第16讲导数概念与求导公式、法则（知识清单+7典例精讲+5方法技巧+分层训练）（原卷版）

第16讲导数概念与求导公式、法则（知识清单+7典例精讲+5方法技巧+分层训练）近3年考查情况题型分值导数四则运算、幂函数求导，考查(x填空题5分综合考查四则运算法则、复合函数求导yx解答题12分导数定义辨析、基础求导公式判断，考查(ln多选题6分乘法求导法则应用[f(x)g(x)]填空题5分乘法求导法则应用[f(x)g(x)]解答题12分平均变化率公式Δy单选题5分除法求导法则(f(x)多选题6分【知识点01】导数的概念(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数记作f'(x0)或y'|xf'(x0)＝limΔ(2)函数y＝f(x)的导函数(简称导数)f'(x)＝y'＝limΔ【例1】求函数f(x)=2x2在区间【知识点02】基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)＝c(c为常数)f'(x)＝0f(x)＝xα(α∈R，且α≠0)f'(x)＝αxα－1f(x)＝sinxf'(x)＝cosxf(x)＝cosxf'(x)＝－sinxf(x)＝ax(a>0，且a≠1)f'(x)＝axlnaf(x)＝exf'(x)＝exf(x)＝logax(a>0，且a≠1)f'(x)＝1f(x)＝lnxf'(x)＝1【例2】求函数f(x)=2x【知识点03】导数的运算法则若f'(x)，g'(x)存在，则有[f(x)±g(x)]'＝f'(x)±g'(x)；[f(x)g(x)]'＝f'(x)g(x)＋f(x)g'(x)；f(x)g(x)'＝f'[cf(x)]'＝cf'(x).【例3】求函数y=(x+1)sin【知识点04】复合函数的定义及其导数复合函数y＝f(g(x))的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y'x＝y'u·u'x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.【例4】求函数y=ln【题型一】瞬时变化率与导数的概念【例1】（2026·广东梅州·一模）某个弹簧振子在振动过程中的位移（单位：cm）与时间（单位：s）之间的关系为，则当位移时，弹簧振子的瞬时速度大小为（

）.A． B． C． D．【变式1】（多选）（2025·广东湛江·一模）设定义在R上的函数和，记的导函数为，且满足，，若为奇函数，则下列结论一定成立的有（

）．A． B．C． D．【变式2】（多选）（2024·广东深圳·模拟预测）已知函数及其导函数的定义域均为R，若是奇函数，，且对任意，，则（

）A． B．C．是周期为3的函数 D．【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知符号“”代表极限的意思，现给出两个重要极限公式：①；②，则依据两个公式，类比求_____；________.【题型二】基本初等函数的导数公式【例1】（2025·云南·模拟预测）已知斜率为2的直线与曲线相交，交点依次为，，，且，则直线的方程为（）A． B． C． D．【变式1】（2025·陕西咸阳·三模）英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当在处的阶导数都存在时，．该公式也称为麦克劳林公式．根据该公式估算的值为（）（精确到小数点后两位）注：表示的2阶导数，即为的导数，表示的阶导数，即为的导数．表示的阶乘，即．A．0.85 B．0.88 C．0.91 D．0.95【变式2】（多选）（2025·四川成都·模拟预测）设，，.若与分别是与的导函数，则（

）A．若，则 B．若，则C． D．【变式3】已知函数，设，则__________．【题型三】导数的运算法则【例3】（2025·全国二卷·高考真题）若是函数的极值点，则___________【变式1】（2026·河北·模拟预测）已知函数则（

）A．0 B．1 C． D．【变式2】（2025·四川巴中·模拟预测）已知是定义在上的偶函数，且函数也是偶函数，其中表示函数的导函数，则（

）A． B．C． D．【变式3】（2025·吉林长春·模拟预测）已知函数，若，则___________．【题型四】简单复合函数的导数【例4】（2026·福建泉州·三模）定义在上的奇函数，其导函数为，当时，，则（

）A． B．C． D．【变式1】（2025·重庆·三模）设函数的定义域为，是的导函数.若是奇函数，则的图象（

）A．关于对称 B．关于对称C．关于对称 D．关于对称【变式2】（2025·河北·模拟预测）函数的极小值点为__________.【变式3】（2025·河北秦皇岛·三模）已知函数，及其导函数的定义域均为，若，，且，则______．【题型五】导数的加减法【例5】（2025·甘肃白银·三模）若函数的导函数为偶函数，则的解析式可以为（

）A． B．C． D．【变式1】已知函数，若，则（

）A．36 B．12 C．4 D．2【变式2】已知函数，则函数___________.【变式3】（2024·福建泉州·模拟预测）已知函数．(1)当时，若直线与曲线相切，求；(2)若直线与曲线恰有两个公共点，求．【题型六】导数的乘除法【例6】（2026·广东广州·一模）函数在区间上的极值点个数为（

）A．4 B．5 C．6 D．7【变式1】（多选）（2024·黑龙江大庆·一模）已知，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．【变式2】已知，则____________.【变式3】求下列函数的导数．(1)；(2)；(3)．【题型七】求某点处的导数值【例7】（2026·河南新乡·三模）已知函数，则（

）A．2 B． C．1 D．【变式1】（2025·河北·模拟预测）若函数与函数的图象关于直线对称，则（

）A． B．1C．ln3 D．【变式2】（2026·湖南·模拟预测）已知函数，则______．【变式3】（2026·辽宁大连·模拟预测）已知函数.(1)若，求实数的值；(2)若在上有且仅有两个不同极值点，求实数的取值范围.【解题大招01】平均变化率快速求解技巧方法核心：无需化简原函数，直接套固定公式，代入区间端点函数值即可，是导数最基础秒杀方法。万能公式Δ解题步骤：求端点函数值→作差→作商，三步直接出结果。【例1】求函数f(x)=3x2−2在区间[2,4]【解题大招02】导数定义极限式解题技巧方法核心：抓住导数定义式结构，极限增量无限趋近于0，统一变形为标准定义式求解，无需复杂极限运算。标准定义式f【例2】利用导数定义求f(x)=3x2在【解题大招03】基础初等函数求导秒杀技巧方法核心：熟记8大基础求导公式，幂函数降次、对数取倒数、指数不变、正余互换符号，直接口算求导。高频速记公式((【例3】求函数y=x【解题大招04】四则运算求导避错技巧方法核心：和差直接分项求导；乘法“前导后不导+前不导后导”；除法“上导下不导减上不导下导”，顺序绝对不能颠倒。核心公式乘法：[f(x)g(x)除法：(【例4】求y=(x2+1)【解题大招05】复合函数逐层求导技巧方法核心：由外到内、逐层求导、层层相乘，绝不遗漏内层导数，多层复合重复使用法则。核心法则y【例5】求y=ln【基础过关】（共8题）一、单选题1．（2024·湖北·一模）已知函数，则（

）A． B．C． D．2．（2025·甘肃白银·三模）如果质点按规律（距离单位：m，时间单位：s）运动，则质点在2s末的瞬时速度为（

）A．8m/s B．7m/s C．6m/s D．5m/s3．（2025·云南昆明·模拟预测）若函数为奇函数，则（

）A． B． C． D．二、多选题4．（2024·海南·模拟预测）已知，若函数的图象在点处的切线与轴平行，则（

）A． B．C． D．三、填空题5．（2024·江苏南通·二模）已知，当时，_________.6．（2024·湖北黄石·三模）已知函数，则______.四、解答题7．（2026·安徽黄山·一模）已知是正项数列的前项和，且．(1)求数列的通项公式；(2)若为函数的导函数，记，求数列的前项和．8．（2025·全国一卷·高考真题）已知数列中，，.(1)证明：数列是等差数列；(2)给定正整数m，设函数，求．【拔高选练】（共6题）一、单选题1．（2026·河南南阳·二模）若是函数的极值点，则（

）A． B． C． D．2．（2025·江苏盐城·三模）若，则（

）A．0 B．2 C．－2 D．－43．（2026·山东青岛·二模）部分传统家用电器（如冰箱等）使用的氟化物会释放到大气中，破坏大气上层的臭氧层，导致臭氧含量随时间呈指数型变化，在氟化物排放量维持某一稳定水平时，臭氧含量与时间之间满足关系式，其中是臭氧的初始含量，则（

）A．随着时间的增加，臭氧含量在增加B．当从1变化到2时，臭氧含量减少C．当从0变化到2时，臭氧含量的平均变化率为D．当时，臭氧含量的瞬时变化率为二、多选题4．（2026·吉林通化·模拟预测）已知定义域为的奇函数满足，，使得，为函数的导函数且的定义域为，则下列结论正确的有（

）A． B．C． D．三、填空题5．（2025·广西柳州·一模）已知定义在上的函数，为的导函数，定义域也是，满足，则______．四、解答题6．（2024·四川德阳·模拟预测）记数列的前项和为.(1)设，若，求的通项公式；(2)记，设，求.【错题复盘】（共5题）一、单选题1．（2026·安徽合肥·模拟预测）若，则（

）A．−10 B．0 C．10 D．202．（2023·安徽亳州·模拟预测）狄利克雷（1805~1859）Dirichlet，PeterGustavLejeune德国数学家.对数论、数学分析和数学物理有突出贡献，是解析数论的创始人之一.他提出了著名的狄利克雷函数，狄利克雷函数是数学分析中典型的病态函数.则关于有以下结论中不正确的是（

）A．B．C．存在使