第16讲 导数与函数的极值、最值（解析版）2027届高考数学一轮精准复习

专题16导数与函数的极值、最值TOC\o"1-2"\h\u题型一判断函数极值点的存在性 2题型二已知极值求参数值或范围 9题型三求函数的极值（含极值点与极值） 17题型四求函数在闭区间上的最值 22题型五已知最值求参数值或范围 34题型六含参数的极值与最值综合问题（含恒成立、存在性问题） 44课时精练 59【基础回顾】知识点1．函数的极值(1)函数的极小值函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点处的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则a叫作函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫作函数y＝f(x)的极小值．(2)函数的极大值函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点处的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则b叫作函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫作函数y＝f(x)的极大值．(3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值．知识点2．函数的最大(小)值(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图像是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：①求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．【必备知识】对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件． 题型一判断函数极值点的存在性1.步骤分解：求函数定义域，确保后续求导有意义．计算一阶导数，并化简为易分析的形式（如分式、多项式等）．令，解方程求驻点（导数为0的点），同时注意导数不存在的点（如分段函数分段点、分母为0的点）．分析驻点和导数不存在点左右两侧导数的符号变化：若左侧，右侧，则为极大值点；若左侧，右侧，则为极小值点；若两侧符号相同，则不是极值点（如在处）．2.关键技巧：导数不存在的点需单独验证（如在处导数不存在，但为极小值点）．若方程难以直接求解，可结合函数单调性、零点存在定理判断驻点个数．【例题精讲】1．下列结论中，正确的是（

）A．导数为零的点一定是极值点B．如果f(x)在x0处连续且在x0点附近的左侧f′(x)>0，右侧C．如果在x0点附近的左侧f′(x)>0，右侧fD．如果在x0点附近的左侧f′(x)<0，右侧f【答案】B【分析】由函数的极值定义进行判断即可．【详解】对于A项，如y=x3，则y′=3x对于B，C，D，根据极值的概念，如果函数f(x)在x0处连续，且在x0点附近的左侧f′(x)>0(函数单调递增）；右侧如果函数f(x)在x0处连续，且在x0点附近的左侧f′(x)<0(函数单调递减）；右侧故选：B2．已知函数fx=xlnx−x，则A．有极小值，且极小值点为1B．有极大值，且极大值点为1C．有极小值，且极小值点为−1D．有极大值，且极大值点为−1【答案】A【分析】利用导数，结合单调性，即可判断选项.【详解】由题意得，f′x=lnx，当0<x<1时，f当x>1时，f′x>0，f所以fx故选：A．3．函数fx的导函数f′xA．fx有两段单调递减区间 B．fC．fx有两个极值点 D．f【答案】D【分析】由导函数为负，原函数单调递减；导函数为正，原函数单调递增.与极值点的定义即可选出答案.【详解】记函数y=f′x与x则由图可知：当x∈(0,x1)时，f′x当x∈(x1,x2)时，当x∈(x2,+∞)时，f当x∈(−∞,0)时，f′x<0故fx有两段单调递增区间，fx有两段单调递减区间，函数fx有一个极小值点：x不能确定函数fx4．已知函数fx的导函数f′xA．f2为fB．在区间−2,0内，fxC．在区间−1,1内，fxD．x=−2是fx【答案】A【分析】根据导数的正负，判断函数的单调性，再判断函数的极值点，即可判断选项.【详解】A.如图，2附近，左边的导数为正数，2右边的导数为负数，所以2附近是先增后减，所以2是fx的极大值点，fB.在区间−2,0内，f′x<0，fC.在区间−1,0内，f′x<0，函数单调递减，0,1D.−2附近，左边导数为正数，函数单调递增，右边导数为负数，函数单调递减，所以−2是函数的极大值点，不一定是零点，故D错误.5．已知函数y=f(x)的导函数y=f′(x)

A．f(x)在(−∞,1)单调递增 B．f(x)在C．f(x)在(0,1)单调递增 D．f(x)在x=1处取得最大值【答案】C【详解】由导函数y=f′当x<0时，f′(x)<0，当0<x<1时，f′(x)>0，当1<x<2时，f′(x)<0，当x>2时，f′(x)>0，所以，当x=0时，函数f(x)取得极小值，当x=1时，函数f(x)取得极大值，但不一定为函数的最大值6．已知定义域为−3,5的函数fx的导函数为f′x，且fA．fx在3,5上单调递增 B．fxC．fx在x=1处取得最大值 D．fx有【答案】D【分析】利用函数的单调性与导数的关系可判断AC选项；利用函数的极值与导数的关系可判断BD选项.【详解】对于A选项，当x∈3,4时，f′x<0，即函数当x∈4,5时，f′x>0，即函数所以函数fx在3,5对于B选项，当x∈−3,0时，f′x<0，即函数当x∈0,2时，f′x>0，即函数所以f0为函数f对于C选项，函数fx在0,2上单调递增，函数fx在对于D选项，列表如下：x−3,000,222,444,5f−0+0−0+f减极小值增极大值减极小值增所以函数fx有37．已知函数fx=x2x−m，则“m>1”是“x=0A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】先求函数导数，再分析x=0为极大值的充要条件，最后结合充分性，必要性的定义判断选项【详解】由已知fx=x3−mx2，f若2m3<0即m<0，则2m3<x<0时，f′x<0，fx单调递减，若2m3>0即m>0，则0<x<2m3时，f′x<0，fx单调递减，若2m3=0即m=0，综上，若x=0为函数的极大值点，则m>0.若m>1，则m>0，满足x=0为函数的极大值点，充分性成立；若x=0为函数的极大值点，则m>0，即m>1不一定成立，必要性不成立.8．（多选）若函数fx有极大值点x1和极小值点x2，则其导函数f′xA． B．C． D．【答案】BC【详解】对于A，因为x1是fx的极大值点，则f′对于B，当x∈−∞,x1时，f′x当x∈x2,+∞时，f′x>0，所以x对于C，当x∈−∞,x1时，f当x∈x2,+∞时，f′x>0，所以x对于D，当x∈−∞,x1时，f′x<0，当9．（多选）已知函数fx=x−aA．若fx在R上单调递增，则B．若fx+b+fC．若a=b≠0，则fx的极小值点为D．若f0f【答案】ABD【分析】求导，根据f′x≥0在R上恒成立可求a,b的值，判断A的真假；根据函数中心对称的性质，可求a,b的关系，进而求f3a的值，判断B的真假；利用导数分析函数的单调性，可求函数的极值点，判断C的真假；结合函数零点的存在性判断定理，判断【详解】对A：因为f′x=因为fx在R上单调递增⇔f′x所以Δ=16a+b2−4×3a配方得a−b当且仅当a=b2b对B：由fx+b+fb−x=0可得函数图像关于点b,0成中心对称，且x=b是函数的一个零点，所以b,0是点a,0和a+b,0的中点，所以a+a+b=2b⇒2a=b.此时f3a对C：当a=b≠0时，fxf′x=3当a>0时，由f′x>0⇒x<a或x>5a3；由f所以函数fx在a,5a3上单调递减，在5a3,+当a<0时，由f′x>0⇒x<5a3或x>a；由f所以函数fx在−∞,5a3上单调递增，在5a对D：由题意，函数fx在0,2和2,4不妨设a<b，则必有b>0.若a<0，则有0<a+b<22<b<4，则−2<−a+b<04<2b<8若a>0，则有0<a<22<b<44<a+b，则综上，0<b−a<8，故D正确.10．（多选）函数fx=xA．若f1=0B．若0<m<2，则函数fx的极大值点为C．当m=3时，函数fxD．当m=2时，函数fx在1,4上的取值范围是【答案】AD【分析】A直接代入求解即可；B利用导数分析fx的单调性，进而可得极值点；C利用导数分析f【详解】由题意可知：fx的定义域为0,+∞，且令f′x=0，解得x=A：若f1=−m−1=0，解得B：若0<m<2，则0<m当x∈0,m2∪1,+∞时，所以fx在0,m2所以x=1为fxC：若m=3，则m2当x∈0,1∪m2,+∞时，可知fx在0,1,3则fx的极大值为f1=−4<0当x趋近于+∞时，fx趋近于+∞D：若m=2，则f′x=所以fx在1,4上单调递增，而f1=−3所以fx在1,4上的值域为−3,4题型二已知极值求参数值或范围1.必要条件法（利用极值点处导数为0）：若是极值点，则，代入求得参数值．注意：需检验该参数值是否满足极值的充分条件（即导数符号在两侧变化），避免误将驻点当极值点（如，但非极值点）．2.分类讨论法（参数影响导数符号）：若导数含参数且无法直接求根，需对参数分类讨论，分析的根的分布及两侧符号．例如：二次函数型导数，需讨论a的正负、判别式的符号，确定根的个数及区间单调性．3.隐含条件结合法：若题目中给出“极值存在”，则需保证导数方程有解且解为极值点，即：方程有实根；实根处导数符号变化．【例题精讲】1．若函数fx=lnx+ax在x=1处取得极值，则实数A．−1 B．1 C．−2 D．2【答案】A【分析】结合结论函数在点x0处可导且取得极值，则f'(【详解】由题意知函数fx的定义域为0,+由fx=ln∵函数fx在x=1处取得极值，∴∴a=−1，此时f'当x>1时，f′x<0，f当0<x<1时，f′x>0，f经检验a=−1时函数fx=ln2．设函数y=ax3+2A．−∞,0C．−∞,4【答案】C【分析】先对y=ax3+2x2+3x−1求导得y′=3ax2+4x+3，函数有极值只需导函数有变号零点，a=0时导函数为一次函数存在变号零点、有极值，a≠0【详解】函数y=ax3+2函数有极值的充要条件：导函数y′当a=0时，y′=4x+3，是一次函数，有一个变号零点当a≠0时，y′是二次函数，需满足判别式Δ>0，即Δ=42综上，a的取值范围是−∞3．已知函数y=13mx3−1A．−12 B．1 C．−1【答案】B【详解】y′因为函数在x=−1处取得极大值，故m−1解得m=−12或当m=−12时，且仅在x=−1处为零，导函数不变号，函数在R上单调递减，x=−1不是极值点，舍去；当m=1时，y′当x<−1时y′>0，当−1<x<2时故函数在x=−1处取得极大值，符合题意.4．“a>2”是“函数fx=eA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据两者之间的推出关系可判断它们之间的条件关系.【详解】由题意可知f′当a>2时，则当x∈−∞,−a当x∈−a,−2时，f故x=−a为fx的极大值点，x=−2为f故fx的极大值为f−a，极小值为故“a>2”是“函数fx若a=0，则f′同理可得fx的极大值为f−2，极小值为故“函数fx=e故a>2是存在极大值和极小值的充分不必要条件.5．已知函数fx=12xA．0,4 B．−∞,0∪4,+∞ 【答案】D【分析】对函数求导，把fx【详解】函数fx=1f'∵x>0，导数f'x的符号由分子决定，令函数fx有两个极值点，等价于gx在则二次方程x2Δ=−a2∴a的取值范围是4,+∞6．若函数f(x)=aex−12A．1e,+∞ B．1e,+∞【答案】B【详解】由f(x)=aex−则f′(x)=ae令ℎ(x)=xex当x∈(−∞,1)时，ℎ′当x∈(1,+∞)时，ℎ′(x)<0，函数当x>0时，ℎ(x)=x当x<0时，ℎ(x)=x当x→+∞时，y=ex的增长速率远远比y=x作出ℎ(x)=xe所以a≥17．已知函数fx=lnx+1−x+12A．−∞,13 B．0,13【答案】B【分析】对函数求导得f′x=x2【详解】由题设f′x=令gx=1x+1−3k所以gx在0,+∞上单调递减，x→+∞所以−3k<gx<g0要使fx在0,+∞上存在唯一的极值点，则−3k<0<1−3k，即8．（多选）已知函数fx=x−a2x−4a>0，A．a=2B．若方程fx=mC．fx的图像关于点2,D．对∀x∈R,【答案】BCD【分析】利用极值点的定义可判断A；利用三次函数图像的特点可判断B；利用fx【详解】求导得f′由题意得f′1=1−a−a−5由a>0得a=1，故A错误；令f′x=0，得x=1当x<1时，f′x>0当1<x<3时，f′x<0当x>3时，f′x>0所以fx的极大值为ffx的极小值为ffx为三次函数，要使f只需fx的极小值>m或m>f所以m<−4或m>0，故B正确；因为函数fx=x−1fx+f4−x则fx的图像关于点2,易知fx+4则fx+4即fx+49．（多选）函数f(x)=ex−A．若m=1，则f(x)在(−1,0)单调递减，在(0,+∞B．若m=1，则f(x)≥1−C．若m=2，则f(x)存在一个极值点D．若m≤2，则f(x)>0恒成立【答案】ACD【详解】f(x)=ex−令g(x)=ex(x+m)−1,x>−m选项A：当m=1时，g′(x)=ex(x+2)>0因为g(0)=0，所以当x∈(−1,0)时，g(x)<0，则f′(x)<0，函数f(x)在当x∈(0,+∞)时，g(x)>0，则f′(x)>0，函数选项B：当m=1时，要证f(x)≥1−1x−当−1<x<0时，1−1x>1，而e选项C：当m=2时，因为x∈(−2,+∞)，所以g′(x)=e因为g(−1)=e−1−1<0，g0=1>0当x∈−2,x0时，则f′(x)<0当x∈x0,+∞时，则f′所以x=x0是函数的极小值点，因此选项D：当m≤2时，ln(x+m)≤ln(x+2)由选项C可知，当m=2时，f(x)=ex−其中x0满足ex0则f(x)≥e因为x0∈(−1,0)，所以x0+12因此ex−ln(x+2)>0恒成立，故当10．（多选）已知函数fxA．∀a∈R，fxB．当a=2时，fxC．若fx的单调递减区间为−1,−13，则fxD．存在实数a，使直线y=x−1与fx的图像交于A、B、C三点，且B为AC【答案】BD【分析】对于A，求导，通过导数正负可判断；对于B，确定函数单调性得到极值，可判断；对于C，由单调减区间求得a，进而可判断；对于D，结合三次方程韦达定理即可判断.【详解】已知f(x)=x求导得f′x=3选项A，当Δ≤0，即a≤3​时，f选项B，当a=2时，f(x)=x3+2当x∈−∞,−1，x∈−1当x∈−1,−13时，f即f(x)=x3+2计算得：f(−1)=1>0，f−且x→−∞时f(x)→−∞，当x→+∞因此f(x)仅在(−∞选项C，若f(x)的单调递减区间为−1,−1即f′x=3由韦达定理：−1+−13由B可知fx在−2,−1上单调递增，在−1,−13又f(−1)=1，f(−2)=−1，f(−13)=因此值域为−1,1，C错误；选项D，设方程mx3+b所以方程即为mx−变形为mx比较两个方程可得x1三次方程韦达定理得证.联立y=x−1与fx整理得x3+ax若B是AC中点，则2x由三次方程韦达定理：x1+x2+将x2=−a存在实数a=−3满足条件，D正确.题型三求函数的极值（含极值点与极值）1.常规步骤：确定函数定义域D．求导，解方程得驻点，同时找出不存在的点，记为．将定义域D按上述点划分为若干区间，列表分析每个区间内的符号，确定函数单调性．根据单调性变化，确定每个点是否为极值点，并求出极值：极大值：左增右减；极小值：左减右增．2.特殊情形处理：分段函数：分段求导，注意分段点处的导数是否存在，结合左右极限判断极值．含绝对值函数：去绝对值转化为分段函数，再按上述步骤求解（如）．【例题精讲】1．函数f(x)=x3−3xA．−2 B．−1 C．1 D．2【答案】A【详解】f′(x)=3(x2−1)，当x<−1或x>1时，f则f(x)在(−∞,−1)和(1,+∞)上单调递增，在(−1,1)上单调递减，所以f(x)的极小值为f(1)=−2．2．函数f(x)=(x+1)ex的极小值为（A．−1e2 B．0 C．1【答案】A【分析】求导，确定函数单调性，即可求解.【详解】对f(x)=(x+1)ex求导：因为ex>0恒成立，令f′当x<−2时，f′(x)<0，当x>−2时，f′(x)>0，因此x=−2是f(x)的极小值点，f−2=−2+13．已知函数fx=13xA．fx有三个零点 B．fx在C．点32,34是曲线y=fx【答案】A【分析】根据函数零点的定义判断A；根据导数与单调性及极值的关系判断BD；根据函数的对称性验证C.【详解】对于A：fx令fx=0，则x13x方程13x2所以fx只有一个零点x=0对于BD：f′令f′x=0，即x2−3x+2=0当x∈−∞,1时，f′x>0，fx当x∈2,+∞时，f′所以当x=1时取得极大值，为f1所以当x=2时取得极小值，为f2对于C：若点32,3则f3f=1f=−1所以f3故点32,34．函数fx=xA．2 B．−4 C．8e−4 【答案】C【详解】因为fx=x由f′(x)=0，得x=−4或当x<−4时，f′(x)>0，当−4<x<2时，f′(x)<0，当x>2时，f′(x)>0，所以x=−4是极大值点，x=2是极小值点，极大值为f(−4)=[(−4)5．函数fx=−13xA．有极大值，且极大值为27 B．有极大值，且极大值为−C．有极小值，且极小值为−253 【答案】A【详解】f′当0<x<3时，f′x>0，fx单调递增；x>3时所以fx有极大值f6．若x=−13是函数fx=ax−1A．−1 B．−89 C．−【答案】D【详解】由题意可知a≠0，f′由f′−1当a=−1时，f′x<−13或x>1时，f′x<0所以fx在−∞,−13显然x=−13是当a=1时，f′x=x−13x+1，同理可得fx在所以x=−13是故x=1是fx=(x−1)2x+17．已知函数fx=alnx+bx2有大于0的极大值，其中A．ab>0B．fC．fx在0,D．fx在0,【答案】D【分析】由函数有大于0的极大值可得a>0,b<0及a+2be>0，进而可判断AB选项；再由函数的零点得lnxx2=−ba，通过构造函数gx【详解】因为fx的定义域为0,+∞，当a=0时，显然fx当b=0时，显然fx=aln所以ab≠0,f′x=ax+2bx=且f′x>0时0<x<−a2b，所以函数极大值f−a2b=alnln−a2b2>1，ln−a若a=e2,b=−1再由fx=alnx+bx2=0得ln当g′x>0时，0<x<e；当所以gx的单调增区间为0,e，单调减区间为又因为g1=0,ge=1所以当0<−ba<1e2时，y=−b当1e2<−ba<12e所以当0<−ba<1e2时，函数当1e2<−ba<1所以C错误，D正确．8．函数f(x)=12x【答案】−4+2【详解】f(x)=12xf′(x)=x−3+2x=x2x(0,1)1(1,2)2(2,+f+0−0+f(x)↑极大值f(1)=−↓极小值f(2)=−4+2↑∴f(x)的极小值为−4+29．函数fx=【答案】1【详解】由题可知函数定义域为R，f′x=ex当x<1时，f′x>0当x>1时，f′x<0故x=1为函数极大值点，f110．函数fx=1【答案】−52【分析】利用求导判断函数的单调性，即可求得函数的极大值.【详解】由fx=1求导得f′由f′x>0可得0<x<1或x>2；由f则函数fx在(0,1)和(2,+∞)故函数fx在x=1时取得极大值f题型四求函数在闭区间上的最值1.步骤总结：求函数在开区间内的所有极值点（驻点及导数不存在的点）．计算极值点处的函数值，以及区间端点处的函数值和．比较所有函数值，最大者为最大值，最小者为最小值．2.关键逻辑：闭区间上的连续函数必有最值，且最值可能在极值点或端点处取得．若函数在区间内单调递增，则最小值为，最大值为；单调递减则相反．3.含参数的最值问题：若参数影响极值点的位置（如极值点与区间[a,b]的相对位置），需分类讨论：当时，函数在[a,b]上单调，最值在端点；当时，需比较；当时，函数在[a,b]上单调，最值在端点．【例题精讲】1．已知函数f(1)函数fx在x=1处取极值，求a(2)求函数fx在区间[0,【答案】(1)1(2)f【分析】（1）对函数求导，利用极值点处导数为零列方程求解；（2）求导，结合导数的性质及x∈[0,e−1]得出1x+1∈1e,1【详解】（1）fx=ax−lnx+1的定义域为已知fx在x=1处取极值，则f'1当a=12时，当x>1时，f'x>0，当−1<x<1时,f'x（2）函数的导数为f'已知x∈[0,e−1]，x+1∈[1,e当a≤1e时，f'x=a−最小值为fx当a≥1时，f'x=a−1x+1最小值为fx当1e<a<1时，令f'x=a−x∈0,1a−1时，x∈1a−1,e−1最小值在极值点x=1fx综上可得：fx2．已知函数f(1)当a=1时，求fx(2)求fx在区间0,2【答案】(1)fx的单调递增区间为−∞,−1(2)当a≥0时，fxmin=1；当a≤−2时，fxmin【分析】（1）求导，利用导函数和函数单调性的关系可得结果；（2）求导，分−a=0、−a<0和−a>0三类情况进行讨论，对于−a>0的情况，再细分−a≥2和−a<2两种情况讨论可得结果.【详解】（1）因为a=1时，fx所以f′令f′x=0所以x∈−∞,−1,0,+∞时，所以fx的单调递增区间为−∞,−1（2）f′x=6x2①当−a=0，即a=0时，f′x=6x2②当−a<0，即a>0时，对于x∈0,2，f'x=6xx+a所以fx③当−a>0，即a<0时，x∈−∞,0x∈0,−a时，fx∈−a,+∞时，若−a≥2，即a≤−2，则fx在0,2上单调递减，所以f若−a<2，即−2<a<0，则fx在0,−a上单调递减，−a,2所以fx综上：当a≥0时，fx当a≤−2时，fx当−2<a<0时，fx3．已知函数f(x)=−aln(1)若a=12，求f(x)的图像在点(2)若a<0，求f(x)的最大值（用a表示）；(3)若f(x)有且仅有一个零点，求实数a的取值范围.【答案】(1)x+2y−3=0(2)(1+(3)−【分析】（1）求出函数的导数后可求切线方程；（2）求出函数的导数后根据其符号可得函数的单调性，从而可求f(x)的最大值；（3）就a<0、a=0、0<a<12、a=1【详解】（1）当a=12时，f(x)=−1因此所求切线方程为y−1=−12(x−1)（2）函数f(x)=−alnx+(2a+1)x−xf′当a<0时，x−a>0，令f′(x)>0，得x∈0,12则函数f(x)在0,12上单调递增，在所以f(x)的最大值为f1（3）①由（2）知当a<0时，函数f(x)在0,12上单调递增，在函数f(x)的最大值为f1又因为当x>0且x→0时，f(x)→−∞，当x→+∞时，所以当f12=(1+ln2)a+当f12=(1+ln2)a+f12=(1+ln2)a+②当a=0时，f(x)=x−x2=x(1−x)(x>0)③当0<a<12时，由f′由f′(x)<0，得则函数f(x)在a,12上单调递增，在(0,a)和函数f(x)在x=a处取得极小值f(a)=a(−ln令g(x)=−lnx+x+10<x<当x∈0,12时，g′(x)<0g(x)>−ln12+1当x→+∞时,−alnx→−因此存在唯一的x0∈12,+④当a=12时，f′(x)≤0，函数而f(1)=1>0,f(e因此存在唯一的x1∈(1,e)，使得⑤当a>12时，由f′(x)>0，得x∈1则函数f(x)在12,a上单调递增，在0,1函数f(x)在x=12处取得极小值与③同理存在唯一的x2∈(a,+∞)，使得综上，若f(x)有且仅有一个零点，a的取值范围为−14．已知函数fx(1)讨论fx(2)若fx存在最小值，且最小值小于2，求a【答案】(1)答案见解析(2)0,1【分析】（1）先求出导数，再对参数范围分类讨论，最后得到单调区间即可.（2）结合题意确定a>0，再得到a−lna−2【详解】（1）由题意得fx的定义域为0,+由fx=x−aln若a≤0，则f′x>0则fx的单调递增区间为0,+若a>0，则当x∈0,a时，f′x<0，当则fx的单调递增区间为a,+∞，单调递减区间为（2）由（1）可知，若fx存在最小值，则a>0且fx的最小值为f则a−alna+a2<2令gx=x−ln因为x2所以g′x>0恒成立，则g又g1=0，令gx<0，解得故a的取值范围为0,1.5．已知函数fx(1)当m=1e时，求(2)当m<0时，求fx(3)证明：当m>0时，fx【答案】(1)−(2)−(3)证明见解析【分析】（1）根据条件得f′（2）根据条件，求出fx（3）分0<m<1e，m=1e和【详解】（1）易知fx的定义域为R，f当m=1e时，f′x=x+1e所以当x>−1时，ex−1当x<−1时，ex−1所以对任意的x∈R，都有f′x故fx的增区间为−（2）因为f′x=x+1e所以当x>−1时，则f′x=x+1e当x<−1时，则f′x=x+1e所以fx≥f−1（3）当m>0时，令f′x=0，得到x=−1当0<m<1e所以x<lnm或x>−1时，则f′x=x+1ex当lnm<x<−1时，则f′x=x+1则fx在x=−1时有极小值f在x=lnm时有极大值，又x→+∞时，f由零点存在性原理知，当0<m<1e时，当m=1e时，由（1）知fx在R上单调递增，又x→−∞时，fx所以m=1e时，当m>1e时，当x<−1或x>lnm时，则f′x=x+1e当−1<x<lnm时，则f′x=又f−1=−1e<0由零点存在性原理知，当m>1e时，综上所述，fx6．已知函数fx=x4−3x2(1)求实数a,b的值；(2)函数fx的导函数为f′x，求函数f【答案】(1)a=2,b=1(2)当m∈0,22时，f′x的最小值为4m【分析】（1）利用导数求切线斜率，并代入切点求参数；（2）对函数f′x求导并令导数为零，以求得的根对【详解】（1）由题知f′则f′1=4−6+2a=2a−2=af1=1−3+2a+1=2a−1=3，将点1,3代入切线方程得故a=2,b=1.（2）由（1）知f′x=4令ℎ′x=12x2①当0<m≤22时，若x∈0,m，ℎ故函数ℎx在区间0,m上的最小值为ℎ②当m>22时，若x∈0,22若x∈22,+∞故函数ℎx在区间0,m上的最小值为ℎ综上，当m∈0,22时，f当m∈22,+∞时，7．已知函数fx(1)当a=1时，求函数fx(2)当a>0时，求函数fx在区间1,2【答案】(1)单调递增区间为−∞,0(2)f【分析】（1）将a=1代入，求函数fx（2）求fx的导数，令f′x【详解】（1）当a=1时，fx令f′x>0，解得：x<0；令f所以fx的单调递增区间为−∞（2）由fx=ax+1令f′x=0，∵a>0∴fx在1,2递减，f8．已知函数f(1)讨论函数fx(2)求函数fx在区间0,2【答案】(1)当a≤0时，函数fx在−∞,+∞上单调递增；当a>0时，函数fx在区间−(2)当a≤43时，函数fx在0,2上的最大值为8−6a，当a>43【分析】（1）首先求函数的导数，讨论a≤0和a>0两种情况讨论导数的正负，判断函数的单调性；（2）根据（1）的结果，讨论a的取值，判断区间0,2的单调性，求函数的最值.【详解】（1）函数的定义域为R，因为fx=当a≤0时，f′x≥0当a>0时，由f′x<0得−a<x<a，由所以函数fx在区间−∞,−a上单调递增，在区间综上，当a≤0时，函数fx在−当a>0时，函数fx在区间−∞,−a上单调递增，在区间（2）由（1）知，当a≤0时，函数fx在0,2上单调递增，故f当0<a<4时，fx在0,a上单调递减，在a所以，当0<a≤43时，f(x)max当a≥4时，函数fx在0,2上单调递减，f综上，当a≤43时，函数fx在0,2当a>43时，函数fx9．已知函数f(x)=x2+mx−n(1)求m−n的值；(2)若m>0．（i）求f(x)在0,3上的最大值和最小值；（ii）若∃x∈[0,3],∀y∈−π6【答案】(1)m−n=0(2)（i）最大值为f(2)=4+me2，最小值为f(0)=−m【分析】（1）求导，由f′（2）（i）由（1）得到m=n，再求导，确定函数单调区间，即可求解；（ii）将问题转换成所以(sin【详解】（1）因为f(x)=x所以f′(x)=(2x+m)e则f′(2)=−4+2(2−m)+m+n所以m−n=0．（2）（i）由（1）得m=n，则f′(x)=−x因为m>0，令f′(x)>0，得令f′(x)<0，得所以f(x)在[0,2)上单调递增，在(2,3]上单调递减，

f(x)max=f(2)=所以f(x)在[0,3]上的最大值为f(2)=4+me2，最小值为（ii）因为∃x∈[0,3],∀y∈−siny≤f(x)所以(siny)由（i）可知f(x)在0,3上的最大值为f(2)=4+m由y∈−π所以1≤4+m所以实数m的取值范围为e210．已知函数f(x)=a(e(1)讨论f(x)的单调区间；(2)当0<a<1时，求函数f(x)在[0,2]上的最小值.【答案】(1)当a≤0时，f(x)在(−∞,0)上单调递增，在当0<a<1时，f(x)在(−∞,0)，(−ln当a=1时，f(x)在R上单调递增；当a>1时f(x)在(−∞,−lna)，(2)0<a≤1e21e2<a<1【分析】（1）求导，分a=0，a<0，a>0，根据导数讨论求解即可；（2）结合（1），根据函数单调性，分0<a≤1e2【详解】（1）易得f(x)定义域为R.当a=0时，f(x)=−ef'(x)>0⇒x<0，则f(x)在(−∞,0)上单调递增，在当a≠0时，f′ⅰ.若a<0时，a(ex−1a则f(x)在(−∞,0)上递增，在ⅱ.若a>0时，令f′(x)=0⇒x=−ln当−ln此时f'(x)>0⇒x<0或x>−ln则f(x)在(−∞,0)，(−ln当−lna=0⇒a=1，此时f′当−lna<0⇒a>1，此时f'f'则f(x)在(−∞,−lna)，综上可得：当a≤0时，f(x)在(−∞,0)上递增，在当0<a<1时，f(x)在(−∞,0)，(−ln当a=1时，f(x)在R上单调递增；当a>1时f(x)在(−∞,−lna)，（2）由（1）分析可得，若−lna≥2⇒0<a≤1e2f(x)若0<−lna<2⇒1e2<a<1，则则此时f(x)综上可得：0<a≤1e21e2<a<1题型五已知最值求参数值或范围1.分类讨论法（参数影响最值位置）：若参数影响极值点是否在给定区间内，需分情况讨论极值点与区间的位置关系，再结合最值条件列方程或不等式．例如：函数在[0,2]上的最大值为4，求a．需讨论极值点是否在[0,2]内，再求对应最大值．2.不等式转化法（最值条件转化为不等式）：若题目要求“函数在区间上的最大值”，则转化为“”，通过求最值表达式解不等式．注意：若最值在端点取得，需直接代入端点值；若在极值点取得，需结合极值点条件联立求解．3.隐含条件注意事项：若题目中提到“存在最值”，需保证函数在区间上连续（闭区间连续函数必有最值），或参数使函数满足最值存在的条件（如无限增长趋势）．【例题精讲】1．已知函数f(1)求函数fx(2)若a=1，求函数fx(3)若函数fx在1,e上的最小值是32【答案】(1)f(2)fx的单调递减区间为0,1，单调递增区间为(3)a=【分析】（1）根据导数的四则运算求得正确答案.（2）根据f′x判断（3）对a进行分类讨论，结合fx在1,e上的最小值求得【详解】（1）依题意，f′（2）当a=1时，f′x=1x所以当x∈0,1时，f当x∈1,+∞时，（3）fx的定义域为0,+∞，当a≤1时：在区间1,e上，x−a≥0，x所以f′x≥0,f则fx在1,e上的最小值为f1=ln当1<a<e时：当1≤x<a时，x−a<0,当a<x≤e时：x−a>0,所以fx在1,e上的最小值为由lna+1=32，即lna=1当a≥e时：在区间1,e上，所以f′x≤0,f则fx在1,e上的最小值为由1+ae=32综上，a的值为e．2．已知函数fx=x2ln(1)若fx的最小值为1（i）求实数a的值；（ii）若0<x1<(2)是否存在a>0，使得gx=fx−aln【答案】(1)（i）a=1(2)存在，3e2【分析】（1）（i）利用函数导数与函数单调性求出函数最值，建立方程解出参数即可；（ii）利用分析法结合函数导数与函数单调性证明即可；（2）先通过题意分析得出结论，然后构造函数，利用函数的导数与函数单调性分析出最小值即可说明.【详解】（1）（i）由题意得函数fx的定义域为0,+f′令f′x=0当x∈0,e−12时，f当x∈e−12,+∞时，所以fxmin=f（ii）设t=x2x1，由由f′x1即x12ln要证x1x23<只要证t+3t−1因为t>1，所以t−1>0，则该不等式等价于lnt+令Ft=ln所以Ft在1,+∞上单调递增，所以（2）由题可知，gx=x所以若存在a>0，使得g(x)的最小值为e2，等价于g由g′x=2xlnx+x−当a=3e2时，设Gx因为Gx在0,+∞上单调递增，且Ge=0，所以所以当x∈0,e时，Gx<0，即当x∈e,+∞时，Gx>0所以gxmin=ge=e23．已知函数f(x)=x3+ax+b（其中a,b∈R）在x=2(1)求a，b的值；(2)若函数f(x)在区间[−3,m]上的最大值为16，求实数m的最大值.【答案】(1)a=−12,b=0(2)4【分析】（1）根据极值点的导数为0可得a，再根据f(2)的值得到b；（2）求导分析出f(x)的单调区间及极值点，并通过解方程得到f(x)等于极大值的另一个x值，结合图像分析出m的范围，从而得到m的最大值.【详解】（1）对f(x)求导得f'(x)=3x2+a即有3×22+a=0,（2）由（1）有f(x)=x3−12x当x∈−∞,−2时f'(x)>0当x∈−2,2时f'(x)<0当x∈2,+∞时f'(x)>0在x=−2处取得极大值f(−2)=16，在x=2处取得极小值−16，当m∈−3,−2时，f(x)在[−3,m]上的最大值为f(m)<f(−2)=16当m∈−2,2时，f(x)在[−3,m]上的最大值为f(−2)=16当m∈2,+∞时，f(x)在[−3,m]上的最大值为f(−2)=16或f(m)令f(x)=16即x3x3即f(4)=16，由图像可知，当m∈2,4时，f(x)在[−3,m]上的最大值为f(−2)=16当m∈4,+∞时，f(x)在[−3,m]上的最大值为f(m)>f(4)=16综上所述，m∈−2,4，所以m的最大值为44．已知函数f(x)=x(1)当a=1时，判断经过点(1,−2)的曲线y=f(x)的切线有多少条；(2)若f(x)在区间[0,4]上的最小值为−42，求实数a【答案】(1)1条(2)a=2【分析】（1）设切点，求出切线，根据过(1,−2)解出切点．（2）求导，对a范围讨论，判断单调性，求出最小值，得到实数a的值．【详解】（1）由题可知f(x)的定义域为[0,+∞当a=1时，f(x)=x所以曲线y=f(x)在点x0y−x将(1,−2)代入上式，得−2−x化简得x0令t=x0，则t≥0，设g(t)=t令g′(t)=0，得t=1，所以当t∈[0,1)时，g′当t∈(1,+∞)时，g′所以g(t)min=g(1)=0，g(t)所以经过点(1,−2)的曲线y=f(x)的切线仅有1条．（2）f′令f′(x)<0，得x<a，令f′①当a≤0时，f′(x)≥0在(0,4]上恒成立，故f(x)在所以f(x)②当0<a<4时，f(x)在[0,a]上单调递减，在[a,4]上单调递增，所以f(x)min=f(a)=−2a3③当a≥4时，f′(x)≤0在(0,4]上恒成立，f(x)在所以f(x)综上，a=2．5．已知函数fx(1)若fx在x=1处取得极值，求f(2)若fx在1,e上的最小值为−2a，求【答案】(1)极大值f12(2)(【分析】（1）根据fx在x=1处取得极值，求出a（2）分类讨论，讨论a与区间1,e的位置关系，确定函数单调性，结合函数的最值，即可确定a【详解】（1）fx=x则f′由于fx在x=1处取得极值，故f则f′令f′x>0，则0<x<12或x>1令f′x<0，则12<x<1故当x=12时，fx当x=1时，fx取到极小值f（2）由于f′当a≤1时，f′x≥0，仅在a=1,x=1时等号成立，f则fx当1<a<e时，则1<x<a时，f′x<0，a<x<e时，f′x>0，故fx当a≥e时，f'x≤0，故fx综上，可知a的取值范围为(−6．若函数fx(1)当a=2时，求函数fx在点1,f(2)已知a>1e（e为自然对数函数的底数），若fx在区间0,【答案】(1)y=x+1(2)a=【分析】（1）求导，利用导数的几何意义求出f′（2）求导，利用导数分析函数的单调性及极值，进而求出a．【详解】（1）∵fx=2x−lnx，其中由导数的几何意义可得f′又∵f1∴fx在点1,f1处的切线方程为（2）∵fx=ax−lnx，其中∵a>1e，则由f′x<0可得0<x<1a∴函数fx在0,1a∴fxmin=f综上，a=e7．已知函数g(x)=ax2−(a+2)x，ℎ(x)=(1)当a=1时，求函数y=g(x)在x=1处的切线方程；(2)当a为正数且1≤x≤e时，f(x)min【答案】(1)y+x+1=0；(2)1.【分析】（1）求出函数g(x)的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程.（2）求出函数f(x)的导数，按a≥1,0<a≤1e,1e<a<1分类讨论，由导数确定函数【详解】（1）当a=1时，函数g(x)=x2−3x，求导得g′(x)=2x−3所以函数y=g(x)在x=1处的切线方程为y−(−2)=−(x−1)，即y+x+1=0.（2）函数f(x)=ax2−(a+2)x+求导得f′(x)=2ax−(a+2)+1当a≥1时，f′(x)≥0，函数f(x)在[1,e当0<a≤1e时，f′(x)≤0，函数f(x)在当1e<a<1时，由f′(x)<0，得1≤x<1函数f(x)在[1,1a]上单调递减，在[所以实数a的取值范围是a≥1，a的最小值为1.8．已知函数fx(1)当a=e时，求曲线y=fx在(2)若函数fx有最小值，且fx的最小值大于4a【答案】(1)e(2)0,【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线斜率，再由点斜式方程即可求得切线方程；（2）将函数求导后分类讨论推得a>0，且f(x)有最小值fln2a=3a−2aln2a，依题意，需使3a−2aln【详解】（1）当a=e时，fx∴f′∴曲线y=fx在x=1处的切线方程为：y−0=−即ex+y−（2）因为fx的定义域为−∞当a≤0时，f′x>0，则fx在由f′x>0得x>ln2a∴fx在ln2a,+∴当x=ln2a时，fx依题意：3a−2aln2a>4a∵a>0，∴2a+ln2a−1<0，令2a=t，则设gt=t+ln因g′t=1+1t又g1=0，故由gt即0<2a<1，解得0<a<1故实数a的取值范围是0,19．已知函数f(1)当a=0时，若fx的最小值为0，求b(2)若x=1为fx的极小值点，求实数a【答案】(1)b=(2)−【分析】（1）对函数求导分析，判断导数得正负，并得到函数的最小值，从而得到方程进而求解.（2）根据题意将x=1代入导数为0，得到参数之间的关系，并分析是否在x=1处取得极小值.【详解】（1）因为a=0，所以fx=ln因为b∈0,1，所以令f′x当x∈0,b，f′x<0，所以当x∈b,+∞，f′x>0所以fxmin=f（2）因为fx=ln又因为x=1为fx的极小值点，所以f′1代入导数得f′因为b∈0,1，所以a∈①当−12<a<0时，f′x=0，解得所以x∈0,1，f′x<0，x∈1,−1−1a，f′xx∈−1−1a,+∞，f所以x=1为fx②当a=−12时,所以fx③当−1<a<−12时，f′x=0，解得x=1所以x∈0,−1−1a，f′xx∈−1−1a,1，f′x∈1,+∞，f′x<0所以x=1为fx综上所述，实数a的取值范围−110．已知函数fx(1)若函数fx在区间1,2上单调递增，求m(2)设函数gx=fx−2x，若gx【答案】(1)[−3,+∞)(2)m=−3【分析】（1）由函数fx在区间1,2上单调递增，得f'x≥0在区间1,2上恒成立，分离参数（2）通过讨论m的取值情况，利用导数判断函数gx在区间1,e上的单调性，并求得最值，列出方程，求得【详解】（1）函数fx=ln所以f'若函数fx在区间1,2上单调递增，则f'x≥0在区间1,2上恒成立，即即m≥−2x2−x令Fx=−2x所以Fx所以m的取值范围是[−3,+∞).（2）函数gx=ln若m≥0，则g'x>0恒成立，所以ggx在x=1处取得最小值，最小值为g所以−m=4，m=−4，与m≥0矛盾，舍去；若m<0，则当0<x<−m时，g'x<0；当x>−m所以gx在(0,−m]上单调递减，在[−m,+∞)当−m≤1，即−1≤m<0时，gx在1,e上单调递增，gx在x=1所以m=−4，与−1≤m<0矛盾，舍去；当−m≥e，即m≤−e时，gx在1,e上单调递减，gx所以1−me=4当1<−m<e，即−e<m<−1时，gx在所以gx在x=−m处取得最小值，最小值为g所以ln−m=3，m=−e综上所述，m=−3e题型六含参数的极值与最值综合问题（含恒成立、存在性问题）1.恒成立问题转化：在区间D上恒成立；在区间D上恒成立．2.存在性问题转化：存在使；存在使．3.求解步骤：求在区间D上的极值和端点值，确定和（可能含参数）．根据恒成立或存在性条件，转化为关于参数的不等式，解不等式即可．【例题精讲】1．已知函数f(x)=(x+1)e(1)判断函数f(x)的单调性，并求出f(x)的极值；(2)若g(x)=f(x)−ax−12，不等式g(x)<0有唯一的负整数解，求实数【答案】(1)f(x)在(−∞,−2)上单调递减，在(−2,+∞)上单调递增，(2)[【分析】（1）利用导数即可求解；（2）由不等式g(x)<0有唯一的整数解，得到f(x)<ax+12有唯一解，利用函数的单调性讨论函数fx【详解】（1）由f(x)=(x+1)e∴f'(x)=(x+2)ex，且x∈(−∞,−2)时，∴f(x)在(−∞,−2)上单调递减，在∴f(x)极小值=f(−2)=−（2）由g(x)<0，即f(x)<ax+12，令ℎ(x)=ax+12，原不等式等价于f(x)<ℎ(x)只有唯一负整数解，结合f(x)ℎ(x)是过定点A(0,12当a≤0时，存在无数个负整数解满足该不等式，不满足题意，当a>0时，需f(−2)≥ℎ(−2)且f(−1)<ℎ(−1)，得−2+1×e−2即实数a的取值范围是[12．已知函数fx=−2alnx−2(1)若x=2是函数fx的极值点，求实数a(2)当a>0时，讨论函数gx(3)若存在x∈[1e,e2【答案】(1)1(2)答案见解析(3)[−【分析】（1）根据题意，求得f′x=（2）求得g′x=(ax−1)(x−2)x2，分1a（3）由fx≤gx，得到a≥lnxx，令ℎx=ln【详解】（1）解：由函数fx=−2alnx−2因为x=2是函数fx的极值点，可得f′2可得−a+12=0，解得a=12（2）解：由函数gx=ax−2a+1且g′令g′x=0，即(ax−1)(x−2)因为a>0，解得x=1a或当1a=2时，即a=1gx在(0,+当1a>2时，即令g′x>0，可得0<x<2或x>1a所以gx在0,2上单调递增，在2,1a所以x=2是函数gx的极大值点，x=1a当1a<2时，即令g′x>0，可得0<x<1a或x>2所以gx在0,1a上单调递增，在1所以x=1a是函数gx的极大值点，x=2综上可得，当即a=12时，当0<a<12时，x=2是极大值点，当a>12时，x=1（3）解：由fx≤gx整理得ax−lnx≥0，即令ℎx=lnxx又由ℎ′x=1−ln当x∈[1e,e)当x∈(e,e2]所以ℎx在x=1e计算ℎ(1因为−e<2因为存在x∈[1e,e2所以实数a的取值范围为[−3．已知函数fx=ax+1lnx−2x+2(1)求实数a的取值范围；(2)已知函数gx=alnx+x2−ax(3)当a=1时，直线l:y=kx−1与函数fx图像的三个交点的横坐标从小到大依次为x3，1，x【答案】(1)1,+(2)证明见解析(3)fx【分析】（1）对函数fx求导，由当x∈1,+（2）对函数gx求导，由函数gx有两个极值点求解a的取值范围，将gx1，（3）将a=1代入，求得fx3+fx4与0的大小关系等价于x3+x4与2的大小关系，并得到x3，x4为直线y=k+2与函数φx=x+1lnxx−1x≠1图像交点的横坐标，对函数φx求导，令τ【详解】（1）对函数fx求导可得f注意到f1=0，且当x∈1,+∞时，由此可得f′1=a−1≥0当a≥1且x≥1时，令mx=f所以f′x在1,+∞由此可得fx在1,+∞上单调递增，则fx≥f1（2）对函数gx求导可得g因为函数gx有两个极值点x1，x2．令g′x=0，所以2x从而可得Δ=a2−8a>0，由此可得a的取值范围是8,+∞其中gx1=a则可得gx要证不等式gx可证aln等价于2x等价于lnx令x2x1由（1）可得，当x>1时，x+1lnx−2x+2>0，等价于由此即可得原不等式成立．（3）当a=1时，fx令x+1lnx−2x+2=kx−1由题意可得x4>1，lnx据此可得k>0．由fx3=kx3此时fx3+fx4又k+2=x+1lnxx−1，此时x3，x4对函数φx求导可得φ′x=−2即τx在0,+∞上单调递增，且有τ1=0．从而可得φx显然可得2−x3>1，则2−x3与xφ2−设函数Fx求导可得F′令nx=F由此可得F′x在0,1上单调递减，即可得F′x>F′从而可得φ(2−x3<φx4.结合函数φx的单调性即可得4．已知函数fx(1)求fx(2)若fx在区间−2,3上有三个零点，求b【答案】(1)极大值为b−1，极小值为b−7(2)1,【分析】（1）对函数求导，根据导数符号判断单调性，确定极值点后代入计算极值.（2）计算区间端点函数值，结合函数单调性与极值，根据三次函数零点个数的判定条件列不等式组求解参数范围.【详解】（1）函数f(x)的定义域为R.∵f(x)=1∴f′令f′(x)=0，解得x=0或当x<0时，x<0,x−2<0，故f′(x)>0，当0<x<2时，x>0,x−2<0，故f′(x)<0，当x>2时，x>0,x−2>0，故f′(x)>0，∴x=0为f(x)的极大值点，极大值为f(0)=b−1.x=2为f(x)的极小值点，极小值为f(2)=8（2）计算f(x)在区间[−2,3]端点的函数值：f(−2)=1f(3)=1∵f(x)在[−2,0]上单调递增，在[0,2]上单调递减，在[2,3]上单调递增，要使f(x)在[−2,3]上有3个不同的零点，需满足：f(0)=f解得1<b<73，即b的取值范围为【点睛】方法归纳：求解三次函数零点个数问题时，优先通过导数分析单调性、极值，结合区间端点函数值，利用数形结合思想列不等式组求解参数范围.5．已知函数fx=x⋅e(1)当a=2时，求曲线y=f(x)在0,f(0)处的切线方程；(2)若f(x)在R上单调递增，求实数a的取值范围；(3)求证：当a=1时，f(x)存在唯一极小值点x0，且f(【答案】(1)x+y+1=0(2)a≤−(3)证明见解析【分析】（1）利用求导计算出切点的坐标和切线的斜率，再代入点斜式即可得出切线方程；（2）将单调递增条件转化为导函数恒大于等于零，通过“分离参数法”求出剩余函数的最小值，从而确定参数a的取值范围；（3）通过二次求导分析出导函数的单调性，以找出唯一的极小值点x=0，直接代入原函数即可证明不等式.【详解】（1）当a=2时，fx=x⋅ef′0=e0故切线方程为y−−1=−1×x−0（2）f′x=x+1⋅exgx=x+1当x<−2时，g′x<0当x>−2时，g′x>0故gx在x=−2处取得最小值，即g由a≤gx恒成立，得a≤−（3）当a=1时，fx=x⋅e设g(x)=x+1⋅e当x<−2时，g′x<0当x>−2时，g′x>0f′当x→−∞时，f′(x)→−1<0，结合f可得在(−∞,−2]上恒有f′(x)在[−2,+∞所以x=0是f′则当x<0时，f′(x)<0，当x>0时，f′(x)>0，所以f(x)存在唯一极小值点x0且f(x)min=f(0)=0⋅6．已知函数fx=x−a(1)讨论fx(2)当a>1时，是否存在实数a，使x∈1e,e时fx(3)当a=0时，若gx=fx【答案】(1)答案见解析(2)不存在，理由见解析(3)[【分析】（1）根据函数导数和函数单调性之间的关系，对参数进行分类讨论，逐一判定各范围内的单调性情况；（2）根据函数单调性判定函数最值的存在情况，进而根据有最值的情况列出不等式组，进而判定是否存在实数解；（3）根据不等式构造函数，求出单调性，判定函数最小值，进而根据最小值列出不等式，求出参数范围.【详解】（1）可知函数定义域为0,+∞，则f当a≤0时，在0,1上f′x<0，函数f在1,+∞上f′x>0，函数当0<a<1时，在0,a,1,+∞上f′x在a,1上f′x<0，函数f当a=1时，f′x≥0在0,+∞上恒成立，且仅f'当a>1时，在0,1,a,+∞上f′x在1,a上f′x<0，函数f综上所述，当a≤0时，函数fx在0,1上单调递减，在1,+当0<a<1时，函数fx在0,a,1,+当a=1时，函数fx在0,+当a>1时，函数fx在0,1,a,+（2）由（1）可知，当a>1时，函数fx在0,1,a,+可知0<1e<1<e，当a≥e时，函数f此时有最大值，没有最小值，当1<a<e时，函数fx在1e,1上单调递增，在1,a上单调递减，在a,e需满足fa≤f1由a−1−1+alna≤令px=e令qx=e可知在1,e上q′x<0，函数可知qe=e−1即在1,e上p′x>0，函数因为p1=e>1所以ae−lna−alna≤1e+2在1（3）当a=0时，gx=−ln当b>0时，函数g′x在0,+∞上单调递增，x→0时gx→+所以存在实数x0>0，使g′x0此时在0,x0上g′x<0在x0,+∞上g′x在x=x0时，函数取得最小值可知gx=fx由bex0令ℎx=1x−x−2lnx所以ℎx≥0的解集为可知1x0−可知b=1x0ex当0<t≤1时，s′t>0，函数s所以当0<x0≤1时，0<所以实数b的取值范围为[17．已知函数fx(1)当a=1时，求函数fx(2)若函数fx存在最小值，且该最小值大于0，求实数a【答案】(1)0(2)0,1【分析】（1）根据函数导数和函数单调性的关系，求出函数单调区间，判定函数极值情况，求出结果即可；（2）根据函数导数的性质，对参数进行分类讨论，判定函数有最小值时的情况，进而根据最小值大于零的要求，构造函数，判定函数单调性，求出参数范围.【详解】（1）当a=1时，fx=e当x<0时，f′x<0，函数f当x>0时，f′x>0，函数f函数fx在x=0处取得极小值，极小值f（2）可知f′当a≤0时，f′x>0在R上恒成立，即f当a>0时，令f′x=0，即e则当x<lna时，f′x<0当x>lna时，f′x>0在x=ln最小值fln令函数ga=a−aln可知函数g′a在0,+∞上单调递减，可知a→0时，g所以存在0<t<1，使g′当0<a<t时，g′a>0，g当a>t时，g′a<0，g因为a→0时，ga→0，所以在0<a<1时，ga>0，所以实数a的取值范围为8．已知函数f(x)=(1+2(1)证明：f(x)是增函数；(2)已知不等式f(x)≤a(eax+2)【答案】(1)证明见解析(2)[【分析】（1）求导，根据导数判断即可证明；（2）由题意构造函数G(x)=(x+2)lnx，根据导数得G(x)单调性，由单调性可得a≥ln【详解】（1）f′(x)=−令g(x)=2lnx−x−2，则当x∈(0,2)时，g′(x)>0，当x∈(2,+∞)时，g′所以g(x)≤g(2)=2(ln所以f′(x)>0，所以（2）(1+2即(x+2)ln即(x+2)ln令G(x)=(x+2)lnx，则且G′令ℎ(x)=lnx+1+2当x∈(0,2)时，ℎ′(x)<0，当x∈(2,+∞)时，ℎ′所以ℎ(x)≥ℎ(2)=2+ln2>0，即所以G(x)是增函数，所以x≤eax，所以ax≥ln令k(x)=lnxx当x∈(0,e)时，k′当x∈(e,+∞)时，所以k(x)≤k(e所以a≥1e，即实数a的取值范围是9．已知函数f(x)=x(1−ln(1)求函数f(x)在x=e(2)求f(x)的极值；(3)设a，b为两个不相等的正数，且blna−aln【答案】(1)x+y−(2)f(x)极大值为1，无极小值(3)证明见解析【分析】（1）求得f′（2）求得f′（3）根据题意，化简得到lna+1a=lnb+1转化为证明2<m+n<e，分别证明不等式的两个方向，先将函数变形成f(x)【详解】（1）由函数f(x)=x(1−lnx)，可得则f′(所以切线的斜率为k=−1，切点坐标为(e所以函数f(x)在x=e处的切线方程y−0=−1(x−e)（2）解：由函数f(x)=x(1−lnx)，可得其定义域为(0,+当x∈(0,1)时f′(x)>0；当x∈(1,+∞故f(x)在区间(0,1)上单调递增，在区间(1,+∞所以f(x)的极大值为f(1)=1(1−0)=1，无极小值．（3）证明：由blna−alnb=a−b，变形为令1a=m,1所以命题转换为证明：2<m+n<e因为f(x)=x(1−lnx)，则有f(m)=f(n)，不妨设由（2）知：0<m<1，1<n<e，先证m+n>2要证m+n>2，即n>2−m，即证f(n)<f(2−m)，即证f(m)<f(2−m)，即f(m)−f(2−m)<0，令g(x)=f(x)−f(2−x)=x(1−ln可得g′因为y=x(2−x)=−(x−1)2所以g(x)在区间(0,1)内单调递增，所以g(x)<g(1)=0，即m+n>2．再证m+n<e因为0<m<1，所以1−lnm>1，所以只需证n(1−ln令ℎ(x)=x(1−lnx)+x,x∈(1,e所以ℎ(x)在区间(1,e)内单调递增，所以可得ℎ(n)<e，即n(1−综合可得，2<110．已知函数fx(1)求曲线y=fx在0,1(2)求函数fx在区间−2(3)若x∈0,+∞时，ℎx【答案】(1)y=−2x+1(2)最大值为52(3)−【分析】（1）根据导数的几何意义，在点处切线求法可求；（2）求导，利用导数分析函数单调性，根据单调性确定最值即可；（3）分离参数，构建辅助函数，通过辅助函数的单调性可求．【详解】（1）fx=x所以切线的斜率为f′则函数fx在0,1处的切线方程为y−1=−2x−0，即（2）f′令f′x=0，解得x=所以当x∈−2,−1∪23,1时，f当x∈−1,23时，f因为f−2所以函数fx在区间−2,1的最大值为5（3）ℎx=e因为当x∈0,+∞时，所以当x∈0,+∞时，即2a≤exx设gx=e当0<x<1时，g′x<0当x>1时，g′x>0所以当x=1时，gx取极小值g所以2a≤e，即a≤所以当x∈0,+∞，ℎx课时精练一、单选题1．函数y=fx的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（

A．3是fxB．fxC．fx在区间−D．曲线y=fx在x=1【答案】D【分析】根据导数的几何意义与极值、极值点的定义分别判断各选项.【详解】A选项：由导函数图像可知3是函数fxfx的极小值为fB选项：fxC选项：由导函数图像可知，当x∈−∞,−3当x∈−3,3时，fD选项：由图像可知f′1<0，即函数f故选：D.2．若函数fx=x3+ax2A．4 B．5 C．2 D．3【答案】B【分析】利用函数极值点处的导数值为0的性质来求解【详解】f′(x)=3x2+2ax+3，函数f即a=5．当a=5时，f′当x<−3或x>−13时，当−3<x<−13时，函数fx在x=−3时取得极大值．故3．若函数f(x)=x3+ax2A．(−∞,−3) B．(2,+∞) C．【答案】C【详解】由题意可知f'(x)=3x所以f'于是有Δ=2a2−4×3×3>0，得a>34．已知函数fx=x3+3λx2+μ−6λA．−3 B．−13 C．1【答案】D【分析】根据极值的概念可知f0【详解】解：f′x=3x2+6λx+μ−6λ，又∴f0=λ2经检验λ=1μ=6λ=0μ=0时，f则logλ+15．若函数fx=−x2+ax+4lnxA．8,+∞ B．2,8 C．7,+∞ 【答案】D【分析】对函数进行求导，导数的零点需落在指定区间上，从而求出a的范围【详解】f′(x)=−2x+a+4令g(x)=−2x2+ax+4，x>0，则f因为g(x)函数图像开口向下且g(0)>0，要使fx在区间2,4所以g(2)=−2⋅4+2a+4>0和g(4)=−2⋅16+4a+4<0，解得2<a<7.6．设函数fx=x+alnx+b，若fx≥0A．16 B．1 C．2 D．【答案】B【分析】根据y=x+a,y=lnx+b的单调性以及fx≥0恒成立得出b=a+1，a>−1，进而得到【详解】因为函数y=x+a,y=lnx+b在且当x+a=0时，可得x=−a，当lnx+b=0时，若f(x)≥0，则−a=1−b，即b=a+1，又b>0，则a>−1，be令gx=x+1令g′x>0，得−1<x<0，令g所以函数gx在(−1,0)上单调递增，在(0,+则gxmax=g(0)=17．函数fx=x−1exA．a>−1 B．a>0 C．−1<a<1 D．0<a≤1【答案】D【分析】利用导数判断函数的单调性，再根据单调性和临界值f0【详解】f′x=xex−2x=xe当x∈−1,0时，f′x>0，fx递增，当x∈0,ln2时，f′因此，x=0是极大值点，x=ln2是极小值点.要使−1,a上存在最大值，需a>0，又因为f(0)=−1，且若a>1，函数在ln2,a递增，会超过f0，因此需综上：0<a≤1.8．已知函数fx=−12ae2xA．0,1 B．1,+∞ C．0,2 D．【答案】D【分析】先利用导数求出函数f(x)的值域，再根据条件列不等式，解得结果.【详解】因为fx=−12a所以f′当x<0时，f′x>0，即f(x)当x>0时，f′x<0，即f(x)所以当x=0时，fx取得最大值为f当x→+∞,fx→−∞要使函数ffx的值域为则a2−1≥0，解得故选：D.二、多选题9．（多选）已知函数fx的导函数f′xA．fx在x2,x4上单调递减 C．fx的一个极小值为fx1 D．fx【答案】BD【分析】利用导数与函数的单调性间的关系，结合图形，直接求出单调区间，进而得到极值和最值，再结合各个选项，即可求解.【详解】由图可知，当x∈−∞,x3∪x所以fx在x3,x5上单调递减，在−在x1,x故选：BD.10．（多选）关于函数f(x)=13xA．它的极大值为283，极小值为B．当x∈[3,4]时，它的最大值为283，最小值为C．它的单调递减区间为[−2,2]D．它在点(0,4)处的切线方程为y=−4x+4【答案】ACD【分析】求导判断函数单调性，进一步可判断函数极值以及它在闭区间上的最值情况即可判断ABC，由导数的几何意义可判断D.【详解】∵函数f(x)=13x由f′(x)=(x−2)(x+2)>0，得x>2或由f′(x)=(x−2)(x+2)<0，得−2<x<2，此时函数单调递减，当x=−2时，函数f(x)取得极大值f(−2)=28当x=2时，函数f(x)取得极小值f(2)=−43，当x∈[3,4]时，f(x)单调递增，它的最大值为f(4)=4最小值为f(3)=333f′(0)=−4，f(0)=4，∴它在点(0,4)处的切线方程为y=−4x+4，故选：ACD.11．（多选）若函数fx=x2−4x+alnxA．x1+x2=2 B．x1【答案】ACD【分析】先对函数求导，将两个极值点转化为导函数对应的二次方程的两个正根，利用韦达定理直接判断选项A，B；再根据根的范围确定0<x1<1<x2<2，分析函数