进而利用f【详解】（1）由题意得f'x当m<0时，f'x>0，fx当m>0时，令f'x=0.当x∈−∞,−1+lnm时，f'当x∈−1+lnm,+∞时，f'x综上，当m<0时，fx在R当m>0时，fx在−∞,−1+（2）当m<0时，由（1）知fx在R上单调递增，x→−∞，当m>0时，由（1）知fx在−∞,−1+fx即2−lnm≥0，解得综上，实数m的取值范围为0,7．已知函数fx(1)讨论fx(2)当x∈0,+∞时，fx【答案】(1)当a≤0时，fx的增区间为−∞,+∞，无减区间；当a>0时，函数f(2)−【分析】（1）求导即可分析fx（2）将fx≥xlnx变换为a≤e【详解】（1）因为fx=e①当a≤0时，f′x=ex②当a>0时，令f′x=0，得x=lna由f′x>0此时，函数fx的减区间为−∞,综上所述：当a≤0时，fx的增区间为−∞,+∞，无减区间；当a>0时，函数fx（2）当x∈0,+∞时，ex令ℎx=ex−xlnx−1所以由ℎ′x<0可得0<x<1，由ℎ故函数ℎx的减区间为0,1，增区间为1,+所以ℎxmin=ℎ1=e−18．已知函数fx(1)当a=1时，求函数在点1,f1(2)试讨论函数fx【答案】(1)y=x−2(2)答案见解析【分析】（1）先求a=1时的函数值和导数值，再用点斜式得到切线方程即可；（2）通过求导后对参数a分类讨论，根据导数的正负即可判断函数的单调区间.【详解】（1）由函数fx=lnxx所以f′1=1所以函数在点1,f1处的切线方程为：y−−1=x−1（2）因为函数的定义域为0,+∞，且f令f′x=0，得1−若a=0，fx若a>0，由f′x>0，得0<x<e，由若a<0，由f′x>0，得x>e，由综上，当a>0时，fx在(0,e)当a=0时，fx当a<0时，fx在(e,+∞9．函数fx=x+me(1)讨论函数fx(2)若函数fx在区间0,3上有两个零点，求m【答案】(1)当m≥0时，f(x)的单调递增区间为−∞,+∞，无递减区间；m<0时，递增区间为(−∞,ln(2)(−【分析】（1）先求导函数，再根据导函数正负判断单调区间；（2）先移项把两个零点问题转化为两个函数有两个交点即可求解.【详解】（1）由题可知fx的定义域为R，f当m≥0时，f′(x)=1+mex>0当m<0时，令f′(x)=0，解得x∈(−∞,ln⁡(−1x∈(ln⁡(−1m),+综上，m≥0时，f(x)的单调递增区间为−∞,+∞，无递减区间；m<0时，递增区间为(−∞,ln（2）fx在[0,3]上有两个零点，即方程x+mex变形得m=−xex.令g(x)=−当x∈[0,1)时，g′(x)<0，g(x)单调递减；x∈(1,3]时，g′则g(0)=0，g1=−1e，即y=m与y=g(x)在[0,3]有两个交点，需满足−1综上，m∈(−110．已知函数fx=e(1)讨论函数fx(2)若fx≥0恒成立，求实数【答案】(1)当m≥0时，fx在R上单调递减；当m<0时，fx在−∞(2)−【分析】（1）对函数求导，并根据指数函数性质对m的取值进行分类讨论得出函数单调性；（2）结合（1）中已有分析，根据函数单调性得出fxmin≥0【详解】（1）易知f′当m≥0时，f′x<0，此时函数f当m<0时，令f′x=0又因为f′所以x∈−∞,1−ln−m时，f当x∈1−ln−m,+∞时，f综上可得当m≥0时，fx在R当m<0时，fx在−∞,1−（2）由（1）可知当m>0时，fx在R当m=0时，fx当m<0时，结合（1）中分析可知fx在x=1−因此fx即可得2−ln−m≥0综上可得，实数m的取值范围为−题型三导函数为含参可因式分解的二次函数单调性分析【方法技巧】若导函数为含参可因式分解的二次函数，令该二次函数等于零，求根并比较大小，然后再划分定义域，判定导函数的符号，从而确定原函数的单调性.【例题精讲】1．已知函数fx=(1)当a=−1时，求曲线y=f(x)在点x=1处的切线方程；(2)讨论fx(3)若fx有极小值，且fx≥0【答案】(1)4x−y−1=0(2)当a≤0时，fx在0,+∞上单调递增；当a>0时，fx在0,a(3)0,1【分析】（1）先对函数求导得到导函数表达式，代入已知条件确定参数后，算出x=1处的导数值即切线斜率，再求出x=1对应的函数值即切点坐标，最后用点斜式列出切线方程并整理成一般式即可.（2）先把导函数通分并因式分解，结合定义域x>0，按参数a的正负分类讨论；a≤0时判断导函数在定义域内恒正，直接得出函数单调递增；a>0时以x=a为分界点，分别判断区间内导函数正负，进而得到函数的递减、递增区间，最后汇总两种情况的单调结论.（3）先借助第二问单调性确定a>0时函数在x=a处取极小值也是最小值，代入求出最小值表达式；由fx≥0恒成立转化为最小值大于等于0，化简不等式后构造新函数ga；通过求导判断新函数单调递减，结合特殊点g【详解】（1）当a=−1时，f′x=x−a所以切线方程为y−3=4(x−1),即4x−y−1=0，（2）f′x若a≤0，可得x∈0,+∞时，f′x>0若a>0时，当x∈0,a时，f′x<0，所以当x∈a,+∞时，f′x>0综上所述：当a≤0时，fx在0,+当a>0时，fx在0,a上单调递减，在a,+（3）由（2）可知当a>0时，fx有极小值，极小值为f此时极小值也是最小值，由fx≥0，可得−a又a>0，所以1−a−2令ga=1−a−2ln所以ga在0,+∞上单调递减，又当a∈0,1时，ga>g1=0所以a∈0,1时，ga≥0所以a的取值范围0,12．已知函数f(x)=alnx+1(1)讨论f(x)的单调性；(2)当a>1时，求f(x)在[1,e]上的最小值．【答案】(1)答案见解析(2)f【分析】（1）先确定f(x)的定义域，再求出f(x)的导数，再对参数范围分类讨论求解单调性即可.（2）先根据已知条件确定f(x)在(1,a)的单调性，再对a的范围分类讨论，依据单调性求出不同情况下f(x)的最小值.【详解】（1）由题意可得：fx的定义域是(0,+∞)，且f令f'(x)=0，则x=1或①当a∈(0,1)时，若0<x<a或x>1，则f'(x)>0，若a<x<1，则所以f(x)在(0,a)和(1,+∞)上单调递增，在②当a=1时，因为f′(x)=(x−1)2x③当a∈(1,+∞)时，若0<x<1或x>a，则f'(x)>0，若所以f(x)在(0,1)和(a,+∞)上单调递增，在（2）当a>1时，由（1）可得：f(x)在(1,a)上单调递减，所以，①当1<a≤e时，f(x)在[a,e]所以f(x)在x=a处取得最小值，为f(a)=aln②当a>e时，f(x)在[1,所以f(x)在x=e处取得最小值，为f(综上，f(x)3．已知函数fx(1)讨论函数fx(2)设gx=2x2−mex+e212+1【答案】(1)当a>0时，fx在0,2a上单调递减，在2a,+当a<0时，fx在0,−6a上单调递减，在−6a,+(2)8【分析】（1）求导，分a>0和a<0两种情况讨论求解即可；（2）当a=−16e时，结合（1）可知函数fx在1,e上单调递减，可先将问题转化为m≥2x【详解】（1）由fx=aln则f′①当a>0时，令f′x>0，得x>2a，令f所以函数fx在0,2a上单调递减，在2a,+②当a<0时，令f′x>0，得x>−6a，令f所以函数fx在0,−6a上单调递减，在−6a,+综上所述：当a>0时，fx在0,2a上单调递减，在2a,+当a<0时，fx在0,−6a上单调递减，在−6a,+（2）当a=−16e由（1）知，函数fx在1,而f1=e212+1对任意x1∈1,4，存在x即等价于gx1≤所以m≥2x1设ℎx=2x2令ℎ′x>0，得1≤x<2，令ℎ所以ℎx在1,2上单调递增，在2,4所以ℎxmax=ℎ2=8e4．已知函数f(x)=x2−2a(1)若a=2，求曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程；(2)若存在x0∈(0,+∞)，使【答案】(1)2x+y−3=0(2)(1,+【分析】（1）求导，根据导数的几何意义求解即可；（2）求导，根据导数求得函数f(x)min=a−alna【详解】（1）若a=2，则f(x)=x2−4则f(1)=12−4所以过点A的切线方程为y−1=−2(x−1)，即2x+y−3=0；（2）函数f(x)=x2−2af′当x∈(0,a)时，f′(x)<0，当所以函数f(x)在区间(0,a)上单调递减，在区间当x=a时，函数f(x)有最小值，即f若存在x0∈(0,+∞)，使即a−alna<a令g(a)=ag′令ℎ(a)=2a+1a+当a∈(0,12)时，ℎ′(a)<0所以ℎ(a)在区间(0,12)所以当a=12时，函数ℎ(a)有最小值，即所以g′(a)>0在区间所以函数g(a)在区间(0,+∞因为g(1)=1所以当a>1时，g(a)>0成立，故a的取值范围为(1,+∞5．已知函数fx(1)若曲线y=fx在点−1,f−1处的切线l与直线y=−1(2)讨论fx【答案】(1)9x−3y+8=0(2)答案见解析【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可；（2）分a=0，a<0和a>0三种情况讨论导数的正负即可求解.【详解】（1）f′则f′因为f′所以1+2a=3，得a=1．又f−1所以l的方程为y=3x+1−1（2）f′当a=0时，f′x=x2当a<0时，令f′x>0，得x<2a或x>0，令f所以fx在−∞,2a当a>0时，令f′x>0，得x<0或x>2a，令f所以fx在−∞,06．已知a∈R，函数fx(1)若fx在x=13(2)讨论函数fx(3)若a>1,fx在R上有三个零点，求a【答案】(1)1(2)答案见解析(3)3,+∞【分析】1通过求导，根据极值的性质导数等于0来求解参数；2通过求导，根据导数的正负来判断原函数的单调性；3根据零点的数量来判断满足条件的极值的正负情况，从而求解参数的取值范围.【详解】（1）函数fx=2x因为fx在x=13化简可得23−2a−2+6a=0，解得此时f'令f'x>0得x<13或x>1所以f(x)在(−∞,13)和(1,+∞)所以x=13是（2）f′分类讨论，当a>1时，当x<1或x>a时，f′x>0当1<x<a时，f′x<0当a=1时，f′x=6x−12当a<1时，当x<a或x>1时，f′x>0当a<x<1时，f′x<0综上所述：当a>1时，f(x)在(−∞,1),(a,+∞)上单调递增，在(1,a)上单调递减；当a=1时，f(x)在R上单调递增；当a<1时，f(x)在(−∞,a),(1,+∞)上单调递增，在(a,1)上单调递减；（3）因为a>1，由第二问可知当x<1或x>a时，f′x>0，fx单调递增，当1<x<a时，所以在x=1时，fx取到极大值f在x=a时，fx取到极小值f因为fx在R上有三个零点，所以f1>0解得a>3，即a的取值范围是3,+∞7．已知函数fx(1)若曲线y=fx在x=2处的切线方程为y=12(2)讨论函数y=fx(3)若gx=ex−x+lnx【答案】(1)a=1，b=−3(2)答案见解析(3)1【分析】（1）根据导数几何意义和切点坐标可构造方程组求得a,b；（2）求导后，分别在a≤0和a>0的情况下，根据f′x的正负得到（3）利用导数可求得gx单调性，从而将恒成立的不等式转化为ℎx=f【详解】（1）∵f′x=x−a+1又f2=2−2a+1+aln∴a=1，b=−3.（2）由题意知：fx的定义域为0,+∞，①当a≤0时，若x∈0,1，则f′x<0；若∴fx的单调递减区间为0,1，单调递增区间为1,+②当a>0时，i.若0<a<1，则当x∈0,a∪1,+∞时，f′∴fx的单调递增区间为0,a,1,+ii.若a=1，则f′x≥0在0,+∞上恒成立，iii.若a>1，则当x∈0,1∪a,+∞时，f′∴fx的单调递增区间为0,1,a,+综上所述：当a≤0时，fx的单调递减区间为0,1，单调递增区间为1,+当0<a<1时，fx的单调递增区间为0,a,1,+当a=1时，fx的单调递增区间为0,+当a>1时，fx的单调递增区间为0,1,a,+（3）∵gx的定义域为0,+∞，∴ex>e0=1，1x不妨设x2>x则由fx1−f令ℎx=fx−agx∴ℎ′x=x−1−ae设φx=x−1∴当x∈0,2时，φ′x>0；当∴φx在0,2上单调递增，在2,+∞上单调递减，∴a≥1e2，即实数a8．已知函数f(x)=ax−(a+1)ln(1)讨论函数f(x)的单调性(2)若函数f(x)在其定义域的一个子集2a−1,4内存在两个极值点，求实数a的取值范围并求f(x)的极值.【答案】(1)0<a<1时，f(x)在(0,1)，(1a,+∞)上单调递增，在(1,1a)上单调递减；a=1时，f(x)在(0,+∞)上单调递增；(2)12<a<1，f(x)的极大值为f(1)=a−(a+1)ln【分析】（1）求导，含参讨论导数的正负，得函数的单调性；（2）由（1）f(x)若要有两个极值点，这两个极值点必是1a,1，由两个极值点都在区间【详解】（1）f′(x)=a−a+1x+1x当0<a<1时，f′(x)在(0,1)，在(1,1a)上恒小于0，f(x)在(0,1)，(a=1时，f′(x)≥0在(0,+∞)上恒成立，a>1时，f′(x)在(0,1在(1a,1)上小于0恒成立，f(x)在(0,1a综上，0<a<1时，f(x)在(0,1)，(1a,+a=1时，f(x)在(0,+∞a>1时，f(x)在(0,1a)，(1,+（2）由（1）知f(x)的极值点是1a，1，因此这两个极值点需在区间2a−1,4则0<2a−1<12a−1<1a<4且f(x)的极大值为f(1)=a−(a+1)ln2−1，极小值为9．已知函数fx=1(1)讨论函数fx(2)若函数fx在区间1,e上的最小值为1，求【答案】(1)答案见解析(2)a=2【分析】（1）求导得f′x解析式，分别讨论a≤0和a>0两种情况，根据f′（2）分别讨论a≤0、a≥1、0<a≤1e2和1e2<a<1四种情况，根据f′【详解】（1）因为fx=12a所以f′当a≤0时，f′x<0恒成立，则f当a>0时，令f′x=ax当x∈0,aa时，f′x当x∈aa,+∞时，f′综上所述，当a≤0时，fx在0,+当a>0时，fx在0,aa（2）当a≤0时，f′x<0，则f所以fxmin=f当a>0时，若aa≤1即a≥1，则fx所以fxmin=f若aa≥e即0<a≤1e所以fxmin=f若1<aa<e即1e2<a<1所以fx综上，函数fx在区间1,e上的最小值为1时，10．已知函数fx=x+ln(1)当m=12时，求(2)讨论fx(3)若fx≤0对任意x>0恒成立，求整数【答案】(1)极大值为f(1)=1(2)当m≤0时，fx在0,+∞上单调递增；当m>0时，fx在0,12m(3)1【详解】（1）当m=12时，f(x)=则f′(x)=1−x所以当0<x<1时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x>1时，f′所以f(x)有极大值f(1)=1（2）f′x若m≤0时，f′x>0在0,+∞上恒成立，此时若m>0时，令f′x=0，即−2mx−1x+1当0<x<12m时，f′x>0当x>12m时，f′x<0综上，当m≤0时，fx在0,+∞上单调递增；当m>0时，fx在0,12m（3）因为对任意x>0，fx≤0恒成立，所以lnx+x+1≤m即m≥lnx+x+1x设Fx=设gx=−x+2lnx，g因为g1=−1<0，所以∃x0∈12,1，使得当x∈0,x0时，gx>0所以Fx在0,x0所以函数Fx在0,+∞因为x0∈1故整数m的最小值为1题型四导函数为含参不可因式分解的二次函数单调性分析【方法技巧】若导函数为含参不可因式分解的二次函数，就要通过判别式来判断根的情况，然后再划分定义域讨论.【例题精讲】1．已知函数fx=(1)若曲线y=fx在点1，f1处的切线斜率为0，求实数(2)讨论fx(3)若fx在区间0,+∞上的最大值为1，求实数【答案】(1)a=1，证明见解析(2)当a≥1时，f(x)在R上单调递减；当a<1时，f(x)在(1−1−a,1+1−a(3)a=1【分析】（1）先对原函数求导，根据导数几何意义，利用x=1处导数值等于0列方程求a，再分析导数符号变化，证明导数无变号零点，得fx（2）整理导数后分子为二次式，根据判别式取值分类讨论，依据导数正负判断fx（3）结合第二问的单调性结论，分类讨论fx在[0,+∞)【详解】（1）对函数求导：f'因为ex>0恒成立，故f′曲线在(1,f(1))处切线斜率为f′(1)=0，代入得：−1+2−ae此时g(x)=−x2+2x−1=−(x−1)2≤0，故因此f(x)在R上单调递减，无极值点.（2）对二次函数g(x)=−x2+2x−a①当a≥1时，Δ≤0，g(x)≤0恒成立，故f′(x)≤0，f(x)②当a<1时，g(x)=0的两根为x1=1−1−a则当x<1−1−a或x>1+1−a时，g(x)<0，f′当1−1−a<x<1+1−a时，gx>0综上所述，当a≥1时，f(x)在R上单调递减；当a<1时，f(x)在(1−1−a,1+1−a（3）①当a≥1时，f(x)在[0,+∞)单调递减，最大值为f(0)=a，由最大值为1得②a<1时，函数f(x)在x2=1+1−a则最大值可能在x=0或x=1+1−a若f(0)=1，则a=1，不符合a<1．下面证明fx令t=1+1−a，则a=1−(t−1)2此时f′(t)=2−2tet，由f′(t)>0所以f(t)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞所以f(t)≤f(1)=2e<1综上所述，实数a的值为1．2．已知函数fx(1)若函数fx在点1,f1处的切线斜率为2，求实数(2)讨论fx【答案】(1)−1(2)答案见解析【分析】（1）根据导数的几何意义，函数在某点处的切线斜率等于该点处的导数值，因此先对函数f(x)求导，再将x=1代入导函数，结合已知切线斜率列出方程，进而求解a的值；（2）先求出函数f(x)的定义域和导函数f′(x)，然后根据判别式Δ的取值情况，分情况讨论导函数的正负性，从而确定函数【详解】（1）已知f(x)=lnx+xf′(x)=1因为函数f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为2，所以f′(1)=2即3+a=2，解得a=−1.（2）由（1）可知f′令g(x)=2x2+ax+1当Δ=a2−8≤0，即−22又因为x>0，所以f′(x)=g(x)所以f(x)在(0,+∞当Δ=a2−8>0，即a<−22或a>2根据求根公式可得x1若a>22，则x1<0,x2<0，因为即f′(x)=g(x)x>0在(0,+若a<−22，则x1>0,当0<x<x1或x>x2时，当x1<x<x2时，综上，当a≥−22时，f(x)在(0,+当a<−22时，f(x)在0,−a−a2−84和3．已知函数fx(1)若b=1．（ⅰ）证明：曲线y=fx（ⅱ）当a=0时，求曲线y=fx在点1,f(2)当a=1时，讨论fx【答案】(1)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）2x−y+2=0(2)当b≤−112时，fx当−112<b<0时，fx在0,1−当b≥0时，fx在0,1+1+12b【分析】（1）（ⅰ）当b=1时，fx=3x−aln（ⅱ）利用切线斜率等于切点处的导数求解即可；（2）先对fx求导，再分b≤−112、−【详解】（1）（ⅰ）由题得fx因为f1=3−0+1=4，所以曲线y=fx（ⅱ）由题得fx=3x+1x，则又f1=3+1=4，所以曲线y=fx在点1,f1处的切线方程为（2）由题得fx=3x−lnx+b对于y=3x2−x−b当Δ≤0，即b≤−112时，f′x当Δ>0，即b>−112时，由3当−112<b<0时，0<1−1+12b6<当x∈1−1+12b6,1+当x∈1+1+12b6,+∞当b≥0时，1−1+12b则当x∈0,1+1+12b6时，当x∈1+1+12b6,+∞综上，当b≤−112时，fx当−112<b<0时，fx在0,1−当b≥0时，fx在0,1+1+12b4．已知函数fx(1)讨论fx(2)若fx在x=2处取得极值，且关于x的方程fx=b在区间0,3【答案】(1)见解析(2)−4<b≤0【分析】（1）首先求函数的导数，讨论Δ，求解函数的单调区间；（2）首先根据极值点求a，再利用导数分析函数y=fx在区间0,3上的单调性，再转化为y=b与y=fx,x∈【详解】（1）f′当Δ=36−12a≤0，即a≥3时，f′x≥0恒成立，此时当Δ=36−12a>0，即a<3时，f′x=0，得f′x>0，解得x<1−f′x<0所以函数的单调递增区间是−∞,1−9−3a单调递减区间是1−9−3a综上可知，当a≥3时，函数fx在−当a<3时，函数的单调递增区间是−∞,1−9−3a3和（2）由条件可知f′2=12−12+a=0当a=0时，f′x=3x当x<0或x>2时，f′x>0，当0<x<2当x∈0,3x00,222,33f−0+f0单调递减−4单调递增0若方程fx=b在区间则y=b与y=fx在区间0,3有2个交点，所以−4<b≤05．已知函数f(1)当m=1时，求曲线y=fx在点1,f(2)讨论函数fx(3)求证：ln【答案】(1)y=0(2)答案见解析(3)证明见解析【分析】（1）代入参数m=1，求函数导数得到切线斜率，结合切点坐标，利用点斜式求解切线方程.（2）对函数求导并整理为分式形式，结合判别式与二次函数根的分布，分三类讨论导函数符号，以此确定函数单调区间.（3）利用第二问单调性推导放缩不等式，对不等式赋值后累加，再通过代数放缩完成不等式证明.【详解】（1）当m=1时，ff′1=0，又f1=0，故曲线y=f（2）函数fx的定义域为当Δ=4−4m≤0，即m≥1时，f′x≤0，函数当Δ=4−4m>0，即m<1若0<m<1，令f′x=0于是函数fx在0,1−1−m和1+1−m若m≤0，令f′x=0函数fx在0,1+1−m上单调递增，在综上，当m≥1时，fx在0,+当0<m<1时，fx在0,1−1−m和在1−1−m当m≤0时，fx在0,1+1−m上单调递增，在（3）（3）由（2）知，当m=1时，函数fx在1,+所以当x>1时，f即2lnx<x−将x=1+1可得ln1+1分别取k=n,n+1,⋅⋅⋅2n−1，于是lnn+1n<将上述n个式子左右分别相加，可得ln<16．已知函数fx=(1)求函数ℎx(2)若x1,x2∈1,4且【答案】(1)当a>0时，在0,1+a−1a当a=0时，在0,12上单调递增，在当−1<a<0时，在0,1+a−1a当a≤−1时，在0,+∞(2)a【分析】（1）由题意得ℎx=lnx−12ax2−2x,x∈0,+（2）由题意得ℎx在1,4单调递减，利用导数可得a≥1x2−【详解】（1）由已知，ℎ当a>0时，令tx=−ax2−2x+1所以0<x<1+a−1a时，tx>0，即ℎx>1+a−1a时，tx<0，即ℎ当a=0时，ℎx=ln所以0<x<12时，ℎ′x>0x>12时，ℎ′x<0当−1<a<0时，tx的图像开口向上，且Δ0<x<1+a−1a或x>−1+a+1则ℎx在0,1+a−1a<x<−1+a+1则ℎx在1+a当a≤−1时，tx的图像开口向上，且Δ此时tx≥0，即ℎ′x≥0综上所述：当a>0时，在0,1+a−1a当a=0时，在0,12上单调递增，在当−1<a<0时，在0,1+a−1a当a≤−1时，在0,+∞（2）∵fx1−fx2∴x∈1,4时，ℎ′x∴a≥G(x)max，而∵x∈1,4∴a≥−716，故a的取值范围是7．已知函数fx(1)讨论函数fx(2)当x≥1时，fx≥1【答案】(1)当a≥1时，fx在0,+∞上单调递增；当0<a<1时，fx在0,1−1−a、1+1−a,+∞上单调递增，在1−1−a,1+(2)a≤1【分析】（1）求导后转化为讨论x2（2）参变分离后可得a≤2x2−2xlnx−1【详解】（1）f′令x2−2x+a=0，若Δ=4−4a≤0，即a≥1，则x故f′x≥0，故f若Δ=4−4a>0，即a<1，则x1=1+若a≤0，则x1=1+1−a则当x∈0,1+1−a时，f′x<0故fx在0,1+1−a上单调递减，在若0<a<1，则x1>0，当x∈0,1−1−a∪当x∈1−1−a,1+故fx在0,1−1−a、在1−1−a综上所述：当a≥1时，fx在0,+当0<a<1时，fx在0,1−1−a、在1−1−a当a≤0时，fx在0,1+1−a上单调递减，在（2）令fx≥1整理得a≤2x令gx=2x令ℎx=g故ℎx在[1,+∞)故gx在[1,+∞)即a≤1.8．已知函数fx=−1(1)若曲线y=fx在点1,f1处的切线与直线y=2x+1平行，求(2)讨论fx(3)若fx存在两个极值点x1,x2【答案】(1)−2(2)当a=0时，函数fx在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增；当a≥14时，函数fx在(0,+∞)上单调递减；当0<a<14时，函数fx在(1−1−4a(3)0<a<【分析】（1）根据导数的几何意义求出曲线在给定点的切线斜率列方程求解即得；（2）将函数求导后，根据参数a的取值进行分类，判断导函数的符号，即可确定函数的单调性；（3）由（2）的结论分析得0<a<14，易得x1+x2=1ax1⋅x2=【详解】（1）由fx=−1依题意，f′1（2）因函数fx=−1f′当a=0时，f′x=x−1x，当0<x<1时，f即此时函数fx在(0,1)上单调递减，在(1,+当a>0时，若a≥14，ax2−x+1≥0恒成立，则f若0<a<14，由ax由f′x>0可得1−1−4a2a<x<1+即函数fx在(1−1−4a2a,当a<0时，由f'x>0可得x>1−1−4a即函数fx在(1−1−4a综上，当a=0时，函数fx在(0,1)上单调递减，在(1,+当a≥14时，函数fx当0<a<14时，函数fx在(1−1−4a当a<0时，函数fx在(1−1−4a（3）由（2）分析可知，fx存在两个极值点x1此时x1,x2是方程由fx2=(x2−设x2x1=t，则t>1，将x2=tx则x2−x设ℎ(t)=12t−12t−ln由题意，fx2−fx1>3又因1a=x1+x2又因0<a<14，故得9．已知函数fx=aln(1)讨论fx(2)若存在正实数k，使得fx>0成立当且仅当x∈0,k【答案】(1)答案见解析(2)−【分析】（1）求导，结合一元二次函数的性质讨论f'（2）利用（1）中函数的单调性以及f1【详解】（1）由题可得f'令gx=−x当−2≤a≤2时，Δ≤0，此时gx≤0，f'x当a<−2时，Δ>0，记两根为x1=此时x1+x2=a<0故fx在0,+当a>2时，Δ>0，此时x1+x2故x∈0,x1或x∈x2,+∞时，fx∈x1,x2时，f综上，当a≤2时，fx在0,+当a>2时，fx在0,a−a在a−a（2）注意到f1若a≤2，则fx在0,+当0<x<1时，fx>0，当x>1时，所以fx>0成立当且仅当若a>2，x1<1<x2，f1=0，fxx→0时，fx→+∞，由零点存在定理，知∃m∈当x∈0,m时，fx>0，当x∈m,1时，fx故不存在满足条件的区间0,k.综上，a的取值范围为−∞题型五导函数为含参准二次函数型的单调性分析【方法技巧】若导函数为含参准二次函数型，首先对导函数进行因式分解，求导函数的零点并比较大小，然后再划分定义域，判定导函数的符号，从而确定原函数的单调性.【例题精讲】1．已知函数fx(1)当a=1时，求曲线y=fx在点2,f(2)当x≥2时，fx≥0恒成立，求【答案】(1)e(2)−【分析】（1）根据导数即可求出切线方程；（2）根据导数分类讨论a的取值范围，得到函数fx的单调性即可求解；或者分离参数，利用函数的单调性得到a【详解】（1）当a=1时，fx=x−2f'x=所以切线方程为：y=e2−1（2）解法一：f'当a≤0时，因为x≥2，所以x−1>0，ex−a>0，所以则fx在2,+∞上单调递增，当0<a≤e2时，所以fx在2,+∞上单调递增，所以当a>e2时，在区间2,lna上，f′所以fx在2,lna所以在区间2,lna上有综上所述，a的取值范围是−∞解法二：当x≥2时，fx≥0恒成立，等价于“当x≥2时，x−2ex−当x=2时，0⋅a≤0，所以a∈R当x>2时，12x2设gx=2因为x>2，所以g′x>0，所以g所以gx>g2综上所述，a的取值范围是−∞2．已知函数fx(1)若a=0，求函数在x∈[1,3]的最值；(2)讨论fx(3)若fx有两个零点，求a【答案】(1)最大值为−2e−1，最小值为(2)当a≤0时，fx在−∞,+∞上单调递减；当a>0时，fx(3)0,1.【分析】（1）将a=0代入得到具体函数表达式，对函数求导，判断导数在区间[1,3]上的符号，确定函数单调性，根据函数单调性求出区间端点的函数值，进而得到最值；（2）对fx求导，将导函数f′x整理为关于ex的因式形式；参数a的取值会影响导数的符号，分a≤0和（3）结合（2）中得到的函数单调性，分析函数的极值情况；因为函数有两个零点，根据不同a的取值范围，分析函数的最值、极限趋势，结合零点存在定理确定a的取值范围.【详解】（1）∵a=0，则fx∴f′(x)=−2ex∴fxmax=f即函数在x∈[1,3]时的最大值为−2e−1，最小值为（2）∵fx=ae2x+∴f当a≤0时，f′x<0，即f当a>0时，令f′x=0，即2若x>−lna，则f′x>0若x<−lna，则f′x<0综上所述，当a≤0时，fx在−当a>0时，fx在−∞,−（3）由（2）知，当a≤0时，fx在−∴fx当a>0时，fx在−∞,−lna上单调递减，在−即f∵fx有2个零点，∴fxmin令gx=ln∴gx在0,+又∵g1=ln1−1+1=0，∴∴ga=ln即a的取值范围为0,1.3．已知关于x的函数fx(1)当a=0时，求f(x)在x=2处的切线方程；(2)若a≤e且x>0，求f(x)【答案】(1)y=e(2)极小值为f1【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，再由直线的点斜式方程求出切线方程即可；（2）对参数a的取值范围进行分类讨论，得出函数单调性并求出极值点，可得出极小值.【详解】（1）由a=0可得fx则f′易知f2所以切线方程为y−0=e2+1（2）易知f′令gx=e因为a≤e且x>0，所以e当a≤1时，g′x=ex−a≥0，所以当1<a≤e时，令g′x当x∈0,lna时，g′x当x∈lna,+∞时，g′x因此gx在x=lna令ℎa=a−aln所以函数ℎa在1<a≤e上单调递减，所以ℎa因此gx综上可知当a≤e时，gx=令f′x=0当x∈0,1时，f′x<0，即当x∈1,+∞时，f′x>0所以fx在x=1处取得极小值，f4．已知函数fx=−1(1)当a=−1时，求函数fx(2)当a>0时，求fx【答案】(1)−1−(2)当0<a<1e时，函数fx的单调递增区间为0,1和−当1e<a<1时，函数fx的单调递增区间为0,−lna当a≥1时，函数fx的单调递增区间为1,+∞，单调递减区间为当a=1e时，函数fx【分析】（1）根据导数与最值的关系求解即可.（2）根据导数与单调性的关系，对a进行讨论求解即可.【详解】（1）当a=−1时，fx=−1则f′令f′x=0fx，f′xx0,111,+f+0-f单调递增极大值单调递减所以当x=1时，fx取最大值，为−1−（2）f'x=当a>0时，令f′x=0，解得x=1①当0<a<1e时，由f′x>0，得0<x<1或x>−所以函数fx在0,1和−lna,+②当1e<a<1时，由f′x>0，得0<x<−lna所以函数fx在0,−lna和1,+③当a≥1时，由f′x>0，得x>1，由f所以函数fx在1,+∞上单调递增，在④当a=1e时，f′x≥0综上：当0<a<1e时，函数fx的单调递增区间为0,1和−当1e<a<1时，函数fx的单调递增区间为0,−lna当a≥1时，函数fx的单调递增区间为1,+∞，单调递减区间为当a=1e时，函数fx5．已知函数fx(1)若a=1，求函数fx(2)讨论fx【答案】(1)极小值为1，无极大值；(2)当a≥0时，fx在区间−∞,0上单调递减，在区间0,+∞上单调递增；当−1<a<0时，fx在区间−∞,0和ln−1a,+∞上单调递减，在区间0,ln−1a上单调递增；当【分析】（1）求导，确定函数单调区间，即可求解；（2）求导，通过a≥0，−1<a<0，a=−1，a<−1讨论导数符号即可求解.【详解】（1）当a=1时，fx=e由f′x=2x−00,+f-0+f单调递减极小值f单调递增所以函数fx在区间−∞,0所以函数fx的极小值为f（2）因为函数fx所以f′（ⅰ）当a≥0时，若f'x=2若x<0，则f′若x>0，则f′所以函数fx在区间−∞,0（ⅱ）当−1<a<0时，由f'x=2ae若x<0或x>ln−1若0<x<ln−1所以函数fx在区间−∞,0和ln（ⅲ）当a=−1时，f′x=−2ex（ⅳ）当a<−1时，由f'x=2ae若x<ln−1a或若ln−1a所以函数fx在区间−∞,ln−综上所述：当a≥0时，函数fx在区间−∞,0当−1<a<0时，函数fx在区间−∞,0在区间0,ln当a=−1时，函数fx在区间−当a<−1时，函数fx在区间−∞,在区间ln−6．已知函数fx(1)讨论fx(2)当a>0时，证明：函数fx【答案】(1)a≤0时，f(x)在(−∞,1)单调递减，0<a<e2时，f(x)在(−∞,lna=e2时，f(x)在a>e2时，f(x)在(−∞,1)单调递增，(2)证明见解析【分析】（1）先对函数求导并因式分解得f'x=x−1ex−2a，以a≤0、a=e2（2）再分别对a=e2、a>e2、0<a<e【详解】（1）函数f(x)=(x−2)ex−a求导得f′令f′(x)=0，得x=1或当2a≤0即a≤0时，exx<1时，f′(x)<0，f(x)在x>1时，f′(x)>0，f(x)在当2a>0且2a≠e即a>0且a≠e2时，方程e①若0<a<e2，则x<ln(2a)时，f′(x)>0，ln(2a)<x<1时，f′(x)<0，f(x)x>1时，f′(x)>0，f(x)在②若a>e2，则x<1时，f′(x)>0，f(x)在1<x<ln(2a)时，f′(x)<0，x>ln(2a)时，f′(x)>0，当2a=e即a=e2时，ln(2a)=1，f'综上所述：a≤0时，f(x)在(−∞,1)单调递减，0<a<e2时，f(x)在(−∞,lna=e2时，f(x)在a>e2时，f(x)在(−∞,1)单调递增，（2）①当a=e2时，fxf3=e3−2②当a>e2时，函数fx的单调递减区间为1,又由f1=−e<0，可得fln2a<f③当0<a<e2时，函数fx的单调递减区间为ln又由f=−a又由f1=−e<0，当x→+∞综上所述，当a>0时，函数fx7．已知函数fx=ae(1)讨论fx(2)若fx有最小值ga，证明：【答案】(1)a≤0时f(x)在R单调递减；a>0时f(x)在(−∞在(−ln(2)证明见解析【分析】（1）对f(x)求导，然后根据参数a的不同取值范围，判断导数的正负，进而确定函数的单调区间；（2）先结合（1）的单调性结论，找到f(x)取得最小值时的x值，代入f(x)得到g(a)的表达式；再通过分析g(a)的单调性证明即可.【详解】（1）f分母ex>0，ex若a≤0：aex−1<0恒成立，f′(x)<0若a>0：令aex−1=0x<−lna时，aex−1<0x>−lna时，aex−1>0所以a≤0时f(x)在R单调递减，a>0时f(x)在(−∞,−ln（2）由（1）知：a≤0时f(x)单调递减，无最小值，仅当a>0时存在最小值g(a)=f(−ln则g(a)=a⋅对g(a)求导：g′(a)=1a−故ℎ(a)在(0,+∞又ℎ(1)=1>0，ℎ(2)=1故存在唯一a0∈(1,2)，满足g′因此：0<a<a0时，g′a>a0时，g′故g(a)的最大值为g(a0y=a+1a在(1,2)上单调递增，故：g(a因此g(a)≤g(a8．已知函数fx(1)当a<0时，求函数fx(2)当a=e时，求函数f(3)求证：e+【答案】(1)单调递增区间为0,+∞(2)0(3)证明见解析【分析】（1）利用导数求解给定参数范围下的单调区间即可.（2）结合题意并合理构造函数，最后结合导数求解最值即可.（3）结合已知得到x−1e【详解】（1）由题意得函数fx的定义域为0,+当a<0时，f′x>0，则f所以函数fx的单调递增区间为0,+（2）当a=e时，f令gx=f所以gx即f′x又f′1=0，所以当x∈0,1时，f′所以fx在0,1单调递减，在1,+∞单调递增，故（3）由（2）知当a=e时，x−1即x−1ex−1≥令x=k+1k，则所以k=1n即e+9．已知函数fx(1)证明不等式：ex(2)讨论fx(3)设a∈0,1，证明：f【答案】(1)证明见解析(2)当a≤0时，fx在R单调递减，无增区间；当a>0时，fx在−∞(3)证明见解析【分析】（1）设sx=ex−x（2）就a≤0、a>0分类讨论导数的符号后可得函数的单调性；（3）根据（2）中的单调性结合零点存在定理可证明fx【详解】（1）设sx=e当x<0时，s′x<0，当x>0故sx在−∞,0故sxmin=s0=1>0（2）f′∵2e①当a≤0时，f′x<0,∴f②当a>0时，令f′x=0x>−lna时，f′x<−lna时，f′综上所述，当a≤0时，fx在R当a>0时，fx在−∞,−（3）由（2）可得，当0<a<1时，fx因为y=1−1a,y=lna均在0,1故1−1a+当x>ln5−aa>2ln结合（1）中不等式可得ex>x>0，故当x<a−2时，0<e2x而a−2<0，a−2ex>a−2由零点存在定理可得fx在R10．已知函数fx(1)当a=0时，求曲线y=fx在x=0(2)当a>0时，求函数fx【答案】(1)x+y+2=0(2)当0<a<e时，fx在−∞,lna和1,+∞上递增，在lna,1上递减；当a=e时，fx在−∞【分析】（1）根据导数的几何意义即可求出；（2）分别对0<a<e时，a=e时，【详解】（1）由fxf′x=所以当a=0时，有f0=0−2故曲线y=fx在x=0处的切线经过0,−2，且斜率为−1所以其方程为y=−x−2，即x+y+2=0．（2）当0<a<e时，对x∈−∞对x∈lna,1，有f′x=x−1ex−a当a=e时，对x∈−∞,1∪1,+∞当a>e时，对x∈−∞对x∈1,lna，有f′x=x−1ex综上，当0<a<e时，fx在−∞,ln当a=e时，fx在当a>e时，fx在−∞,1和►考点03利用导数研究函数的图像及其应用常见组合函数的图像在导数的应用中常用到以下函数，记住以下的函数图像，对解题有事半功倍的效果．1．已知fx在R上是可导函数，y=fx的图象如图所示，则不等式A．−2,0∪2,+∞C．−∞,−1∪【答案】C【分析】根据原函数单调性和导函数正负的关系，结合图像，即可得到答案．【详解】根据y=fx的图像可知fx在R上的单调递增区间是所以不等式f′x>0故选：C2．已知函数y=fx，其导函数f'x的图象如图所示，则下列说法正确A．函数fx在−∞,0上单调递减 B．函数fC．函数fx在4,+∞上单调递减 D．fx【答案】C【分析】根据图像可得f′x的符号，进而可判断fx【详解】由图像可得：当x<0或2<x<4时，f′x>0；当0<x<2或x>4故fx的单调递增区间为−∞,0故A错误，C正确；函数fx在x=4根据题意只能得到f′x的符号，以及fx3．若函数y=fx的导函数y=φx=A．φ′xB．函数y=fxC．函数y=fx的单调递增区间为D．−3是函数y=fx【答案】D【分析】由图可得y=φx的单调性，即可得其导数正负，即可得A；由图可得f′x【详解】对A：由图可得，y=φx在−∞,−2在−2,−1上单调递减，故φ′x<0对B、C、D：由图可得，当x∈−∞,−3当x∈−3,+∞时，故fx在−∞,−3故函数y=fx有且仅有一个极小值点x=−34．已知函数fx的导函数f′x的图象如图所示，则函数fA．fx=xcosC．fx=x【答案】B【详解】由图像可知，f′x是奇函数，且选项A：f'x=选项B：f'x=选项C：f'且f'所以f'选项D：f'x=2x−sinx5．已知定义在0,3上的函数fx的图象如图所示，则不等式f′xA．1,2 B．2,3 C．1,2∪2,3 【答案】C【分析】由分式不等式f′xx−2>0得f′x>0x>2或f【详解】∵f′xx−2>0，∴f′由图可得，当0<x<1或2<x<3时，fx单调递增，则f′x>0；当1<x<2时，∴由f′x>0x>2，解得2<x<3；由∴不等式f′xx−26．若fx是定义在区间−3,2上的函数，其图象如图所示，设fx的导函数为f′x，则A．−2,−1∪1,2 C．−3,−2∪0,1 【答案】B【详解】不等式fxf′x>0其中f′x>0对应函数fx单调递增，x∈−3,−2：fx>0，fx∈−2,−1：fx<0，fx∈−1,0：fx<0，fx∈0,1：fx>0，fx∈1,2：fx>0，fx∈−2,0,1时，fx=0x∈−1,1时，f'x因此，fxf′7．函数fx是定义在−4,4上的偶函数．其图象如图所示，f3=0．设f′x是fx的导函数，则关于A．0,2 B．−2,0C．−5,0∪2,4 【答案】B【分析】借助函数图像与导数的关系计算即可得.【详解】由f(3)=0，且f(x)为偶函数，故f(−3)=0，由导数性质结合图像可得当x∈−4,0时，f当x∈0,4时，f′x>0，当则由f(x−1)⋅f′(x)≥0，有−4<x−1<4亦可得fx−1>0f'x>0，或由fx−1>0f'x>0可得由fx−1<0f'x由fx−1=0，可得x−1=±3，即x=−2或x=4（舍去，不在由f′x=0综上所述，关于x的不等式f(x−1)⋅f′(x)≥08．函数y=fx的导函数y=f′A．−3是函数y=fx的极值点 B．−2是函数y=fC．y=fx在区间−3, 1上单调递增 D．−1【答案】AC【分析】由导函数图像的正负即可判断原函数的增减，依次判断即可.【详解】对于AC，根据导函数图像可知当x∈−∞,−3当x∈−3,1时，f′x≥0，当且仅当所以函数y=fx在−在−3,1上单调递增，故−3是极值点，故A、C正确；对于B，因为−2左右两侧导函数均大于0，故−2不是极值点，故B错误；对于D，因为−1左右两侧导函数均大于0，故−1不是极小值点，故D错误；9．已知定义在(−3,3)上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且函数y=xfA．函数f(x)在(0,3)上单调递增 B．x=1是函数f(x)的极大值点C．x=0是函数f(x)的极小值点 D．f(x)≥f(−2)【答案】AD【分析】通过分析函数y=xf′(x)的图像判断f【详解】结合函数y=xf′当x∈(−3,−2)时，xf′(x)>0，故f′(x)<0当x∈(−2,0)时，xf′(x)<0，故f′(x)>0当x∈(0，2)时，xf′(x)>0，故当x∈(2,3)时，xf′(x)>0，故f对于A：f(x)在区间(0,3)上，f′(x)≥0（仅在x=2时等于0，其余点都大于0）恒成立，所以函数f(x)在对于B：因为函数f(x)在x=1左右两侧f′对于C：因为f(x)在x=0左右两侧f′对于D：由上述分析可知，函数f(x)在(−3,−2)单调递减，在(−2,3)单调递增，所以f(x)在x=−2取到极小值，也是最小值，所以f(x)≥f(−2)，故D正确.10．已知函数f(x)及其导函数f′(x)的部分图象如图所示，设函数g(x)=f(x)exA．在区间(a,b)上是减函数 B．在区间(a,b)上是增函数C．在x=a时取极小值 D．在x=b时取极小值【答案】AD【分析】根据图像得到fx−f′x【详解】结合图像可知，当x<a时，fx−f′x当x>b时，fxg′(x)=f故当x<a时，g′x=f′当a<x<b时，g′x=f′当x>b时，g′x=f′故g(x)在x=a时取极大值，在x=b时取极小值.故选：AD.►考点04根据函数的单调性求参数由函数的单调性求参数的取值范围的方法(1)函数在区间(a，b)上单调，实际上就是在该区间上f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立．(2)函数在区间(a，b)上存在单调区间，实际上就是f′(x)>0(或f′(x)<0)在该区间上存在解集．(3)已知区间上函数不单调，转化为导数在区间内存在变号零点，通常用分离变量法求解参变量范围．(4)已知函数在区间上存在单调递增或递减区间，转化为导函数在区间上大于零或小于零有解．【例题精讲】1．已知函数fx=13x3−kA．−∞,2 B．0,2 C．【答案】A【详解】由fx=1∵函数fx在0,2上单调递增，∴f′x≥0在0,2∵x∈0,2，x2−2kx+2≥0，∴k≤x2∵x∈0,2，∴x2∴x2+1x∴x2+∴实数k的取值范围是−∞2．已知函数fx=2xlnx−ax2，若对任意的x1,xA．12e,+∞ B．（12e,+【答案】C【分析】先根据题设不等式的特点，构造函数g(x)=f(x)−2x，可得其在(0,+∞)上单调递减，从而将问题转化成g'(x)=2lnx−2ax≤0在【详解】由2x1+f设g(x)=f(x)−2x，依题意，当0<x1<故函数g(x)在(0,+∞因g(x)=f(x)−2x=2xlnx−ax则2lnx−2ax≤0在(0,+∞设ℎ(x)=lnxx当0<x<e时，ℎ′(x)>0，则ℎ(x)当x>e时，ℎ′(x)<0，则ℎ(x)故当x=e时，ℎ故实数a的取值范围为1e3．已知函数f(x)=sinx+x3−axA．0,+∞ B．−∞,0 C．−【答案】C【分析】求出函数的导数，利用给定单调性建立不等式，分离参数并构造函数，再利用导数求出最小值即可.【详解】函数f(x)=sinx+x3−ax由函数f(x)是增函数，得∀x∈R，f令函数g(x)=cosx+3x令函数ℎ(x)=−sinx+6x,x∈R函数ℎ(x)，即g′(x)在R上单调递增，当x<0时，g′(x)<0；当函数g(x)在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，所以a的取值范围是(−∞4．设函数fx=3x+sin2x+acosx，且fx在RA．[0,1] B．[－1,1] C．1,+∞ D．【答案】B【分析】由fx在R上满足fx1−fx2x1−x2>0得到【详解】∵fx=3x+sin∵fx在R上满足f∴x1−则fx是R上的单调递增函数，则f′x即3+2cos2x−asin设m=3+2cost=sin则m=−4sin2x−a则3+2cos2x−asinx≥0转化为则需要满足g−1=−4+a+5≥0g1=−4−a+5≥0则实数a的取值范围为−1,1，故选项B正确.5．已知函数fx=x2−ax+lnxA．−∞,22 B．−∞,22【答案】D【分析】结合导数与单调性的关系条件可转化为f'x=2x−a+【详解】函数fx=x已知fx在区间12,1上单调递减，则f即a≥2x+1x在令gx=2x+1x，x∈12,1当x∈12,22当x∈22,1时，g则x=2g12=2×∴gx在x∈∴a≥3．6．若函数f(x)=a2+alnx+1A．0,+∞ B．C．−∞,−1∪【答案】D【分析】将问题转化为f′(x)在0,+∞【详解】函数f(x)的定义域为0,+∞f′令f′(x)=0，解得：x1因为函数f(x)=a2+alnx+则两个根x=a和x=a+1至少有一个在0,+∞由于a+1>a，则a+1必在区间0,+∞内，故a+1>0，解得：7．“a≥−1”是“函数fx=lnA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】由题意得f′(x)≤0在(0,+∞)上有解，分离参数